История геометрии
Накопление геометрических знаний опытным методом в Вавилоне, Китае, Египте и Греции. Развитие геометрических знаний в трудах греческих ученых. Эра великих геометров, творения Архимеда и Евклида. Геометрия новейших веков. Классическая геометрия XIX века.
| Рубрика | История и исторические личности |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.01.2011 |
| Размер файла | 56,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
История геометрии
Содержание
- Введение
- 1. Геометрия на Востоке
- 2. Греческая геометрия
- 3. Геометрия новейших веков
- 4. Классическая геометрия XIX века
- 5. Неевклидовая геометрия
- 6. Геометрия XX века
- 7. Геометрия Эйнштейна - Минковского
- Заключение
- Литература
Введение
Геометрия появилась совсем давно, это одна из самых старых наук. Геометрия (греческое, от geо - земля и metrein - измерять) - наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, либо, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Но современная геометрия во многих собственных дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин обширно употребляется современными геометрами, оно. Уже не может служить первичным понятием, на котором лежит определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.
Важную роль игрались и эстетические потребности людей: желание украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни. Все это способствовало формированию и скоплению геометрических сведений. За несколько веков до нашей эпохи в Вавилоне, Китае, Египте и Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным методом, но они не были еще систематизированы и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов, к примеру, правил нахождения площадей фигур, размеров тел, построение прямых углов и т.д. Не было еще доказательств этих правил, и их изложение не представляло собой научной теории.
1. Геометрия на Востоке
Родиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет. Греческие писатели единогласно сходятся па том, что геометрия появилась в Египте и оттуда перенесена в Элладу.
Первые шаги культуры всюду, где она возникала, в Китае, в Индии, в Ассирии, в Египте, были соединены с необходимостью измерять расстояния и участки на земле, объемы и веса материалов, товаров, продуктов; первые значимые сооружения требовали нивелирования, выдержанной вертикали, знакомства с планом и перспективой. Необходимость измерять промежутки времени требовала систематического наблюдения над движением светил, а следовательно, измерения углов. Всё это было неосуществимо без знакомства с элементами геометрии, и во всех названных странах основные геометрические представления появлялись частью независимо друг от друга, частью - в порядке преемственной передачи. Но чётких сведений о познаниях египтян в области геометрии мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус, написанный при фараоне Payee ученым писарем его Ахмесом (Ahmes) в период меж 2000 и 1700 г. До нашей эпохи. Это - управление, содержащее различного рода математические задачки и их решения; существенное большая часть задач относится к арифметике, меньшая часть - к геометрии. Из последних практически все соединены с измерением площадей прямолинейных фигур и круга, причем Ахмес воспринимает площадь равнобедренного треугольника равной произведению основания на половину боковой стороны, а площадь круга - равной площади квадрата, сторона которого меньше диаметра на 1/3 его часть (это дает л=3,160.); площадь равнобочной трапеции он воспринимает равной произведению полусуммы параллельных сторон на боковую сторону. Как видно из нескольких остальных задач Ахмеса, египтяне в эту пору знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Как они пришли ко всем этим правилам, знали ли более просвещенные жрецы - хранители египетской науки, что их данные являются только приближенными, об этом мы не имеем никаких сведений. Столь же не достаточно знаем мы о том, что прибавило к этим познаниям египтян следующее тысячелетие; сколько-нибудь значимых фуроров они во всяком случае не сделали. Тяжело сказать вполне точно, что из этих сведений египтяне открыли сами и что они заимствовали от вавилонян и индусов. Непременно только то, что геометрические сведения вавилонян были столь же отрывочны и столь же скудны. Им принадлежит деление окружности на 360°; они имели сведения о параллельных линиях и точно воспроизводили прямые углы; всё это было им нужно при астрономических наблюдениях, которые, по-видимому, главным образом и привели к их геометрическим знаниям. Вавилоняне знали, что сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу. Характерным для этого первого, в известном смысле доисторического, периода геометрии являются две стороны дела: во-первых, установление более элементарного геометрического материала, прямо нужного в практической работе, а во-вторых, заимствование этого материала из природы методом непосредственного наблюдения ("чувственного восприятия", по словам Евдема Родосского). более характерное выражение этого непосредственного апеллирования к интуиции как единственному удостоверению правильности высказанной истины мы находим у индусского математика Ганеши.
2. Греческая геометрия
Греческие авторы относят появление геометрии в Греции к концу VII в. До н.э. И связывают его с именованием Фалеса Милетского (639--548), вся научная деятельность которого изображается греками в полумифическом свете, так что точно её вернуть нереально. Достоверно, по-видимому, то, что Фалес в юности много путешествовал по Египту, имел общение с египетскими жрецами и у них научился многому, в том числе геометрии. Возвратившись на родину, Фалес поселился в Милете, посвятив себя занятиям наукой, и окружил себя учениками, образовавшими так называемую Ионийскую школу. Фалесу приписывают открытие ряда главных геометрических теорем (к примеру, теорем о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т.п.). Важнее, по-видимому, другое. Тяжело допустить, чтоб наука, "хотя бы в зачаточном собственном состоянии, была перенесена на греческую почву одним человеком. Важно то, что в Элладе в других условиях экономических отношений и социальной жизни образовался класс, для того времени непременно прогрессивный, не лишь усвоивший восточную культуру, но и развивший её до неузнаваемой высоты, создавший, таковым образом, уже свою высшую эллинскую культуру. В условиях скоро развивавшейся архитектуры, мореплавания, гражданской и военной техники, в условиях развертывавшихся уже в связи с этим исследований в области астрономии, физики, механики, требовавших чётких измерений, не лишь совсем скоро обнаружились противоречия и неправильности египетской геометрии, но и в исправленном виде её скудный материал закончил удовлетворять возросшим потребностям. Элементарные приемы непосредственного наблюдения восчёткой геометрии были бессильны перед новыми задачками. Чтоб их разрешить, было нужно оторвать геометрию от непосредственных задач измерения полей и постройки пирамид, задач, узеньких при всей их значимости, и поставить ей неизмеримо более широкие задания. Данной тенденции и положено было начало Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрию в область еще более широких представлений и задач, придала ей теоретический характер и сделала её предметом узкого исследования, в котором наряду с интуицией начинает играться видную роль и абстрактная логика. Абстрактно-логический характер геометрии, который в Ионийской школе лишь намечался, подернулся, правда, несколько мистическим флером у пифагорейцев, принял у Платона и Аристотеля более здоровые формы и в Александрийской школе нашел свое завершение. Была создана наука, широкая по плану, богатая фактическим материалом и, несмотря на свой абстрактный характер, дающая ряд чрезвычайно принципиальных практических применений. Больше того, можно сказать, что конкретно в абстрактной структуре, которую получила геометрия в трудах греческих ученых с VI по III в. До н.э., И коренится возможность её многообразного конкретного использования.
Самое слово "геометрия" недолго сохраняет свое первоизначальное значение - измерения земли. Уже Аристотель ввел для такового измерения новый термин - геодезия. Но и содержание данной новой дисциплины скоро тоже стали понимать в более широком смысле, который может быть лучше всего передается современным термином "метрическая геометрия". В трудах Фалеса, Пифагора, Платона, Демокрита, Гиппократа, Динострата, Никомеда, Аристотеля, если назвать лишь важнейших, с необычайной быстротой производятся установление и систематизация фактического материала классической геометрии. Необходимо отметить, что нам известны только разрозненные звенья в цельной цепи развития геометрии; многие звенья и имена совсем утрачены. Около IV в. До н.э. Уже стали появляться сводные сочинения под заглавием "Начал геометрии", имевшие задачей систематизировать добытый геометрический материал. Такие "Начала" по свидетельству Прокла, составили Гиппократ Хиосский, Феодосии из Магнезии, Гиероним Колофонский и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло: все они утратили свое значение и были забыты, когда возникло замечательное управление по геометрии - "Начала" Евклида, жившего в конце IV - начале III в. До н.э.
Евклид жил в Александрии в эру, когда там образовался более большой центр греческой научной мысли. Опираясь на труды собственных предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет. "Составитель Начал" - это прозвище сделалось как бы своим именованием, под которым все позднейшие греческие математики разумели Евклида, а его "Начала" сделались учебником, по которому в течение двух тысячелетий обучались геометрии юноши и взрослые. Даже те учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии в наше время, по существу представляют собой переработку "Начал" Евклида.
Материал, содержащийся в "Началах", по существу обхватывает элементарную геометрию, как мы её осознаем в настоящее время. Способ построения геометрии у Евклида позднее характеризовали словами - строить геометрию только геометрическими средствами, не внося в нее чуждых ей частей. Это значит до этого всего, что Евклид не прибегает к арифметическим средствам, т.е. к численным соотношениям. Равенство фигур у Евклида значит, что они могут быть совмещены движением, неравенство - что одна фигура может быть целиком либо частями вмещена в другую. Равновеликость фигур значит, что они могут быть составлены из частей. Конкретно этими средствами, не прибегая даже к пропорциям, Евклид доказывает, что каждый многоугольник может быть преобразован в равновеликий треугольник, а треугольник - в квадрат.
Теорема Пифагора у Евклида имеет лишь то содержание, которое устанавливается его подтверждением: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, может быть разложен на части, равновеликие квадратам, построенным на его катетах; связанное с этим алгебраическое соотношение численных значений гипотенузы и катетов ему совсем чуждо. Но не достаточно того, что Евклид не пользуется числовыми соотношениями, он устанавливает геометрические соотношения, эквивалентные главным алгебраическим тождествам, установленным еще позднее; этому посвящена практически половина второй книги "Начал".
Эра великих геометров (второй Александрийский период), более характерной чертой второй Александрийской эры является то, что она принесла с собой метрику, которой геометрии Евклида не доставало. Ту задачку, которую Евклид, может быть, сознательно обходил, измерение. Архимед поставил во главу угла. Это не случаем, а связано с тем прикладным направлением, которым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эру (III в. До н.э.), Когда борьба меж отдельными греческими государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась дерзкая борьба Эллады за самое её существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именованием Архимеда, который изобретал все новейшие и новейшие метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить тяжело. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В III в. До н.э. Прикладные задачки стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Награда Архимеда заключалась не в том, что он выстроил существенное число катапульт, а в том, что он установил теоретические базы, на которых, в конечном счете, и по сей день лежит машиностроение, он фактически создал базы механики. Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и размеров, а также Центров тяжести; механика настоятельно требовала метрической геометрии; на этом и сосредоточено внимание Архимеда в геометрии. Трудности несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по настоящее время остается по существу единственным средством не лишь практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, методом составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было нужно исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место греческой математики. Архимед пробовал отыскать радикальные средства для преодоления проблем счисления этому посвящена его книга "Исчисление песка". К цели это не кривело. Это сочинение представляет собой избыточное свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает не плохих средств для практического счета. Более принципиальным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особенное, маленькое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление периметров правильных 96-угольников, вписанного в окружность и описанного около нее.
Таким образом, творения Архимеда значительно отличаются от геометрии Евклида и по материалу и по способу; это - большой шаг вперед, это - новая эра. В изложении этих достижений, но, выдержана система Евклида: аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко осмысленная цепь умозаключений, претендующая на совершенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида, геометрия Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции, причем лишь рядом с геометрической интуицией тут возникает интуиция механическая.
Сочинения, посвященные истолкованию "Начал" появились рано. Первым комментатором Евклида был, по-видимому, еще Гемин Родосский, живший во II в. До н.э. Занимались этим позже Герои и Папп, а также Теон и остальные, но их комментарии до нас или совсем не дошли, или сохранились лишь в отрывках в передаче Прокла, который писал уже в V в. Н.Э. Комментарии Прокла сделались скоро классическим произведением, с которым долго никто не конкурировал в деле истолкования "Начал". К тому же Прокл жил уже в эру полного упадка греческой науки, и на его долю выпало только подвести общий результат деятельности его великих предшественников. Значение комментаторов Евклида заключается основным образом, в том, что они узнали слабые места его логической схемы. Не сделав еще ничего для существенного улучшения данной схемы, они указали те пути, по которым попадают в систему Евклида рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических выводов. Много было высказано насмешливых замечаний по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они переливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным. В этих упреках, естественно, много правды. Комментирование элементарного сочинения не просит огромных знаний, и потому было написано много легкомысленных и бессодержательных сочинений по поводу "Начал" Евклида и по вопросу об основаниях геометрии вообще. Но никак нельзя отрицать того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие "Начала" и глубоко их продумавшие, указали множество черных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд параметров пространственных образов, которые обязаны лечь в базу логической системы геометрии.
3. Геометрия новейших веков
Прокл был уже, по-видимому, последним представителем греческой геометрии. Римляне не внесли в геометрию ничего существенного. Смерть античной культуры, как понятно, привела к глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1000 лет, до эры Возрождения. Это не означает, но, что математика в этот период совсем заглохла. Посредниками меж эллинской и новой европейской наукой явились арабы. Когда несколько улегся конкретный религиозный фанатизм, царивший в эру арабских завоеваний, в условиях скоро развивавшейся торговли, мореплавания и городского стройки стала развертываться и арабская наука, в которой математика игралась совсем важную роль. Евклид был в первый раз переведен на арабский язык, по-видимому, в IX в. За этим последовал перевод сочинений остальных греческих геометров, многие из которых лишь с этих переводах до нас и дошли. Но математические интересы арабов были сосредоточены не столько на геометрии, сколько на арифметике и алгебре, на искусстве счета в широком смысле этого слова. Арабы усовершенствовали систему счисления и базы алгебры, взятые от индусов; но в области геометрии они не имели значимых достижений.
Энтузиазм к счету перешел и к европейским математикам раннего Возрождения. Медлительно - с начала XIII в. (Леонард Пизанский) и до конца XV в. (Лука Пачоли) в борьбе абацистов с алгорифмиками устанавливается современная система счисления, а в следующем, XVI в. Начинает выкристаллизовываться и современная алгебра. Система символических обозначений современной алгебры ведет свое начало от Виеты, которому принадлежат и первые приложения алгебры к геометрии. Записав квадратные уравнения в общей форме и рассматривая неизвестную как отрезок, а коэффициенты уравнения как данные отрезки либо отношения данных отрезков, Виета дает общие способы построения неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки. Он указывает далее, что решение таковых же задач 3-й и 4-й степени постоянно может быть приведено к построению двух средних пропорциональных. Во всем этом как будто нет ничего нового; по существу все это было понятно Евклиду, Герону, Проклу. Но новая, более общественная схема дает возможность объединить цикл разрозненных задач, интересовавших греческих геометров, установить общую их характеристику, правильно классифицировать их по характеру уравнения, к которому приводит алгебраический способ решения задачки. Все эти приемы в дальнейшем собственном развитии составили небольшую дисциплину, известную в настоящее время под заглавием "Приложения алгебры к геометрии". Характерным для нее является сведение решения геометрической задачки к определенному алгебраическому уравнению либо к определенной системе алгебраических уравнений. В этих применениях нет какого-либо специального, для геометрии придуманного плана. Это - прием, проходящий через приложения алгебры во всех дисциплинах, где она применяется для разыскания неизвестных величин: задания выражаются определенной системой уравнений, решение которых дает значения неизвестных. Это объединение алгебры с геометрией скоро привело к еще более углубленному и своеобразному применению алгебраического способа в геометрическом исследовании. Промежуточное значение (во всяком случае хронологически) имеют идеи Орезма (точнее, Орема), относящиеся к XIV в. Схоластики были совсем склонны к установлению соотношений меж различными величинами, соотношений время от времени вправду имеющихся, но почаще иллюзорных. В этом коренилась, естественно, мысль функциональной зависимости, которой Орезм первый пробовал дать графическое выражение в виде того, что мы в настоящее время называем диаграммой. Возможно, туманные рассуждения, с которыми этот способ, столь обычный но существу, был связан у схоластиков, повели к тому, что способ Орезма в ту пору значимого распространения не получил и прямого влияния на дальнейшую эволюцию геометрии не оказал. В эру Возрождения зародилась и так называемая изобразительная геометрия.
Главным препятствием для дальнейшего развития геометрии было отсутствие общих способов геометрического исследования, которые содержали бы указания, как подойти к каждой частной геометрической задачке. Нужда в таком общем способе чрезвычайно назрела. С развитием алгебры, принесшей с собой средства математического исследования совсем широкой общности, было естественно в них находить и путей к геометрическому исследованию. Вправду, в XVII в. Два умнейших французских математика, Ферма и Декарт, практически сразу выдвигают идеи, приведшие к новому и совсем широкому расцвету геометрической мысли. Эти идеи были изложены Ферма в сочинении "Введение в учение о геометрических местах на плоскости и в пространстве", которое было известно в кругу парижских математиков еще в 1637 г., Но опубликовано было лишь после погибели автора (1679 г.). В письме к Робервалю Ферма изложил сущность собственных идей еще практически на 10 лет ранее. Взоры Декарта изложены в маленьком его сочинении "Геометрия", появившемся в 1637 г. В качестве приложения к сочинению "Рассуждение о методе". Оба геометра очевидно находились под огромным влиянием Аполлония; но установленный ими способ, сейчас обширно узнаваемый под заглавием аналитической геометрии, все-таки остается вполне своеобразным. От приемов Аполлония он различается тем, что соотношения, определяющие геометрическое место, выражены в форме уравнений символической алгебры; от способов применения алгебры к геометрии, предложенных Виета, он отличается тем, что тут преобладающее значение получают неопределенное уравнение и неопределенная система уравнений; коренной его особенностью является способ координат, в применении которого заключается большая его сила. Координатами по существу воспользовался и Аполлоний. Но у него ордината точки параболы есть её расстояние от оси данной параболы; координация постоянно неразрывно связана с самой кривой. Декарту (более чем Ферма) принадлежит ясно выраженный план координации точек плоскости относительно произвольно выбранных осей, а это и есть самая значимая сторона дела. В совокупности получился способ, дающий возможность выразить те соотношения, которыми определяется геометрическое место, при помощи уравнений, связывающих координаты его точек. Геометрические соотношения были уложены в общие схемы аналитической функциональной зависимости, и были даны общие способы исследования данной зависимости средствами алгебры и анализа. Был найден ключ к широкой новой постановке геометрического исследования. Ферма дал систематическую сводку уравнений важнейших кривых. У Декарта этого нет, но зато у него шире и глубже очерчены общие идеи способа: самое сочинение обязано было служить примером того, какое значение имеет способ. Естественно, на то, чтоб провести этот способ систематически, понадобилось существенное время. У Декарта речь идет лишь о координации точек на плоскости; естественное обобщение - определение точки в пространстве тремя координатами - было сделано Ла-Гиром, много содействовавшим развитию способа Декарта. Первое же систематическое изложение аналитической геометрии как целого дал Эйлер во втором томе собственного "Введения в анализ бесконечных".
С именованием Монжа связано такое же завершение другой геометрической дисциплины - начертательной геометрии, либо, как её правильнее называют немцы, изобразительной геометрии ("Darstellende Geometric"). задачка изобразительной геометрии заключается в таком графическом воспроизведении вида заданного объекта, по которому можно было бы с точностью воспроизвести геометрические формы этого объекта. Такие изображения практически постоянно приходится воссоздавать на плоскости (на листе бумаги, полотне, камне, стене); сообразно этому и изобразительная геометрия представляет собой практически только теорию изображения предметов на плоскости; в этом изображении пространственных образов на плоскости и заключается трудность задачки. Ни одна ветвь геометрии не появилась так непосредственно из практических задач, как изобразительная геометрия. Первые пробы воспроизведения (рисования) природных объектов относятся к временам доисторической древности в античном мире это искусство уже достигло высокой степени совершенства, но оставалось лишь искусством, и только с того момента, как условия жизни предъявили к этому изображению требования точности, возникает специальная наука - теория графического изображения. Основ для данной теории естественно было находить в методах восприятия зрительных чувств - в оптике, точнее - в геометрической оптике. Прямолинейность светового луча имеет тут решающее значение. Если объект находится меж глазом и некой плоскостью, к примеру стеной, то глаз является центром, из которого предмет проектируется пучком лучей на плоскость. Это событие, на которое указывал уже Евклид в собственной "Оптике", сделало центральную проекцию основой всей изобразительной геометрии. Первые систематические шаги в этом направлении принадлежат римскому зодчему и инженеру Витрувию, написавшему незадолго до христианской эпохи трактат об архитектуре в десяти книгах.
Но идеи Витрувия не оказали огромного влияния на развитие изобразительной геометрии, и она поновой начала строиться в эру Возрождения. Три имени играются тут решающую роль: величайший представитель итальянского Ренессанса Леонардо да Винчи (1452--1519), германский живописец Дюрер (1471 - -1528) и французский конструктор, инженер и математик Дезарг (1593--1662). В собственном трак-тате о живописи ("Trattato della pittura"), который в печати возник лишь в 1701 г.,
Награда Монжа троякая. Во-первых, он решил вопрос о построении изображения на одной плоскости, перенеся вторую (вертикальную) проекцию также в первую горизонтальную плоскость; при этом вторая плоскость с нанесенной на ней проекцией поворачивается на 90° вокруг полосы пересечения обеих плоскостей (полосы земли); получаемые таковым образом в горизонтальной плоскости две проекции образуют так называемый "эпюр", по которому уже можно с точностью воспроизвести изображаемый объект; учение о построении и "чтении" эпюра и составляет содержание начертательной геометрии Монжа. Во-вторых, Монж свел весь материал, собранный в применении к многообразным отдельным объектам, в стройную систему. В-третьих, он попытался употреблять эти графические способы для целей общеметрического исследования: так как изображаемый объект вполне определяется эпюром, то геометрическое исследование этого объекта может быть сведено к исследованию эпюра. Эта последняя мысль, но, существенных результатов не дала.
Книга Мопжа представляла собой учебник начертательной геометрии для парижской Политехнической школы; печать этого сочинения и по сей день лежит на всех руководствах по начертательной геометрии.
Таким образом, к концу XVIII в. Оформились и получили завершенное выражение те течения геометрической мысли, которые появились в эру Возрождения и равномерно развивались в течение шести веков. Значительные черты новой геометрии данной второй (после эллинской) эры расцвета заключались в исследовании тех же вопросов, которые занимали греческих геометров, но при помощи совсем новейших способов. Принцип "geometria geometrice" отпадает; напротив, в геометрии находят обширное приложение две новейшие математические науки - алгебра и исчисление бесконечно малых. Новейшие способы геометрического исследования носят еще более абстрактный характер, они дальше от непосредственной интуиции. Совместно с тем, они дают более общие средства для решения конкретных задач; частенько вопрос разрешается механически, если он надлежащим образом поставлен. От геометризации алгебры делается переход к алгебраизации геометрии, и лишь изобразительная геометрия строится старыми, чисто геометрическими способами. Чем шире развиваются эти способы, тем глубже стают их практические внедрения. Не случаем, что конкретно во Франции главные геометрические дисциплины получают в эту пору свое завершение, что в лице Монжа они имеют более броского собственного выразителя. То было время разгара Французской революции и борьбы за её лозунги, Монж принадлежал к числу вождей революции.
4. Классическая геометрия XIX века
Могло казаться, что развитие, которое новая геометрия получила в трудах французских геометров конца XVIII в., Привело к некоторому завершению её и что для нового толчка остается ожидать эры нового Возрождения. Этого, но, не случилось: XIX век принес с собой новый глубочайший переворот и в содержании геометрии, и в её способах, и в самых взорах на её сущность. Более характерной чертой новой геометрии была её алгебраизация. Но из самых корней алгебраического способа росли противоречия, имевшие двоякий источник.
Во-первых, сама алгебра не так уж сильна. Границы классической геометрии определялись теми вопросами, которые алгебраически сводятся к уравнениям 1-й и 2-й степени. Эти уравнения в очень обычный форме разрешаются в радикалах. В этом содержится ключ к исследованию кривых линий и поверхностей 2-го порядка, источник простоты и изящества, с которыми геометрия старых переводится на алгебраический язык. Но при исследовании более сложных кривых, хотя бы даже алгебраических, средства алгебры в общем исследовании утрачивают свою простоту. Формулы Кардано и Феррари, служащие для выражения корней уравнений 3-й и 4-й степени, с их мнимыми радикалами, от которых нельзя избавиться, практически не находят себе внедрения. За пределами 4-й степени таковых формул для общего решения уравнений не существует. Приходится оперировать таковыми качествами алгебраических уравнений, широкой общности которых расплываются отдельные частные задачки. Конкретно эти общие вопросы алгебраической геометрии всё же получили разрешение, а для решения многих отдельных задач способы Декарта дали меньше, чем от них можно было ждать.
Вторая сторона дела заключается в том, что в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются наглядность и пространственная интуиция; этот массивный рычаг синтетической геометрии тут совсем отказывается служить. К этому присоединялось то событие, что некие части алгебры и анализа не были еще довольно обоснованы и содержали противоречия в самих себе. Эти противоречия вызывали не лишь сомнения, но и прямое раздражение у тех, кому неотчетливость мысли невыносима; а математику, привыкшему к строгости логической мысли, такое умонастроение было в особенности тягостно. Выдающийся ученик Монжа Карно считал, что даже учение об отрицательных числах, играющее в способе координат такую важную роль, полно противоречий; он требовал освобождения геометрии от "иероглифов анализа". Рвение к преодолению появившихся таковым образом противоречий привело и к возрождению чисто геометрических способов.
Этот процесс развертывался в разных направлениях; более плодотворный путь был связан с способами изобразительной геометрии. Его исходные пункты коренятся еще в исследованиях Менелая.
При всем том значении, которое синтетические способы геометрии получили в XIX в., Не следует мыслить, что они вытеснили аналитические приемы. Напротив, аналитическая геометрия продолжала обширно развиваться в самых разнообразных направлениях. До этого всего ответвляется алгебраическая геометрия, т.е. Учение об алгебраических кривых, алгебраических поверхностях и их пересечениях. Очень углубленные исследования в этом направлении развертываются по трем путям.
геометрия архимед евклид классическая
Первый путь через развитие способов аналитической геометрии, применявшихся к исследованию кривых 2-го порядка, ведет к кривым 3, 4, 5, 6-го порядка как плоским, так и пространственным. По разным основаниям устанавливается их классификация, строятся их эпюры (в случае пространственных кривых), исследуется их форма. Относящиеся сюда результаты очень многообразны и дифференцированы.
Второй путь ведет свое начало основным образом от Плюкера и характеризуется тем, что в нем ставится задачка не изучить отдельные алгебраические кривые и поверхности, а разыскать общие средства для геометрической интерпретации алгебраических уравнений.
Третий путь представляет собой более тесное объединение геометрии с алгеброй и теорией функций. Если алгебраическая кривая выражается уравнением f (x, у) =0 в рациональном виде, то у представляет собой то, что мы называем алгебраической функцией от х. Отсюда ясно, что общественная теория алгебраических кривых и теория алгебраических, функций представляет собой одно целое: первая представляет собой интерпретацию второй с точки зрения Плюкера, вторая представляет собой алгебраическое выражение первой с точки зрения Штейнера. В дальнейшем этот плодотворный путь ведет от Якоби, через Римапа и Гессе к современной теории функций комплексного переменного; он дал те приложения геометрии к теории функций, которые Курант объединил под общим заглавием геометрической теории функций.
Во всех областях математики влияние геометрии XIX в. Совсем сильно. В работах Минковского оно проникло даже в такую область, как теория чисел, являвшуюся оплотом арифметических и алгебраических способов. Некие матемы, в особенности Шаль, утверждали, что алгебраизация геометрии XVIII в. Сменилась в XIX в. Геометризацией алгебры, но геометризацией несравненно более совершенной, ежели это имело место в эллинскую эру. Вряд ли, но, это так. Справедливее сказать, что доминирующая роль, которую аналитическая геометрия игралась в период от Декарта до Монжа, уступила место тесному и глубочайшему объединению аналитических и геометрических способов.
5. Неевклидовая геометрия
Но многовековые пробы подтверждения пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия сейчас именуется неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который в первый раз опубликовал работу с её изложением.
И одной из предпосылок геометрических открытий Н.И. Лобачевского (1792-1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания. Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от человеческого сознания существовании материального мира и в способности его познания. В речи "О важнейших предметах воспитания" (Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: "оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам обязательно и удовлетворительно". В собственном сочинении "О началах геометрии", являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: "первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, обязаны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда лишь они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным - не обязано верить". Тем самым Лобачевский отвергал идею об априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.
Первые пробы Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от других аксиом геометрии Евклида и 11 (23) февраля 1826 года сделал на заседании факультета казанского института доклад "Сжатое изложение начал геометрии со серьезным подтверждением теоремы о параллельных", в котором были изложены начала открытой им "воображаемой геометрии", как он называл систему, позже получившую заглавие неевклидовой геометрии. Доклад 1826г. Вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии - статьи "О началах геометрии", напечатанной в журнальчике Казанского института "Казанский вестник" в 1829-1820гг. Дальнейшему развитию и приложениям открытой им геометрии были посвящены воспоминания "Воображаемая геометрия", "Применение воображаемой геометрии к неким интегралам" и "Новые начала геометрии с полной теорией параллельных", опубликованные в "Ученых записках" соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст "Воображаемой геометрии" возник во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. Вышли отдельной книгой на германском языке "Геометрические исследования по теории параллельных линий" Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. Он издал в Казани на российском и французском языках "Пангеометрию".
Высоко оценил "Геометрические исследования" Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Но в печати в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.
Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс, еще с 90-х годов XVIII в. Занимавшийся теорией параллельности линий, пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взоры по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились лишь в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. В 1818 г. В письме к австрийскому астроному Герлингу (1788-1864) он писал: "Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а совместно с тем и всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на голову"; по-видимому, под "потревоженными осами" Гаусс имел в виду приверженцев обычных взглядов на геометрию, а также априоризма математических понятий. Янош Бояи.
Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), отпрыск Ф. Бояи.
Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не сообразил его, но предложил напечатать короткое изложение его открытия в виде приложения к своему управлению по математике, вышедшему в 1832г. Полное заглавие труда Я. Бояи - "Приложение, содержащее науку о пространстве, полностью истинную, не зависящую от истинности либо ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)" и его традиционно кратко называют просто "Аппендикс". Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни; Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", сообразил его, но никак не способствовал признанию открытия Я. Бояи.
Геометрия Лобачевского Лобачевский сходу же поставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет место в настоящем мире - "употребительная" либо "воображаемая", для чего он решил измерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметрально противоположными положениями Земли на её орбите и Сириусом и считая один из углов этого треугольника прямым, а другой - равным углу параллельности, Лобачевский нашел, что эта сумма различается от на разность, меньшую ошибки угломерных инструментов в его время. "После того, - пишет Лобачевский, - можно вообразить, сколько эта разность, на которой базирована наша теория параллельных, оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и позволяет принятые начала разглядывать как бы строго доказанными".
Это объясняет, что под "строгим подтверждением теоремы о параллельных" в докладе 1826 г. Лобачевский соображал невозможность установить экспериментальным методом, какая из двух геометрий имеет место в настоящем мире, откуда вытекает, что на практике можно воспользоваться "употребительной геометрией", не рискуя впасть в ошибку.
Более полно изложена система Лобачевского в его "Новых началах с полной теорией параллельных" (1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу с помощью движения.
В позднейших работах Лобачевский ввел координаты и вычислил из геометрических суждений целый ряд новейших определенных интегралов, которым он специально предназначил работу "Применение воображаемой геометрии к неким интегралам" (Учен. Зап. Казан. Ун-та, 1836), многие из которых были включены в дальнейшие справочники.
6. Геометрия XX века
Истекшие годы первой четверти XX в. Не лишь подводили итоги всему этому обширному циклу идей, но дали новое их развитие, новейшие внедрения, которые довели их до расцвета. До этого всего XX век принес новенькую ветвь геометрии. Нельзя сказать, чтоб она в этом веке появилась. Но подобно тому, как проективная геометрия создалась из разрозненных материалов, скоплявшихся с Дезарга в течение двух веков, так из многообразных обрывочных идей, рассеянных по всей истории геометрии, в XX в. Складывается особая дисциплина - топология
К началу XX века относится зарождение векторно-моторного способа в начертательной геометрии, применяющегося в строительной механике, машиностроении. Этот способ разработан Б. Майором и Р. Мизесом, Б.Н. Горбуновым.
7. Геометрия Эйнштейна - Минковского
Геометрическая сторона построенной Эйнштейном теории относительности, в особенности оттененная Минковским, заключается в том, что мироздание, не в его статическом состоянии в определенный момент, а во всей его извечной динамике, Эйнштейн и Минковский разглядывают как многообразие, элемент которого определяется четырьмя координатами.
Руководясь тем, что гравитационные силы в мире действуют постоянно, тогда как остальные силы (электрические, магнитные) в каждом месте то возникают, то исчезают, Эйнштейн поставил себе целью выстроить риманову геометрию этого четырехмерного обилия так, чтоб охватить одной общей схемой как пространственные, так и гравитационные соотношения, царящие в мироздании. Задачка заключалась, следовательно, в таком выборе основной дифференциальной формы, при которой система верно показывает эти соотношения в нескончаемо малом элементе мира и в порядке интегрирования дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.
Роль геометрии в естествознании достигла в этом плане собственного кульминационного пункта. Был поставлен вопрос о геометризации физики. Самая, возможность таковой постановки вопроса довольно показательна. Более того, возможность и тех достижений, которые Эйнштейну удалось получить, базирована, если можно так выразиться, на геометризации самой римановой геометрии.
Заключение
Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной математике, и практически в теории геометризованной гравитации марселя Гросмана-Гильберта-Эйнштейна (1913-1915). достаточно нежданно, еще ранее была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (схожее соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояи). В 1910 году Варичак указал на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на плоскости Лобачевского.
Предположение Лобачевского, что настоящие геометрические дела зависят от физической структуры материи, нашло доказательство не лишь в космических масштабах. Современная теория квант все с большей настоятельностью выдвигает необходимость внедрения геометрии, хорошей от евклидовой, к проблемам микромира.
Геометрия претендует в качестве более массивного орудия чёткого естествознания на овладение механикой и физикой, она стоит у вершины человеческого знания. Удастся ля ей вправду выполнить этот план, сохранит ли она это доминирующее место либо в порядке другого преодоления разрастающихся противоречий она обязана будет его уступить, это вопрос грядущего, быть может, не столь далекого.
Геометрия изучает формы, размеры, взаимное размещение предметов независимо от их остальных параметров: массы, цвета и так далее. Геометрия не лишь дает представление о фигурах. Их свойствах. Взаимном расположении, но и учит рассуждать, ставить вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить.
Литература
1. Демьянов В.П. Геометрия и Марсельеза. - М.: Знание, 1986.
2. Каган В.Ф. Очерки по геометрии. - М.: Столичный институт, 1963.
3. Математика XIX века. - М.: Наука, 1981.
4. Свечников А.А. Путешествие в историю математики либо как люди научились считать. - М.: Просвещение, 1995.
5. Юшкевич А.П. История математики в России. - М.: Наука, 1968
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Первые достижения в арифметике и геометрии. Развитие математики в Древней Греции. Греческая система счисления. Дедуктивный характер греческой математики. Достижения европейской математики. Начало современной математики, появление высшей математики.
реферат [40,4 K], добавлен 11.11.2010Специфика развития научных знаний в Древнем Египте и их особые черты. Развитие точных и естественных наук, врачебного искусства. Процесс накопления знаний, которые носили прикладной характер. Значение древнеегипетской науки в развитии других цивилизаций.
контрольная работа [31,1 K], добавлен 24.06.2013Евклид - древнегреческий математик, живший около 300 года до н.э. Основание им Александрийского Мусейона. Биографические данные о Евклиде. Его отождествление с учеником Сократа философом Евклидом из Мегар. История математики и вклад Евклида в геометрию.
презентация [1,4 M], добавлен 24.02.2010Особенности развития научных знаний в древнем Китае. Рассмотрение влияния теории У-син (пяти элементов) и теории Инь—Ян на развитие науки Китая. Мастерское умение обращаться с бронзой, рудой, металлами и глиной. Достижения китайцев в архитектуре.
реферат [42,8 K], добавлен 01.04.2015Александрия - крупнейший научный центр эллинистического мира. Жизнь и научная деятельность Птолемея - астронома, астролога, математика и механика, его работа "Великое математическое построение астрономии в XIII книгах". Математические труды Архимеда.
презентация [1,9 M], добавлен 21.04.2015История возникновения солнечных часов, оригинальные солнечные часы в Раифском Богородицком монастыре. Описание солнечных часов в Древнем Египте, Древнем Китае, Древней Греции и Древнем Риме. Характеристика и особенности основных типов солнечных часов.
реферат [925,2 K], добавлен 13.05.2019Развитие науки и техники в период расцвета исламской культуры. Достижения мусульманских учёных средних веков в области математики и астрономии, медицины, физики и химии, минералогии, геологии и географии. Закона преломления арабского оптика Альгазена.
реферат [28,5 K], добавлен 15.06.2012Деятельность русских архитекторов начала ХХ века в Китае до и во время эмиграции. Художники русского зарубежья в Китае: М.А. Кичигин, В.Е. Кузнецова-Кичигина, В. Калмыков, П.И. Сафонов, В.А. Засыпкин. Литературно-художественные общества в Китае ХХ века.
курсовая работа [80,3 K], добавлен 04.10.2013Сущность понятия "средние века". Определяющие черты этого периода в Западной Европе. Основные принципы периодизации истории средних веков. Основные черты средневекового развития Византии. Периодизация истории средних веков в российском государстве.
реферат [15,5 K], добавлен 06.05.2014Исторические сведения об освоении устья и низовьев Терека казаками. Описание событий XVII века, версии появления городов и поселений в трудах ряда ученых, а также причины и события, приведшие к подчинению терского казачества власти русского царя.
лекция [33,7 K], добавлен 25.06.2010
