Прямі та обернені задачі гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГЕОФІЗИКИ ІМ. С.І. СУББОТІНА

Кишман-Лаванова Тамара Миколаївна

УДК 550.831

ПРЯМІ ТА ОБЕРНЕНІ ЗАДАЧІ ГРАВІМЕТРІЇ В КЛАСІ БЛОЧНО ПОБУДОВАНИХ ГЕОЛОГІЧНИХ МОДЕЛЕЙ

04.00.22 - геофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2008

ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана у відділі математичної геофізики

Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України.

Науковий керівник:

член-кореспондент НАНУ, доктор фізико-математичних наук, професор

БУЛАХ Євген Георгійович,

Інститут геофізики, головний науковий співробітник

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ПЕТРОВСЬКИЙ Олександр Павлович,

Івано-Франківський Національний технічний університет нафти і газу,

старший науковий співробітник

кандидат фізико-математичних наук

ДУБОВЕНКО Юрій Іванович,

Інститут геофізики, науковий співробітник.

Захист відбудеться “ 8 ” лютого 2008 р. о 10.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.200.01 в Інституті геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України за адресою: 03680, Київ-142, пр. Палладіна, 32.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України за адресою: 03680, Київ-142, пр. Палладіна, 32.

Автореферат розісланий 3 січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор геологічних наук М.І. Орлюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Проблема розвитку ефективних методів пошуку та розвідки покладів корисних копалин завжди була актуальною для України, і особливої негайності набула зараз як один із шляхів забезпечення країни власним паливно-енергетичним ресурсом.

Гравірозвідка займає важливе місце в системі геофізичних методів, що застосовуються при вивченні будови земної кори та верхньої мантії, а також при пошуках та розвідці покладів корисних копалин.

Зростаючі темпи удосконалення обчислювальної техніки дозволяють ставити та розв'язувати інтерпретаційні задачі значно вищого рівня складності, ніж раніше. Тому розробка економічних, геологічно ефективних та зручних у користуванні комп'ютерних систем інтерпретації гравіметричних даних для складно побудованих моделей середовища, формування нових підходів та принципів розв'язування конкретних геологічних задач вивчення глибинної будови земної кори за допомогою математичного моделювання є важливими та актуальними.

В цій роботі представлені результати дослідження апроксимаційних можливостей деяких модельних класів, що описують складні геологічні середовища, а також алгоритми, розроблені з метою підвищення інтерпретаційної ефективності обернених задач. В ході виконання роботи знайшли також вирішення або уточнення такі фундаментальні питання як мінімізація багатопараметричних функціоналів, пошук множини еквівалентних розв'язків, формування моделі початкового наближення.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. В дисертаційній роботі викладені результати досліджень автора у відділі математичної геофізики Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України. Дослідження проводилися в рамках наукової теми: МГ1 “Розвиток та узагальнення математичних методів обробки та інтерпретації геофізичних полів” (№ 1.5.2.54, 2001-2005, № державної реєстрації 0101V000667).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка теорії та методичного, алгоритмічного і програмного забезпечення розв'язування прямих та обернених задач гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей, які можуть бути представлені сукупністю криволінійних уступів або контактних поверхонь, відпрацювання методики використання програмного комплексу для практичного моделювання густинних джерел за полем сили тяжіння та виміряними його компонентами. Для досягнення цієї мети були поставлені завдання:

1. Побудувати апроксимуючі конструкції для моделювання розрізів та об'ємів досліджуваного середовища, які забезпечують детальність опису геологічних об'єктів з одного боку, та простоту і малопараметричність задачі з іншого.

2. Теоретично обґрунтувати побудову моделей початкового наближення на основі методів прямого пошуку.

3. Розробити процедуру побудови моделей початкового наближення в умовах зростаючої складності й багатоваріантності геологічних моделей.

4. Розробити ефективне алгоритмічне та програмне забезпечення для розв'язання обернених задач гравіметрії, що забезпечує такі можливості: а) знаходити геометричну форму моделі збурюючих об'єктів (нелінійна постановка оберненої задачі); б) виконувати моделювання, використовуючи як методи автоматизованого підбору, так і методи прямого пошуку; в) розв'язувати рудні та структурні задачі у профільному та площинному варіантах.

5. Виконати ряд досліджень методом обчислювального експерименту на моделях джерел рудного та структурного типу з метою формування об'єктивних висновків щодо особливостей розв'язуваних задач, збіжності ітераційних процесів в оптимізаційних процедурах, точності отриманих розв'язків, можливих меж практичної еквівалентності, ефективності використання трансформованих компонент полів для кожного типу збурюючих об'єктів.

6. Здійснити апробацію окремих елементів програмного забезпечення на практичних задачах.

Об'єкт дослідження - моделювання аномальних гравітуючих об'єктів.

Предмет дослідження - побудова апроксимаційних конструкцій геологічного середовища.

Методи дослідження. На основі методу математичного моделювання побудовано інтерпретаційну модель, насамперед такі її елементи, як будова досліджуваного природного середовища, структура аномальних полів та апріорні обмеження. Створену інтерпретаційну модель досліджено за допомогою методу обчислювального експерименту, зокрема проаналізовано апроксимаційні можливості запропонованих конструкцій. При розв'язанні оберненої задачі гравіметрії використано оптимізаційні методи та методи прямого пошуку.

Наукова новизна одержаних результатів. У роботі підтримується і практично втілюється теза академіка РАН Страхова В.М. про необхідність застосування аналітичних апроксимацій при інтерпретації потенціальних полів. В руслі цієї тези отримано наступні нові результати:

- запропоновані нові апроксимаційні підходи в класі криволінійних уступів та контактних поверхонь дозволяють моделювати складні геологічні середовища структурного, рудного та змішаного типів при збереженні детальності апроксимації та мінімальній кількості параметрів;

- вперше теоретично обґрунтовано апроксимацію параметричного простору за допомогою діаграм Вороного при побудові моделей початкового наближення в обернених задачах гравіметрії;

- вперше запропоновано метод околів для пошуку множини еквівалентних моделей на основі дослідження параметричного простору, і, як результат, усунуто проблему безпосередньої залежності кінцевого розв'язку ряду обернених задач гравіметрії від моделі початкового наближення в рамках методу підбору;

- підвищено ефективність розв'язування оберненої структурної задачі за рахунок введення спеціально побудованої трансформанти спостереженого поля.

Практичне значення одержаних результатів полягає в їх безпосередній спрямованості на розв'язання ряду практичних задач обробки та інтерпретації гравіметричних даних. Розроблені апроксимаційні конструкції значно розширюють можливості моделювання геологічних об'єктів складної конфігурації, а також гравітуючих джерел рудного, структурного та змішаного типів. Застосування запропонованих підходів дозволяє підвищити ефективність результатів інтерпретаційних задач за рахунок надійного вибору моделей початкового наближення, максимального використання апріорної та іншої змістовної інформації.

Особистий внесок здобувача. Дисертаційна робота виконувалася за науковими темами відділу математичної геофізики під науковим керівництвом член-кореспондента НАН України, доктора фізико-математичних наук, професора Є.Г. Булаха. На етапах проведення теоретичних та практичних досліджень автором роботи повністю виконана методологічна та програмна реалізація розв'язання прямих та обернених задач у вибраних класах [2-5]. Особисто автором побудовані алгоритми та проведені обчислювальні експерименти для оцінки ефективності запропонованих апроксимаційних конструкцій [3-5], запропоновано підхід до розв'язання обернених задач гравіметрії з попереднім аналізом множини еквівалентних моделей на основі алгоритму околів та зроблено висновки про межі застосовності останнього [9, 10]. Всі практичні результати, отримані у роботі та опубліковані в статтях, належать безпосередньо автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були представлені на сесіях Міжнародного семінару ім. Д.Г. Успенського в Єкатеринбурзі (Росія, 2002, 2006), Пермі (Росія, 2005), на міжнародній конференції ім. Ю.П. Булашевича в Єкатеринбурзі (Росія, 2005), на науковій конференції в Дніпропетровську (Україна, 2002).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 10 робіт: 5 - у наукових журналах, 1 - у збірнику наукових праць, 4 - в тезах міжнародних наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація містить вступ, п'ять розділів, висновки, список використаної літератури, що складає 139 найменувань, та додаток. Загальний об'єм 139 сторінок, 4 таблиці, 28 рисунків.

Робота виконана у відділі математичної геофізики Інституту геофізики ім. С.І. Субботіна Національної академії наук України. Науковий керівник - член-кореспондент НАНУ, доктор фізико-математичних наук, професор Є.Г. Булах. Автор висловлює глибоку подяку науковому керівнику за постановку задач, постійну допомогу, увагу та всебічну підтримку на всіх етапах роботи.

Автор глибоко вдячна доктору філософії австралійського університету М. Самбріджу за плідні консультації, доктору фізико-математичних наук В.М. Шуману, доктору фізико-математичних наук Г.М. Корчагіну, кандидату технічних наук М.М. Марковій, кандидату фізико-математичних наук Т.Л. Міхеєвій, кандидату фізико-математичних наук М.С. Зейгельману за критичні зауваження, наукові дискусії та корисні поради, а також всім співробітникам відділу математичної геофізики за розуміння та підтримку.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми роботи, формулюється мета та завдання дослідження, вказується наукова новизна отриманих результатів, їх практичне значення, формулюються основні наукові положення, що захищаються, особистий внесок здобувача, наводяться дані стосовно апробації дисертаційної роботи, її структури та обсягу.

Інтерпретація геопотенціальних полів: короткий літературний огляд

Дається короткий нарис розвитку теорії і практики інтерпретації потенціальних полів в руслі задач гравіметрії, наводиться загальна постановка прямої та оберненої задач та підходів до їх розв'язання.

Геологічне середовище, фізичну неоднорідність якого (в межах постановки математичної задачі) можна апроксимувати однозв'язною областю, будемо вважати простим, інакше геологічне середовище називатимемо складно побудованим.

З розвитком обчислювальної техніки теорія (а відповідно і практика) інтерпретації потенціальних полів набула принципово нової якості, як за методологічними установками, так і за ступенем математичного опрацювання всіх проблем (і перш за все проблем єдиності та стійкості), за рівнем складності математичних моделей і поля, за типом обчислювальних алгоритмів (В.М. Страхов). Вершиною цього етапу стала ідея створення автоматизованих систем обробки та інтерпретації гравіметричних даних (В.І. Старостенко, В.І. Аронов).

Однак в цих умовах особливо гостро постали проблеми некоректності обернених задач, особливо при використанні багатопараметричних апроксимацій для опису складних геологічних середовищ. Теоретична розв'язуваність некоректних задач (роботи А.М. Тихонова, В.Я. Арсеніна, М.М. Лаврентьєва, В.О. Морозова, В.К. Іванова) не завжди вказує на шляхи практичного подолання цієї проблеми. Єдиність розв'язку оберненої задачі забезпечується його пошуком на класі єдиності, а проблема стійкості вирішується в рамках конкретного методу розв'язання задачі.

Значного розвитку набула проблема інтерпретації полів для складно побудованих середовищ (а саме задач структурної геології та об'ємного картування глибинних горизонтів) при розв'язанні оберненої задачі гравіметрії в класі контактних поверхонь. Постановка задач у цьому класі належить Б.В. Нумерову, О.О. Заморєву, І.М Рапопорту та В.К. Іванову, у працях яких розглядалася задача для однієї границі. Далі значного розвитку задача для кількох контактів набула завдяки роботам О.К. Маловичко, В.М. Страхова, В.І Старостенко, А.В. Чорного, М.О. Алексідзе, Є.Г. Булаха, М.М. Маркової, М.Г. Сербуленко, Ю.В. Антонова, О.І. Кобрунова, Р.П. Денисюка та ін.

Результати вивчення задач для контактних границь свідчать про необхідність максимального залучення додаткової кількісної та якісної інформації про шукані поверхні. Питання попереднього формування моделі початкового наближення не отримало систематизованого дослідження.

Залишається актуальною і проблема параметризації аномалієзбурюючих об'єктів, оскільки з одного боку апроксимаційна конструкція має забезпечувати детальність опису геологічного середовища, а з іншого боку введення багатопараметричних моделей призводить до нестійких розв'язків оберненої задачі.

Доцільним для апроксимації складно побудованих середовищ виявився і клас гравітуючих уступів, одна з перших робіт, в яких розглядався цей модельний клас, належить Є.Г. Булаху. Похилими та прямими уступами зручно апроксимувати блочно побудовані геологічні об'єкти, однак знову виникає проблема багатопараметричності при постановці оберненої задачі.

Таким чином, на сучасному етапі акценти у постановці та розв'язанні обернених задач гравіметрії для блочно побудованих середовищ змістилися в напрямку вирішення методологічних питань, а саме, в рамках підвищення ефективності отримання надійних розв'язків за рахунок вдалого вибору модельного класу актуальним залишається питання параметризації геологічного середовища, а відтак, і пошук нових апроксимаційних побудов.

Побудова інтерпретаційної моделі геологічного середовища

Викладено змістовні компоненти побудови інтерпретаційних моделей, а саме збір наявних даних (що відносяться до всіх елементів інтерпретаційної моделі), перш за все про будову досліджуваного об'єму природного середовища, а також про структуру аномальних полів і зв'язаних з ними апріорних обмежень; проведення спеціальних розрахунків (розв'язання допоміжних задач), що дозволяють внутрішніми геофізичними засобами уточнити модельні уявлення про середовище, аномальне поле та зв'язки між ними.

Для моделювання складних геологічних середовищ пропонується використовувати клас криволінійних уступів та клас контактних поверхонь.

Клас криволінійних уступів. Якщо геологічна структура об'єкта дуже витягнута за простяганням, то варто розглядати двовимірну модель уступу. Криволінійний уступ в першому наближенні можна замінити сукупністю похилих уступів, проте така апроксимація занадто складна для розв'язання обернених задач. Якщо ж криволінійний контур бічної грані уступу апроксимувати аналітичною функцією, то кількість параметрів значно зменшується. Нехай верхня точка криволінійної грані має координати (d1, H1), а нижня - (d2, H2).

Представимо бічний контур таким чином:

,

де - чисельні значення коефіцієнтів, що визначають рельєф бічної грані, mF - кількість доданків. Тоді параметризація моделі запишеться так:

Характерною особливістю цього модельного класу є можливість детально та компактно описувати як шаруваті структури, так і ізольовані об'єкти.

Клас двовимірних контактних поверхонь. Для опису рельєфу контактних поверхонь також вводиться нова апроксимаційна побудова. Розглянемо шарувате середовище, пласти якого розділені між собою контактними поверхнями. Нехай модель містить jk поверхонь розділу. Для кожної t-ї поверхні на осі абсцис виберемо достатньо великий сегмент , на якому рельєф поверхні представимо функцією

.

Поза сегментом функція має асимптотичне продовження. Ліва і права асимптоти визначаються горизонтальними площинами

.

Звичайно конфігурація поверхні задається таблично сукупністю точок, які задані на границі розділу двох середовищ. Розглядається два підкласи. Перший підклас - власне контактна поверхня. Нехай для кожної поверхні поділу порід задана горизонтальна площина

- нульовий рівень. Вважатимемо, що маси з надлишковою густиною розташовані між контактною поверхнею та нульовим рівнем і при цьому виконується умова: якщо і , то . Другий підклас - клас шаруватих середовищ. Аномальні маси, надлишкова густина яких дорівнює , розташовуються між двома поверхнями

: якщо

>0

,

То

.

Неважко показати, що якщо надлишкові густини постійні, то для вибраної моделі аномалія сили тяжіння в першому і другому класі відрізняється на сталу. Важливою особливістю такої конструкції є можливість опису розривних шаруватих середовищ (поверхонь зі скидами).

Навіть при нескладному рельєфі контактної поверхні такі апроксимації будуть багатопараметричними. Опишемо рельєф поверхні на сегменті [d1, d2] аналітичною функцією:

.

Тоді кількість параметрів значно зменшується, модель в загальному вигляді можна представити таким вектором:

Зручність цієї апроксимаційної конструкції полягає в тому, що по-перше, контактна поверхня може бути як завгодно складною, і включати в себе вертикальні ступені, тобто, розриви першого роду, по-друге, легко формулювати задачі з n контактними поверхнями, по-третє, така апроксимація при забезпеченні високої точності досить економічна, тобто, зводить до мінімуму розмірність розв'язуваної задачі.

Клас тривимірних контактних поверхонь. Для геологічної моделі у вигляді шаруватого середовища у координатній площині z=0 виберемо область D - прямокутник досить великих розмірів:

.

Точки, які фіксуються у спостереженому аномальному полі, повинні розташовуватися в центральному секторі вибраної області. У цьому випадку вплив неврахованих асимптотичних частин контактних поверхонь буде дуже малим.

Контактна поверхня визначається положенням горизонтальної площини . В кожній точці вибраної області поверхня відхиляється від цієї фіксованої площини на величину

(1)

Варіюючи значення параметра ( або ін.), можна формувати різноманітні апроксимаційні побудови.

Сама контактна поверхня визначається функцією

.

Узагальнимо викладене та запишемо параметри, які визначають геологічну модель:

де jk - кількість контактних поверхонь, у - значення надлишкової густини мас, які розташовуються нижче поверхні розділу, - нульовий рівень (горизонтальна площина ), відносно якого ведеться відлік рельєфу контактної поверхні. Параметри, які визначають функцію (1) - відхилення поверхні від нульового рівня, записані двома групами. В групу W1 входить - показник степеня і сукупність m точок . Ці величини фіксуються при постановці задачі і в процесі пошуку розв'язку не змінюються. В групу W2 входять 3m параметрів. Вони будуть змінюватися від свого початкового значення до кінцевого значення . Ці величини разом з фіксованими даними визначають результат розв'язку.

Зазначимо, що конструкція (1) дозволяє описувати як плавний (пологий) рельєф поверхонь, так і більш крутий, багатоекстремальний.

Наявність апріорної інформації про геологічне середовище є важливим кроком до подолання (або послаблення) явища еквівалентності розв'язків оберненої задачі. Окрім цього кожний модельний клас передбачає введення апріорних обмежень, мета якого забезпечити максимальне звуження множини еквівалентності та уникнути появи геологічно беззмістовних розв'язків. У зв'язку з цим одним із центральних питань гравіметрії стає не тільки технологія отримання розв'язку, а й розвиток методів введення різнорідної апріорної інформації в постановку обернених задач, з'ясування впливу тих чи інших її компонент на властивості отримуваних розв'язків, забезпечення можливості оперативного „регулювання” властивостей розв'язків за рахунок нарощування чи зміни даних про розв'язок.

Теоретичне дослідження еквівалентності розв'язків оберненої задачі гравіметрії в класі контактних поверхонь (В.І. Старостенко, О.І. Кобрунов, Є.Г.Булах, А.В. Чорний, С.М. Оганесян) показує, що вимога мінімуму функціонала, в якому співставляються спостережене та теоретичне поля, є лише необхідною умовою єдиності розв'язку. Достатні умови мають забезпечувати відповідність шуканого розв'язку усьому комплексу апріорних відомостей про геологічне середовище та характеристикам модельного класу:

1. Умова відповідності апріорних глибин залягання N контактів їх теоретичним значенням -

,

де - ваговий множник регуляризуючої добавки для t-ї поверхні; - ваговий множник фіксованої реперної точки; - апріорне значення рельєфу (або реперна точка) t-ї поверхні в точці ; - теоретичне значення рельєфу t-ї поверхні в точці (залежить від параметрів моделі); m(t) - кількість реперних точок t-ї поверхні.

2. Критерій, який, виражаючи інформацію про початкове наближення, забезпечує рівні ступені варіювання всіх границь, якщо вони з позицій апріорної інформації знаходяться в рівних умовах

,

де - верхня межа функції ; - ваговий множник, по умовчанню рівний одиниці.

3. Геометричні обмеження на глибини залягання контактів, а також умови неможливості перетину останніх .

4. Максимально допустимі прирости параметрів

,

де - верхні та нижні обмеження на параметри, що підбираються, відповідно; Ср - параметр, що вводиться інтерпретатором апріорі, вибирається з урахуванням аналізу можливих меж оцінки параметрів апроксимаційної конструкції.

Практика показує, що підвищенню ефективності отримання надійних розв'язків сприяє також використання компонент поля або його трансформант, побудованих з урахуванням специфіки модельного класу. Корисною виявилася трансформанта - поле варіації аномалії сили тяжіння відносно цього поля у фіксованій точці

.

геологічний модель інтерпретаційний задача

Записана функція може бути складена без будь-яких апроксимаційних гіпотез, вона виключає похибку у виборі рівня відліку аномального поля сили тяжіння, виключає постійну складову фонового впливу, а також вплив горизонтально шаруватої частини реальних гравітуючих мас, надлишкова густина яких не змінюється за горизонтальними координатами.

Для визначення похідних вищих порядків від функції аномалії сили тяжіння заданої таблично запропоновано апроксимаційний підхід, а також експрес-метод чисельного диференціювання.

Методологічні та програмно-алгоритмічні особливості розв'язання обернених задач

Розглянуто можливості методу підбору з точки зору отримання надійних розв'язків в умовах широкої еквівалентності. Показано, що властивості розв'язків, отримуваних методом підбору, значною мірою визначаються прийнятою апроксимацією геологічного середовища. Якщо геологічне середовище апроксимувати цілісними блоками з постійною густиною, встановлюючи лише їх конфігурацію (що спрощує обчислення при аналітичному описі та забезпечує мінімальну кількість параметрів), то вплив еквівалентності на розв'язок задачі значно послаблюється. При заданих обмеженнях на шукані параметри можна отримати еквівалентну модель, якщо ж сформовано клас єдиності, то розв'язок, як показує практика, буде однозначним і залежатиме лише від моделі початкового наближення. Стійкість розв'язку визначається ефективністю алгоритму мінімізації цільової функції.

Встановлення області збіжності для конкретного модельного класу досліджувалося раніше теоретично (Є.Г. Булах, М.М. Маркова, Т.Л. Міхеєва), проте практична реалізація можлива лише за значних модельних спрощень. Без встановлення області збіжності функціоналу в результаті підбору може бути отриманий довільний еквівалентний розв'язок, залежно від вибору вихідної точки . В цій ситуації доцільним видається визначення множини еквівалентних розв'язків та подальший її аналіз з урахуванням наявної апріорної інформації та змістовних обмежень на шукані параметри.

Запропонований алгоритм околів дозволяє отримувати множину еквівалентних моделей. Ідея алгоритму належить австралійському вченому М. Самбріджу, і виникла у зв'язку з розв'язанням сейсмічних обернених задач. Алгоритм околів ґрунтується на апроксимації параметричного простору функцією нев'язки, яка визначається для кожної точки простору. Для цього використовуються геометричні конструкції відомі під назвою діаграм Вороного. Оскільки кожній точці параметричного простору можна поставити у відповідність значення функції нев'язки даних, і навколо цієї точки єдиним чином можна визначити комірку Вороного, то апроксимація модельного простору здійснюється простим встановленням постійної нев'язки всередині кожної комірки. У такий спосіб d-вимірний модельний простір єдиним чином поділяється на області (випуклі многогранники).

Сам алгоритм доволі простий і полягає в наступному:

1. Утворити початковий ряд моделей рівномірно (або в якийсь інший спосіб) розподілених у параметричному просторі.

2. Обчислити значення функції нев'язки для утвореного ряду моделей і визначити моделей, яким відповідають найменші нев'язки.

3. Утворити нових моделей, виконуючи рівномірний випадковий крок всередині комірки Вороного кожної з вибраних моделей (тобто, моделей в кожній комірці).

4. Перейти до п. 2.

Для того, щоб реалізувати алгоритм околу, не потрібно визначати всі елементи діаграми Вороного (що було б не розв'язуваною задачею). Як видно з рис. 2, досить лише знайти точки, в яких межі d-вимірної комірки Вороного перетинають i-у вісь, що проходить через точку А. Тоді наступна варіація рівномірного випадкового кроку обмежується двома точками на осі ( та на рис. 2). Визначення точок перетину осі з межами комірки можна здійснити виходячи з геометричних міркувань.

Нехай навколо моделі (вектора) сформовано k-у комірку Вороного. Точку, в якій границя між k-ю та j-ю комірками перетинає i-у вісь позначимо , тоді за означенням маємо

.

Приймаючи, що

,

будемо мати

,

де - проекції векторів та на i-у вісь відповідно; - відстань від точки до біжучої i-ї осі. З останнього рівняння отримуємо

(2)

Для того, щоб знайти границі комірки Вороного, рівняння (2) має бути оцінено для всіх комірок і вибрано дві найближчі до А точки.

Більш формально, маємо нижню межу з умови

і верхню межу з умови

,

де і - нижня і верхня межі параметричного простору в i-у напрямі відповідно.

Після здійснення циклу по всіх напрямах (координатах) створюється нова модель у параметричному просторі.

Серед інших особливостей алгоритму околів слід відзначити наступні. Наявність випадкових похибок у спостережених даних не впливає на результативність запропонованого алгоритму, оскільки функція нев'язки в даному випадку слугує не критерієм мінімізації, а є лише способом порівняння моделей. Алгоритм околів є стійким, оскільки в процесі його роботи не накопичуються обчислювальні похибки. Слід також відмітити, що при застосуванні алгоритму околів досліджується увесь параметричний простір, що виключає попадання процесу пошуку в локальний мінімум, тоді як при мінімізації функціоналу градієнтним методом найшвидшого спуску точка мінімуму залежить від початкової моделі і може виявитися точкою локального мінімуму. Результатом алгоритму околів є множина е - еквівалентних моделей, де е - наперед задана величина. Наочно продемонстровано дієвість алгоритму для дво - та тривимірного параметричного просторів.

Результати опробування методів на модельних задачах

На модельних прикладах продемонстровано можливості апроксимаційних конструкцій в класі криволінійних уступів та контактних поверхонь при розв'язанні нелінійної оберненої задачі гравіметрії.

Технологія апроксимації аномальних об'єктів криволінійними уступами досить проста і водночас дозволяє детально і компактно описати реальне геологічне середовище. Наводиться обернена задача для сукупності 5-и криволінійних уступів, що апроксимують два ізольовані об'єкти, один з яких розташований в межах пласта постійної надлишкової густини. Досить складна геологічна модель описується 12 параметрами, які з задовільною точністю відтворюють задані об'єкти. Крім того, показано, що наявність випадкових похибок у спостережених даних не впливає на результат задачі при мінімізації цільової функції градієнтним методом найшвидшого спуску.

На модельному прикладі в класі двовимірних контактних поверхонь показано ефективність використання другої похідної аномалії сили тяжіння. В процесі згладжування поля послаблено вплив випадкових похибок, а лінійну частину фонового впливу було знято в результаті подвійного диференціювання функції вихідного поля. Постійна компонента фонового впливу знімається при інтерпретації не самого поля сили тяжіння, а його трансформанти - варіації поля відносно цього поля у заданій точці. На прикладі складного шаруватого середовища показано, що наявність апріорної інформації хоча б про одну границю забезпечує прийнятний розв'язок задачі, зі зростанням кількості апріорних відомостей про середовище розв'язок відтворюється як завгодно точно.

На прикладі тривимірних контактних поверхонь продемонстровано можливості запропонованих апроксимаційних конструкцій, зокрема, при інтерпретації поля сили тяжіння, отриманого від сукупності паралелепіпедів. Наближене відновлення ступінчатої розривної функції неперервною диференційованою функцією є задовільним при розв'язанні практичних задач.

Наведено результати розв'язування тривимірної оберненої задачі по полю , ускладненому випадковими похибками. Задача розв'язувалася за допомогою алгоритму околів та градієнтним методом найшвидшого спуску. Підібрані рельєфи контактної поверхні мало відрізняються між собою, але краще співпадання полів забезпечив алгоритм околів.

Практичне застосування розробленого програмного забезпечення при розв'язанні інтерпретаційних задач

У розділі наведені результати інтерпретації гравіметричних матеріалів.

Соляні поклади в районі Актюбінська. В результаті гравіметричних досліджень в районі Актюбінська зафіксовано два гравітаційні мінімуми, викликані соляними покладами, потужність яких на окремих ділянках складає кілька кілометрів. На основі відомостей про густинний склад досліджуваної товщі порід (за даними буріння) та відомостей про положення деяких частин верхньої поверхні розділу (за даними сейсморозвідки) побудовано модель геологічного середовища. Визначені положення соляних куполів добре узгоджуються з апріорними відомостями та пояснюють природу гравітаційних аномалій.

Дослідження глибинної будови Карпатського регіону. Визначена за сейсмічними регіональними дослідженнями глибинна будова Карпат і система розломів в їх межах відповідають виявленому Г.Ю. Бойком та С.Г. Анікеєвим Підкарпатському рифтогену. Елементи, встановлені у структурі земної кори і покривів Карпат, послужили вихідними даними для геолого-гравіметричного інтерактивного моделювання. Вихідним полем для інтерпретації було взято різницеву аномалію, отриману шляхом вирахування зі спостереженого гравітаційного поля ефекту осадової товщі. Верхній осадовий шар апроксимувався сукупністю криволінійних уступів з відомою густиною. Відомості про густинний склад осадової товщі, кори та верхньої мантії ґрунтуються на результатах гравіметричного моделювання, виконаного у роботі Бойко Г.Ю., Лозиняк П.Ю., 2003. Отримана в результаті інтерпретації глибинна (до 70 км) структура досліджуваного регіону по двох профілях (в районах Вишкова та Турки) може слугувати ще одним доказом існування Карпатського рифтогену.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі втілено нову ідею щодо проблеми інтерпретації гравітаційного поля для складно побудованих середовищ, а саме необхідність застосування аналітичних апроксимацій при моделюванні геологічних середовищ.

Основні результати виконаної роботи та положення винесені до захисту, зводяться до наступного:

1. Запропоновані аналітичні апроксимації геологічних моделей в класах гравітаційних уступів та контактних поверхонь є ефективними при моделюванні складно побудованих середовищ, оскільки при детальності опису середовища задача залишається малопараметричною.

2. Розроблене алгоритмічне, програмне та методичне забезпечення для розв'язання обернених задач гравіметрії у вказаних класах характеризується багатоваріантністю та адаптивністю, що дає можливість:

а) здійснювати підбір параметрів аномальних джерел за другими та третіми похідними гравітаційного поля, а також за лінійною трансформантою модельованих компонент;

б) використовувати при підборі елементи, задані вздовж профілів та на площині;

в) максимально враховувати апріорні дані про геологічне середовище та змістовні геометричні обмеження.

3. Запропонований алгоритм формування множини еквівалентних розв'язків (алгоритм околів) дозволяє побудувати геологічно змістовну модель початкового наближення для подальшого пошуку розв'язку в рамках методу підбору. У ряді випадків алгоритм околів може слугувати самостійним методом пошуку розв'язку оберненої задачі.

Одержано також результати, які мають допоміжний характер в дослідженнях, проте важливі з точки зору забезпечення простоти та надійності процесу розв'язання обернених задач, а саме, запропоновано апроксимаційний підхід та експрес-метод для визначення похідних гравітаційного потенціалу за функцією, заданою таблично.

Розроблене алгоритмічне, програмне та методичне забезпечення пройшло успішне тестування на ряді модельних задач. Отримання надійних результатів інтерпретації гравіметричних даних підтверджено при застосуванні запропонованих розробок для розв'язування практичних задач.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Статті.

1. Булах Е.Г., Кишман Т.Н. Об одном аппроксимационном подходе при решении обратных задач гравиметрии в классе блочно построенных геологических моделей // Докл. НАН Украины. - 2001. - №10. - С. 104-108.

2. Булах Е.Г., Кишман-Лаванова Т.Н. Один нелокальный метод минимизации функционалов, возникающих в задачах гравиметрии и магнитометрии // Физика Земли. - 2004. - №7. - С. 71-77.

3. Булах Е.Г., Кишман-Лаванова Т.Н. Обратные задачи гравиметрии в классе блочно построенных геологических моделей // Геофизический журнал. - 2005. - Т. 27, №2. - С. 272-279.

4. Булах Е.Г., Кишман-Лаванова Т.Н. Об одном аппроксимационном подходе при решении обратной задачи гравиметрии в классе двумерных контактных поверхностей // Геофизический журнал. - 2005. - Т. 27, №3. - С. 427-443.

5. Булах Е.Г., Кишман-Лаванова Т.Н. Еще один аппроксимационный подход к решению обратных задач гравиметрии в классе трехмерных контактных поверхностей // Геофизический журнал. - 2006. - Т. 28, №2. - С. 54-62.

Тези доповідей.

6. Кишман-Лаванова Т.Н. Прямые задачи гравиметрии в классе блочно построенных геологических моделей // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 29 сессии Международного семинара им. Д. Г. Успенского. - Екатеринбург. - 2002. - С. 87-91.

7. Кишман-Лаванова Т.Н. Некоторые аспекты метода минимизации многопараметрических функционалов // Сборник научных трудов НГА Украины. - Днепропетровск: РИК НГА Украины. - 2002. - 4, №13. - С. 161-167.

8. Кишман-Лаванова Т.Н. Некоторые аспекты решения обратной задачи гравиметрии при наличии фонового влияния и случайных погрешностей // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей. Материалы 32-й сес. Международного науч. семинара им. Д.Г. Успенского. - Пермь: Горный институт УрО РАН. - 2005. - С. 113-116.

9. Кишман-Лаванова Т.Н. Метод окрестностей при решении обратных задач гравиметрии // Глубинное строение, геодинамика, мониторинг. Тепловое поле Земли. Интерпретация геофизических полей. Материалы межд. конф. “ научные чтения имени Ю. П. Булашевича”. - Екатеринбург: И-т геофизики УрО РАН. - 2005. - С. 128-129.

10. Кишман-Лаванова Т.Н Построение интерпретационной модели при решении обратной задачи гравиметрии с помощью алгоритма окрестностей // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей: Материалы 33-й сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского. - Екатеринбург: Институт геофизики УрО РАН. - 2006. - С. 131-135.

АНОТАЦІЇ

Кишман-Лаванова Т.М. Прямі та обернені задачі гравіметрії в класі блочно побудованих геологічних моделей. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 04.00.22 - геофізика. Інститут геофізики ім. С.І. Суботіна Національної академії наук України, Київ, 2008.

В дисертації запропоновані нові аналітичні апроксимації блочно побудованих геологічних середовищ в класах криволінійних уступів та контактних поверхонь, які забезпечують малопараметричність задачі, а отже, підвищують її стійкість при детальності опису середовища. Спеціально побудована трансформанта спостереженого поля дозволяє ефективно використовувати особливості модельних класів.

Запропонований алгоритм пошуку множини еквівалентних розв'язків (алгоритм околів) на основі аналізу всього параметричного простору дає можливість вибрати геологічно змістовну модель для подальшого пошуку в рамках методу підбору. В ряді випадків алгоритм околів слугує самостійним методом пошуку розв'язку оберненої задачі.

Ефективність розробленого алгоритмічного, програмного та методичного забезпечення підтверджується надійністю результатів, отриманих при розв'язанні практичних задач в Карпатському регіоні та районі Актюбінська.

Ключові слова: обернена задача гравіметрії, аналітична апроксимація, метод околів, метод підбору, еквівалентна модель, комірка Вороного, параметричний простір.

Кишман-Лаванова Т.Н. Прямые и обратные задачи гравиметрии в классе блочно построенных геологических моделей. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 - геофизика. Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена проблеме повышения эффективности решения обратных задач гравиметрии в условиях блочно построенных геологических сред. Для сложных геологических сред особенно остро встает вопрос о неоднозначности и устойчивости решений, а так же об их геологической содержательности. В работе предложены новые аналитические аппроксимации сложных сред в классах криволинейных уступов и контактных поверхностей, которые обеспечивают малопараметричность задачи, и, следовательно, повышают ее устойчивость, при детальности описания среды. Кроме того, применение специально построенной трансформанты наблюденного поля позволяет эффективно использовать особенности модельного класса, а именно, применение функции вариации поля силы тяжести относительно этого поля в фиксированной точке показало свои преимущества в классе контактных поверхностей.

Хорошо известно, что решение, получаемое по методу подбора, обладая единственностью, в значительной мере определяется моделью начального приближения. Предложенный алгоритм поиска множества эквивалентных решений (алгоритм окрестностей) на основании анализа всего параметрического пространства дает возможность выбрать геологически содержательную модель для дальнейшего поиска по методу подбора. В ряде случаев алгоритм окрестностей может служить самостоятельным методом поиска решения обратной задачи.

Разработанное алгоритмическое, программное и методическое обеспечение для решения обратных задач гравиметрии в указанных классах характеризуется многовариантностью и адаптивностью, что дает возможность осуществлять подбор параметров аномальных источников по вторым и третьим производным гравитационного поля, а также по линейным трансформантам моделируемых компонент; использовать при подборе элементы, заданные вдоль профилей и на плоскости; максимально учитывать априорные данные о геологической среде и содержательные геометрические ограничения.

Получены также результаты, которые имеют вспомогательный характер в исследованиях, но важны с точки зрения обеспечения простоты и надежности процесса решения обратных задач, а именно, предложены аппроксимационный подход и экспресс-метод определения производных гравитационного потенциала по функции, заданной таблично.

Разработанное алгоритмическое, программное и методическое обеспечение прошло успешное тестирование на модельных примерах. Получение надежных результатов интерпретации гравиметрических данных подтверждено при применении предложенных разработок для решения практических задач в Карпатском регионе и районе Актюбинска.

Ключевые слова: обратная задача гравиметрии, аналитическая аппроксимация, метод окрестностей, метод подбора, эквивалентная модель, ячейка Вороного, параметрическое пространство.

Kishman-Lavanova T.N. Direct and inverse problems of gravimetry in the class of block constructed geological models. - Manuscript.

Thesis for Candidate of Science Degree of Physics and Mathematics by the specialty 04.00.22 - geophysics - Institute of geophysics S.I. Subbotin National Academy of Science of Ukraine, Kiev, 2008.

Thesis is devoted increasing the efficiency of solving inverse problems gravimetry on the conditions of block constructed geological models. It is suggested a new analytical approximation of geological medium in a class of curvilinear ledges and contact surfaces, which provide a slow parametric of problem with detailed description of medium. Specially constructed transforms of the observed field allow using features of modeling classes effectively.

The algorithm of search of set of equivalent solution (algorithm of neighborhoods) on the basis of the analysis of all parametrical space is offered. It enables to choose geologically conceptual model for the further search within the framework of a trial and error method. In some cases the algorithm of neighborhoods serves as an independent method of search of the solution of a inverse problem.

Efficiency of the developed algorithms, software and technique proves to be true reliability of results of the decision of practical problems in Carpathian region and in area of Aktyubinsk

Key words: inverse problem, gravimetry, analytical approximation, method of neighborhoods, a trial and error method, equivalent model, Voronoi cell, parametrical space.

Размещено на Allbest.ru