Баротропный отклик динамической системы Балтийского моря на колебания уровня в проливе Каттегат

With the help of numerical experiments with a three-dimensional barotropic hydrodynamic model, the response of the level surface of the Baltic Sea to different-scale level disturbances propagating into the Baltic through the Danish straits from the North Sea is studied. For this, 53 harmonic oscillations with amplitudes of 10 cm and periods from 3 hours to 1 year, which in the article are called "external", in contrast to the perturbations of the level inside the sea induced by them. The same amplitudes for all initial oscillations were set so that when analyzing the results, quantitative differences in the amplitude spectra of "external" and "internal" oscillations were clearly visible.

It is shown that, with the exception of the frequency range of natural barotropic oscillations of the Baltic Sea, in the Danish Straits there is an almost complete filtration of oscillations specified at the boundary of the region with periods from 3 hours to 10 days.

In the range of periods from 15 to 35 hours, there is an increase in "internal" oscillations due to the resonance of the initial oscillations with the natural oscillations of the Baltic. In the mesoscale frequency range (periods from hours to several days), the response of the level surface of the Baltic Sea to the impact of "external" oscillations is manifested in the generation of progressive-standing Kelvin waves with pronounced amphidromic systems and antinodes. For oscillations with periods of more than 10 days, with a decrease in frequency, the filtering effect of the Danish Straits is weakened and for periods of about 60 days, their amplitudes decrease by only 50%. In the range of seasonal variability, hydraulic resistance in the Danish Straits has the least effect on the propagation of "external" sea level fluctuations, reducing their amplitudes by only 6-22%. The highest amplitude is observed in semi-annual oscillations, which are amplified due to the influence of the semi-annual overtone in the annual oscillation generated by nonlinear effects.

Keywords: Numerical hydrodynamic modeling, Baltic Sea, barotropic sea level fluctuations, Fourier analysis, natural oscillations, amphidromic systems, progressive standing waves, annual oscillation, semi-annual overtone.

Введение

Балтийское море - внутриконтинентальное, частично ограниченное море Атлантического океана, имеющее связь с ним через Северное море (Добровольский и Залогин, 1982). Водообмен между Балтийским и Северным морями осуществляется через очень узкие и мелководные Датские проливы (Эресунн, Большой Бельт и Малый Бельт). Минимльная ширина пролива Эресунн (Oresund) составляет менее 5 км, а наименьшая глубина - 8 м; для пр. Большой Бельт эти оценки составляют - 3,7 км и более 20 м; для пр. Малый Бельт - 0,8 км и 12 м, соответственно (Grawe et al., 2013; Lepparanta & Myrberg, 2009; Stigebrandt, 1983). Столь ограниченный водообмен Балтики с Северным морем, в совокупности с положительным пресным балансом приводят к значительному распреснению её вод. Если на поверхности Северного моря средняя солёность близка океанической и составляет около 34%, то в открытой Балтике она равна всего 6-8% (Добровольский и Залогин, 1982; Lepparanta and Myrberg, 2009; Stigebrandt, 1983). Уклоны уровня между пр. Каттегат и юго-западной Балтикой, связанные, в основном, с меняющимися метеорологическими условиями, сопровождаются затоками солёных североморских вод в Балтику, или оттоком распреснённых вод из Балтийского в Северное море. Чаще всего такие потоки имеют небольшие объёмы - 10-20 км³ и сопровождаются незначительными изменениями среднего уровня Балтийского моря (Matthaus, 2006). Однако, время от времени, в узких Датских проливах наблюдаются очень интенсивные потоки с объёмами 90-258 км³ (например: Большие балтийские затоки), которые могут вызывать значительный приток или отток воды и приводить к заметным колебаниям объема Балтийского моря, сопровождающимся изменениями среднего уровня Балтийского моря на 1 метр и более в течение нескольких недель (Carlsson, 1997; Madsen & H0jerslev, 2009). По оценкам А. Стигебранта и А. Омстедта такие притоки и оттоки вод через Датские проливы, вызванные разницей уровня между Каттегатом и Балтийским морем, могут быть в 20 раз больше средней величины поступления пресных вод (Omstedt, 1987; Stigebrandt, 1980).

В работе Самуэльсона и Стигебрандта было предложено разделять колебания уровня Балтийского моря на «внутренние» и «внешние» (Samuelsson & Stigebrandt, 1996). «Внутренние» колебания возбуждаются непосредственно в Балтийском море под действием сил касательного трения ветра, градиента атмосферного давления, изменений плотности морской воды и составляющих пресного баланса. «Внешние» колебания уровня формируются в Северном море и затем через Датские проливы распространяются в Балтийское море (Samuelsson & Stigebrandt, 1996). С помощью статистического анализа среднесуточных рядов уровня моря и моделирования «внешних» и «внутренних» колебаний Самуэльсон и Стигебрант показали, что в диапазоне периодов от нескольких дней до нескольких лет от 50 до 80% дисперсии суммарного уровня Балтийского моря связано с влиянием «внешних» колебаний, распространяющихся в Балтику из Северного моря. Для периодов, короче 1 месяца Балтийское море колеблется, как полностью закрытый бассейн с пучностями на противоположных концах моря и узловой зоной между ними. Для более длительных периодов колебания подобны колебаниям уровня в частично ограниченном бассейне с амплитудами, возрастающими от узла в Датских проливах к открытой части моря и далее к вершинам основных заливов Балтики (Samuelsson & Stigebrandt, 1996).

Исследование низкочастотных колебаний уровня в системе Северного и Балтийского морей с помощью спутниковой альтиметрической информации показало, что в диапазоне периодов от недель до месяцев в Балтийском море отсутствует стационарная связь между касательным трением ветра и колебаниями уровня моря, в то время как в Северном море были выделены обширные районы, где в большинстве случаев отмечались высокие значения корреляции между касательным трением ветра и низкочастотными возмущениями уровня моря (Захарчук & Сухачев, 2018). На основании этих результатов авторами было высказано предположение, что колебания уровня с периодами от недель до месяцев генерируются под действием касательного трения ветра в Северном море и затем распространяются в Балтийское море в виде свободных низкочастотных волн (Захарчук & Сухачев, 2018).

Е.А. Куликов и др. с помощью аналитического моделирования исследовали колебания уровня в бассейне произвольной формы, соединенном с открытым морем узким проливом (Куликов, Медведев, et al., 2015). С помощью линеаризованных уравнений движения однородной жидкости без учета вращения Земли в приближении мелкой воды они определили связь колебаний уровня моря в бухте с изменениями уровня в открытом море. На основе результатов моделирования и статистического анализа измерений уровня моря в береговых пунктах они пришли к выводу, что ограниченная пропускная способность Датских проливов работает как естественный фильтр низких частот для колебаний уровня, распространяющихся из Северного моря: колебания Северного моря с периодами менее 10 суток при проникновении в Балтийское море затухают в 10 раз и более, а колебания с 74-дневным периодом - в 2 раза. По их мнению, в узких и мелководных Датских проливах возникающий компенсационный сток в основном регулируется двумя физическими составляющими: силой трения (гидравлическим сопротивлением) в придонном турбулентном пограничном слое и градиентом гидростатического давления, образующимся вдоль канала (Куликов, Медведев, et al., 2015). Эти результаты позволили Е.А. Куликову, И.В. Файну и И.П. Медведеву прийти к выводу, что численная гидродинамическая модель Балтийского моря, в которой не учитывается водообмен через Датские проливы, вполне адекватно воспроизводит внутренние колебания с периодами меньше 10-20 суток (Куликов, Файн, et al., 2015). Соглашаясь с авторами работы (Куликов et al., 2015a), что для моделирования динамики вод в узких каналах, таких как Датские проливы, можно не учитывать влияние силы Кориолиса, в то же время, следует заметить, что в открытом море не учет вращения Земли на периодах изменчивости, сравнимых с маятниковыми сутками и более, исключает генерацию волн Кельвина и градиентно-вихревых волн, которые оказывают заметное влияние на особенности пространственно-временной изменчивости уровня Балтийского моря (Raudsepp et al., 2003; Айтсам and Талпсепп, 1982; Захарчук, 2007; Захарчук et al., 2006, 2004; Талпсепп, 1983). Ниже, также, будет показано, что, в отличие от мнения авторов работы (Куликов, Файн, et al., 2015) при моделировании колебаний уровня Балтийского моря на периодах меньше 10 суток обязательно нужно учитывать колебания водообмена между Балтикой и Северным морем.

Плохо изученным остаётся отклик динамической системы Балтийского моря на воздействие распространяющихся из Северного моря колебаний уровня в мезомасштабном диапазоне частот (периоды от часов до нескольких суток (Каменкович et al., 1987).

Цель данной работы - исследовать с помощью численных экспериментов с трёхмерной гидродинамической моделью пространственно-временную изменчивость уровня Балтийского моря в диапазоне периодов от часов до года, обусловленную влиянием, распространяющихся из Северного моря свободных баротропных гармонических колебаний одинаковой амплитуды.

Следуя работам Самуэльсона и Стигебрандта (Samuelsson & Stigebrandt, 1996) и Куликова и др. (Куликов, Медведев, et al., 2015) мы будем в данной статье называть «внешними» колебания, которые генерируются в Северном море и затем распространяются в Балтийское море через Датские проливы, в отличие от индуцированных ими возмущений уровня внутри моря, которые будем называть «внутренними»

Гидродинамическая модель и описание численных экспериментов

В качестве базовой модели для проведения численных экспериментов использовалась модель циркуляции океанов и морей INMOM (Institute of Numerical Mathematics Ocean Model), разработанная в Институте вычислительной математики РАН и адаптированная для условий Балтийского моря. В основе модели лежит система примитивных уравнений гидродинамики океана в приближениях гидростатики и Буссинеска, записанная в обобщенных ортогональных координатах по горизонтали и в а-системе координат по вертикали. Прогностическими переменными модели служат горизонтальные компоненты вектора скорости, потенциальная температура, солёность и отклонение уровня океана от невозмущенной поверхности (Zalesny et al., 2010; Дианский, 2013). Для расчёта плотности используется уравнение состояния, учитывающее сжимаемость морской воды и специально предназначенное для моделей циркуляции океана (Brydon et al., 1999).

При численной реализации INMOM используется метод расщепления (Марчук, 2009) по физическим процессам и пространственным координатам, что является ее отличительной особенностью от других известных моделей (например, (Blumberg & Mellor, 2012; Griffies, 2005) и других). Для этого уравнения динамики океана записываются в специальной симметризованной форме. Она позволяет представить оператор дифференциальной задачи в виде суммы более простых операторов, каждый из которых является неотрицательным в норме, определяемой законом сохранения полной энергии. Это дает возможность расщепить оператор полной задачи на ряд более простых подзадач и построить их пространственные аппроксимации так, чтобы энергетическим законам сохранения, выполняющимся для исходной дифференциальной задачи, удовлетворяли все расщепленные дискретные задачи. Разностные аппроксимации по пространственным координатам строятся на "С'-сетке (Mesinger & Arakawa, 1976; Лебедев, 1964). Для задания батиметрии в модели использовались данные значений глубин моря, полученные из системы DAS шведского института «Baltic Nest Institute» http://nest.su.se/с разрешением 1 миля, которые были записаны в формате модели на сетке с шагом 2 мили и ограничены снизу минимальным значением 2 м, что необходимо для невырожденности преобразования координат по вертикали.

Для верификации модели в работе (Zakharchuk et al., 2021) было проведено сравнение рассчитанных рядов уровня моря с ежечасными мареографными измерениями в 20 береговых пунктах Балтийского моря. Результаты сравнения показали, что модель INMOM достаточно точно рассчитывает колебания уровня в разных районах Балтийского моря: величины коэффициентов корреляции между рассчитанными и измеренными значениями уровня варьировали от 0.79 до 0.92, оценки абсолютной ошибки расчетов были не велики и менялись от 6,7 до 9,2 см; значения относительной ошибки варьировали в пределах 3,7-7,4%, а оценки критерия точности показали, что от 75 до 90% значений в рассчитанных по модели рядах уровня моря не выходили из диапазона <0,674s, где s - ср. кв. отклонение ряда измеренного уровня моря (Zakharchuk et al., 2021).

Численный эксперимент по оценке влияния «внешних» колебаний на пространственно-временную изменчивость уровня Балтийского моря проводился с помощью баротропной версии трёхмерной модели INMOM. С этой целью потоки тепла и соли в базовой конфигурации модели INMOM задавались равными нулю, воздействие метеорологических процессов исключалось, и, кроме этого, использовалось баротропное уравнение состояния, в котором плотность воды зависит только от давления. Речной сток и ледовые условия в Балтийском море не учитывались. В данной версии модели задавалось 25 равномерно распределенных по всей толще воды а-слоев. Коэффициент вертикальной вязкости выбирался согласно параметризации Пакановского и Филандера (Pacanowski & Philander, 1981) и изменялся от 1 до 50 см² /с. Горизонтальное трение описывалось обычным лапласианом с коэффициентом v =10^-3 см² /с. Придонное трение задавалось квадратичным уравнением с коэффициентом C_D = 2.5 * 10^-3, и минимальной скоростью 5 см/с.

Для вывода динамической системы из равновесия на жидкой границе модельной области на севере пр. Каттегат (см. рис. 1) в диапазоне периодов от 3 часов до 1 года задавалась суперпозиция гармонических колебаний уровня моря, амплитудный спектр которых представлен на рис. 2а. Для этого был смоделирован ежечасный ход уровня моря из суперпозиции 53 гармоник с амплитудами 10 см, который, затем, был задан в качестве граничных условий на жидкой границе. Одинаковая амплитуда всех гармоник задавалась для того, чтобы при сравнении результатов хорошо были видны особенности количественных изменений спектральной структуры «внутренних» возмущений уровня моря, по сравнению со спектром, заданных на жидкой границе колебаний. Скорости течений на границе не задавались. Расчеты производились в течение 2 лет. Частоты заданных на жидкой границе гармоник выбирались таким образом, чтобы оценить реакцию динамической системы Балтики на воздействие «внешних» возмущений уровня моря на частотах полусуточного и суточного приливов, собственных баротропных колебаний Балтийского моря (Jonsson et al., 2008; Wubber and Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021), на различных видов низкочастотных волн, подобных волнам Кельвина и градиентно-вихревым, а также сезонных колебаний уровня (периоды 1 год и кратные ему гармоники). Расчетный шаг по времени составил 2.5 мин. Расчеты производились в течение 2 лет. Расчетный шаг по времени составил 2.5 мин. Вывод результатов счёта производился путём осреднения данных за каждый час. При моделировании оценивались зависимости от времени средних по акватории моря значений потенциальной и кинетической энергий, которые показали, что при расчетном периоде моделирования 2 года, установление равновесного режима происходило на третьи сутки.

Для оценки амплитудно-фазовых характеристик рассчитанных колебаний проводился Фурье анализ модельных рядов уровня моря в каждой точке поля:

(1)

где f(t) - исходный временной ряд уровня моря,

N - длина ряда,

Т - период,

t - момент времени,

ak, bk - коэффициенты разложения, соответствующие своей частоте rn,

Zo - среднее значение ряда, k - номер коэффициента.

Амплитуда (Ak) и фаза (Fk) колебаний рассчитывалась следующим образом:

(2)

По результатам фурье-анализа строились амплитудные спектры рассчитанных колебаний уровня, и оценивалось пространственное распределение их амплитуд и фаз.

По разности фаз между соседними узлами сеточной области оценивались фазовые скорости поступательной компоненты волнового движения (С):

(3)

где, Cx, Cy - составляющие вектора фазовой скорости на параллель и меридиан,

Дх, Ду - расстояние между соседними узлами сеточной области вдоль параллели и меридиана, P - период колебаний,

AFx, AFy - разность фаз между узлами сеточной области вдоль параллели и меридиана. Оценка модуля фазовой скорости определялась по формуле:

(4)

Фазовые скорости рассчитывались только для тех районов, где Ak> 0,67а

(5)

где А - средняя по полю амплитуда колебаний уровня на каждой частоте т.

Для интерпретации результатов моделирования индуцированных колебаний в диапазоне мезомасштабной изменчивости уровня моря проводился вейвлет-анализ рядов ежечасных значений уровня в январе 2007 г. и сентябре 2018 г. в пункте Скаген, расположенном на границе пролива Скагеррак (Северное море) и пролива Каттегат (Балтийское море) (см. рис. 1). Предварительно, с помощью фильтра Баттерворта из рядов были исключены полусуточные приливы. Вейвлет-коэффициенты рассчитывались путем непрерывного вейвлет-преобразования по методике, изложенной в работе (Смоленцев, 2008):

(6)

где s(t) - сигнал;

a - масштабный коэффициент; параметр b определяет сдвиг по оси Ox;

t - время,

W - вейвлет Морле

(7)

Для исследования причин усиления полугодовых «внутренних» колебаний, по сравнению с годовыми колебаниями, которое было отмечено по результатам численного эксперимента, был проведён второй численный эксперимент, в котором на жидкой границе задавалось только одно гармоническое колебание с периодом 1 год.

Результаты и интерпретация численных экспериментов

На рис. 2а представлен спектр, задаваемых на жидкой границе колебаний уровня моря, и спектры индуцированных ими колебаний уровня в 2-х точках юго-западной части Балтийского моря. Хорошо видно, что после прохождения Датских проливов, амплитуда «внутренних» колебаний уровня моря практически на всех частотах уменьшается. Однако это уменьшение происходит не одинаково в разных частотных диапазонах. Менее всего гидравлическое сопротивление Датских проливов влияет на диссипацию энергии «внутренних» колебаний в диапазоне сезонной изменчивости (периоды от 1 года до 3-х месяцев). Их амплитуды на выходе из Датских проливов уменьшаются на 6-22%, причем, самое минимальное понижение амплитуды в этом диапазоне наблюдается у полугодовых вариаций уровня моря. В синоптическом диапазоне частот (периоды от месяцев до нескольких суток (Каменкович et al., 1987) с увеличением частоты происходит резкое уменьшение амплитуд «внутренних» колебаний на 30-99%. При переходе в мезомасштабный диапазон (периоды от нескольких суток до часов) отмечается увеличение амплитуд «внутренних» колебаний до 2-4 см по сравнению с соседним, более низкочастотным диапазоном. Эта особенность отмечается на периодах от 45 до 15 часов. Далее, при уменьшении периодов, амплитуды «внутренних» колебаний уровня резко уменьшаются почти до нулевых значений. Обращает на себя внимание, что в диапазоне периодов менее 300 часов амплитуды «внутренних» колебаний у северного побережья Арконского бассейна значительно меньше по сравнению с южным побережьем (рис. 2).

На рис. 3 представлены результаты гармонического анализа, демонстрирующие пространственные изменения амплитуд «внутренних» колебаний уровня в прибрежной зоне Балтийского моря в диапазоне периодов от 1 года до 3 часов.

В мезомасштабном диапазоне периодов наблюдается выраженная неоднородность в пространственных распределениях амплитуд «внутренних» колебаний, когда в одних районах выделяются обширные прибрежные акватории Балтики, где наблюдается практически полное затухание колебаний, в то время как в других регионах их амплитуды достигают 3-7.5 см (рис. 3). Например, в диапазоне периодов от 3 до 14 часов везде, кроме юго-западной Балтики и самой восточной части Финского залива амплитуды «внутренних» колебаний близки к нулю (рис. 3). В Ботническом заливе, у западного побережья открытой Балтики и у южного побережья Швеции почти полное затухание «внутренних» колебаний наблюдается в диапазоне периодов более 41 часа, но менее 4 суток. На западе Ботнического моря и на северо-западном побережье открытой Балтики эта особенность распространяется также на диапазон периодов от 20 до 35 часов.

На выходе из Датских проливов (Арконский бассейн) амплитуды «внутренних» мезомасштабных колебаний достигают 7-8 см. За пределами юго-западной части открытой Балтики самые большие амплитуды «внутренних» колебаний в мезомасштабном диапазоне наблюдаются для колебаний с периодами от 17 до 35 часов в Рижском и, особенно, в Финском заливе, где они достигают значений 4.5-5.4 см (рис. 3). Это известный диапазон собственных баротропных колебаний Балтийского моря, описанных в работах (Jonsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). Так, Вабер и Краус по результатам численных экспериментов с моделью мелкой воды выделили собственные баротропные колебания с периодами 31, 26, 22, 20, 17 и 13 часов (Wubber & Krauss, 1979). Моделирование собственных колебаний с помощью трёхмерной баротропной модели позволило выделить дополнительно, кроме перечисленных выше, колебания с периодами 41, 37, 29, 21, 16 и 15 часов (Zakharchuk et al., 2021).

В синоптическом диапазоне масштабов неоднородность в пространственном изменении амплитуд «внутренних» колебаний заметно уменьшается (рис. 3). Здесь, в диапазоне периодов от 2 до 15 суток, за исключением Арконского бассейна, вдоль всех побережий Балтики амплитуды «внутренних» колебаний имеют очень низкие значения, не превышающие 0.5-1.5 см (рис. 3). При понижении частоты оценки амплитуд увеличиваются до 6.5-7.5 см и становятся более однородными на всём протяжении побережий Балтийского моря.

В диапазоне сезонной изменчивости (периоды от 1 года до 3 месяцев) гидравлическое сопротивление Датских проливов оказывает незначительное влияние на распространение заданных на жидкой границе колебаний уровня внутрь Балтийского моря. Амплитуда полугодовой гармоники уменьшается на 6% до 9.4 см и остаётся неизменной во всех прибрежных зонах Балтики. У годовой гармоники амплитуда меняется от 8.2-8.4 см на выходе из Датских проливов до минимального значения 7.8 см в Невской губе Финского залива. Значения амплитуд третьгодовой гармоники везде составляют 8.2 см, а у четвертьгодовой - они немного меньше - 7.7-7.8 см.

Для того, чтобы ответить на вопрос, почему амплитуды «внутренних» годовых колебаний в Балтийском море меньше, чем у полугодовых, был проведён ещё один численный эксперимент. На жидкой границе задавалась только одна годовая гармоника с амплитудой 10 см. На рис. 4 приведены амплитудные спектры Фурье, полученные в рамках этого численного эксперимента. Хорошо видно, что на выходе из Датских проливов амплитуда годовой гармоники уменьшается, и в более высокочастотной области формируются обертоны годового хода уровня (рис. 4 б, в, г.). Этот результат может свидетельствовать, что выявленные особенности пространственной изменчивости амплитуд «внутренних» колебаний уровня в диапазоне сезонной изменчивости в первом численном эксперименте связаны с тем, что из-за нелинейных взаимодействий, которые могут быть вызваны работой адвективных ускорений и придонным трением, происходит передача энергии от годовых колебаний в более высокочастотную область спектра, где генерируются обертоны годового хода уровня моря, из которых наибольшую амплитуду имеет полугодовой обертон, величина которого максимальна на востоке Финского залива. В результате, амплитуда годовой гармоники уменьшается, а амплитуда «внутреннего» полугодового колебания увеличивается за счет влияния обертона.

Согласно теоретическим представлениям, в морских бассейнах релаксация водных масс к условиям равновесия после прекращения действия возмущающих сил происходит в виде длинных волн 2-х классов: гравитационных и градиентно-вихревых (LeBlond & Mysal, 1978; Педлоски, 1984; Тареев, 1971). В ограниченных морских бассейнах большое влияние на динамику длинных волн оказывают эффекты отражения, проявляющиеся в формировании стоячих мод гравитационных волн и мод градиентно-вихревых волн, свойственных замкнутым бассейнам (LeBlond & Mysal, 1978; Некрасов, 1975; Педлоски, 1984).

Теоретические исследования длинных гравитационных волн в полуограниченных и замкнутых бассейнах свидетельствуют, что на частотах w, где вращение Земли не ощущается, т.е. w > f (f - параметр Кориоллиса), формируются сейши - свободные затухающие стоячие гравитационные волны, генерирующиеся на частотах собственных колебаний бассейна (Грузинов, 1973; Лабзовский, 1971). Самый простой вид сейш - когда уровень воды поднимается у одного края бассейна, в то же время, опускаясь у другого его края, а посередине бассейна наблюдается узловая линия, вдоль которой колебания уровня отсутствуют, и частицы воды движутся только горизонтально. Этот вид сейш называют одноузловыми. Двухузловой называют сейшу, имеющую две узловые линии. Сейши бывают и многоузловые - три, четыре и более узлов. Специфической особенностью сейш является одновременность фазы колебания во всех точках бассейна с резким ее изменением на 180° в узловой зоне. Результаты численного моделирования показывают, что в Балтийском море при отсутствии вращения Земли для сейши с периодами 40,6 часов единственная узловая линия располагается на самом севере открытой Балтики (Wubber & Krauss, 1979). изменчивость уровень балтийский баротропный северный море

На частотах близких к инерционной частоте, или существенно ниже её, где велико влияние вращения Земли, в стоячей гравитационной волне происходит ослабление развития фиксированных узловых линий и стягивание их в узловые точки (амфидромические центры), вокруг которых возмущения уровня моря начинают вращаться против часовой стрелки в виде волны Кельвина в северном полушарии и по часовой стрелке - в южном (Wilson, 1972). Такие колебательные движения имеют признаки как стоячих, так и прогрессивных волн. Признак стоячих волн - наличие выраженной узловой области в виде амфидромии, в центре которой колебания уровня отсутствуют, и пучностей, где колебания уровня максимальны. Признак прогрессивных волн - квазимонотонное изменение фазы волны в пространстве, вокруг амфидромического центра. В некоторых работах такие волны называют смешанными или прогрессивно-стоячими (Zakharchuk et al., 2021; Крылов, 1946; Некрасов, 1975; Тимонов, 1959).

В реальных природных условиях ограниченных морских бассейнов, из-за сложности очертаний берегов и рельефа дна под влиянием вращения Земли стоячие гравитационные волны модифицируются в многоузловые прогрессивно-стоячие волны Кельвина (Pugh, 1987; Taylor, 1922; Zakharchuk et al., 2021; Некрасов, 1975).

Именно такие особенности колебательных движений мы наблюдаем на рис. 5а, б, в, где показаны амплитудно-фазовые характеристики «внутренних» баротропных колебаний в мезомасштабном диапазоне частот. Отклик уровенной поверхности Балтийского моря на воздействие «внешних» колебаний с периодами 12, 24 и 26 часов проявляется в виде генерации прогрессивно-стоячих волн (Zakharchuk et al., 2021; Крылов, 1946; Некрасов, 1975; Тимонов, 1959) с выраженными амфидромическими системами и пучностями, вращающимися против часовой стрелки вокруг амфидромических центров в виде волн Кельвина (рис. 5а, б, в). Для колебаний с периодом 12 часов отмечается 8 амфидромий, и практически на всей акватории Балтики их амплитуды не превышают 0.4 см и только на самом востоке Финского залива, а также на юго-западе открытой Балтики отмечаются пучности, в которых амплитуда повышается до 0.8 см на востоке Финского залива и до 3.5 см на юго-западе моря (рис. 5а).

Для колебаний с периодом 24 часа наблюдаются 2 амфидромические системы: одна- на севере Ботнического залива, вторая - на самом севере открытой Балтики, а также пучности в Финском и Рижском заливах и на юго-западе моря (рис. 5б). Период 26 часов соответствует периоду доминирующих по амплитуде собственных баротропных колебаний Балтийского моря (JOnsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). По этой причине происходит резонанс между «внешними» колебаниями с периодом 26 часов и собственными колебаниями Балтики, в результате которого внутри моря генерируется двухузловая прогрессивно-стоячая волна Кельвина (рис. 5в), имеющая наибольшую амплитуду (5-6 см) по сравнению с «внутренними» колебаниями других частот мезомасштабного диапазона (см. рис. 3). Одна из амфидромий у этих колебаний располагается на севере Ботнического залива, другая - на северо-западе открытой Балтики (рис. 5в). Основные пучности отмечаются в Финском заливе и на юго- западе моря, а менее выраженные - в Рижском заливе и на севере Ботнического залива (рис. 5в). Эти результаты свидетельствуют, что «внешние» колебания с периодами собственных колебаний Балтийского моря могут вносить определённый вклад в формирование опасных подъёмов уровня в Балтике. Например, хорошо известно, что длинные волны, которые генерируются во время штормовых нагонов и вызывают наводнения на востоке Финского залива, имеют периоды, близкие к периодам собственных колебаний Балтики (Захарчук et al., 2020; Куликов & Медведев, 2013), и в ряде работ показано, что одним из механизмов опасных подъёмов уровня в Невской губе может быть резонанс между анемобарическими силами в движущемся над морем глубоком циклоне и собственными колебаниями Балтики (Захарчук et al., 2017; Захарчук & Тихонова, 2011; Куликов & Медведев, 2013). Мареографные измерения уровня на границе Северного и Балтийского морей в пункте Скаген (см. рис. 1) свидетельствуют, что в осеннее-зимний период здесь отмечаются довольно интенсивные неприливные мезомасштабные колебания, которые приводят к подъёмам уровня в данном районе около 1 метра (рис. 6). Вейвлет-анализ этих колебаний показывает (рис. 6 б, г), что их периоды близки к периоду 26-27 часов, который имеют доминирующие по амплитуде в Балтийском море собственные баротропные колебания (Jonsson et al., 2008; Wubber & Krauss, 1979; Zakharchuk et al., 2021). Этот результат свидетельствует о возможности резонанса между «внешними» и собственными колебаниями Балтийского моря. Возможен, по-видимому, и двойной резонанс генерации волн невских наводнений, когда периоды изменчивости анемобарических сил в проходящем над Балтикой глубоком циклоне и «внешних» колебаний совпадают с собственными баротропными колебаниями Балтийского моря.

Средняя глубина Балтийского моря равна 54 м, средние глубины его основных заливов меняются от 15 до 77 м, а максимальная глубина достигает 458 м (Lepparanta & Myrberg, 2009). Теоретические фазовые скорости гравитационных волн, соответствующие таким глубинам, и оцененные по известной формуле Cg =( gH)ⁱⁿ (где g - ускорение свободного падения, H - средняя глубина Балтийского моря) равны 12-67 м/с. Оценки фазовой скорости поступательной компоненты волнового движения у «внутренних» колебаний с периодом 12.4 часа, рассчитанные на основе результатов численного моделирования по формулам (3)-(4), варьируют от 12 до 42 м/с (см. рис. 7а), т.е. входят в диапазон теоретических фазовых скоростей гравитационных волн. Фазовые скорости колебаний с периодами 24 часа меняются от 6.0 до 22 м/с (рис. 7б), а у 26часовых колебаний они равны 6-19 м/с (рис. 7в). Такие оценки также, частично, пересекают диапазон теоретических фазовых скоростей гравитационных волн.

В синоптическом диапазоне частот амплитудно-фазовая картина «внутренних» колебаний значительно меняется. Результаты, представленные на рис. 5 г, д, е, демонстрируют, что у колебаний с периодами 4, 7 и 25 суток отсутствуют амфидромические системы, но сохраняется неоднородность пространственного распределения оценок фаз: в южной части моря отмечается сгущение изофаз, а севернее - их разрежение (рис. 5 г, д, е). Эта особенность также является признаком прогрессивно-стоячих волн (Некрасов, 1975). Гидравлическое сопротивление Датских проливов оказывает значительное влияние на распространение заданных на границе колебаний с периодами 4 и 7 суток: их амплитуды за проливной зоной уменьшаются приблизительно на порядок до значений 0.3-1.4 см (рис. 5г, д). Оценки амплитуд у колебаний с периодом 25 суток остаются однородными на всей акваторией Балтики за проливной зоной и имеют значения около 3 - 3.5 см.

В ограниченных бассейнах на частотах w < f, кроме низкочастотных волн Кельвина могут генерироваться захваченные градиентно-вихревые волны, подобные топографическим волнам Россби (Ефимов et al., 1985). Это преимущественно горизонтально-поперечные волновые движения, которые генерируются только на частотах, лежащих всегда ниже инерционной частоты. В ряде работ возмущения синоптического масштаба в полях течений и уровня Балтийского моря идентифицировались, как топографические волны (Каиб8ерр et al., 2003; Айтсам & Талпсепп, 1982; Захарчук, 2007; Захарчук et al., 2004, 2006; Талпсепп, 1983). Топографические волны всегда распространяются вдоль изобат, оставляя зону подъёма дна справа в северном полушарии, и слева - в южном (Ефимов et al., 1985). Результаты на рис. 7 г, д, е свидетельствуют, что в синоптическом диапазоне «внутренние» колебания уровня моря с периодами 4 суток распространяются с фазовыми скоростями 1.6-5.5 м/с, 7 суток - 0.9-3.0 м/с, 25 суток - 0.2-0.8 м/с. Эти значения значительно меньше теоретических оценок фазовых скоростей баротропных гравитационных волн для условий Балтийского моря, которые мы получили выше. Можно предположить, что в синоптическом диапазоне частот «внутренние» баротропные волновые движения в поле уровня Балтийского моря могут быть связаны с топографическими волнами.

У «внутренних» баротропных колебаний с периодами 1, 0.5 и 0.25 года не отмечается пространственного изменения фазы, что свидетельствует о синхронности изменений уровня в Каттегате и других районах Балтийского моря.

Выводы

Результаты численных экспериментов с трёхмерной баротропной гидродинамической моделью позволяют сделать следующие основные выводы:

1. В диапазоне периодов от 3 часов до 10 суток, за исключением частот собственных баротропных колебаний Балтийского моря (периоды 15-35 час), гидравлическое сопротивление Датских проливов оказывает значительное влияние на фильтрацию индуцированных на жидкой границе колебаний уровня моря, приводя к снижению их амплитуды за проливами приблизительно в десять и более раз. В диапазоне периодов 15-35 часов из-за резонанса с собственными баротропными колебаниями Балтийского моря происходит усиление заданных на границе флуктуаций уровня моря, и их максимальные амплитуды достигают значений 5-6 см.

2. В мезомасштабном диапазоне частот баротропный отклик уровенной поверхности Балтийского моря на воздействие заданных на жидкой границе колебаний проявляется в генерации прогрессивно-стоячих волн с выраженными амфидромическими системами и пучностями, вращающимися против часовой стрелки вокруг амфидромических центров в виде волн Кельвина. Оценки фазовой скорости поступательной компоненты волнового движения у этих колебаний согласуются с теоретическими значениями фазовых скоростей гравитационных волн.

3. В синоптическом диапазоне частот у колебаний с периодами более 10 суток с увеличением периодов ослабляется фильтрующее влияние Датских проливов и на периодах около 60 суток их амплитуды понижаются только на 50%. В пространственной структуре этих колебаний отсутствуют амфидромические системы, но сохраняется неоднородность пространственного распределения оценок фаз. Значения фазовых скоростей распространения колебаний синоптического масштаба внутри моря значительно меньше теоретических оценок фазовых скоростей баротропных гравитационных волн для условий Балтийского моря. Можно предположить, что в синоптическом диапазоне частот баротропные волновые движения в поле уровня Балтийского моря могут быть связаны с топографическими волнами.

4. Наименьшее фильтрующее воздействие Датские проливы оказывают на заданные на границе колебания в диапазоне сезонной изменчивости (3-12 месяцев): их амплитуды на выходе из Датских проливов уменьшаются на 6-22%. У этих колебаний не отмечается пространственного изменения фазы. Наибольшая амплитуда в Балтийском море отмечается у полугодовых «внутренних» колебаний. Эта особенность связана с влиянием полугодового обертона у годового колебания, который генерируется за счет нелинейных эффектов и усиливает полугодовое колебание уровня моря.

Литература

1. Айтсам, А.М., & Талпсепп, Л.А. (1982). Об одной интерпретации синоптических явлений в Балтийском море. Океанология, 22, 357-362.

2. Грузинов, В.М. (1973). Океанология. Термины и определения. ГОСТ 18451-73. Государственный комитет стандартов Совета Министров СССР.

3. Дианский, Н.А. (2013). Моделирование циркуляции океана и исследование его реакции на короткопериодные и долгопериодные атмосферные воздействия. Физматлит.

4. Добровольский, А.Д., & Залогин, Б.С. (1982). Моря СССР. Издательство Московского университета.

5. Ефимов, В.В., Куликов, Е.А., Рабинович, А.В., & Файн, И.В. (1985). Волны в пограничных областях океана. Гидрометеоиздат.

6. Захарчук, Е.А. (Ed.). (2007). Динамика вод Балтийского моря в синоптическом диапазоне пространственно-временных масштабов. Гидрометеоиздат.

7. Захарчук, Е.А., Клеванцов, Ю.П., & Тихонова, Н.А. (2006). Пространственно-временная структура и идентификация синоптических возмущений уровня Балтийского моря по данным спутниковых альтиметрических измерений. Метеорология и Гидрология, 5, 6977.

8. Захарчук, Е.А., & Сухачев, В.Н. (2018). Использование спутниковой альтиметрической информации для оценки особенностей генерации возмущений уровня синоптического масштаба под действием касательного трения ветра в системе Балтийского и Северного морей. Современные Проблемы Дистанционного Зондирования Земли Из Космоса, 15(7), 163-174.

9. Захарчук, Е.А., Сухачев, В.Н., & Тихонова, Н.А. (2017). Механизмы опасных подъёмов уровня моря в Финском заливе. Петербург-XXI Век.

10. Захарчук, Е.А., Сухачев, В.Н., & Тихонова, Н.А. (2020). О пространственной структуре и распространении волн невских наводнений. Метеорология и Гидрология, 4, 42-53.

11. Захарчук, Е.А., & Тихонова, Н.А. (2011). О пространственно-временной структуре и механизмах формирования невских наводнений. Метеорология и Гидрология, 8, 54-64.

12. Захарчук, Е.А., Тихонова, Н.А., & Фукс, В.Р. (2004). Свободные низкочастотные волны в Балтийском море. Метеорология и Гидрология, 8.

13. Каменкович, В.М., Кошляков, М.Н., & Монин, А.С. (1987). Синоптические вихри в океане. Гидрометеоиздат.

14. Крылов, Ю.М. (1946). Орбиты водных частиц в прогрессивно-стоячей волне на примере Белого моря. Метеорология и Гидрология, 2, 69-74.

15. Куликов, Е.А., & Медведев, И.П. (2013). Изменчивость уровня Балтийского моря и наводнения в Финском заливе. Океанология, 161-174.

16. Куликов, Е.А., Медведев, И.П., & Колтерманн, К.П. (2015). Роль баротропного водообмена в формировании спектра колебаний уровня Балтийского моря. Океанология, 55(1), 5-15.

17. Куликов, Е.А., Файн, И.В., & Медведев, И.П. (2015). Численное моделирование анемобарических колебаний уровня Балтийского моря. Метеорология и Гидрология, 2, 41-52.

18. Лабзовский, Н.А. (1971). Непериодические колебания уровня моря. Гидрометеоиздат.

19. Лебедев, В. И. (1964). Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики, 4(3), 449-465.

20. Марчук, Г.И. (2009). Методы вычислительной математики. Лань.

21. Некрасов, А.В. (1975). Приливные волны в окраинных морях. Гидрометеоиздат.

22. Педлоски, Д.Ж. (1984). Геофизическая гидродинамика. Пер. с англ. Мир.

23. Смоленцев, Н.К. (2008). Основы теории вейвлетов. вейвлеты в matlab. ДМК Пресс.

24. Талпсепп, Л.А. (1983). О захваченных топографических волнах в Балтийском море. Океанология, 23, 928-931.

25. Тареев, Б.А. (1971). Градиентно-вихревые волны на материковом склоне океана. Известия Академии Наук СССР. Физика Атмосферы и Океана, 7(4), 431-436.

26. Тимонов, В.В. (1959). О кинематическом анализе приливов. Труды ГОИН, 37, 181-204.

27. Blumberg, A.F., & Mellor, G.L. (2012). A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model.

28. Brydon, D., Sun, S., & Bleck, R. (1999). A new approximation of the equation of state for seawater, suitable for numerical ocean models. Journal of Geophysical Research: Oceans, 104(C1).

29. Carlsson, M. (1997). Sea level and salinity variations in the Baltic Sea - an oceanographic study using historical data. Goteborg University.

30. Grawe, U., Friedland, R., & Burchard, H. (2013). The future of the western Baltic Sea: Two possible scenarios. Ocean Dynamics, 63(8).

31. Griffies, S.M. (2005). Chapter 2 Some ocean model fundamentals. Ocean Weather Forecasting: An Integrated View of Oceanography.

32. Jonsson, B., Doos, K., Nycander, J., & Lundberg, P. (2008). Standing waves in the Gulf of Finland and their relationship to the basin-wide Baltic seiches. Journal of Geophysical Research: Oceans, 113(3).

33. LeBlond, P.H., & Mysal, L.A. (1978). Waves in the Ocean (Elsevier).

34. Lepparanta, M., & Myrberg, K. (2009). Physical Oceanography of the Baltic Sea. In Physical Oceanography of the Baltic Sea.

35. Madsen, K.S., & H0jerslev, N.K. (2009). Long-term temperature and salinity records from the Baltic Sea transition zone. Boreal Environment Research, 14(1).

36. Matthaus, W. (2006). The history of investigation of salt water inflows into the Baltic Sea - from the early beginning to recent results. Meereswissenschaftliche Berichte Marine Science Reports, 65(65).

37. Mesinger, F., & Arakawa, a. (1976). Numerical methods used in atmospheric models, volume 1. Global Atmospheric Research Program World Meteorological Organization, 1(17).

38. Omstedt, A. (1987). Water cooling in the entrance of the Baltic Sea. Tellus A, 39 A(3).

39. Pacanowski, R.C., & Philander, S.G.H. (1981). Parametrization of vertical mixing in numerical models of the tropical ocean. J. Phys. Oceanogr., 11, 1443-1451.

40. Pugh, D. (1987). Tides, Surges andMean Sea Level: A Handbook for Engineers and Scientists. John Wiley & Sons.

41. Raudsepp, U., Beletsky, D., & Schwab, D.J. (2003). Basin-scale topographic waves in the Gulf of Riga. Journal of Physical Oceanography, 33(5).

42. Samuelsson, M., & Stigebrandt, A. (1996). Main characteristics of the long-term sea level variability in the Baltic sea. Tellus, Series A: Dynamic Meteorology and Oceanography, 48(5).

43. Stigebrandt, A. (1980). Barotropic and Baroclinic Response of a Semi-Enclosed Basin to Barotropic Forcing from the Sea. In Fjord Oceanography.

44. Stigebrandt, A. (1983). A Model for the Exchange of Water and Salt Between the Baltic and the Skagerrak. Journal of Physical Oceanography,13(3).

45. Taylor, G.I. (1922). Tidal oscillations in gulfs and rectangular basins. Proceedings of the London Mathematical Society, s2-20(1).

46. Wilson, B.W. (1972). Seiches. Adv. Hydrosci, 1, 1-89.

47. Wubber, Ch., & Krauss, W. (1979). The two-dimensional seiches of the Baltic Sea. Oceanologica Acta, 4(2).

48. Zakharchuk, E.A., Tikhonova, N., Zakharova, E., & Kouraev, A.V. (2021). Spatiotemporal structure of Baltic free sea level oscillations in barotropic and baroclinic conditions from hydrodynamic modelling. Ocean Science, 17(2).

49. Zalesny, V.B., Marchuk, G.I., Agoshkov, V.I., Bagno, A.V., Gusev, A.V., Diansky, N.A., Moshonkin, S.N., Tamsalu, R., & Volodin, E.M. (2010). Numerical simulation of large-scale ocean circulation based on the multicomponent splitting method. Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 25(6).

References

1. Aitsam, A.M., & Talpsepp, L.A. (1982). On an interpretation of synoptic phenomena in the Baltic Sea. Oceanology, 22, 357-362. (In Russian)

2. Blumberg, A.F., & Mellor, G.L. (2012). A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model.

3. Brydon, D., Sun, S., & Bleck, R. (1999). A new approximation of the equation of state for seawater, suitable for numerical ocean models. Journal of Geophysical Research: Oceans, 104(C1).

4. Carlsson, M. (1997). Sea level and salinity variations in the Baltic Sea - an oceanographic study using historical data. Goteborg University.

5. Diansky, N.A. (2013). Modeling of ocean circulation and study of its response to short- period and long-period atmospheric forcings. Fizmatlit. (In Russian)

6. Dobrovolsky, A.D., & Zalogin, B.S. (1982). Seas of the USSR. Moscow University Press. (In Russian)

7. Efimov, V.V., Kulikov, E.A., Rabinovich, A.V., & Fain, I.V. (1985). Waves in the border areas of the ocean. Gidrometeoizdat. (In Russian)

8. Grawe, U., Friedland, R., & Burchard, H. (2013). The future of the western Baltic Sea: Two possible scenarios. Ocean Dynamics, 63(8).

9. Griffies, S.M. (2005). Chapter 2 Some ocean model fundamentals. Ocean Weather Forecasting: An Integrated View of Oceanography.

10. Gruzinov, V.M. (1973). Oceanology. Terms and definitions. GOST 18451-73. State Committee of Standards of the Council of Ministers of the USSR. (In Russian)

11. Jonsson, B., Doos, K., Nycander, J., & Lundberg, P. (2008). Standing waves in the Gulf of Finland and their relationship to the basin-wide Baltic seiches. Journal of Geophysical Research: Oceans, 113(3).

12. Kamenkovich, V.M., Koshlyakov, M.N., & Monin, A.S. (1987). Synoptic vortices in the ocean. Gidrometeoizdat. (In Russian)

13. Krylov, Y.M. (1946). Orbits of water particles in a progressive-standing wave on the example of the White Sea. Meteorology and Hydrology, 2, 69-74. (In Russian)

14. Kulikov, E.A., & Medvedev, I.P. (2013). Variability of the Baltic Sea level and floods in the Gulf of Finland. Oceanology, 53(2), 161-174. (In Russian)

15. Kulikov, E.A., Medvedev, I.P., & Coltermann, K.P. (2015). The role of barotropic water exchange in the formation of the spectrum of fluctuations in the level of the Baltic Sea. Oceanology, 55(1), 5-15. (In Russian)

16. Kulikov, E.A., Fain, I.V., & Medvedev, I.P. (2015). Numerical simulation of anemobaric fluctuations in the level of the Baltic Sea. Meteorology and Hydrology, 2, 41-52. (In Russian)

17. Labzovsky, N.A. (1971). Non-periodic fluctuations in sea level. Gidrometeoizdat. (In Russian)

18. Lebedev, V.I. (1964). Difference analogues of orthogonal expansions, basic differential operators, and some boundary value problems in mathematical physics. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 4(3), 449-465. (In Russian)

19. LeBlond, P.H., & Mysal, L.A. (1978). Waves in the Ocean (Elsevier).

20. Lepparanta, M., & Myrberg, K. (2009). Physical Oceanography of the Baltic Sea. In Physical Oceanography of the Baltic Sea.

21. Madsen, K.S., & H0jerslev, N.K. (2009). Long-term temperature and salinity records from the Baltic Sea transition zone. Boreal Environment Research, 14(1).