Определение геоцентра из SLR

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Горизонтальные перераспределения вод в поверхностном слое Земли включающие, например, изменение уровня моря, таяние ледников, являются проявлением многих геофизических процессов. Эти процессы связаны с изменением циркуляции океана и атмосферы, глобальными изменениями климата. Центр масс Земли (геоцентр) определяется в задачах динамики орбит спутников как центр массы всех оболочек Земли, в том числе литосферы, океанов, криосферы и атмосферы. И поскольку смещение геоцентра также зависит от механических свойств твердой Земли, мониторинг смещений геоцентра дает дополнительную возможность для более глубокого исследования нашей планеты [1].

Большинство современных геодезических измерительных систем опираются на данные наблюдений с наземных станций искусственных спутников Земли. Поэтому движение геоцентра жестко связано с определением Международной земной системы отсчета (International Terrestrial Reference Frame - ITRF). Земная система координат является основополагающим понятием для всех исследований в областях наук о Земле, и имеет важное значение для спутниковой навигации.

За последние 15 лет произошел прорыв в моделировании Мирового океана и в улучшении точности получаемых в результате наблюдений данных. Благодаря этому был также достигнут прогресс в изучении движения геоцентра. Смещения центра масс Земли были смоделированы и проанализированы с помощью геофизических и климатических моделей мирового океана, моделей гидрологических процессов на суше, и таяния ледников. Но на сегодняшний день эти модели являются недостаточно точными, чтобы воспроизвести миллиметры в движении геоцентра, это связано с недостатком знаний о некоторых движущих силах, в частности, о таянии ледников [2].

В данной работе приведены различные способы определения геоцентра, а также анализ полученных данных методом лазерной локации спутников.

1. Теоретические сведения об используемых данных

Гравитационный потенциал Земли выражается посредством сферических гармоник с помощью коэффициентов (Сnm и Snm) и является функцией глобального распределения масс, определяющейся объемным интегралом, охватывающим всю Землю. Координаты центра масс в принятой системе координат определяются нормированными коэффициентами сферических гармоник С10, С11 и S11 первой степени. Вектор геоцентра от начала системы координат до центра массы задается в виде:

где является радиусом Земли.

В системе координат гармоники степени один тождественны нулю. Начало геоцентрической инерциальной системы координат, для обеспечения высокой точности определения орбиты спутника, как правило, совпадает с центром масс, а вектор геоцентра rcm представляет собой смещение между началом координат ITRF и мгновенным центром масс [3].

Земля состоит из твердого и жидкого слоем, интеграл по объему всей Земли для вычисления коэффициентов гармоники первой степени может быть выражен математически в виде суммы интеграла по объему твердого тела Земли и интеграла по объему оболочки для тонкого жидкого слоя. Пусть ?у (ц,л) будет изменением плотности поверхности в виде интеграла вдоль радиуса от плотности распределения этого тонкого слоя. Тогда нагрузка от тонкого слоя, и вклад в нормированные коэффициенты С10f, С11f, S11f определяется интегралом по поверхности от изменений плотности ?у (ц,л) принятых для жидкой поверхности этого слоя Земли по элементу площпди поверхности dS следующим образом:

(2)

(3)

Соответственно, вектор геоцентра может быть выражен как rcm=rcms+rcmf. Вектор rcms представляет координаты центра масс твердого тела Земли без жидкой нагрузки и деформации, оцененные с помощью интеграла по объему твердого тела, предполагая, что масса твердого тела приближается к массе всей Земли. Вектор представляет координаты центра жидкого тонкого слоя на поверхности, в пределах которого масса будет свободно перераспределяться. оценивается через нагрузку от массы тонкого слоя (описываемой с помощью , , ) и нагрузку, вызванную деформацией земной поверхности. Оба вектора и определены относительно начала выбранной системы координат (ITRF) [4]. К сожалению, не измеряется непосредственно по наблюдениям обсерваторий расположенных на поверхности Земли. Тем не менее, (cумма и может быть определен из анализа данных SLR. Нормированные коэффициенты сферических гармоник (обозначенные как и ) могут быть также выявлены по измерениям сети GPS, на основе моделей придонного океанического давления (ocean bottom pressure - OBP), и данных по изменениями гравитационного поля, получаемых с помощью спутников GRACE.

На рисунке 1 CE - центр масс твердой Земли. X-общий центр масс (включая FE - жидкую оболочку). CN - является центром сети станций (в данном случае трех станций).

На рисунке 2 показа теоретическая ситуация, когда геодезические участки расположены равномерно по всей поверхности Земли (включая океаны) и CF=CE (центр фигуры совпадает с центром масс).

Рисунок 3 иллюстрирует деформацию поверхности твердой Земли и CF (центр фигуры) под нагрузкой.

2. Определение Геоцентра из SLR

Трудности при моделировании негравитационных сил, действующих на спутники, ограничивают возможность методов GPS и DORIS для точного измерения вектора геоцентра . [5]

В настоящее время, лазерная локация спутников (SLR) является наилучшим способом получения точных длительных рядов измерений. Данные SLR в течение последних трех десятилетий, обеспечивали долгосрочные, стабильные определения начала ITRF. Геоцентр определяется по координатам сети станций слежения, расположенных на твердой поверхности Земли. Спектр колебаний геоцентра представляет собой сумму спектров всех геофизических процессов, способных вызвать перераспределение масс.

Рис. 4 Сеть опорных станций наблюдений в системе определения Земной системы отсчета ITRF 2008

SLR, Doris и GPS в различной степени чувствительны к колебаниям геоцентра. Так, например, результаты SLR более близки к прогнозируемым данным. Решения GPS и Doris получают амплитуды компонент x и y, несколько отличающиеся от SLR, и при этом сильно разнящиеся z компоненты [6].

Спутники LAGEOS-1 и LAGEOS-2 (Laser geodynamics satellite) были разработаны и запущены для изучения параметров гравитационного поля Земли. В 1976 году был запущен LAGEOS-1, LAGEOS-2 был запущен лишь через 16 лет после первого. Их разработала международная группа исследователей (NASA и др.) [7].

3. Многомерный анализ сингулярного спектра (MSSA)

Сингулярный спектральный анализ является подходом к исследованию состава сигнала, так же именуемым методом «гусеницы-ССА». Разложив сигнал по эмпирическим ортогональным функциям, метод позволяет выделить основные составляющие. Этот метод обобщает метод главных компонент для временных рядов и допускает обобщение на многомерные ряды.

Алгоритм ССА. Пусть сигнал представлен временным рядом f(tk), которые содержат N отсчетов. Выполнение метода происходит в четыре этапа: первые два - для разложения, другие - для восстановления.

1) Сначала выбирается число L и формируется траекторная матрица. Столбцы матрицы {xi} - это векторы последовательно выбранные из временного ряда, размерность которых L:

Количество строк траекторной матрицы - L, столбцов K = N - L + 1.

2) Далее выполняется сингулярное разложение траекторной матрицы:

X=USVT, (6)

где S - диагональная матрица, имеющая размерность LxK. Сингулярные числа si расположены на главной диагонали матрицы Х. Столбцы матрицы U (размерность LxL) - правые векторы, которые образуют базис пространства, порожденного столбцами X и называется первым сингулярным базисом. Столбцы матрицы V (размерность KxK) - левые вектора и называются вторым сингулярным базисом.

A = XTX = (USVT)TUSVT = VSTSVT (7)

Из разложения квадратной матрицы видно, что i = si2 - собственные числа, vi - собственные вектора, они являются строками матрицы поворота VT.

3) Если S содержит d положительных сингулярных чисел si, то ранг X равен d и можно сопоставить тройку (si, ui, vi) каждому сингулярному числу.

Xi = siuiviT (8)

В этой компоненте разложения ui=Xvi/si. При проведении вычислений с ковариационной матрицей А для получения Xi сначала выполняется проектирование Х на векторы vi, затем свертка результата с этими векторами.

После группировки специальным образом тройки, которые получены при сингулярном разложении, исходную матрицу можно представить в следующем виде:

где XIl = Xi1 +. . .+Xip - группа, содержащая компоненты с индексами

Il = {i1, . . . , ip}. Все множество {1, 2, . . . , d} разбивается на непересекающиеся подмножества и в них осуществляется группировка.

4) После того, как сигнал сгруппирован, каждая компонента Xip будет представлять собой некоторую аддитивную компоненту f. Из матрицы Xip извлечем компоненту gIp усреднением элементов вдоль побочных диагоналей i+j = k+2. Переименовав XIl как yij и числа L*= min(L,K), K* = max(L,K) получим отсчеты gk:

Эта операция называется генкелизация (суть ее состоит в усреднении значений матрицы вдоль побочных диагоналей). Если применять ее для каждой XIp, получим представление исходного ряда в виде суммы m рядов f = (gI1, . . . , gIm), которые являются главными компонентами сигнала. [8]

Сингулярные числа нужно сгруппировывать. Эта операция осуществляется на основе выявления сходства поведения компонент во времениили их частотного состава.

Многомерный ССА легко реализуется для комплексного сигнала при этом алгоритм остается прежним. МССА является обобщением ССА на случай векторных рядов, который позволяет выделить из сигнала частотно-временные компоненты. Строится траекторная матрица Xi для каждого канала, после чего, все траекторные матрицы объединяются в блочную X = [X1,X2, . . .XN]. Зная структуру исходных матриц, легко восстановить все главные компоненты.

В геофизических исследованиях МССА называют так же расширенным методом разложения по эмпирическим ортогональным функциям.

4. Анализ Фурье

Фурье анализ является основным методом спектрального анализа сигналов. Общий случай ряда фурье по ортогональной системе действительных чисел gk(t), непрерывных на [a, b], в виде сходящегося ряда:

Рассмотрим случайную функцию f(t) как бесконечное множество случайных величин. Каждая случайная величина реализуется в свой момент времени t. Для описания подобной функции необходимо построить плотности вероятностей всех совместных распределений семейств случайных величин для различных t. Параметры стационарных процессов, у которых характерезующие их распределения инвариантны относительно сдвига во времени, не меняются со временем.[8]

Автоковариационная функция (АКФ) является смешанным моментом второго порядка. Ее вид:

< f >= M{f} - математическое ожидание, с (индекс) - центрированная случайная величина.

АКФ случайных стационарных процессов зависит от разности между t2 и t1. Она характерезует линейную зависимость между значениями процесса в различные моменты t. Использование преобразования Фурье позволяет приближенно представлять имеющийся процесс в виде набора гармоник со случайными амплитудами и фазами. Стационарные случайные функции допускают спектральное разложение, и для его получения выполняют преобразование Фурье автокорреляционной функции, которое называется спектральной плотнотью мощноси (СПМ):

СПМ характерезует распределение дисперсии случайного процесса по частотам.

5. Основная часть

МССА

В данной работе проводится анализ смещений центра масс Земли по данным ILRS (International Laser Ranging Service) лазерной локации спутников, в частности LAGEOS. Для анализа смещений геоцентра были взяты данные пятого релиза за период с 01.01.2002 по 01.03.2016 (ftp://ftp.csr.utexas.edu/pub/slr/geocenter/). Данные представляют собой смещения (в мм) по осям X, Y и Z.

Выполнен МССА для всех трех координат одновременно. Алгоритм МССА реализован в среде MATLAB (см. приложение). Параметр L выбран равным 3 года. После чего, по полученным сингулярным числам были вычислены главные компоненты и построены графики для каждой из координат X, Y, Z.

Рис. 5 Главные компоненты МССА, X-координата

На рисунках 5-7 представлены главные компоненты (ГК) получены объединением сингулярных чисел (СЧ) со сходным поведением. Так, например, ГК-2 (зеленая линия) является результатом группировки сингулярных чисел 1 и 2 для компоненты X (Рис 5). Сумма первых десяти СЧ хорошо аппроксимирует исходный сигнал. Период главной компоненты 2 равен году. У ГК-5 период колебаний полгода. Период колебаний ГК-3 - около пяти лет. У ГК-4 - полтора года. Особенно интересен тренд. Судя по полученным графикам ГК 1 представляет собой небольшой убывающий трендом. Выделив ее отдельно на Рис 5 синим, видим, что он меняется на интервале ?0,1мм - 0,25мм.

Подобные графики для компоненты Y представлены на рисунке 6. Тренд (ГК-1) соответствует первому спектральному числу. Его изменения так же малы как и в случае с X. Тренд принимает значения от ?0,25мм до 1,1мм.

Рис. 6 Главные компоненты МССА, Y-координата

Рис. 7 Главные компоненты МССА, Z-координата

Тренд компоненты Z значительнее. В период с 2002 по 2012 год он убывает, затем с 2012 по 2016 резко возрастает. Это может означать, что в 2012 году произошло какое-то событие, которое могло повлиять на заметное смещение геоцентра.

Линейный тренд

По исходным данным для каждой компоненты X, Y, Z мы оценили также линейные тренды вида y=Ax+B. (см. рисунки 8, 9, 10)

Выделен тренд Ax+B

Таблица 1 Параметры линейного тренда в координатах геоцентра

Линейный тренд для Х компоненты:

тренд сингулярный фурье

Рис. 8

Линейный тренд для Y компоненты:

Линейный тренд для Z компоненты:

Рис. 10

Смещения геоцентра на карте

до МССА после МССА

Рис. 11 Карта смещений геоцентра в сферической системе координат. Широта и долгота определяет направления смещений, радиус кружков определяет модуль r.

По полученным в сферической системе координатам (r,ц,л) результатам видно, что смещения геоцентра группируются в некоторой выделенной полосе, параллельной экватору. Это может являться артефактом, связанным с чувствительностью системы SLR и требует дальнейшего изучения.

7. Данные анализа Фурье

На рис. 12 изображен график спектральной плотности мощности СПМ X -координаты, полученный преобразованием Фурье автоковариационной функции

На Рис. 13 показаны амплитудный спектр и квадрат спектра X-координаты на основе быстрого преобразования Фурье. Особенно четко выделяется годовое колебание.

На рис. 14 сопоставлены все три координаты геоцентра X, Y, Z по данным SLR с 2002 по 2016 год. Видно, что изменения по Z наиболее амплитудные.

Рис. 14 X(синим), Y(красным) и Z(коричневым) координаты геоцентра по данным SLR

Кроме того, для сопоставления на Рис. 15 представлены графики для X-координаты геоцентра, полученные только по данным LAGEOS 1 и 2 с 1992 г со сводными данными SLR с 2002 года. Видно, что отдельно два спутника LAGEOS дают меньшие амплитуды колебаний, вполне вероятно, иной тренд, но в целом согласие вполне наблюдаемо. Ряд по данным LAGEOS более долговременны, но имеет разрешение не месяц, а два месяца. Его исследование планируется в дальнейшем.

Рис. 15 Сопоставление данных LAGEOS с 1992 г со сводными данными SLR с 2002 года. X-координата

Заключение

В данной работе был проведен анализ смещений геоцентра по данным ILRS. Чем точнее определяются координаты спутника методом лазерной локации, тем точнее могут быть определены параметры его орбиты и, по группировке спутников, оценены координаты смещения геоцентра.
В данной исследовании были достигнуты следующие результаты:

Использовав многомерный сингулярный спектральный анализ всех трех компонент вектора смещений геоцентра (X, Y и Z). Сингулярные числа имеющие схожие колебания были сгруппированы и были получены главные компоненты. По полученным данным были построены графики, после чего была проведена оценка поведения каждой ГК. По имеющимся на сегодня данным SLR можно сделать вывод, что компоненты X и Y изменяются в значительно меньшей степени, чем Z. Это может быть связано с тем, что метод SLR с меньшей точностью определяет компоненту Z.

Был получен линейный тренд всязый из исходных данных. По нему были определены скорости смещений (мм/год) (см. Таблица 1). Оцениваемые скорости составляют 0.2, -0,2, -4,9 мм/год для X,Y, и Z соответственно. Таким образом, относительно принятой на данный момент методики определения координат геоцентра в земной системе координат ITRF 2005, его смещения, в основном, направлены по оси Z к южному полюсу. Что отличается от результатов работы [9].

Было выявлено, (Рис 11) что в сферической системе координат смещения геоцентра в целом группируются в некоторой выделенной полосе почти параллельно экватору (см. рис 11). Это требует дополнительного изучения.

С помощью Фурье - анализа был получены оценки СПМ, амплитудный и спектр и спектр мощности.

Периодичности, отмеченные на основе анализа вполне соответствуют возможным эффектам от перераспределений масс океана, ледников, воды, снега и др. на поверхности Земли.

Список литературы

1. Cheng M., Ries J., Tapley B., 2010. Geocenter variations from analysis of SLR data. In: IAG Commission 1 Symposium 2010, Reference Frames for Applications in Geosciences (REFAG2010), Marne-La-Vallйe, France, 4-8 October.

2. Wu, X., Collilieux, X., Altamimi, Z., 2010a. Data sets and inverse strategies for global surface mass variations. Geophy. Res. Abstr. 12, EGU2010

3. Cheng MK, Ries J (2009) Monthly estimates of C20 from 5 SLR satellites, GRACE Technical Note 05, ftp://podaac.jpl.nasa.gov/allData/grace/docs/TN-05_C20_SLR.txt

4. Cheng M, Ries JC, Tapley BD (2011) Variations of the Earth's figure axis from satellite laser ranging and GRACE. J Geophys Res 116:B01409.

5. Зотов Л. В. Теория фильтрации и обработка временных рядов. Курс лекций. - М: Физический факультет МГУ, 2010. -200 с.

6. Kuzin S.P., Tatevian S.K., Determination of seasonal geocenter variations from doris, GPS and SLR data

7. Jet Propulsion Laboratory, California Institute of Technology, Geocenter - Degree 1 http://grace.jpl.nasa.gov/data/get-data/geocenter/

8. Analysis and results of ITRF2008 Z. Altamimi, X. Collilieux, L. Mґetivier, (IERS Technical Note ; No. 37)

9. Leonid Zotov, Yury Barkin, Alexey Lyubushin. Geocenter motion and its geodynamical contents. Proceedings of Asia-Pacific Space Geodynamics conference, 22-26 September, 2008, Novosibirsk

Размещено на Allbest.ru