Численный расчет движения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной полости (каверне) с движущейся крышкой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Численный расчет движения вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной полости (каверне) с движущейся крышкой

Цель работы. Знакомство с разностными методами решения задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости (методами решения уравнений Навье-Стокса) и практическое их использование.

При изучении методов решения уравнений Навье-Стокса простейшим классическим примером с замкнутыми границами является плоская задача о течении жидкости в прямоугольной выемке. Эта задача является прекрасным тестом при сравнении различных методов решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости и, по существу, иллюстрирует историю развития вычислительной гидродинамики. Кроме того, эта задача является более простой, поскольку для нее отсутствует условие на бесконечности (которое достаточно сложно моделировать на ЭВМ) и границы области заранее известны.

Постановка задачи. Рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой квадратной полости (размером Н по горизонтали и L по вертикали), вызываемое движением ее верхней (твердой и, следовательно, непроницаемой) границы с заданной постоянной скоростью .Остальные границы области (твердые стенки) непроницаемы и неподвижны. Жидкость, целиком заполняющая каверну, вовлекается в движение силами вязкости. Такая постановка, будучи геометрически крайне простой, позволяет отразить многие характерные черты задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса: конвективную нелинейность, различные соотношения между силами инерции и силами вязкости, одновременное существование областей малых и больших градиентов и т. п.

Выберем начало прямоугольной декартовой системы координат так, как указано на рис.1.

Чтобы охватить больший круг геометрически и механически подобных задач, будем использовать безразмерные переменные. Выберем, в качестве линейного масштаба длину каверны L, а в качестве характерной скорости - скорость движения верхней крышки . Тогда единственным критерием подобия будет являться число Рейнольдса , а геометрическим параметром задачи - безразмерная высота кавернны (безразмерная ширина каверны теперь, будет равна единице). Для простоты штрих у безразмерных переменных в дальнейшем будем опускать.

рис 1. Каверна с движущейся крышкой

Плоское течение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил и постоянных физических свойствах среды можно описать системой уравнений Навье-Стокса [1-4]

(1)

(2)

, (3)

где U, V - компоненты вектора скорости , Р - давление, Re - число Рейнольдса, которое характеризует отношение сил инерции к силам вязкости, t - время, х,у - декартовы координаты.

Эти уравнения образуют смешанную эллиптически-параболическую систему относительно так называемых "примитивных" переменных U,V,P

Граничные условия имеют вид:

y=L, U=l, V=0, (верхняя граница, движется в своей плоскости с заданной скоростью)

(значение давления в произвольной точке области)

гидродинамика жидкость вязкий каверна

В качестве начального условия можно использовать, например, следующее предположение: при t=0 жидкость во всем поле неподвижна (U=О, V=0), а верхняя крышка внезапно приводится в движение (U=1). Такое предположение обычно используют, когда иной информации о течении нет. При решении последовательности стационарных задач (при различных числах Re) практически более эффективно в качестве начального приближения использовать то поле скоростей, которое было получено ранее при другом (меньшем) числе Re.

Указанных начальных и граничных условий достаточно для решения системы уравнений (1)-(3).

Одним из самых распространенных методов решения двумерных уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости является подход с использованием завихренности и функции тока в качестве независимых переменных [1-4], что позволяет исключить давление в уравнениях. При таком подходе делают замену переменных, переходя от компонент скорости U,V и давления Р к функции тока и вихрю скорости .

Введем функцию тока с помощью соотношений

(4)

Отметим, что введенная функция тока автоматически удовлетворяет уравнению неразрывности (3).

В двумерном течении имеется лишь одна компонента вектора завихренности, которая обычно определяется как

.

Используя новые независимые переменные вместо системы уравнений (1-3), будем иметь следующую систему уравнений Навье-Стокса а переменных "-" ("вихрь - функция тока")

(5)

(6)

Прямой подстановкой соотношении (4) можно исключить явное наличие переменных U и V. Однако при такой формулировке полученное решение может оказаться менее точным.

Система уравнений (5), (6) пригодна для описания как стационарных, так и нестационарных вязких ламинарных течений. Однако теперь от времени явно зависит лишь уравнение (5). Это нелинейное уравнение, называемое уравнением переноса вихря, является параболическим по времени и служит для вычисления значений вихря скорости . Уравнение Пуассона (6) для определения функции тока строго эллиптическое при известной функции и и прямо не зависит от времени.

Граничные условия для новых переменных будут иметь вид:

у=L, , , (верхняя граница)

х=0, , (левая граница)

х=1, ,, (правая граница)

у=0, , , (нижняя граница),

а начальные условия запишутся следующим образом:

t=0, , , .

Обратите внимание: граничные условия для вихря остались неопределенными (хотя твердая поверхность является источником завихренности и в дальнейшем за счет процессов конвекции и диффузии завихренность будет переноситься внутрь поля течения).

Метод решения. Расчетную область покроем равномерной сеткой (рис.2) с узлами , , . Здесь , , (то есть N+1, M+1 - количество узлов сетки соответственно вдоль направления х и направления у, h и l - шаги сетки вдоль этих же направлений, - шаг по времени).

рис 2. Равномерная сетка для решения задачи о каверне

Введем следующее обозначение (сеточная функция): .

Запишем разностную схему ВВЦП [1] (вперед по времени - цент-ральная по пространству) для уравнения переноса вихря (5)

(7)

где

(8)

Это явная разностная схема первого порядка точности по времени и второго порядка точности по пространственным переменным. Для определения неизвестных значений на (n+1) временном слое используется шаблон, приведенный на рис. 3.

Элементарный анализ показывает [4], что схема (7) устойчива при условии, что шаг по времени , причем постоянная С лежит в пределах от 0.1 до 4.0 (при этом число Rе меняется от 500 до 0). Ограничения на величину , налагаемые этим условием, являются существенными и влияют на скорость сходимости процесса и устойчивость получаемого решения.

рис 3. Узлы, используемые при определении в типичной внутренней точке

Метод ВВЦП для уравнения переноса вихря требует, чтобы были заданы подходящие условия для вихря на границе области. Задание граничных условий для этой величины очень важно, так как они непосредственным образом влияют на устойчивость и точность решения. Поскольку граничные значения для не заданы, то обычно использует их приближенные значения, которые находятся, например, методом разложения в ряд Тейлора (при выводе учитывается условие прилипания: на твердой стенке).

Приближение первого порядка точности выведено Томом в 1928г. и имеет для нашей задачи следующий вид

 (верхняя граница)

(левая граница)

(правая граница)

(нижняя граница) (9)

где индексы М и М-1 соответствуют точкам на подвижной границе и ближайшей к ней точке по нормали. Для остальных границ это соответственно точки 0 и 1, N и N-1.

На рис.4 показано, какие узлы сетки участвуют при. определении значений на границе.

рис 4. Значения , используемые при определении на границе

Стационарное уравнение Пуассона (6) для функции тока обычно решают для каждого фиксированного момента времени t методом установления по фиктивному времени S (т.е. задача решается итерациями до достижения стационарного состояния). Простейшая итерационная разностная схема Ричардсона для уравнения (6) может быть записана следующим образом [1]

(10)

где .

Итерации по схеме (10) повторяются до тех пор, пока решение не сойдется к стационарному, то есть будет выполнен следующий критерий , где - наперед заданное малое число.

Уравнения (7), (10) совместно с граничными условиями для вихря С9) и нулевыми граничными значениями для функции тока образуют замкнутую систему нелинейных алгебраических уравнений, содержащую произведения неизвестных сеточных функций и . Нелинейность делает невозможным прямое решение этой системы и заставляет последовательно решать систему (7) и систему (10).

Обычно эти уравнения решают методом установления по времени, состоящим из следующих основных шагов:

1. В момент времени t=0 задаются начальные значения и .

2. Используя значения на границе с предыдущим временным слоем, решают уравнение переноса вихря для в каждой внутренней точке расчетной сетки в момент времени (на n+1 временном слое). В частности, из (7) можно получить, что

3. Решая итерационным методам уравнение Пуассона, находят новые значения во всех точках сетки по новым значениям во внутренних точках (в частности, можно использовать уравнение (10)).

4. Находят компоненты скорости по соотношениям (4), разностное представление которых имеет вид (8).

5. Определяют значение на границах по значениям и во внутренних точках.

6. Проверяют сходимость решения, то есть выполнение критерия

,

где - наперед заданное малое число.

Если решение не сходится, то возвращаются к шагу 2.

Содержание задания. Исследовать с помощью ЭВМ движение вязкой несжимаемой жидкости в прямоугольной полости (размерами Н=1 и L=1) для чисел Рейнольдса Re=10, Re=100, Re=300, Re=500. Построить графики профиля скорости для заданного сечения (сечение определяется номером подварианта). Построить линии тока и изолинии . Найти местный коэффициент трения на твердых стенках и построить его график. Проверить выполнение граничного условия прилипания на твердых стенках и построить графики вдоль твердых стенок. Для чисел Re=10 и Re=100 дополнительно изучить сходимость решения для различных шагов по времени .

Применить сетку 11 х 11 и разностную схему ВВЦП, схему Ричардсона и граничное условие Тома. Написать и отладить программу, по отлаженной программе произвести необходимые расчеты и обработать полученные результаты.

Подварианты задания. Для того, чтобы определить сечение, в котором Вы будете строить профиль скорости, используйте номер подварианта k. Для подвариантов 1-9 сечение определяется по формуле x=kh, для подвариантов 10-15 по формуле

.

Содержание отчета.

1. Математическая постановка задачи и ее конкретный вариант,

2. Распечатка программы и результатов расчетов на ЭВМ (количество итераций в конечный момент времени, значение конечного момента времени, поле значений распределение и вдоль стенок, [график центра вихря от числа Рейнольдса]*).

3. Анализ результатов и графики:

а). Характер сходимости решения для различных чисел Re и . Здесь же необходимо отметить, появляется ли неустойчивость при конкретных числах Re и в какой области каверны эти явления наиболее заметны.

б). Характер и тип течения (ламинарное, турбулентное, циркуляционное, вихревое, количество вихрей; наличие возвратных течений, застойных зон, пограничного слоя, линий симметрии и т.п.).

в). Интенсивность течения в различных областях (особенно отметить максимальные и минимальные значения).

г). Таблица координат центра вихря (вихрей) и значений в центре вихря, направление перемещения центра вихря (вихрей!) при увеличении числа Re.

д). Максимальные и минимальные значения скоростей в заданном сечении, изменение профиля скорости при увеличении числа Re, наличие линейных участков и точек перегиба у профиля скорости.

е). Линии тока: изменение картины течения при увеличении числа Re, появление неустойчивости и как это сказывается на характере линий тока, наличие линейных участков у линий тока (где такие участки наиболее характерны?).

ж). На сколько отличается величина , получаемая в ходе решения, от нулевого значения на твердой стенке (условие прилипания).

Размещено на Allbest.ru