Математическое моделирование процесса диффузии как распределенного объекта управления с переменной структурой

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный технический университет

Математическое моделирование процесса диффузии как распределенного объекта управления с переменной структурой

Исследование процесса распространения вещества в технологических установках базируется, в первую очередь, на учете пространственной распределенности концентрации вещества по объему реактора. В зависимости от конструктивных особенностей технологических установок для исследования поведения вещества применяют различные математические модели: идеального вытеснения, смешения, ячеечную, диффузионную и др. [1].

Рассмотрим процесс распространения вещества в реакторе, который описывается однопараметрической диффузионной моделью

, ; ,

с граничными и начальными условиями

;;

,

где ? распределение концентрации вещества по длине реактора; ? скорость потока в реактор; ? коэффициент диффузии; - концентрация вещества на входе в реактор; - длина реактора.

В общем случае скорость подачи вещества в реактор и концентрация вещества на входе в реактор являются функциями времени. Если предположить, что концентрация вещества на входе в реактор является величиной постоянной , а принимает только два значения

которые соответствуют крайним положениям исполнительного механизма - открытому и закрытому, при этом время перехода от одного крайнего положения к другому считается пренебрежимо малым, тогда систему уравнений (1)-(3) можно переписать в виде

с граничными и начальными условиями

; ;

; ; (7)

; . (8)

В системе (5) уравнение для с граничными и начальными условиями (6), (8) описывает распространение концентрации вещества при открытом клапане подачи вещества в реактор, а для с граничными условиями (7), (8) - при закрытом клапане подачи вещества в реактор.

На основе математической модели (5)-(8) можно построить структурную схему объекта в терминах структурной теории систем с распределенными параметрами [2] (рис. 1).

Рис. 1. Структурное представление процесса диффузии

Здесь ? функция Грина для [3], которая имеет вид

,

где ; ? собственные функции; ? собственные числа, где , ? бесконечно возрастающая последовательность корней уравнения

.

? стандартизирующая функция для [3], которая имеет вид

.

Для функция Грина и стандартизирующая функция имеют вид [4]

;

.

Из общей структурной схемы (рис. 1) с распределенными воздействиями и распределенными переходными блоками можно получить на основании (9), (12), используя известные правила структурных преобразований, свойства дельта-функций и преобразование Лапласа, структурную схему распределенного процесса диффузии в реакторе с сосредоточенным воздействием и сосредоточенной управляемой величиной (рис. 2). диффузия движение химический реактор

Рис. 2. Структурное представление процесса диффузии с сосредоточенной управляемой величиной

Здесь - изображение по Лапласу единичной функции , ? изображение по Лапласу функции концентрации вещества в точке с координатой , и ? передаточные функции, в соответствии с (9), (12) имеющие вид

;

где , .

В результате процесс распространения вещества в химическом реакторе (1)-(3) описывается математической моделью переменной структуры с распределенными параметрами с сосредоточенной управляемой величиной

Библиографический список

Кафаров В.В., Глебов М.Б. Математическое моделирование основных процессов химических производств: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1991. - 400 с.

Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высш. шк., 2003. - 299 с.

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

Аннотация