Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ

ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов заочного отделения по специальности «Автоматизация технологических процессов и производств»

Набережные Челны

2009

УДК 004

Моделирование систем: Методические указания к контрольной работе для студентов заочного отделения по специальности 220301 «Автоматизация технологических процессов и производств». Составители: Хайдарова, Г.В., Зиятдинов, Р.Р., - Набережные Челны: Издательство Камской государственной инженерно-экономической академии, 2009. - 34 с.

Ил. 15. Библ. 3 назв.

Рецензент: Зубков Е.В., кандидат технических наук, доцент кафедры ПИУ.

Печатается в соответствии с решением научно-методического совета ФАПТ Камской государственной инженерно-экономической академии.

© Хайдарова Г.В., Зиятдинов Р.Р.

© Камская государственная инженерно-экономическая академия

1. Краткие теоретические сведения

1.1 Передаточная функция

Передаточная функция системы (звена) характеризует отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной при нулевых начальных условиях:

W(p) = , (1.1)

где

, (1.2)

(1.3)

Y(p) - изображение по Лапласу от функции ,

U(р) - изображение по Лапласу от функции .

Основным достоинством передаточных функций является возможность достаточно легко и просто описать систему, когда известны передаточные функции подсистем и схемы соединения подсистем друг с другом.

Так, существует три вида типовых соединений подсистем друг с другом последовательное, параллельное и соединение с обратной связью (встречно-параллельное).

Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций звеньев:



Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

Передаточная функция звена, охваченного обратной связью описывается уравнением:

Wэкв(p)=

Пример 1. Рассчитаем передаточные функции для одноконтурной САР (рис.1):

Рис.1

Передаточная функция разомкнутой САР:

W(p) = W0(p) * W1(p) * W2 (p)

Передаточная функция замкнутой САР относительно задающего воздействия (при этом предполагается, что других внешних воздействий нет):

=

1.2 Математическая модель САУ в операторной форме

Введение передаточных функций позволяет решать задачи анализа и синтеза динамических систем операторными методами.

Применительно к функциям времени, передаточная функция системы (1.1) с учетом (1.2), (1.3) дает возможность записать зависимость выходной величины Y(t) от входной величины U(t) в операторной форме:

Y(p)=W(p)*U(p) (2.1)

В общем виде передаточная функция представляет собой отношение полиномов:

W(p) = = (2.2)

С учетом (2.2) уравнение (2.1) можно записать в следующем виде:

Y(p)= *U(p),

или

Q(p)*Y(p)= R(p)*U(P) (2.3)

или в общем виде в операторной форме:

(apap+…+ap+a)*Y(p)=(bp+bp+…+

bp+b)*U(p)

(2.4)

(2.4) - математическая модель в операторной форме.

Пример 2.

Для заданной передаточной функции

W(p)=

получим математическую модель в операторной форме:

(2.5)

(2.5) - уравнение в операторной форме.

1.3 Математическая модель САУ в форме дифференциального уравнения

Переход от математической модели в операторной форме к математической модели САУ в дифференциальной форме осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа.

Основное достоинство преобразования Лапласа - замена операций дифференцирования оригиналов алгебраическими действиями над изображениями. Формально обратное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях заключается в замене алгебраического оператора дифференцирования:

pn = (3.1)

Выходную величину элемента (искомую функцию времени) и ее производные принято записывать в левой части, а входные величины (известные функции времени) и их производные в правой части.

Из уравнения (2.4) с учетом (3.1) получим дифференциальное уравнение:

aY(t)+aY(t)+ …+aY(t)+aY(t)=

bU(t)+bU(t)+…+bU(t)+bU(t) (3.2)

Пример 3.

Для заданной передаточной функции

W(р)=

получим математическую модель в форме дифференциального уравнения:

Применяя к уравнению (2.5) замену (3.1) получим

(3.3)

1.4 Математическая модель в пространстве состояний

Если САУ описана в форме дифференциального уравнения, передаточной функции, то возможен переход к модели в пространстве состояний.

Для линейной стационарной динамической системы, когда параметры не зависят от времени, уравнения в пространстве состояний записываются в следующем виде:

X(t) =АХ(t) + ВU(t)), (4.1)

Y(t)=CХ(t) + DU(t)) (4.2)

где U(t) - входной сигнал системы,

Y(t) - выходной сигнал системы,

Х(t) - вектор переменных состояний.

Рассмотрим формирование уравнений состояния по известному дифференциальному уравнению. При этом следует различать:

Дифференциальное уравнение содержит в правой части только управляющее воздействие U(t):

aY(t)+aY(t)+ …+ aY(t)+ aY(t) = bU(t) (4.3)

В этом случае матрицы уравнений состояний примут вид:

A= B= (4.4)

C= D= (4.5)

Дифференциальное уравнение содержит в правой части управляющее воздействие U(t) и его производные:

aY(t)+aY(t)+…+aY(t)+aY(t) = bU(t)+bU(t)+ … + bU(t)+ bU(t) (4.6)

При этом возможны два варианта:

Степень полинома правой части меньше степени полинома левой части (m<n).

Матрицы уравнений состояния в этом случае примут вид:

A= B=

C= D=

Степени полиномов правой и левой частей равны (m=n).

A= B= (4.7.)

C= D= (4.8.)

где = bi - bn ai

Полученные формы уравнений состояний носят название Фробениусовой строчно-управляемой канонической формы.

Пример 4.

Для заданной передаточной функции W(P)= получим математическую модель в пространстве состояний.

Заданной передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

Выразим U, Y через переменную z

Введём замену переменной

Y= 200 х1 + 50 х2

система передаточный функция математический

Запишем уравнения состояний в матричной форме:

 (4.9)

где

A= B=

C= D=

Полученные уравнения (4.9) - математическая модель в пространстве состояний.

1.5 Устойчивость, управляемость, наблюдаемость системы

Описание динамических систем в пространстве состояний позволяет исследовать устойчивость, управляемость, наблюдаемость систем.

Устойчивость - свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после снятия внешнего возмущения на систему.

Для проверки устойчивости системы можно использовать условие устойчивости(корневой критерий): для устойчивости линейных стационарных систем необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть. При наличии хотя бы одного корня с положительной вещественной частью система неустойчива.

Для передаточной функции (2.2) характеристическим является уравнение знаменателя передаточной функции Q(p)=0:

(apap+ …+ ap+a)=0

Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются критерии Гурвица и Рауса. По критериям Гурвица, Рауса можно судить об устойчивости системы как в замкнутом, так и в разомкнутом состоянии. При использовании этих критериев рассматривают характеристическое уравнение. Критерий Гурвица удобен для исследования устойчивости систем третьего и четвертого порядков, когда известны параметры системы. Критерий Рауса широко используют при определении устойчивости систем высокого порядка, если известны коэффициенты характеристического уравнения.

Широко используют частотный критерий Найквиста, который дает возможность определить устойчивость замкнутой САР по амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутой цепи.

Управляемость - принципиальная возможность изменения состояния системы с помощью входных сигналов.

Наблюдаемость - принципиальная возможность определения состояния системы по наблюдениям за ее выходными сигналами.

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы определяются теоремами Р.Калмана.

Необходимые и достаточные условия управляемости динамической системы заключаются в том, чтобы матрица управляемости R имела ранг равный n:

R=[В, А*В, …, А*В], rangR=n

Необходимые и достаточные условия наблюдаемости динамической системы заключаются в том, чтобы матрица наблюдаемости Q имела ранг равный n:

Q=[Cт, Ат *Ст, … (Ат)*Ст], rangQ=n

Таким образом, управляемость динамической системы определяется свойствами матриц А и В, а наблюдаемость свойствами матриц А и С.

Пример 5.

Оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость системы, описанной передаточной функцией:

W(p)=

Для решения поставленной задачи используем систему MATLAB.

Для оценки устойчивости вычислим корни характеристического уравнения.

Введём коэффициенты полинома:

>> p=[0.001 0.35 10 250]

p = 0.0010 0.3500 10.0000 250.0000

Вычислим корни характеристического уравнения:

>> rt=roots(p)

rt = 1.0e+002 *

-3.2130

-0.1435 + 0.2392i

-0.1435 - 0.2392i

Вещественные части корней характеристического уравнения имеют отрицательные знаки, следовательно, система устойчива.

Для оценки управляемости построим матрицу управляемости R.

R=

В примере 4 были определены матрицы уравнений состояний А, В, С.

Вводим матрицу А:

>> a=[0 1 0;0 0 1;-250/0.001 -10/0.001 -0.35/0.001]

a = 1.0e+005 *

0 0.0000 0

0 0 0.0000

-2.5000 -0.1000 -0.0035

Вводим матрицу В:

>> b=[0;0;1/0.001]

b =

0

0

1000

Находим матрицу управляемости:

>> r=[b a*b a*a*b]

r = 1.0e+008 *

0 0 0.0000

0 0.0000 -0.0035

0.0 -0.0035 1.1250

Определяем ранг:

>> rg=rank(r)

rg = 3

Ранг матрицы управляемости R равен n, следовательно, система управляема.

Для оценки наблюдаемости системы построим матрицу наблюдаемости Q.

Q=[Cт,Ат*Ст, … (Ат)*Ст]

Построим транспонированную матрицу А:

>> at=a'

Вводим матрицу С:

>> c=[200 50 0]

Транспонируем матрицу С:

>> ct=c'

ct =

200

50

0

Вычисляем матрицу наблюдаемости:

>> q=[ct at*ct at*at*ct]

Определяем ранг матрицы наблюдаемости:

>> rg=rank(q)

rg = 3

Ранг матрицы наблюдаемости Q равен n, следовательно, система наблюдаема.

1.6 Граф системы

Графы используются для наглядного изображения зависимостей в САУ. Граф - условное графическое изображение системы уравнений. Граф представляет собой совокупность вершин (узлов) и соединяющих их ветвей (дуг) с обозначением направления передачи сигналов и их пропускной способности. В контрольной работе граф строится по уравнениям, записанным в пространстве состояний.

Пример 6. Построим граф системы по полученной модели в пространстве состояний (4.9).



Вершины графа - переменные х1, х1', х2, х2', х3, х3', входной сигнал U(t), выходной сигнал Y(t). Связи между переменными изображаются в виде дуг с проставленными коэффициентами при переменных.

U(t)

Y(t)

1.7 Построение графиков частотных характеристик, переходной характеристики

При построении графиков АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и переходной характеристики можно использовать систему МatLab.

Пример 7. Построим частотные и переходную характеристики по передаточной функции из ранее рассмотренных примеров.

Введем передаточную функцию: W(p) =

>> w=tf([50 200],[0.001 0.35 10 250])

Графики АЧХ и ФЧХ строятся по известной передаточной функции САУ командой bode.

>> bode(w)

Рис.2. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ

График АФЧХ строится по передаточной функции САУ командой nyquist.

>> nyquist(w)



Рис.3. Годограф АФЧХ

Переходную характеристику можно определить с помощью команды step:

>> step(w)

Рис.4.График переходной характеристики

2. Контрольная работа № 1

Задание

Для заданной структурной схемы САУ:

1. Определить передаточную функцию разомкнутой САУ, замкнутой САУ.

2. Получить математическую модель в операторной форме.

3. Получить математическую модель в форме дифференциального уравнения.

4. Получить математическую модель в пространстве состояний.

5. Построить граф системы.

6. Оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

7. Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ замкнутой САУ.

8. Построить переходную характеристику САУ, оценить быстродействие системы.

Сделать анализ-заключение по результатам исследования

Пример решения контрольной работы № 1.

Структурная схема САУ имеет следующий вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определить передаточную функцию разомкнутой САУ, замкнутой САУ.

Введём обозначения:

Тогда структурная схема будет иметь вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Передаточная функция разомкнутой САУ:

(8.1)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Передаточная функция замкнутой САУ:

 (8.2)

2. Получить математическую модель в операторной форме.

По определению:

Выразим Y(p) через U(p):

0.1р3y(p) + 1.1p2y(p) +py(p) +y(p) =u(p) (8.3)

3. Получить математическую модель в форме дифференциального уравнения.

По математической модели в операторной форме (8.3) получим математическую модель в дифференциальной форме, используя замену (р= ):

(8.4)

4. Получить математическую модель в пространстве состояний.

Модель в пространстве состояний получим, используя дифференциальное уравнение (8.4). Так как в правой части дифференциального уравнения только входное воздействие, то применяем следующую замену переменных:



Перепишем последнее уравнение с учетом введенных переменных:

Таким образом, дифференциальному уравнению соответствуют уравнения в пространстве состояний:

(8.5)

В матричном виде уравнение в пространстве состояний :

(8.6)

+ (0) U(t)

5. Построим граф системы.

По модели в пространстве состояний (8.6.)

+ (0) U(t)

построим граф системы:

а)

б)

6. Оценим устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

Введем коэффициенты характеристического уравнения по передаточной функции (8.2):

Вычислим корни характеристического уравнения:

rt= -10.1086

-0.4457 + 0.8892i

-0.4457 - 0.8892i

Вещественные части корней уравнения имеют отрицательный знак, следовательно, система устойчива.

Для оценки управляемости системы построим матрицу управляемости R:

Вводим матрицу A:

>> a=[0 1 0;0 0 1;-1/0.1 -1/0.1 -1.1/0.1]

Вводим матрицу B:

>> b=[0;0;1]

Находим матрицу управляемости:

>> r=[b a*b a*a*b]

Ранг матрицы управляемости:

>> rg=rank(r)

rg = 3

Ранг матрицы управляемости равен n, следовательно, система управляема.

Для оценки наблюдаемости системы построим матрицу наблюдаемости Q:

Транспонируем матрицу A:

>> at=a'

Вводим матрицу C:

>> c=[1 0 0]

Транспонируем матрицу C:

>> ct=c'

Определяем матрицу наблюдаемости:

>> q=[ct at*ct at*at*ct]

Определяем ранг матрицы наблюдаемости:

>> rg=rank(q)

rg = 3

Ранг матрицы наблюдаемости равен n, следовательно, система наблюдаема.

7. Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, переходной характеристики.

Для построения частотных характеристик используем MatLab.

Введем передаточную функцию (8.2)

>>w=tf([1],[0.1 1.1 1 1])

Для построения АЧХ, ФЧХ используем команду bode:

>> bode(w)

Рис.5. ЛАЧХ, ЛФЧХ

АФЧХ строится командой nyquist:

>> nyquist(w)



Рис. 6. Годограф АФЧХ

Переходную характеристику построим с помощью команды step:

>>step(w)

Рис.7. График переходной характеристики.

По графику переходной характеристики определим время переходного процесса - 8 сек.

Заключение:

Для заданной системы получили математические модели в операторной форме, в форме дифференциального уравнения, в виде передаточной функции, модель в пространстве состояний. Исследуемая система оказалась устойчивой, управляемой, наблюдаемой.

Варианты заданий

Задание №1

Дана структурная схема САУ:

X Задача Y

Рис. 8

Параметры системы:

№ вар-та		[C]		[C]
1	10	0.1	2	0.5	17
2	100	0.15	20	0.5	11
3	50	0.5	20	0.5	6
4	10	0.4	2	0.5	18
5	50	0.1	20	0.5	13
6	100	0.3	2	0.5	8

Задание №2

Дана структурная схема САУ:

X Y

Параметры системы:

№ вар-та	[C]		[C]		[C]
7	0.01	50	0.5	2	0.05	17	0.03
8	0.1	10	5	20	0.5	13	0.01
9	0.02	40	0.1	2	0.1	7	0.06
10	0.05	50	0.4	20	0.04	18	0.03
11	0.12	100	0.5	2	0.05	12	0.011
12	0.03	50	0.1	20	0.5	7	0.006

Задание №3

Дана структурная схема САУ:

X Y

Рис. 10

Параметры системы:

№ вар-та			[C]		[C]
13	57.3	6	0.025	18	0.095	0.03	0.012
14	57	8	0.02	12	0.09	0.011	0.022
15	57.3	5	0.01	7	0.13	0.006	0.02
16	57	7	0.02	18	0.095	0.03	0.012
17	57.3	9	0.03	12	0.09	0.011	0.022
18	57	4	0.01	7	0.13	0.006	0.02

Задание №4

Дана структурная схема САУ:

X Y

Рис. 11

Параметры системы:

№ вар-та		[C]			[C]
19	10	0.2	2	3	0.05
20	100	0.1	20	6	0.5
21	50	0.4	20	8	0.1
22	10	0.5	2	2	0.03
23	50	0.1	20	7	0.05
24	100	0.3	2	9	0.4

3. Контрольная работа № 2

Задание:

Для заданной схемы электрического корректирующего устройства:

1. Составить поэлементное описание устройства.

2. Получить вход-выходное описание.

3. Получить передаточную функцию устройства.

4. Получить математическую модель в пространстве состояний.

5. Оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость системы.

6. Построить граф системы.

7. Построить переходную, частотные характеристики системы.

8. Сделать заключение.

Пример выполнения контрольной работы № 2.

1. Получим поэлементное описание, которое включает компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями для элементов R,C,L являются следующие уравнения:

r (1)

(2)

(3)

Составим топологические уравнения:

Так как все элементы соединены последовательно, можно записать

ir = i c= il (4)

Напряжение на входе U2

(5)

Напряжение на выходе U2

(6)

2. Получим вход-выходное описание - математическую модель, связывающую входной сигнал U1 и выходной сигнал U2 .

Перепишем уравнение (5) c учетом уравнения (1)

Продифференцируем данное уравнение по t, получим:

(7)

заменим с учетом уравнения (2) на

заменим с учетом уравнений (4), (3) и (6)

(8)

Тогда уравнение 7 перепишем в виде:

Для того чтобы избавиться от тока ic продифференцируем уравнение еще раз:

(9)

с учетом уравнения (8) уравнение (9) примет вид:

- вход-выходное описание в форме дифференциального уравнения.

В операторной форме:

3. Получим передаточную функцию используя уравнение в операторной форме.

 - передаточная функция ЭКУ (10)

4. Получим математическую модель в пространстве состояний.

Введем вектор переменных состояний:

Получим выражения для , , зависящие от х1, х2 и входного сигнала U(t).

Для этого используем формулу (5) для напряжений по контуру:

Выразим Ur, Uc, Ul через переменные состояния х1 , х2

х2 R + x1 + L = U1

Выразим :

=

Уравнение (2) с учетом переменных состояния примет вид:

Из уравнений (5) и (6) с учетом переменных состояний получим уравнение выхода:

В матричном виде модель в пространстве состояний примет вид:

- уравнение динамики (11)

- уравнение выхода (12)

5.Оценим устойчивость, управляемость, наблюдаемость ЭКУ.

Выберем значения R=10 кОм, L=250 мГн, C=1 мкФ и подставим их в выражение (10) для передаточной функции:

(13)

Для расчетов используем MatLab.

Введем полином знаменателя:

» p=[250 10 1]

p =

250 10 1

Для оценки устойчивости вычислим корни характеристического уравнения:

» rt=roots(p)

rt =

-0.0200 + 0.0600i

-0.0200 - 0.0600i

Вещественные части корней характеристического уравнения имеют отрицательные знаки, следовательно, система устойчива.

Для оценки управляемости используем модель в пространстве состояний. Построим матрицу управляемости R:

R=[B A*B]

Вводим матрицу А

» a=[0 1/1;-1/250 -1/(250*10)]

Вводим матрицу В

» b=[0;1/250]

Вычисляем матрицу R:

» r=[b a*b ]

Определяем ранг матрицы:

» rg=rank(r)

rg = 2

Ранг матрицы R равен n, следовательно система управляема.

Для оценки наблюдаемости системы, построим матрицу наблюдаемости Q:

Q=[CT AT* CT]

Построим транспонированную матрицу А:

» at=a'

Вводим матрицу С:

» c=[-1 -10]

Построим транспонированную матрицу С:

» ct=c'

Вычисляем матрицу наблюдаемости Q:

» q=[ct at*ct ]

Определяем ранг матрицы:

» rg=rank(q)

rg = 2

Ранг матрицы Q равен n, следовательно, система наблюдаема.

6. Построим граф системы:

-10

-1

Рис. 12. Граф системы

Граф системы построим по полученной модели в пространстве состояний (11), (12):

7. Построим графики АЧХ, ФЧХ, годограф АФЧХ, переходную характеристику.

Введем передаточную функцию (13):

» w=tf([250 0 0],[250 10 1])

Transfer function:

250 s^2

------------------

250 s^2 + 10 s + 1

Графики АЧХ и ФЧХ строятся по введенной передаточной функции командой bode.

>> bode(w)

Рис. 13. Частотные характеристики ЛФЧХ и ЛАЧХ

График АФЧХ строится по передаточной функции командой nyquist.

>> nyquist(w)

Рис. 14. АФЧХ

Построим переходную характеристику ЭКУ с помощью команды step:

» step(w)

Рис. 15. Переходная характеристика h(t)

По переходной характеристике определим время переходного процесса - 135с.

8. Заключение: таким образом, исследуемая система оказалась устойчивой, управляемой, наблюдаемой, время переходного процесса составляет 135 с.

Варианты заданий:

№ вари-анта	Схема	№ вари-анта	Схема
1		7
2		8
3		9
4		10
5		11
6		12
13		18
14		19
15		20
16		21
17		22

Литература

1. Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем. - Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2003. - 152с.

2. Асанов А.З. Цифровое моделирование и анализ динамических систем. Лабораторный практикум. - Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2004. - 105с.

3. Ахмадеев И.А. Теория автоматического управления. Использование системы MATLAB для исследования систем автоматического управления. Лабораторный практикум.- Набережные Челны: Изд-во КамПИ, 2002. - 46с.

ЛР № 020342 от 7.02.97г.

ЛР № 0137 от 2.10.98г.

Подписано в печать

Формат 60х84/16 Бумага офсетная Печать ризографическая

Уч.-изд.л. 2,0 Усл.-печ.л. 2,0 Тираж 100 экз.

Заказ 1230

Издательско-полиграфический центр

Камской государственной инженерно-экономической академии

423810, г. Набережные Челны, Новый город, проспект Мира, 13

Размещено на Allbest.ru