До питання моделювання роботи шпиндельного вузла при високошвидкісному торцевому фрезеруванні

Житомирський державний технологічний університет

До питання моделювання роботи шпиндельного вузла при високошвидкісному торцевому фрезеруванні

Автори:

Г. М. Виговський, канд. техн. наук;

О. А. Громовий, канд. техн. наук;

М. Л. Білявський

Були розроблені діаграми стійкості високошвидкісного фрезерування. Вони пов'язані з процесом, зворотним розгалуженню, тобто період подвійних вібрацій виникає окремо від звичайних самоіснуючих вібрацій, які є типовими для токарних робіт або низькошвидкісного фрезерування зі складними активними зубцями. Було запропоновано новий критерій стійкості та застосовано для фрезерувальної моделі збудження з параметрами затримки. Було встановлено математичну залежність стійкості процесу високошвидкісного чистового фрезерування. Було вивчено лінійно-квадратичний метод контролю магнетичних опор високошвидкісного шпинделя. Було встановлено математичну залежність, згідно з якою встановлюється балансування високошвидкісного шпинделя.

У науковій літературі [1-14] приділяється значна увага питанням, пов'язаним з моделюванням процесу високошвидкісного торцевого фрезерування, а саме встановлена базова 3-D модель дослідження динаміки процесу, розглянутий аналітичний метод визначення стабільності процесу високошвидкісного фрезерування за критерієм точності обробленої поверхні, проведено теоретичні дослідження вібрацій технологічної системи.

Одним з найбільш відповідальних вузлів фрезерних верстатів є шпиндельний вузол, до якого ставляться жорсткі вимоги за швидкохідністю, точністю і навантажувальною здатністю, що впливають на вихідні показники якості обробленої поверхні деталей.

Авторами [12] зазначено, що як опори високошвидкісного прецесійного шпинделя можуть використовуватися комбіновані опори, до складу яких входять активні магнітні підшипники (АМП).

Основною перевагою АМП є відсутність механічного контакту та можливість використання їх при високошвидкісному різанні [13].

Разом з тим аналіз літературних джерел показує, що не отримали достатнього висвітлення питання, пов`язані з побудовою математичних моделей управління АМП шпинделя високошвидкісного верстата для визначення зон мінімальних вібрацій технологічної системи. Доцільним було б також більш широке використання полікристалічних надтвердих матеріалів (ПНТМ) при високошвидкісному торцевому фрезеруванні плоских поверхонь деталей машин.

З огляду на вищенаведене метою статті стало встановлення математичних залежностей, які б визначали зони мінімальних вібрацій з урахуванням конструктивних особливостей торцевих фрез, оснащених ПНТМ, геометрії різальних ножів та автоматичного балансування шпинделя активними магнітними підшипниками.

Розглянемо диференціальне рівняння руху ножів торцевої фрези відносно заготовки [8]:

де - положення краю леза ножа торцевої фрези в момент часу ; - власна частота коливання торцевої фрези; - відносний коефіцієнт затухання; - маса торцевої фрези; - сила різання відносно осі Х.

Проте рівняння (1) не враховує конструктивних особливостей торцевих фрез, геометрії і матеріалу різальних ножів, матеріалу оброблюваної заготовки та ін. Авторами статті пропонується застосувати функціональний параметр K, який характеризує вищенаведені параметри.

Таким чином, рівняння (1) матиме такий вигляд:

де - густина оброблюваного матеріалу, - функціональний параметр , де - діаметр торцевої фрези, - ексцентриситет фрези відносно заготовки, - геометрія ножів, та - відповідно густина матеріалу різальної частини та кількість ножів; і - радіус розміщення і висота вильоту ножів фрези.

Складова сили різання відносно осі X при торцевому фрезеруванні визначається так [1]:

де - ширина стружки; - період холостого пробігу ножів торцевої фрези; - періодична функція, що характеризує залежність між глибиною різання і моментом часу .

Підставляючи (3) в (2), отримаємо:

Аналіз залежності (4) показує, що для кожної технологічної системи необхідно окремо аналізувати виникнення зон вібрацій.

Залежність (4) можна використовувати для встановлення зон мінімальних вібрацій при варіюванні складових, які входять у вище визначений функціональний параметр .

Проте номограми стабільності динаміки процесу високошвидкісного торцевого фрезерування можна корегувати дією активних магнітних підшипників, створюючи автоматичне балансування прецесійного шпинделя високошвидкісного верстата.

Одним з ефективних оптимальних методів управління АМП є лінійно - квадратичний, або ЛК - управління (лінійний закон управління при квадратичному функціоналі якості). Нехай дана лінійна система управління [10-13]:

де - ( - вимірний вектор стану); - ( - вимірний вектор вихідної змінної); - (- вимірний вектор керуючої змінної); , , - постійні матриці. Необхідно знайти управління , яке переводить систему (5) з довільного початкового стану в нульовий стан при мінімальному значенні інтегрального квадратичного функціонала:

де - позитивний ваговий скаляр. Відомо [13], що оптимальний закон керування має вигляд:

де - ( матриця коефіцієнтів посилення зворотного зв`язку); - ( симетрична матриця), що є єдиним позитивним рішенням алгебраїчного матричного рівняння Рікатті:

Основний недолік запропонованого методу полягає в необхідності розв`язання рівняння Рікатті (8), що складається з нелінійних алгебраїчних рівнянь.

Розглянемо прецесійний шпиндель високошвидкісного фрезерного верстата, що має масу , екваторіальний та осьовий моменти інерції. Прецесійний шпиндель обертається з постійною кутовою швидкістю в АМП. Положення пов`язаної зі шпинделем системи відносно нерухомої системи осей визначається координатами центра мас та двома кутами повороту та відносно осей та відповідно. Вектор має вихідну змінну системи. Активні магнітні підшипники мають 5 керованих струмів , які генерують узагальнені керуючі магнітні сили за законом

де та - відповідно матриці позиційних та струмових жорсткостей.

Рух шпинделя визначається залежністю [14]:

Рівняння (10) описують поступальні рухи шпинделя, а рівняння (11) поворотні рухи шпинделя, які пов`язані з гіроскопічними складовими. Застосовуючи до кожної з трьох систем з одним ступенем вільності процедуру ЛК-оптимізації (5)-(8), можна встановити, що оптимальні керуючі сили повинні формуватися за законом

де - значення власної частоти поступальних рухів шпинделя в АМП без затухання; - оптимальний коефіцієнт затухання.

Застосовуючи до рівняння (12) процедуру оптимізації (5)-(8), можна впевнитися, що матричне рівняння Рікатті (9), що включає 10 нелінійних алгебраїчних рівнянь, має аналітичний розв'язок [13]. У результаті отримаємо, що оптимальні керуючі моменти повинні формуватися за законом:

де - відповідно оптимальні коефіцієнти жорсткості, демпфування та радіальної корекції поворотних рухів шпинделя, що визначаються:

де - гіроскопічний параметр; де - значення власної частоти шпинделя, що не рухається. Встановлені залежності (11-14) дозволяють виконати автоматичне балансування високошвидкісного шпинделя для підвищення якості обробки плоских поверхонь при побудові математичного апарата.

Висновки

У роботі встановлені математичні залежності, які в подальшому дають можливість визначити зони мінімальних вібрацій технологічної системи з урахуванням конструктивних особливостей торцевих фрез, оснащених ПНТМ, геометрії різальних ножів та автоматичного балансування шпинделя активними магнітними підшипниками.

Досліджено метод лінійно-квадратичного управління активними магнітними підшипниками прецесійного шпинделя високошвидкісного фрезерного верстата.

Встановлені математичні залежності, за якими можна визначити необхідні керуючі сили, керуючі моменти, за якими встановлюється автобалансування прецесійного шпинделя верстата.

У подальших дослідженнях буде проведено експериментальну перевірку отриманих теоретичних залежностей з метою встановлення вібростійкої роботи високошвидкісних фрезерних верстатів.

Cписок літератури

1. Balachandran, B., Zhao, M.X., 2000, A Mechanics Based Model for Study of Dynamics of Milling Operations, Meccanica, accepted.

2. Budak, E., Altintas Y., 1998, Analytical Predection of Chatter Stability in Milling - Part I: General Formulation, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 120, pp. 22-30.

3. Budak, E., Altintas Y., 1998, Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling - Part II: Application of the General Formulation to Common Milling Systems, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control 120, pp. 31-36.

4. Davies, M.A., Pratt, J.R., Dutterer, B., Burns, T.J., 2000, Interrupted Machiening - A Doubling in the Number of Stability Lobes, The Journal of Manufacturing Science and Engineering, submitted.

5. Fargue, D., 1973, Reducibilite des systemes hereditaires a des systemes dinamiques, C.R. Acad. Sci. Paris 277B, pp. 471-473.

6. Farkas, M., 1994, Periodic Motions, Springer-Verlag, New York.

7. Hale, J.K., Lunel, S.M.V., 1993, Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York.

8. Minis, I., Yanushevsky, R., 1993, A new theoretical approach for the prediction of machine tool chatter in milling, Journal of Engineering Industry, 115, pp. 1-8.

9. Moon, F.C., 1998, Dynamics and Chaos in Manufacturing Processes, Wiley, New York.

10. Seagalman, D.J., Butcher E.A., 2000, Suppression of Regeneratve Chatter via Impedance Modulation, Journal of Vibration and Controll, 6, pp. 243-256.

11. Shi, H.M., Tobias, S.A., 1984, Theory of finite amplitude machine tool instability, International Journal of Machine Tool Design and Research, 24, pp. 45-69.

12. Stepan, G., 1989, Retarded dynamical systems, Longman, Harlow.

13. Zhuravlyov Y.N., Afanasiev M.V., Lantto E. Inverse Problems of Magnetic Bearing Dynamics. Proc. of the 4 th Internat. Symposium on Magnetic Bearings (Zurich,Switzerland), Hochschulverlag AG and der ETH Zurich, 1994, p.p.79-84.

14. Г.М.Виговський, О.А. Громовий, М.Л.Білявський. Гіроскопічний ефект при високошвидкісному торцевому фрезеруванні // Вісник ЖДТУ. Технічні науки. - 2004. - № 4 (31). - Том 1. - С. 24 - 28.