Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГИДРОТЕРМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ВОДОЕМОВ И ВОДОТОКОВ

Целый ряд практических задач, выдвигаемых в настоящее время гидрологией и гидротехникой, требуют изучения распространения теплоты в водных ламинарных или турбулентных потоках.

Дифференциальное уравнение температурного поля турбулентного потока

В пределах потока выделим в системе декартовых координат x, у, z элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz (рис. 5.1). Рассмотрим его тепловой баланс. Через грани параллелепипеда теплота будет распространяться двумя путями:

1)вместе с водными массами, пронизывающими грани параллелепипеда со скоростями х_x, х_y, х_z -- молярный перенос;

2)молекулярной теплопроводностью в ламинарных потоках (с коэффициентом теплопроводности л) и турбулентной теплопроводностью в турбулентных потоках (с коэффициентом теплопроводности л_т, во много раз превышающим л).

Рис. 5.1. Схема к выводу дифференциального уравнения теплопроводности потока жидкости [8]

Уравнение теплового баланса для выделенного элементарного объема жидкости в этом случае будет иметь следующий вид:

(5.1)

где и т. д. -- количество теплоты, обусловленное скоростью потока жидкости через соответствующие грани в направлении осей x, у, z за время dф, a и т. д. -- количество теплоты, обусловленное теплопроводностью потока через эти же грани и за то же время dф.

В том случае, когда потоки теплоты, проходящие через грани параллелепипеда, взаимно не компенсируются, т. е. в него входит теплоты больше, чем выходит, или наоборот, будет наблюдаться изменение энтальпии рассматриваемого объема dx dy dz, которое в уравнении (5.1) обозначено через Q₇.

Определим составляющие уравнения (5.1).

Количество теплоты, поступившее в параллелепипед через грань dy dz молярным путем за время dф, оценим по формуле

Q₁ = cсх_x t dy dz dф,(5.2)

где c и с -- удельная теплоемкость и плотность жидкости; х_x -- проекция скорости на ось x; сV_x dy dz -- расход жидкости через грань параллелепипеда dy dz; t -- температура жидкости, проходящей через грань dy dz.

Количество же теплоты, выходящее из элементарного параллелепипеда через противоположную грань, отстоящую от первой на расстоянии dx,

(5.3)

где ?х_x/?x и ?t/?x -- изменение скорости и температуры жидкости внутри выделенного объема по оси x. Знак минус в этом уравнении свидетельствует о том, что Q₂ -- уходящее из элементарного параллелепипеда количество теплоты.

Для остальных граней параллелепипеда будем соответственно иметь:

(5.4)

Другие шесть слагаемых уравнения (5.1) обусловленные турбулентной теплопроводностью, определим по следующим формулам:

(5.5)

где л_т = cА_т -- коэффициент турбулентной теплопроводности, А_т -- коэффициент турбулентного обмена жидкости.

Изменение энтальпии рассматриваемого объема Q₇ определим по формуле

(5.6)

Решая совместно уравнения (5.1) -- (5.6), получаем

(5.7)

При совместном решении уравнений (5.1) -- (5.6) учтено условие неразрывности несжимаемой жидкости

?х_x/?x + ?х_y/?y + ?х_z/?z = 0(5.8)

и отброшены слагаемые

а также из-за их малости по сравнению с другими. Уравнение (5.7) носит название дифференциального уравнения температурного поля турбулентного потока жидкости. Его также называют уравнением энергии.

При постоянном значении коэффициента турбулентной теплопроводности л_т для всего потока уравнение (5.7) примет вид

(5.9)

Коэффициент турбулентной теплопроводности изменяется в зависимости от координат x, у, z. Но, так как накопленные к настоящему времени знания об его изменений по координатам не позволяют определять характер этой зависимости, его обычно принимают постоянным.

Учитывая, что левая часть уравнения (5.9) -- полная производная от температуры по времени, его можно представить в виде

dt/dф = а_т (?²t/?x² + ?²t/?y² + ?²tl?z²)(5.10)

или

dt/dф = а_т ²t,(5.11)

где а_т = л_т/(cс) --коэффициент турбулентной температуропроводности.

При наличии в потоке внутренних источников теплоты (например, теплоты, появляющейся при изменении агрегатного состояния воды -- при внутриводной кристаллизации, при переходе кинетической энергии движения потока в тепловую, при проникновении лучистой энергии в воду и т. д.) уравнение (5.10) должно быть дополнено еще одним слагаемым, связанным с источником

(5.12)

где W -- интенсивность внутреннего источника (количество теплоты, которое выделяется или поглощается единицей объема жидкости).

Из сопоставления выражений (3.52) и (5.10) следует, что уравнение энергии отличается от дифференциального уравнения теплопроводности полной производной, учитывающей три дополнительных слагаемых, и коэффициентом турбулентной температуропроводности а_т.

Для ламинарного потока уравнение энергии аналогично уравнению (5.11):

dt/dф = а ²t,(5.13)

где а = л/(cс) -- коэффициент температуропроводности жидкости.

В случае установившегося температурного режима водного потока температура в каждой точке его остается неизменной во времени (?t/?ф = 0) и меняется лишь по направлениям x, у, z, а уравнение (5.9) принимает следующий вид:

(5.14)

Уравнение теплового баланса непроточного водоема

Основу методики теплового расчета водоемов составляет уравнение теплового баланса водоема.

Впервые метод теплового баланса был применен в 1920-х годах исследователем Л.Ф.Рудовицем при оценке интенсивности испарения с Каспийского моря. В эти же годы В.В.Шулейкин на основе составления теплового баланса установил наличие теплого течения из Баренцева моря в Карское море. Тогда же этот прогноз был блестяще подтвержден специальными экспедиционными исследованиями. В 1929г. Н.М.Бернадский разработал методику расчета прудов-холодильников (проточных водоемов), которые начали создаваться в первой пятилетке по плану ГОЭЛРО в большом количестве при строительстве тепловых электростанций. Эта методика основана на методе теплового баланса и почти в неизменном виде используется до сих пор при гидротехническом проектировании.

Рассмотрим тепловой баланс водоемов. Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением теплопроводности (5.9). Уравнение (5.9) описывает самый общий случай температурного поля -- нестационарного, пространственного. Решить это уравнение аналитически чрезвычайно трудно. Поэтому рассмотрим только частные случаи теплового баланса водоемов.

Тепловой баланс непроточного водоема. Для непроточного водоема (х_x = х_y = х_z = 0) уравнение (5.9) примет следующий вид:

При переходе от уравнения (5.9) к уравнению (5.15) предполагалось, Что температурный режим водоема вдоль координат х и у не меняется (?²t/?x² = 0, ?²t/?y² = 0). Это справедливо, если глубина водоема и граничные условия вдоль этих координат не меняются.

После интегрирования уравнения (5.15) по глубине водоема получим

(5.16)

или

(5.17)

Левая часть уравнения (5.17) представляет собой изменение энтальпии отсека водоема площадью 1 м² и глубиной H. Оно обусловлено тепловыми потоками, поступающими в этот отсек через поверхность и дно. Следовательно, правую часть уравнения (5.17) можем заменить суммой тепловых потоков через эти поверхности:

(5.18)

где и -- температурный градиент у поверхности воды и у дна,

п -- число слагаемых потоков.

Решая совместно уравнения (5.17) и (5.18), получаем

(5.19)

Таким образом, изменение средней температуры воды непроточного водоема во времени (?t/?ф) определяется граничными условиями (второго и третьего рода) -- суммой тепловых потоков через его поверхности.

Годовой термический цикл водоемов

турбулентный поле жидкость водоем

При исследовании термического режима водоемов обычно исходят из его годового цикла, выделяя в нем по тем или иным критериям характерные периоды и фазы, в пределах которых схематизация термических процессов имеет свои особенности. Исследования условий формирования термического режима водохранилищ показали, что в основе деления годового термического цикла на отдельные периоды и фазы может лежать, например, перестройка структуры теплового баланса при смене знака некоторых его составляющих (в частности, S_о или S_к).

Известно, что особенности формирования тепловых процессов любого водоема определяются главным образом поглощением и пропусканием лучистой энергии Солнца (радиационным теплообменом S_r , равным разности поглощенной водой суммарной солнечной радиации и эффективного излучения водной поверхности), процессами теплообмена с атмосферой и грунтом дна (затратами тепла на испарение S_и, конвективным теплообменом S_к и теплообменом между водой и грунтом ложа водохранилища S_д), притоком и оттоком тепла вследствие адвекции (суммарным адвективным потоком тепла S_п), количеством теплоты, приносимым водами притоков, грунтовыми или промышленными водами, теплотой, поступающей в водоем с осадками.

Сумма тепловых потоков, поступающих в водоем (водоток), уходящих из него и определяющих его тепловой баланс, может быть представлена в следующем виде:

S = S_r + S_и + S_к + S_д + S_п +……(5.20)

В уравнении (5.20) S_r , а остальные элементы могут иметь разные знаки.

В течение годового цикла значения отдельных составляющих уравнения (5.20) существенно меняются. Роль S_r значительна в весенне-летний период, а роль S_к - весной и осенью. Зимой наличие ледяного покрова полностью изолирует водные массы от многообразных связей с атмосферой (теплообмен, массообмен и обмен механической энергией), поэтому в этих условиях S_о = S_r + S_и + S_к .

Особенности формирования термического режима водоема зависят главным образом от его проточности и морфометрических характеристик. Поэтому при анализе изменений температуры воды водоемы с термической точки зрения условно принято делить на мелкие и глубокие или на мелкие, глубокие и очень глубокие. Классификация водоемов по глубине проводится либо путем анализа и сопоставления численных значений специальных критериев, либо в соответствии с положениями, согласно которым к неглубоким (мелким) можно отнести водоемы с глубинами 15-25м, а к глубоким - водоемы, глубины которых превышают 30-40м. В мелких водоемах температура воды по глубине изменяется мало, а теплообмен с дном S_д представляет существенную часть теплообмена с атмосферой. В таких водоемах температура донных слоев воды в течение года меняется значительно, а ее колебания соизмеримы с колебаниями температуры воздуха. В глубоких водоемах придонные температуры обладают малой годовой амплитудой, а на крупных искусственных водоемах, например водохранилищах Ангаро-Енисейского каскада ГЭС, летом устанавливается температурная стратификация.

Таблица 5.1 Периоды и фазы годового термического цикла (ГТЦ) глубокого водоема