Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

Кафедра учета и финансов

Направление "Экономика"

Профиль "Финансы и кредит"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

на тему: "Финансовая математика"

Выполнила: студентка группы 15ЭФC-301

Янсапова А.В.

Проверила: ст. преподаватель

Маврина Н.А.

Челябинск - 2015

Задача 1

Облигация номиналом 78 тыс. руб. под 6,5 % годовых погашается по тройному номиналу. Определить срок размещения займа при условии наращения по простым и сложным ставкам?

Решение. При наращении по простой процентной ставке срок размещения займа можно определить из формулы

S = Р * (1 + in),

S - наращенная сумма;

Р - первоначальная сумма (номинал облигации);

i - процентная годовая ставка;

n - срок размещения займа в годах.

Отсюда:

n = (S / H - 1) / i = (3-1) / 0,065 = 30,77 лет.

При простой процентной срок размещения займа составляет 30,77 лет.

При наращении по сложной процентной ставке используется формула:

S = P * (1 + i)ⁿ,

отсюда n = log (S / P) / log (1 + i) = log (3) / log (1,065) = 17,4453 лет.

При сложной процентной ставке срок размещения займа составляет 17,4453 лет.

Задача 2

В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 800 тыс. руб. через 1,5 года. Первоначальная сумма долга - 480 тыс. руб. Определить доходность ссудной операции для кредитора.

Решение. Рассчитаем доходность ссудной операции в виде простой годовой процентной ставки:

i = (S / H - 1) / n = (800 / 480-1) / 1,5 = 0,4444 = 44,44 %.

Доходность операции составляет 44,44 % годовых.

Задача 3

Сберегательный сертификат номиналом 45 тыс. руб., погашается через 3,2 года, при этом предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год - 9 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 0,2 %.

Необходимо: доходность наращенная стоимость ставка

1) определить наращенную стоимость сертификата по простой и сложной процентной и учетной ставкам;

2) составить план наращения первоначальной стоимости по простым и сложным процентам;

3) построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам на базе процентной и учетной ставок и проанализировать варианты доходности.

Решение:

1) рассчитаем наращенную стоимость ценной бумаги по простой процентной ставке:

S = P * (1 + ?i_tn_t) = 45 000 * (1 + 0,09 + 0,092 / 2 + 0,094 / 2+ 0,096 / 2 + 0,098 / 2 + 0,1 * 2 / 12) = 58 350 руб.

Рассчитаем наращенную стоимость ценной бумаги по простой учетной ставке по формуле:

FV = PV / (1 - nd).

FV = 59 189,9 руб.

Составим план наращения первоначальной стоимости по простым процентам.

Он представлен в таблице 1.

План наращения по простым учетным процентам представлен в таблице 2.

Наращенная стоимость по сложной процентной ставке определяется по формуле сложных процентов:

FV = PV * (1 + j / m)^nm.

Предположим, что капитализация происходит каждый раз при смене ставки.

Тогда наращенная сумма по сложной процентной ставке:

FV = 60 038,9 руб.

Наращенная стоимость по сложной учетной ставке определяется по формуле:

FV = PV / (1 - d/m)^mn

Так же предполагаем, что капитализация процентов происходит каждый раз при смене процентной ставки.

FV = 63 239,55 руб.

График наращения стоимости по всем рассмотренным вариантам представлен на рисунке 1.

Таблица 1 - Наращение по простой процентной ставке

Срок	0	1	1,5	2	2,5	3	3,2	Итого
Процентная ставка		0,09	0,092	0,094	0,096	0,098	0,1
Проценты		4050	2070	2115	2160	2205	750	13350
Наращенная сумма	45000	49050	51120	53235	55395	57600	58350

Рисунок 1

Таблица 2 - План наращения по простой учетной ставке

Срок	0	1	1,5	2	2,5	3	3,2	Итого
Учетная ставка		0,09	0,1380	0,188	0,24	0,294	0,32	1,27
Проценты		4450,5	2169,8	2219,3	2268,9	2318,6	762,7	14189,9
Наращенная сумма	45000	49450,5	51620,4	53839,67	56108,58	58427,2	59189,9

Таблица 3 - План наращения по сложной процентной ставке

Срок	0	1	1,5	2	2,5	3	3,2	Итого
Процентная ставка		0,09	0,092	0,094	0,096	0,098	0,1
ПРОЦЕНТЫ		4050,0	2256,3	2411,4	2578,4	2758,5	984,2	15038,9
Наращенная сумма	45000	49050,0	51306,3	53717,7	56296,1	59054,7	60038,9

Таблица 4 - План наращения по сложной учетной ставке

срок	0	1	1,5	2	2,5	3	3,2	Итого
учетная ставка		0,09	0,092	0,094	0,096	0,098	0,1
проценты		4450,55	2384,41	2556,39	2742,42	2943,80	3161,98	18239,55
Наращенная сумма	45000	49450,55	51834,96	54391,35	57133,77	60077,57	63239,55

Как показывают расчеты вариант сложных процентов более доходен, при условии держания данной ценной бумаги более 1 года.

Задача 4

Вексель номиналом 350 тыс. руб. учитывается банком за 1 год 230 дней до погашения с дисконтом 44 тыс. руб. Определить величину ставки процента по данной операции.

Решение. Ставку процента можно определить из формулы:

S = Р * (1 + in),

S - наращенная сумма (номинальная стоимость векселя);

Р - первоначальная сумма (рыночная стоимость векселя, т.е. стоимость за минусом дисконта);

i - процентная ставка;

n - срок между погашением и учетом векселя;

S = 350 тыс. руб.

Р = 350-44 = 306 тыс. руб.

n = 1 год 230 дней = 1,63 года.

Отсюда:

i = (S / Р - 1) / n = (350 / 306-1) / 1,63 = 0,0882 = 8,82 %.

Ставка процента по данной операции составляет 8,82 %.

Задача 5

Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 1,2 млн. руб. Определить сумму вклада через 2 года 230 дней, если проценты начисляют ежемесячно из расчета 17 % годовых.

Решение. Наращенную сумму вклада в данном случае можно определить по формуле:

S = P * (1 + j / m)^nm = 1,2 * (1 + 0,17 / 12)^2,63*12 = 1,87 млн .руб.

j - сложная процентная ставка;

m - количество начислений в год.

Наращенная сумма через 2 года и 230 дней составляет 1,87 млн. руб.

Задача 6

За какой срок наращенная стоимость финансового инструмента номиналом 120 тыс. руб. достигнет 135 тыс. руб. при условии, что начисляются сложные проценты по ставке 12 % годовых раз в году и помесячно? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

Решение. При использовании процентной ставки и начислении сложных процентов один раз в году:

n = log (S / P) / log (1 + i) = log (135 / 120) / log (1,12) = 1,0393 лет = 1 год 14 дней.

При использовании процентной ставки и начислении сложных процентов ежемесячно:

n = log (S / P) / (12 * log (1 + i/12)) = log (135 / 120) / 12 * log (1,01) = 0,9864 года = 11 месяцев 25 дней.

При использовании учетной ставки и начислении сложной ставки ежегодно:

S = P / (1 - d)ⁿ,

P / S = (1 - d)ⁿ,

log (P / S) = n * log (1 - d),

n = log (P / S) / log (1 - d) = log (120 / 135) / log (1-0,12) = 0,9214 года = 11 месяцев 2 дня.

При использовании учетной ставки и начислении сложной ставки ежемесячно:

n = log (P / S) / 12*log (1 - d / 12) = log (120 / 135) / (12 * log (1-0,12 / 12)) = 0,9766 года = 11 месяцев 22 дня.

Задача 7

Простая процентная ставка по векселю равна 7 %. Определить значение эквивалентной вексельной ставки, если вексель выдан:

а) на 2,5 месяца;

б) на 2,5 года.

Решение. Между простой процентной и вексельной (учетной) ставкой существует взаимосвязь:

1 + in = 1 / (1 - dn),

i - простая процентная ставка

d - учетная ставка

Отсюда:

d = .

При сроке 2,5 месяца

d = = = 0,069 = 6,9 %.

При сроке 2,5 года

d = = 0,05957 = 5,957 %.

Задача 8

Сертификат номиналом 4800 руб. выдан на 3 года 120 дней по ставке 9 % годовых. Определить сумму, полученную держателем сертификата в конце срока операции.

Решение. Рассчитаем наращенную стоимость сертификата при условии начисления сложных процентов, начисляемых один раз в году.

S = 4800 * (1 + 0,09)^3,333 = 6937,3 руб.

Держатель сертификата получит в конце срока 6937,3 руб.

Задача 9

Найти размер номинальной ставки при помесячном начислении процентов, если при разработке условий контракта была установлена договоренность о доходности кредита в 21 % годовых.

Решение. Размер номинальной ставки можно определить из формулы эквивалентности процентных ставок:

1 + i_эф = (1 + j_ном)ⁿ,

где i - эффективная годовая ставка

j - номинальная ставка,

1 + 0,21 = (1 + j / 12)¹²,

j = ( - 1) * 12 = 0,19214 = 19,214 %.

Номинальная процентная ставка должна составлять 19,214 %.

Задача 10

Какие условия предоставления кредита наиболее выгодны банку: 12 % с ежеквартальным начислением или 16 % при полугодовом начислении?

Решение. Рассчитаем коэффициент наращения (годовой) при каждом условии кредитования - 12 % с ежеквартальным начислением.

Кн = (1 + 0,12 / 4)⁴ = 1,1255.

- 16 % при полугодовом наращении:

Кн = (1 + 0,16 / 2)² = 1,1664.

Для банка более выгодными являются кредит 16 % годовых при полугодовом начислении. В этом случае коэффициент наращения выше, чем при 12 % при ежеквартальном начислении.

Задача 11

Вексель выдан на сумму 250 тыс. руб. с уплатой 10.10. Векселедержатель учел вексель в банке 10.09 по ставке 9,5 %. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем.

Решение. Дисконт по векселю:

D = Н * d * n = 250 * 0,095 * 1 / 12 = 1,98 тыс. руб.

Н - номинальная стоимость векселя;

d - учетная ставка;

n - срок между погашением и учетом векселя в годах.

Сумма, полученная векселедержателем (рыночная цена векселя):

Р = Н - D = 250-1,98 = 250-1,98 = 248,02 тыс. руб.

Таблица. Ответы

№ задачи	Результаты (с единицами измерения)
1	30,77 лет, 17,4453 лет
2	44,44 %
3	58 350 руб., 59 189,9 руб., 60 038,9 руб., 63 239,55 руб.
4	8,82 %
5	1,87 млн. руб.
6	1,0393 лет, 0,9864 года, 0,9214 лет, 0,9766 лет,
7	6,9 %, 5,957 %
8	6937,3 руб.
9	19,214 %
10	Второй вариант
11	248,02 тыс. руб.

Размещено на Allbest.ru