Использование комбинированных аналитических аппроксимаций в методах решения прямых и обратных задач геофизики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Использование комбинированных аналитических аппроксимаций в методах решения прямых и обратных задач геофизики

волновой геофизика электромагнитный аппроксимация

Методы решения задач, базирующиеся на аналитических аппроксимациях статических и волновых полей (метод дискретных источников, метод нуль-поля), являются старейшими и весьма распространенными в вычислительной геофизике. Несмотря на огромный объем работ, посвященный их развитию и применению, была и остается актуальной проблема расширения возможностей этих методов в части их применения к телам сложной геометрии, а также сплошным средам со сложной формой материальных включений.

Наиболее простой способ представления электромагнитного (ЭМ) поля в различных реализациях численно-аналитических методов - это взвешенная бесконечная сумма мультиполей (собственных функций векторного уравнения Гельмгольца в сферической системе координат), расположенных в одной точке (ряд Рэлея). Напомним, что сходимость ряда Рэлея полностью определяется геометрией поверхности тела (рассеивателя). Количественные критерии сходимости ряда Рэлея в скалярных и векторных задачах были получены в прошлом рядом исследователей [1, 2]. Откуда известно, что ряд, вообще говоря, не сходится до поверхности тела произвольной геометрии. Более того, критерии сходимости сложны в использовании и позволяют найти радиус сходимости лишь для объектов самой простой геометрии. Для тел сложной геометрии исследователь вынужден использовать численное моделирование и привлекать в качестве критерия сходимости величины типа минимума относительной невязки граничного условия на поверхности. В этом случае, однако, он помимо фундаментальной проблемы отсутствия сходимости ряда может столкнуться с проблемой неустойчивого вычисления коэффициентов ряда также имеющей место. Тогда, как показывает опыт компьютерного моделирования, вообще бывает трудно понять причину неустойчивости полученного решения: является ли она фундаментальной или чисто алгоритмической. Следует заметить, что расположение всей системы мультиполей (МП) в одной пространственной точке не является необходимым. Известны реализации метода нуль-поля в которых достаточная универсальность метода как раз и достигается за счет расположения МП разных порядков в различных точках пространства. Неудобство таких реализаций в том, что исследователь вынужден вручную располагать МП центры в пространстве руководствуясь интуицией. Какого-нибудь автоматизированного способа расположения МП в зависимости от геометрии рассеивателя, насколько известно автору, до сих пор не предложено. Последние соображения полностью относятся и к методу дискретных источников.

В данной работе предлагается численный метод решения задач ЭМ рассеяния, в котором для аппроксимации решения используется ряд Рэлея. Одним из ключевых моментов является использование дополнительного аппроксиматора поля на поверхности тела. Для этой цели нами использована взвешенная сумма точечных дискретных источников (ДИ), сконструированных на основе функции Грина однородной среды. За основу при построении метода мы взяли уравнение нуль-поля, рассмотренное нами в [2]. При этом мы не производили мультипольное разложение функции Грина, а строили метод решения уравнения «как есть» в декартовой системе координат. Данное уравнение - это обычный интеграл Стрэттона-Чу, выражающий поле внутри тела с подставленными в него граничными условиями:

волновой геофизика электромагнитный аппроксимация

записанный при условии равенства нулю своей объемной части (точка наблюдения поля находится в нефизичной области пространства ). Вводя обозначения , , , запишем уравнение как

. (1)

Легко видеть, что (1) - поверхностное интегральное уравнение относительно одной из плотностей тока или . Подставим (пока формально) мультипольное разложение поля в , . Тогда (1) превращается в бесконечное линейное алгебраическое уравнение относительно неизвестных комплексных амплитуд МП. Поместим тело внутрь некоторой вспомогательной поверхности и будем перемещать точку наблюдения по ней. Выписывая для каждого положения точки наблюдения уравнение (1) мы, очевидно, можем набрать необходимое нам число линейно независимых уравнений. Обозначим это число за P. Тогда (1) можно записать как СЛАУ

, (2)

где - вектор амплитуд МП. Очевидно, что представляет собой числовой ряд элементами которого являются векторы из ( - мерного арифметического евклидова пространства). Естественно возникает вопрос: сходится ли этот ряд к какому-либо пределу, и если он сходится, то совпадает ли его сумма с вектором правой части . Условие минимума нормы приводит к неравенству . Так как порядок частичной суммы (N) стоящей слева произволен, а правая часть от N не зависит; следовательно, ряд сходится, но, вообще говоря, не к . Обозначим предел последовательности частичных сумм как , где - некоторый пока неопределенный вектор из , тогда можем записать . Данное условие сходимости имеет следующее физическое объяснение. Хотя ряд сходится по норме , однако, он не приближает граничное условие на поверхности тела. На поверхности остается некоторый добавочный ток, который не излучает в пространство, поскольку мы до сих пор не предусмотрели никакого механизма, который бы позволил создать в пространстве порождаемое им поле. Ясно, что ответственным за этот ток является вектор . Определим элементы как функционалы вида

. (3)

В качестве аппроксиматоров добавочного тока , мы рассматривали достаточно широкий набор средств. Были испробованы различные виды нейросетевых аппроксимаций (многослойные сети, радиальные сети) [3]. Наиболее простым и эффективным видом оказалась аппроксимация с помощью дискретных источников вида: , . Последний можно формально рассматривать как частный случай радиальной сети. Алгоритм решения задачи с использованием ДИ следующий. Сначала ДИ полностью «выключены». В этом случае мы связаны с необходимостью решения переопределенной несовместной системы (2). Процедура решения представляет собой получение решения нормальной системы с помощью метода наименьших квадратов. Решение нормальной системы существует и единственно и представляет собой псевдорешение исходной системы (2). Далее находятся элементы вектора как , которые преобразуются в интенсивности ДИ путем обращения (3). К слову, алгоритм возбуждения источников позволяет при определении их амплитуд решать системы уравнений малой размерности вместо связанной относительно всех амплитуд системы уравнений. Окончательно, решение задачи представляется частичной суммой ряда Рэлея и линейной комбинацией полей ДИ.

С помощью метода решены тестовые задачи, и было продемонстрировано хорошее совпадение результатов с известными литературными теоретическими, экспериментальными и расчетными данными. С помощью метода решена обратная задача об определении источников поля (их формы, расположения и интенсивности) по данным измерений на некоторой поверхности. Существенным для осуществления инверсии является наличие информации о фазе поля на поверхности измерений. Важно отметить, что метод позволяет получать устойчивые решения как для существенно волновых, так и квазистационарных полей. Для квазистационарного случая нами разработан алгоритм устойчивого вычисления векторных сферических гармоник. Предложенный метод допускает дальнейшее обобщение, в частности, на слоистые среды с произвольной геометрией слоев и материальных включений.

Список литературы

1. Van den Berg P.M. The Rayleigh hypothesis in the theory of diffraction by a cylindrical obstacle / van den Berg P.M., Fokkema J.T. // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. ? 1979. ? vol. 27, no.5. ? P. 577-583.

2. Serebrennikov A.M. An analysis of scattering caused by dielectric bodies using semi-analytic methods // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. ? 2008. ? vol. 56, no. 10. ? P. 3201-3209.

3. Gupta M.M. Static and dynamic neural networks: from fundamentals to advanced theory / Gupta M.M., Jin L., Homma N. - Hoboken: John Wiley & Songs, 2003. - 722 p.

Размещено на Allbest.ru