Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели

Пивень Валерий Васильевич,

доктор технических наук, профессор,

Уманская Ольга Леонидовна,

доцент Курганского Государственного Университета.

Метод моделирования широко используется при исследовании динамических свойств элементов конструкций в различных областях современной техники.

В задачи динамики входит определение собственных частот и форм колебаний, при натурных испытаниях это возможно лишь на заключительном этапе разработки объекта, когда внесение изменений в конструкцию затруднительно.

Применение методов физического моделирования позволяет оценивать динамические свойства конструкции экспериментальным путем на механически подобной модели, а затем учитывать эти результаты в процессе проектирования [2].

Рассмотрим уменьшенную, механически подобную модель вибрационной сепарирующей машины (с габаритными размерами, приведенными на рис. 1) и возможность перехода от параметров модели к соответствующим параметрам конструкции натурального образца.

Для определения динамических параметров модели, в данном случае собственных колебаний несущей рамной конструкции применим метод анализа размерностей [1]. Данный метод устанавливает связь между физическими величинами, основанную на рассмотрении их размерностей. Однозначное состояние системы определяется минимально возможным количеством размерных и безразмерных переменных и постоянных величин или определяющими параметрами. Основные параметры физического явления включают в себя как определяющие параметры, так и искомые величины.

моделирование механический техника конструкция

Рис. 1. Геометрические параметры модели.

Для записи матрицы размерности (см. табл. 1) расположим основные параметры в следующей последовательности:

1) искомая функция - собственные частоты колебаний ;

2) регулируемые определяющие параметры: длина рамы L, высота рамы h, ширина рамы b, площадь поперечного сечения элементов рамной конструкции F, изгибная жесткость элементов рамной конструкции EJ, плотность материала , начальное отклонение концевого сечения в направлении оси У на величину , текущие значения прогибов ? в момент времени t.

Таблица 1. Матрица размерностей.

Где G - размерность силы; Т- размерность времени.

При приведении данной матрицы к каноническому виду по известной методике [1], имеем матрицу представленную в таблице 2.

Таблица 2. Матрица размерностей после приведения к каноническому виду.

На основании представленных данных имеем ранг матрицы размерностей v = 5. При числе основных параметров n=10 получаем число безразмерных комплексов k = n - v= 10 - 5 = 5.

Общее выражение для безразмерного отношения представим в виде степенного одночлена:

П = ^X₁ L^X₂ (E J)^X₃ F^X₄ ^X₅ ^X₆ t ^X₇ h ^X₈ ?^X₉ b ^X₁₀ (1)

Пользуясь матрицей размерностей (табл. 1) определим размерность произведения:

DimП = (T^-1) ^X₁ (L_y) ^X₂ (L_x³ L_z^-1 G)^X₃ (L_x L _y)^X₄ (L _y)^X₅ (L_x -¹ L _y ^-1 L_z^-2 G T² )^X₆ (T)^X₇ (L_z )^X₈ (L_z )^X₉ (L_x) ^X₁₀. (2)

C учетом свойств показательной функции:

DimП = L_х ^(3X₃ ^{+ Х}₄ ^{- Х}₆ ^{+ Х}₁₀⁾ L_y ^(Х₂ ^{+ X}₄ ^{+ Х}₅ ^{- Х}₆⁾ L_z^{(- Х}₃ ^{- 2Х}₆ ^{+ Х}₈ ^{+ Х}₉⁾ G^(Х₃^+Х₆⁾ Т^(Х₇ ^{+ 2Х}₆ ^{- Х}₁⁾. (3)

По условию безразмерности данного произведения показатели степени должны быть равны 0.

3х₃ + х₄ - х₆ + х₁₀ = 0

х₂ + х₄ + х₅ - х₆ = 0

- х₃ - 2х₆ + х₈ + х₉ = 0 (4)

х₃ + х₆ = 0

-х₁ +2х₆ + х₇= 0

Система имеет 5 уравнений с 10 неизвестными. Считая значения х₁, х₂, х₃, х₈, х₁₀ произвольными и выражая через них показатели степени х₄, х₅, х₆, х₇, х₉ найдем

х₄ = - х₁₀ - 4х₃

х₅ = х₁₀ + 3х₃ - х₂

х₇ = х₁ + 2х₃ (5)

х₉ = - х₃ - х₈

х₆ = х₃

Для величин х₁, х₂, х₃, х₈, х₁₀ могут быть назначены любые значения.

Для первого решения независимых безразмерных комбинаций П₁ выбираем х₁= 1, х₂ = х₃ = х₈ = х₁₀ = 0. Тогда согласно системе (5) х₄ = 0, х₅= 0, х₇ = 1, х₉ = 0, х₆ = 0. Подставляя найденные значения в выражение (1) получаем П₁= t.

Для значения второго безразмерного комплекса П₂ принимаем х₂ = 1, х₁= х₃ = х₈ = х₁₀ = 0. Из системы (5) имеем х₄ = 0, х₅ = -1, х₇ = 0, х₉ = 0, х₆ = 0. Тогда П₂ = L /.

Для третьего безразмерного комплекса П₃: х₃ = 1, х₁= х₂ = х₈ = х₁₀ = 0, х₄ = - 4, х₅ = 3, х₇ = 2, х₉ = - 1, х₆ = - 1. П₃ = (ЕJ · ³ · t²) / (F · · ?).

Для четвертого безразмерного комплекса П₄: х₈ = 1, х₁ = х₂ = х₃ = х₁₀ = 0, х₄ = 0, х₅ = 0, х₇ = 0, х₉ = - 1, х₆ = 0. П₄ = h / ?.

Для пятого безразмерного комплекса П₅: х₁₀ = 1, х₁ = х₂ = х₃ = х₈ = 0, х₄ = - 1, х₅ = 1, х₇ = 0, х₉ = 0, х₆ = 0. П₅= b / F.

Результаты вычислений представим в виде матрицы решений (см. табл. 3).

Таблица 3. Матрица решений.

В результате тождественных преобразований безразмерных комплексов получим следующие критерии подобия:

П₁^*= П₂³ · П₃= (ЕJ· L³· t²) / (F⁴ · · ?); П₂^* = П₁^*· П₄^-1 = (ЕJ· L³· t²)/(F⁴ · · h)

П₃^** = П₂^*-1 · П₁² · П₅⁴ = (h · b ⁴ · · ²) / (ЕJ · L³) = idem.

Соответствие между натуральным образцом и моделью будет определяться уравнением

(h₁ · b₁ ⁴ · · ₁²) / (ЕJ₁ · L₁³) = (h₂ · b₂ ⁴ · · ₂²) / (ЕJ₂ · L₂ ³). (6)

Пересчет собственных частот модели на натуральный образец производится по формуле

₂ = ₁ · (b₁/ b₂)² · ((J₂ · L₂ ³ · h₁) / (J₁ · L₁ ³ · h₂))^1/2. (7)

Таким образом, выражение (7) позволяет определить собственные частоты натурального образца разрабатываемой конструкции через предварительно полученные экспериментальным путем частоты модели с учетом габаритных размеров и жесткостей элементов несущей конструкции.

Литература

1. Шаповалов Л.А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. - М.: Машиностроение, 1990. - 288 с.

2. Дидух Б.И. Практическое применение методов теории размерностей и подобия в инженерно-строительных расчетах / Б.И. Дидух, И.Б.Каспэ - М.: Стройиздат, 1975. - 49 с.

Размещено на Allbest.ru