Розроблення математичних моделей гідропередачі з довгими трубопроводами

В.С.Лисенко, канд.техн.наук; Т.Г.Таурит, канд. техн. наук

Гідропередачі відносять до виконавчих пристроїв з об'ємним управлінням гідравлічного привода, при дослідженні яких використовуються загальні методи теорії керування. При цьому гідропередачі з регульованим насосом знайшли місце у системах, які працюють у режимі постійного моменту на валу при постійному навантаженні, наприклад, у гідроприводах металорізальних верстатів. Гідропередачі з регульованим мотором застосовуються у системах постійної потужності при постійному тиску у них, наприклад, у гідросистемах різноманітних підйомних кранів. Відмінною рисою таких механізмів є наявність довгих зв'язуючих трубопроводів між керуючими і виконавчими органами[1].

Оцінка динамічних характеристик таких систем, як правило, виконується на основі математичного опису окремих елементів, рівнянь переміщення та течії робочої рідини. Слід підкреслити, що у багатьох гідропередачах використовуються однотипні за своїм функціональним призначенням як гідроапарати силового виконавчого контуру, так і регулювальні пристрої [2].

Існуючі до теперішнього часу підходи, які знаходять місце при дослідженні таких систем та механізмів, у багатьох випадках торкаються розгляду конкретних конструкцій спеціального призначення [3,4]. Тому є інтерес розгляду універсальної схеми такого гідромеханізму з метою складання його математичної моделі у загальному вигляді з урахуванням довгих трубопроводів та діючих навантажень.

Метою цього дослідження є спроба найбільш зручного подання структурних схем гідропередачі з довгими трубопроводами для можливості найбільш достовірної і якісної оцінки його динамічних характеристик.

У відомих працях, наприклад [2,4], аналітичне дослідження проводилось при накладанні великого числа обмежень. Найбільш проблематичним у дослідженнях є оцінка деформації рідини і трубопроводів у гідролініях високого тиску, а також реальних значень витоків робочої рідини у елементах гідромеханізму. У разі досліджень цими параметрами частково зневажають, або замінюють їх узагальненими коефіцієнтами при складанні структурних схем. Тому являє інтерес дослідження динаміки універсальної схеми гідромеханізму з подальшим доповненням корегуючими елементами та синтезу структури найбільш раціонального гідромеханізму. Для визначення динамічних характеристик таких гідропередач їх зручно подати у вигляді структурних схем, які можуть бути алгоритмами для розрахунку.

Складання принципової та функціональної схем гідропередачі

На рис.1 подані принципова (рис.1а) та функціональна (рис.1б) схеми гідропередачі з регульованими насосом Н1 та гідромотором ГМ, де позначено ПД- приводний двигун; КЗ1, КЗ2, КЗ3, КЗ4 - запобіжні клапани; КП- переливний клапан; Р- гідро розподільник; Н2- підживлювальний насос; , - параметри регулювання насоса та мотора; , - частота обертання та обертальний момент опору на валу гідромотора. До механізму підведено джерело енергії Е (рис.1б).

У випадку порівняно довгих трубопроводів в гідропередачі часто встановлюють два запобіжних клапана, а саме на гідромоторі встановлюють швидкодіючі запобіжні клапани КЗ3 і КЗ4 прямої дії, а на насосі - двокаскадні високоточні клапани КЗ1 і КЗ2, які мають меншу смугу пропускання частоти.

Апроксимуємо статичну характеристику (рис.2) приводного двигуна прямою

, (1)

де - частота обертання та обертальний момент на валу насоса Н1;, - коефіцієнт ковзання приводного двигуна та його частота обертання у режимі холостого ходу.

Будемо вважати, що перехідні процеси у гідропередачі проходять при незначній зміні температури робочої рідини, завдяки чому зміною її в'язкості можна зневажати, а клапани К31 та К32 можуть відкриватися тільки при досить тривалому перевантаженні. Клапани КЗ3 і КЗ4 встановлені безпосередньо на вході гідромотора, де тиск відповідно складає величину і, а підживлення замкненого контуру гідропередачі підведено безпосередньо до входу насоса, де тиск незмінний і дорівнює тиску, на який настроєний переливний клапан КП.

Втратами тиску у гідролініях підживлення та запобіжних клапанів будемо також зневажати у зв'язку з їх невеликим значенням.

Рисунок 1 - Принципова (а) та функціональна (б) схеми гідропередачі

Рисунок 2 - Статична характеристика приводного двигуна

Математична модель гідропередачі

Обертальний момент на валу насоса Н1 [2]

,(2)

де,- коефіцієнти контактного та в'язкого тертя насоса; - його робочий об'єм; - тиск на виході та на вході насоса Н1 та гідромоторі ГМ; - момент холостого ходу насоса.

З виразів (1) і (2) знайдемо частоту обертання насоса H1:

(3)

У зв'язку з тим, що витоки у насосі і гідромоторі проходять через зазори, довжина яких на декілька порядків більша від їх ширини, вважаємо режими течії у них ламінарними, завдяки чому витоки пропорційні перепаду тиску. Тоді фактична витрата насоса на його виході

(4)

де- коефіцієнт ковзання (витоків) насоса; ;

; .

Нехай початкові умови перехідного процесу, що проходить у гідропередачі, не нульові, тобто у момент часу, , , , , ,.

Оскільки вираз, що входить до рівняння (4), нелінійний(пропорційна), проведемо його лінеаризацію відносно моменту часу, розклавши його у ряд Тейлора для функції двох змінних

, (5)

;

Коефіцієнти

;.

Тоді лінеаризоване рівняння для визначення витрати насоса

. (6)

Приведемо рівняння (6) до нових змінних, для яких початкові умови нульові, а саме:

, ,.

Тоді у момент часу рівняння (6) набуває вигляду

, (7)

а віднявши від рівняння динаміки (6) рівняння (7), одержимо його у нових змінних

. (8)

Аналогічно до виразу (4) фактична витрата на виході гідромотора

,(9)

Де

;

- тиск на вході та виході гідромотора ; - робочий об'єм та коефіцієнт витоків (ковзання) гідромотора.

У момент часу значення

, , , , , .

Провівши лінеаризацію виразу і ввівши нові змінні

, , , , ,

аналогічно до (8) одержимо прирощення витрати гідромотора:

, (10)

де

.

Співвідношення між тисками і та і у гідролініях високого та низького тисків визначимо з рівняння Бернулі для неустановленого потоку рідини і перерізів трубопроводів на вході і виході насоса та гідромотора:

; (11)

, (12)

де, - похідні витрати насоса та мотора за часом; ,- коефіцієнти втрат тиску при ламінарному режимі течії рідини;, - коефіцієнти втрат тиску при турбулентному режимі течії рідини та у місцевих опорах трубопроводів;, - коефіцієнти, що враховують інерційну складову втрат тиску при невстановленому потоку рідини. Коефіцієнти, , , , , можуть бути визначені за [5].

Провівши лінеаризацію нелінійностей

і

відносно часу та перейшовши до нових змінних (див. (8) і (10)), знайдемо співвідношення між прирощеннями тиску у вигляді

; (13)

,(14)

;.

У режимі перехідного процесу може відкритися, у першу чергу, один з клапанів прямої дії , який має високе значення смуги пропускання частот. Враховуючи, що витрати через цей клапан, де, не можуть бути більшими, ніж фактична витрата насоса, ця залежність є суттєво нелінійною функцією. Статичну характеристику (рис.3) таких клапанів можна апроксимувати залежністю, яка вміщує зону нечуттєвості, ділянки лінійності та насичення, що має вираз

(15)

де - перепад тисків, на який настроєний запобіжний клапан; - коефіцієнт провідності клапана; - фактична витрата насоса Н1 (рис.1) при перепаді тисків і заданому параметрі регулювання.

Рисунок 3 - Статична характеристика клапанів

Витрата насоса йде на обертання гідромотора з урахуванням витоків у ньому (витрата), деформацію рідини і трубопроводів у гідролінії високого тиску та витоку через запобіжний клапан К33 чи К34 . Тоді умова нерозривності потоку рідини гідропередачі виражається залежністю

, (16)

де- коефіцієнт деформації робочої рідини та трубопроводів [2],

,

де- сумарний об'єм рідини, що знаходиться у гідролінії високого тиску, насосі та гідромоторі;, - модулі пружності рідини та матеріалу трубопроводів;, , - внутрішній діаметр, довжина та товщина труби трубопроводів; - коефіцієнт Пуасона матеріалу трубопроводів. визначається (15),. Оскільки у момент часу клапан закритий, залежність (16) у нових змінних буде

. (17)

Згідно з принципом Д'Аламбера рівняння моментів на валу гідромотора

, (18)

;

- момент інерції всіх рухомих частин, зведених до вала гідромотора, враховуючи його момент інерції; - коефіцієнти контактного та в'язкого тертя гідромотора; - момент холостого ходу гідромотора, враховуючи постійно діючий момент, наприклад, від неурівноважених мас, зведений до вала гідромотора.

Провівши лінеаризацію нелінейності і перейшовши до нових змінних, одержимо рівняння діючих на валу гідромотора моментів

, (19)

::;.

Таким чином, математична модель гідропередачі з довгими трубопроводами може бути описана лінеаризованою системою рівнянь (8), (10), (11), (13), (14), (19) з урахуванням суттєвої нелінійності (15). Провівши їх перетворення Лапласа і звівши їх до нормальної форми запису, побудуємо структурну схему гідропередачі (рис.4), що є алгоритмом розрахунку для визначення її динамічних характеристик, і одержимо таку систему рівнянь:

, (20)

де- оператор Лапласа;

.

Структурні схеми гідропередачі на основі лінійної та нелінійної моделі

Структурна схема (рис.4) і система лінеаризованих рівнянь (20) дозволяє, користуючись методикою теорії автоматичного управління, визначити якість гідропередачі з довгими трубопроводами за перехідними або частотними характеристиками відносно керуючих сигналів, чи збурювального сигналу.

Нелінійна математична модель гідропередачі, одержана із співвідношень (4), (9), (11), (12), (16), (18), подана на рис.5 і описується залежностями:

, (21)

де- символ похідної, а квадратами на структурній схемі позначені показані у них математичні операції.