Математическое моделирование оценки рисков инвестиционных проектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский государственный институт электронной техники

(технический университет)»

Дипломная работа

на тему

Математическое моделирование оценки рисков инвестиционных проектов

Автор: Соколов А.А. гр. МП-50

Руководитель: Фёдоров В.В.

Консультант: Лесин В.В.

Москва, 2009 г.

Содержание

Вступление

1. Метод Монте-Карло

1.1 Общая информация о методе

1.2 Схема метода

1.3 Оценка погрешности метода

2. Основы теории оценки рисков инвестиционных проектов

2.1 Понятие инвестиционного проекта

2.2 Понятие риска

2.3 Метод чистой приведённой стоимости (NPV)

2.4 Область применения NPV-метода

3. Описание разработанной программы для моделирования оценки рисков

3.1 Применение метода Монте-Карло для моделирования оценки рисков

3.2 Функции Microsoft Excel, используемые при моделировании

3.3 Интерфейс программы

3.3.1 Исходные данные

3.3.2 Моделирование

3.3.3 Результаты

3.3.4 Анализ

3.4 Анализ результатов эксперимента

Заключение

Используемая литература

Вступление

Данная работа посвящена разработке и применению математической модели для оценки рисков инвестиционных проектов. Моделирование проводится с использованием метода Монте-Карло.

Метод Монте-Карло - это численный метод, основанный на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинам решаемой задачи.

В теоретической части работы рассматривается общая схема метода Монте-Карло, оценивается его погрешность, а также описываются основы теории оценки рисков инвестиционных проектов. Это описание включает в себя определение математических понятий, связанных с термином «риск». Также рассматривается приложение теории вероятности к описанию экономических инвестиционных процессов.

В практической части подробно рассматривается приложение метода Монте-Карло для описания модели инвестиционного проекта, описывается алгоритм построения модели и проведения эксперимента. Программа, автоматизирующая эксперимент, разработана с использованием приложения Microsoft Excel. В работе перечислены основные функции Microsoft Excel, используемые при моделировании, описаны интерфейс разработанной программы и алгоритм её выполнения. Заключительный раздел работы посвящён анализу результатов и выводам относительно корректности работы модели, её обоснованности и возможной области применения.

Автор работы проходил практику, работая на должности бизнес-аналитика в отделе внедрения и поддержки бизнес-систем международной аудиторско-консалтинговой компании «Делойт и Туш». Во время практики он получил опыт внедрения системы класса «Business Intelligence» в крупной российской компании, используя при этом знания в области математики, информационных технологий и экономики, полученные во время обучения в институте. После окончания обучения он планирует дальше развиваться как специалист в этой области.

1. Метод Монте-Карло

1.1 Общая информация о методе

Метод Монте-Карло - это численный метод, основанный на получении большого числа реализаций случайного процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинам решаемой задачи.

Возникновение идеи использования случайных явлений в области приближённых вычислений принято относить к 1878 году, когда появилась работа Холла об определении числа с помощью случайных бросаний иглы на разграфлённую параллельными линиями бумагу. Назначение метода заключается в том, чтобы экспериментально воспроизвести событие, вероятность которого выражается через число , и приближённо оценить эту вероятность. Отечественные работы по методу Монте-Карло появились в 1955-1956 годах. С того времени накопилась обширная библиография по методу Монте-Карло. Даже беглый просмотр названий работ позволяет сделать вывод о применимости метода Монте-Карло для решения прикладных задач из большого числа областей науки и техники.

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

Идея была развита Уламом, который, по иронии судьбы, также как и Фокс боролся с вынужденным бездельем во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия города в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком.

Первоначально метод Монте-Карло использовался главным образом для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов численного интегрирования) и при решении многих задач успешно сочетается с другими вычислительными методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в тех задачах, которые допускают теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью получения ответа с некоторой заданной вероятностью в задачах с вероятностным содержанием, так и существенным упрощением процедуры решения.

В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND.

В 1970-х годах в новой области математики -- теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время. В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.

1.2 Схема метода

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно

а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a^* искомого числа а:

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а ^*.

1.3 Оценка погрешности метода

Пусть для получения оценки а ^* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка а ^*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) :

.

Интересующая нас верхняя грань ошибки есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

Случайная величина Х распределена нормально и её среднее квадратичное отклонение известно.

В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

, (*)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t - значение аргумента функции Лапласа, при котором , - известное среднее квадратичное отклонение Х.

Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение неизвестно.

В этом случае с надёжностью верхняя граница ошибки

, (**)

где n - число испытаний; s - «исправленное» среднее квадратическое отклонение

Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной , верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение случайной величины Х известно; если же неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s - «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.

2. Основы теории оценки рисков инвестиционных проектов

2.1 Понятие инвестиционного проекта

Инвестиции - временный отказ экономического субъекта от потребления имеющихся в его распоряжении ресурсов (капитала) и использование этих ресурсов для увеличения в будущем своего благосостояния.

Инвестиционный проект - план или программа мероприятий, связанных с осуществлением капитальных вложений с целью их последующего возмещения и получения прибыли.

Инвестиционный процесс - развернутая во времени реализация инвестиционного проекта. Началом инвестиционного процесса является принятие решения об инвестициях, а концом - либо достижение всех поставленных целей, либо вынужденное прекращение осуществления проекта.

Инвестиционный проект предполагает планирование во времени трех основных денежных потоков: потока инвестиций, потока текущих (операционных) платежей и потока поступлений. Ни поток текущих платежей, ни поток поступлений не могут быть спланированы вполне точно, поскольку нет и не может быть полной определенности относительно будущего состояния рынка. Цена и объемы реализуемой продукции, цены на сырье и материалы и прочие денежно-стоимостные параметры среды по факту их осуществления в будущем могут сильно разниться с предполагаемыми плановыми значениями, которые оцениваются с позиций сегодняшнего дня.

Неустранимая информационная неопределенность влечет столь же неустранимый риск принятия инвестиционных решений. Всегда остается возможность того, что проект, признанный состоятельным, окажется de-facto убыточным, поскольку достигнутые в ходе инвестиционного процесса значения параметров отклонились от плановых, или же какие-либо факторы вообще не были учтены. Инвестор никогда не будет располагать всеобъемлющей оценкой риска, так как число разнообразий внешней среды всегда превышает управленческие возможности принимающего решения лица, и обязательно найдется слабоожидаемый сценарий развития событий (любая катастрофа, к примеру), который, будучи неучтен в проекте, тем не менее, может состояться и сорвать инвестиционный процесс. В то же время инвестор обязан прилагать усилия по повышению уровня своей осведомленности и пытаться измерять рискованность своих инвестиционных решений как на стадии разработки проекта, так и в ходе инвестиционного процесса. Если степень риска будет расти до недопустимых значений, а инвестор не будет об этом знать, то он обречен действовать вслепую.

2.2 Понятие риска

Под риском проекта понимается степень опасности для успешного его осуществления. Риск, связанный с проектом, характеризуется тремя факторами: событие, связанное с риском; вероятность риска; сумма, подвергаемая риску. Чтобы количественно оценить риск, необходимо знать все возможные последствия принимаемого решения и вероятность последствий этого решения. Выделяют два метода определения вероятности:

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходят некоторые события. Частота при этом рассчитывается на основе фактических данных. Так, например, частота возникновения некоторого уровня потерь в процессе реализации инвестиционного проекта может быть рассчитана по формуле:

F(A)=n(A)/n;

Где f - частота возникновения некоторого уровня потерь;

n(A) - число случаев наступления этого уровня потерь;

n - общее число случаев в статистической выборке, включающее как успешно осуществленные, так и неудавшиеся инвестиционные проекты.

Субъективная вероятность является предположением относительно определенного результата, основывающемся на суждении или личном опыте оценивающего, а не на частоте, с которой подобный результат был получен в аналогичных условиях. Различная информация или различные возможности оперирования с одной и той же информацией объясняют широкое варьирование субъективных вероятностей.

Вероятность, равная нулю, означает невозможность наступления конкретного события; вероятность, равная единице, - непременное наступление события. Сумма вероятностей всех возможных вариантов равна единице. Важными понятиями, применяющимися в вероятностном анализе риска являются понятия альтернативы, состояния среды, исхода.

Альтернатива - это последовательность действий, направленных на решение некоторой проблемы. Примеры альтернатив: приобретать или не приобретать новое оборудование, решение о том, какой из двух станков, различающихся по характеристикам, следует приобрести; следует ли внедрять в производство новый продукт и т.д.

Состояние среды - ситуация, на которую лицо, принимающее решение (в нашем случае - инвестор), не может оказывать влияние (например, благоприятный или неблагоприятный рынок, климатические условия и т.д.).

Исходы (возможные события) возникают в случае, когда альтернатива реализуется в определенном состоянии среды. Это некая количественная оценка, показывающая последствия определенной альтернативы при определенном состоянии среды (например, величина прибыли, величина урожая и т.д.).

Пусть P-пространство вероятностей; W- пространство состояний среды; Х-пространство исходов (доход от инвестиционного проекта); Тогда (W, Р, Х) - случайная величина.

Анализируя и сравнивая варианты инвестиционных проектов, инвесторы действуют в рамках теории принятия решений. Как уже было отмечено выше, понятия неопределенности и риска различаются между собой. Вероятностный инструментарий позволяет более четко разграничить их. В соответствии с этим, в теории принятия решений выделяются три типа моделей:

1. Принятие решений в условиях определенности - лицо, принимающее решение (ЛПР) точно знает последствия и исходы любой альтернативы или выбора решения. Эта модель нереалистична в случае принятия решения о долгосрочном вложении капитала.

2. Принятие решений в условиях риска - ЛПР знает вероятности наступления исходов или последствий для каждого решения.

3. Принятие решения в условиях неопределенности - ЛПР не знает вероятностей наступления исходов для каждого решения.

Если имеет место неопределенность (т.е. существует возможность отклонения будущего дохода от его ожидаемой величины, но невозможно даже приблизительно указать вероятности наступления каждого возможного результата), то выбор альтернативы инвестирования может быть произведен на основе одного из трех критериев:

1. Критерий MINIMAX (критерий оптимизма) - определяет альтернативу, которая максимизирует максимальный результат для каждой альтернативы.

2. Критерий MAXIMIN (критерий пессимизма) - определяет альтернативу, которая максимизирует минимальный результат для каждой альтернативы.

3. Критерий БЕЗРАЗЛИЧИЯ - выявляет альтернативу с максимальным средним результатом (при этом действует негласное предположение, что каждое из возможных состояний среды может наступить с равной вероятностью; в результате выбирается альтернатива, дающая максимальную величину математического ожидания).

Соответственно, по своему отношению к неопределенности люди, в том числе персональные инвесторы, подразделяются на пессимистов, оптимистов и нейтральных к неопределенности, принимают решение о выборе инвестиционного проекта в соответствии со следующими условиями:

· временными предпочтениями

· ожидаемой доходностью инвестиционного проекта

· степенью неприятия риска

· вероятностными оценками

Например, решение о капиталовложениях вряд ли будет принято в условиях полной неопределенности, так как инвестор приложит максимум усилий для сбора необходимой информации. По мере осуществления проекта к инвестору поступает дополнительная информация об условиях реализации проекта и, таким образом, ранее существовавшая неопределенность “снимается”. При этом информация, касающаяся проекта, может быть как выражена, так и не выражена в вероятностных законах распределения. Поэтому в контексте анализа инвестиционных проектов следует рассматривать ситуацию принятия решения в условиях риска. Итак, в этом случае:

- известны (предполагаются) исходы или последствия каждого решения о выборе варианта инвестирования;

- известны вероятности наступления определенных состояний среды.

На основе вероятностей рассчитываются стандартные характеристики риска:

1. Математическое ожидание (среднее ожидаемое значение) - средневзвешенное всех возможных результатов, где в качестве весов используются вероятности их достижения.

Где xi - результат (событие или исход, например величина дохода);

pi - вероятность получения результата xi.

Дисперсия - средневзвешенное квадратов отклонений случайной величины от ее математического ожидания (т.е. отклонений действительных результатов от ожидаемых) - мера разброса.

3. Стандартное отклонение

Рассчитывается как корень из дисперсии. Дисперсия и стандартное отклонение являются абсолютной мерой риска.

4. Коэффициент вариации - служит относительной мерой риска. Равен отношению стандартного отклонения к математическому ожиданию

5. Коэффициент корреляции - показывает связь между переменными, состоящую в изменении средней величины одного из них в зависимости от изменения другого.

2.3 Метод чистой приведённой стоимости (NPV)

Существуют следующие основные методы оценки эффективности ведения инвестиционной деятельности:

· Чистая приведенная стоимость - NPV (Net Present Value);

· Индекс рентабельности инвестиций - PI (Profitability Index);

· Внутренняя норма прибыли - IRR (Internal Rate of Return);

· Модифицированная внутренняя норма прибыли- MIRR (Modified Internal Rate of Return);

· Дисконтированный срок окупаемости инвестиций - DPP

· (Discounted Payback Period).

· Срок окупаемости инвестиций - PP (Payback Period);

· Коэффициент эффективности инвестиций - ARR (Accounted Rate of Return).

Рассмотрим наиболее распространённый и удобный метод: «Чистая приведенная стоимость».Этот метод основан на сопоставлении величины исходной инвестиции (IC) с общей суммой дисконтированных чистых денежных поступлений, генерируемых ею в течение прогнозируемого срока. Поскольку приток денежных средств распределен во времени, он дисконтируется с помощью коэффициента r, устанавливаемого аналитиком (инвестором) самостоятельно исходя из ежегодного процента возврата, который он хочет или может иметь на инвестируемый им капитал.

Допустим, делается прогноз, что инвестиция (IC) будет генерировать в течение n лет, годовые доходы в размере P1, P2, ..., Рn.

Общая накопленная величина дисконтированных доходов (PV) и чистый приведенный эффект (NPV) соответственно рассчитываются по формулам:

(1)

(2)

Очевидно, что если:

NPV > 0, то проект следует принять;

NPV < 0, то проект следует отвергнуть;

NPV = 0, то проект ни прибыльный, ни убыточный.

При прогнозировании доходов по годам необходимо по возможности учитывать все виды поступлений как производственного, так и непроизводственного характера, которые могут быть ассоциированы с данным проектом. Так, если по окончании периода реализации проекта планируется поступление средств в виде ликвидационной стоимости оборудования или высвобождения части оборотных средств, они должны быть учтены как доходы соответствующих периодов.

Если проект предполагает не разовую инвестицию, а последовательное инвестирование финансовых ресурсов в течение m лет, то формула для расчета NPV модифицируется следующим образом:

(3)

где i -- прогнозируемый средний уровень инфляции.

Используемые в формулах (1), (2) и (3) значения годовых доходов также называются величиной чистого потока за период t и обозначаются как NCF_t (Net Cash Flow). С учётом этого обозначения формула для расчета NPV принимает следующий вид:

Именно эту формулу мы будем в дальнейшем использовать при моделировании.

Расчет с помощью приведенных формул вручную достаточно трудоемок, поэтому для удобства применения этого и других методов, основанных на дисконтированных оценках, разработаны специальные статистические таблицы, в которых табулированы значения сложных процентов, дисконтирующих множителей, дисконтированного значения денежной единицы и т. п. в зависимости от временного интервала и значения коэффициента дисконтирования.

Необходимо отметить, что показатель NPV отражает прогнозную оценку изменения экономического потенциала предприятия в случае принятия рассматриваемого проекта. Этот показатель аддитивен во временном аспекте, т. е. NPV различных проектов можно суммировать. Это очень важное свойство, выделяющее этот критерий из всех остальных и позволяющее использовать его в качестве основного при анализе оптимальности инвестиционного портфеля.

2.4 Область применения NPV-метода

При помощи NPV-метода можно определить не только коммерческую эффективность проекта, но и рассчитать ряд дополнительных показателей. Столь обширная область применения и относительная простота расчетов обеспечили NPV-методу широкое распространение, и в настоящее время он является одним из стандартных методов расчета эффективности инвестиций, рекомендованных к применению ООН и Всемирным банком.

Однако корректное использование NPV-метода возможно только при соблюдении ряда условий:

· Объем денежных потоков в рамках инвестиционного проекта должен быть оценен для всего планового периода и привязан к определенным временным интервалам.

· Денежные потоки в рамках инвестиционного проекта должны рассматриваться изолированно от остальной производственной деятельности предприятия, т.е. характеризовать только платежи и поступления, непосредственно связанные с реализацией данного проекта.

Принцип дисконтирования, применяемый при расчете чистого приведенного дохода, с экономической точки зрения подразумевает возможность неограниченного привлечения и вложения финансовых средств по ставке дисконта. Использование метода для сравнения эффективности нескольких проектов предполагает использование единой для всех проектов ставки дисконта и единого временного интервала (определяемого, как правило, как наибольший срок реализации из имеющихся).

При расчете NPV, как правило, используется постоянная ставка дисконтирования, однако в зависимости от обстоятельств (например, ожидается изменение уровня процентных ставок) ставка дисконтирования может дифференцироваться по годам. Если в ходе расчетов применяются различные ставки дисконтирования, то, во- первых, формулы (1) и (2) неприменимы и, во-вторых, проект, приемлемый при постоянной ставке дисконтирования, может стать неприемлемым.

математический риск инвестиционный стоимость

3. Описание разработанной программы для моделирования оценки рисков

3.1 Применение метода Монте-Карло для моделирования оценки рисков

Имитационное моделирование по методу Монте-Карло позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта.

Метод имитационного моделирования Монте-Карло создает дополнительную возможность при оценке риска за счет того, что делает возможным создание случайных сценариев. Применение анализа риска использует все богатство информации, будь она в форме объективных данных или оценок экспертов, для количественного описания неопределенности, существующей в отношении основных переменных проекта и для обоснованных расчетов возможного воздействия неопределенности на эффективность инвестиционного проекта. Результат анализа риска выражается не каким-либо единственным значением NPV, а в виде вероятностного распределения всех возможных значений этого показателя. Следовательно, потенциальный инвестор, с помощью метода Монте-Карло будет обеспечен полным набором данных, характеризующих риск проекта. На этой основе он сможет принять взвешенное решение о предоставлении средств.

В общем случае имитационное моделирование Монте-Карло - это процедура, с помощью которой математическая модель определения какого-либо финансового показателя (в нашем случае NPV) подвергается ряду имитационных прогонов с помощью компьютера. В ходе процесса имитации строятся последовательные сценарии с использованием исходных данных, которые по смыслу проекта являются неопределенными, и потому в процессе анализа полагаются случайными величинами. Процесс имитации осуществляется таким образом, чтобы случайный выбор значений из определенных вероятностных распределений не нарушал существования известных или предполагаемых отношений корреляции среди переменных. Результаты имитации собираются и анализируются статистически, чтобы оценить меру риска.

Первый шаг при применении метода имитации состоит в определении функции распределения каждой переменной, которая оказывает влияние на формирование потока наличности. Как правило, предполагается, что функция распределения являются нормальной, и, следовательно, для того, чтобы задать ее необходимо определить только два момента (математическое ожидание и дисперсию).

Как только функция распределения определена, можно применять процедуру Монте-Карло.

Алгоритм метода имитации Монте-Карло

Шаг 1.Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности.

Шаг 2. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными, используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта.

Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например 1000, и полученные 1000 значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением.

Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе, методом сценариев.

Теперь необходимо определить минимальное и максимальное значения критической переменной, а для переменной с пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений.

По прошлым наблюдениям за переменной можно установить частоту, с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе (от 0 до 1). Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель (в каких пределах колеблется, как распределен) при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением.

Задача аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой переменной (фактора) вид вероятностного распределения. При этом основные вероятностные распределения, используемые в анализе рисков, могут быть следующими: нормальное, постоянное, треугольное, пошаговое. Эксперт присваивает переменной вероятностное распределение, исходя из своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений: симметричных (например, нормальное, постоянное, треугольное) и несимметричных (например, пошаговое распределение).

Существование коррелированных переменных в проектном анализе вызывает порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных - компьютер, посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии. Допустим, цена и количество проданного продукта есть две отрицательно коррелированные переменные. Если не будет уточнена связь между переменными (коэффициент корреляции), то возможны сценарии, случайно вырабатываемые компьютером, где цена и количество проданной продукции будут вместе либо высоки, либо низки, что естественно негативно отразится на результате.

Проведение расчетных итераций является полностью компьютеризированная часть анализа рисков проекта. 200-500 итераций обычно достаточно для хорошей репрезентативной выборки. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из специфицированного интервала в соответствии с вероятностными распределениями и условиями корреляции. Затем рассчитываются и сохраняются результативные показатели (например, NPV). И так далее, от итерации к итерации.

Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов, собранных в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность каждого возможного случая (имеются в виду вероятности возможных значений результативного показателя).

Часто при сравнении вариантов капиталовложений удобнее пользоваться кривой, построенной на основе суммы вероятностей (кумулятивный профиль риска). Такая кривая показывает вероятности того, что результативный показатель проекта будет больше или меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается положением и наклоном кумулятивного профиля риска.

Кумулятивный (интегральный, накопленный) профиль риска, показывает кумулятивное вероятностное распределение чистой текущей стоимости (NPV) с точки зрения банкира, предпринимателя и экономиста на определенный проект. Вероятность того, что NPV < 0 с точки зрения экономиста - около 0.4, в то время как для предпринимателя эта вероятность менее 0.2. С точки зрения банкира проект кажется совсем безопасным, так как вероятность того, что NPV > 0, около 95%.

Будем исходить из того, что проект подлежит рассмотрению и считается выгодным, в случае, если NPV > 0. При сравнении нескольких одноцелевых проектов выбирается тот, у которого NPV больше при соблюдении сказанного в предыдущем предложении.

Рассмотрим 5 иллюстративных случаев. Случаи 1-3 имеют дело с решением инвестировать в отдельно взятый проект, тогда как два последних случая (4, 5) относятся к решению-выбору из альтернативных проектов. В каждом случае рассматривается как кумулятивный, так и некумулятивный профили риска для сравнительных целей. Кумулятивный профиль риска более полезен в случае выбора наилучшего проекта из представленных альтернатив, в то время как некумулятивный профиль риска лучше индуцирует вид распределения и показателен для понимания концепций, связанных с определением математического ожидания. Анализ базируется на показателе чистой текущей стоимости.

Случай 1: Минимальное возможное значение NPV выше, чем нулевое (см. Рис.1б, кривая 1).



Рисунок 1a. Интегральная вероятность

Рисунок 1б. Вероятность

Вероятность отрицательного NPV равна 0, так как нижний конец кумулятивного профиля риска лежит справа от нулевого значения NPV. Так как данный проект имеет положительное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект принимается.

Случай 2: Максимальное возможное значение NPV ниже нулевого(см. Рис.2, кривая 2).Вероятность положительного NPV равна 0 (см. следующий рисунок)., так как верхний конец кумулятивного профиля риска лежит слева от нулевого значения NPV. Так как данный проект имеет отрицательное значение NPV во всех случаях, ясно, что проект не принимается.

Случай 3: Максимальное значение NPV больше, а минимальное меньше нулевого (см. Рис1б, кривая 3).Вероятность нулевого NPV больше, чем 0, но меньше, чем 1, так как вертикаль нулевого NPV пересекает кумулятивный профиль рисков. Так как NPV может быть как отрицательным, так и положительным, решение будет зависеть от предрасположенности к риску инвестора. По-видимому, если математическое ожидание NPV меньше или равно 0 (пик профиля рисков слева от вертикали или вертикаль точно проходит по пику) проект должен отклоняться от дальнейшего рассмотрения.

Случай 4: Непересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных (взаимоисключающих) проектов (см. Рис.2а).

Рисунок 2а. Интегральная вероятность

Рисунок 2б. Вероятность

При фиксированной вероятности отдача проекта В всегда выше, чем у проекта А. Профиль рисков также говорит о том, что при фиксированной NPV вероятность, с которой та будет достигнута, начиная с некоторого уровня будет выше для проекта В, чем для проекта А. Таким образом, мы подошли к определению правила №1.

Правило 1: Если кумулятивные профили рисков двух альтернативных проектов не пересекаются ни в одной точке, тогда следует выбирать тот проект, чей профиль рисков расположен правее.

Случай 5: Пересекающиеся кумулятивные профили рисков альтернативных проектов. (см. Рис.3).

Рисунок 3а. Интегральная вероятность

Рисунок 3б. Вероятность

Склонные к риску инвесторы предпочтут возможность получения высокой прибыли и, таким образом, выберут проект А. Несклонные к риску инвесторы предпочтут возможность нести низкие потери и, вероятно, выберут проект В.

Правило 2: Если кумулятивные профили риска альтернативных проектов пересекаются в какой-либо точке, то решение об инвестировании зависит от склонности к риску инвестора.

Ожидаемая стоимость агрегирует информацию, содержащуюся в вероятностном распределении. Она получается умножением каждого значения результативного показателя на соответствующую вероятность и последующего суммирования результатов. Сумма всех отрицательных значений показателя, перемноженных на соответствующие вероятности есть ожидаемый убыток. Ожидаемый выигрыш - сумма всех положительных значений показателя, перемноженных на соответствующие вероятности. Ожидаемая стоимость есть, конечно, их сумма.

В качестве индикатора риска ожидаемая стоимость может выступать как надежная оценка только в ситуациях, где операция, связанная с данным риском, может быть повторена много раз. Хорошим примером такого риска служит риск, страхуемый страховыми компаниями, когда последние предлагают обычно одинаковые контракты большому числу клиентов. В инвестиционном проектировании мера ожидаемой стоимости должна всегда применяться в комбинации с мерой вариации, такой как стандартное отклонение.

Инвестиционное решение не должно базироваться лишь на одном значении ожидаемой стоимости, потому что индивид не может быть равнодушен к различным комбинациям значения показателя отдачи и соответствующей вероятности, из которых складывается ожидаемая стоимость.

Издержки неопределенности или ценность информации, как они иногда называются, - полезное понятие, помогающее определить максимально возможную плату за получение информации, сокращающей неопределенность проекта. Эти издержки можно определить как ожидаемую стоимость возможного выигрыша при решении отклонить проект или как ожидаемую стоимость возможного убытка при решении принять проект.

Ожидаемая стоимость возможного выигрыша при решении отклонить проект иллюстрируется на Рис.4 и равна сумме возможных положительных значений NPV, перемноженных на соответствующие вероятности.



Рисунок 4.

Ожидаемая стоимость возможного убытка при решении принять проект, показанная в виде заштрихованной площади на Рис.5, и равна сумме возможных отрицательных значений NPV, перемноженных на соответствующие вероятности.

Рисунок 5.

Оценив возможное сокращение издержек неопределенности при приобретении дополнительной информации, инвестор решает, отложить решение принять или отклонить проект и искать дополнительную информацию или принимать решение немедленно. Общее правило таково: инвестору следует отложить решение, если возможное сокращение в издержках неопределенности превосходит издержки добывания дополнительной информации.

3.2 Функции Microsoft Excel, используемые при моделировании

СТАНДОТКЛОНП

Вычисляет стандартное отклонение по генеральной совокупности.

СТАНДОТКЛОНП (число1; число2; ...)

Число1, число2,... -- от 1 до 255 числовых аргументов, соответствующих генеральной совокупности. Вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой, можно использовать массив или ссылку на массив.

Стандартное отклонение вычисляется с использованием «n» метода. Аргументы могут быть либо числами, либо содержащими числа именами, массивами или ссылками. Учитываются логические значения и текстовые представления чисел, которые непосредственно введены в список аргументов.

Если аргумент является массивом или ссылкой, то учитываются только числа. Пустые ячейки, логические значения, текст и значения ошибок в массиве или ссылке игнорируются.

Функция СТАНДОТКЛОНП вычисляется по следующей формуле:

где x -- выборочное среднее СРЗНАЧ(число1,число2,…), а n -- размер выборки.

НОРМРАСП

Возвращает нормальную функцию распределения для указанного среднего и стандартного отклонения.

НОРМРАСП(x; среднее; стандартное _ откл; интегральная)

x -- значение, для которого строится распределение.

Среднее -- среднее арифметическое распределения.

Стандартное_откл -- стандартное отклонение распределения.

Интегральная -- логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.

Если среднее = 0, стандартное_откл = 1 и интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает стандартное нормальное распределение, т. е. НОРМСТРАСП.

Уравнение для плотности нормального распределения (аргумент «интегральная» содержит значение ЛОЖЬ) имеет следующий вид:

Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, формула описывает интеграл с пределами от минус бесконечности до x.

ПЗ

Возвращает текущий объем вклада. Текущий объем -- это общая сумма, которую составят будущие платежи. Например, когда деньги берутся взаймы, заимствованная сумма и есть текущий объем для заимодавца.

ПЗ (ставка; кпер; выплата; бз; тип)

Ставка -- это процентная ставка за период. Например, если получена ссуда под автомобиль под 10 процентов годовых и делаются ежемесячные выплаты, то процентная ставка за месяц составит 10%/12, или 0,83%. В качестве значения аргумента ставка нужно ввести в формулу 10%/12 или 0,83% или 0,0083.

Кпер -- это общее число периодов выплат годовой ренты. Например, если получена ссуда на 4 года под автомобиль и делаются ежемесячные платежи, то ссуда имеет 4*12 (или 48) периодов. В качестве значения аргумента кпер в формулу нужно ввести число 48.

Выплата -- это выплата, производимая в каждый период и не меняющаяся за все время выплаты ренты. Обычно выплаты включают основные платежи и платежи по процентам, но не включают других сборов или налогов. Например, ежемесячная выплата по четырехгодичному займу в 10 000 руб. под 12 процентов годовых составит 263,33 руб. В качестве значения аргумента выплата нужно ввести в формулу число -263,33.

Бз -- требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после

последней выплаты. Если аргумент опущен, он полагается равным 0 (будущая стоимость займа, например, равна 0). Например, если предполагается накопить 50000 руб. для оплаты специального проекта в течение 18 лет, то 50 000 руб. это и есть будущая стоимость. Можно сделать предположение о сохранении заданной процентной ставки и определить, сколько нужно откладывать каждый месяц.

Тип -- это число 0 или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата.

Тип	Когда нужно платить
0	В конце периода
1	В начале периода

3.3 Интерфейс программы

Программа моделирования рисков разработана в среде Microsoft Excel. В программе используется специальная надстройка для Microsoft Excel «Анализ данных», предназначенная для генерации случайных чисел, описания статистических параметров сгенерированных данных и содержащая множество других функций, относящихся к теории вероятности.

Рабочая книга программы состоит из четырёх листов:

· «Исходные данные» - на этом листе пользователь вводит начальные параметры, описывающие инвестиционный проект. Данные далее используются при моделировании.

· «Моделирование» - на этом листе с помощью инструмента «Генерация случайных чисел» производится моделирование значений варьируемых величин, после чего рассчитываются показатели NCF и NPV.

· «Результаты» - на этом листе после проведения моделирования отображаются его результаты, по которым пользователь может сделать вывод о целесообразности принятия или отклонения инвестиционного проекта с данными условиями.

· «Анализ» - на этом листе рассчитываются основные статистические показатели всех переменных, участвующих в расчетах. Также выводится таблица корреляционных зависимостей между переменными.

Рассмотрим все четыре листа более подробно:

3.3.1 Исходные данные

На этом листе пользователь вводит начальные параметры, описывающие инвестиционный проект:

Начальные инвестиции в проект
Постоянные расходы
Амортизация оборудования
Норма дисконта
Ставка налога
Срок проекта

Эти параметры вводятся один раз, они являются предопределёнными для конкретного проекта и не могут изменяться под действием внешних факторов. Также вводятся три параметра, точное значение которых невозможно определить заранее, так как они зависят от множества внешних экономических факторов:

· Переменные расходы на выпуск одной единицы продукции

· Количество единиц реализованной продукции

· Цена за единицу продукции

Для того чтобы определить диапазон возможных значений этих параметров, введём три возможных сценария развития событий: благоприятный, средний и неблагоприятный. Для каждого из этих сценариев пользователь заполняет предполагаемые значения параметров.

Для каждого из сценариев в отдельный столбец пользователем вводится его оценка вероятности осуществления этого сценария. Для удобства использования в формулах блоку из этих трёх ячеек присвоено название «Вероятности».

После ввода данных рассчитываются среднее значение и стандартное отклонение для параметров «Переменные расходы», «Количество» и «Цена».

Пример формул для параметра «Переменные расходы»:



Среднее	=СУММПРОИЗВ(B11:B13; Вероятности)
Стандартное отклонение	=КОРЕНЬ(СУММПРОИЗВ((B11:B13-B15)^2; Вероятности))

3.3.2 Моделирование

На этом листе с помощью инструмента «Генерация случайных чисел» производится моделирование значений варьируемых величин «Переменные расходы», «Количество» и «Цена», после чего рассчитываются показатели NCF и NPV.

Всего для моделирования генерируются три совокупности по 1000 чисел, сгенерированных с использованием нормального распределения, причём значения «среднее» и «стандартное отклонение» берутся из данных, рассчитанных на листе «Исходные данные»:



После генерации экспериментальных данных с помощью формул Excel рассчитываются значения NCF и NPV. Примеры формул для расчета первой строки значений:

NCF	=(B4*(C4-A4)-Пострасходы-Амортизация)*(1-Налог)+Амортизация
NPV	=ПЗ(Норма; Срок; -D4) - Начинвестиции

Значения Пострасходы, Амортизация, Налог, Норма, Срок и Начинвестиции берутся с первого листа «Исходные данные».

Результатом моделирования является набор из 1000 значений NCF и NPV, который в дальнейшем используется для анализа целесообразности принятия инвестиционного проекта. При этом полученные отрицательные значения NPV выделяются красным цветом.

3.3.3 Результаты

На этом листе после проведения моделирования отображаются его результаты, по которым пользователь может сделать вывод о целесообразности принятия или отклонения инвестиционного проекта с данными условиями.

Основные показатели, анализируемые пользователем - это «Доходы - убытки» и «Вероятность значения NPV < 0». Если показатель «Доходы - убытки» больше нуля, а показатель «Вероятность значения NPV < 0» меньше 0.5, то проект признаётся успешным и целесообразным для инвестирования. Также есть возможность сравнения этих показателей для проектов с различными начальными данными, чтобы выяснить, какой из проектов может принести большую доходность в случае его принятия.

Пример формул расчетов результатов для показателя NPV:

Среднее значение	=СРЗНАЧ(НПВ)
Стандартное отклонение	=СТАНДОТКЛОНП(НПВ)
Коэффициент вариации	=F6/F5
Число случаев NPV<0	=СЧЁТЕСЛИ(НПВ;"<0")
Сумма убытков	=СУММЕСЛИ(НПВ;"<0")
Сумма доходов	=СУММЕСЛИ(НПВ;">0")
Доходы - убытки	=F10-F9
Вероятность значения < 0	=НОРМРАСП(0;F5;F6;1)

3.3.4 Анализ

На этом листе рассчитываются основные статистические показатели всех переменных, участвующих в расчетах. Также выводится таблица корреляционных зависимостей между переменными. Расчеты осуществляются с помощью надстройки Microsoft Excel «Анализ данных».

3.4 Анализ результатов эксперимента

Прежде чем приступать к анализу результатов эксперимента, необходимо отметить, что программа анализа рисков предполагает доброкачественность модели эксперимента и достоверность оценочных данных, введённых аналитиком. Если варьируемые данные, введённые аналитиком для трёх сценариев, сильно отличаются от реальных, то анализ рисков может привести к неверным результатам. Также не рекомендуется снижать числа экспериментов моделирования, так как это может негативно сказаться на точности полученных результатов.

Корреляционный анализ показывает независимость переменных «Переменные расходы», «Количество» и «Цена», что подтверждает правильность модели. При этом между этими показателями и рассчитанными значениями NPC и NPV существует корреляция. Корреляция между NPC и NPV всегда равна единице, так как это зависимые показатели.

Основной мерой риска принятия инвестиционного проекта считается показатель «Вероятность NPV<0». Если это значение меньше 0.5, то инвестиционный проект считается экономически обоснованным и должен быть принят. Также с помощью программы возможно сравнение нескольких предлагаемых проектов и выбор наилучшего из них, то есть имеющего наименьший показатель «Вероятность NPV<0».

Заключение

В работе были рассмотрены теоретические аспекты анализа рисков инвестиционных проектов, а также предложен практический метод реализации оценки рисков с помощью имитационного моделирования. Особое внимание было уделено математической интерпретации понятия «риск» и описанию математического аппарата, позволяющего создать модель инвестиционного проекта в условиях неопределённости.

Разработанная программа для оценки рисков представляет собой удобный инструмент для инвестиционных аналитиков, позволяющий быстро и эффективно построить модель инвестиционного проекта, оценить риски, связанные с реализацией этого проекта, принять решение о целесообразности проекта исходя из полученных результатов, а также провести сравнение набора проектов с различными параметрами по критериям доходности и степени риска. Программа легко модифицируется и масштабируется для описания более сложных моделей.