Использование супервычислителя для решения задач теории потенциала методом граничных элементов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СУПЕРВЫЧИСЛИТЕЛЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПОТЕНЦИАЛА МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Федотов В.П.

Спевак Л.Ф.

Введение

Работа посвящена развитию подхода к реализации метода граничных элементов, направленного на распараллеливание вычислений, для решения двумерных задач об установившихся потенциальных течениях. Все большая доступность супервычислителей в настоящее время повышает интерес к методам решения краевых задач, допускающим распараллеливание счета на уровне алгоритма. В связи с этим, разработка подобных алгоритмов и их программная реализация на многопроцессорных комплексах приобретают все большее распространение и применение на практике.

В основу алгоритма решения задач теории потенциала положена методика применения метода граничных элементов [1], основанная на точном вычислении интегралов по граничным элементам с помощью полученных авторами аналитических формул и параллельных вычислений на каждом этапе решения.

Разработанный подход и созданные на его основе программы показали свою эффективность для решения линейных задач теории упругости [1], а также нестационарных задач диффузии и теплопроводности [2].

Краевая задача потенциального течения. Дифференциальное уравнение задачи теории потенциала имеет вид:

, ,

где и(x) - значение искомой функции в точке x; ?=?2/?x12+?2/?x22 - оператор Лапласа; Щ - рассматриваемая область; b(x) - заданная функция источника, распределенная на области Щ.

Стационарное потенциальное уравнение (1) описывает многие физические задачи, например, задачи кручения призматического стержня, потока тепла, течения жидкости, передачи электричества. Задача заключается в определении функции и(x) (электрического или гидравлического потенциала либо температуры), удовлетворяющей уравнению (1) и граничным условиям:

, ;

, .

Здесь q(x)=?и(x)/?n(x) - поток (соответственно плотность электрического тока, скорость течения жидкости или поток тепла); n(x) - внешняя нормаль к границе S=S1S2 области Щ; звездочкой отмечены известные величины.

Алгоритм решения. В соответствии с методом граничных элементов [3], осуществляется переход от основных уравнений краевой задачи (1), (2) к граничному интегральному уравнению для граничной точки :

где u*(x0,x), f*(x0,x) - функции влияния. Для двумерной задачи теории потенциала

;;

; ;

Для решения граничного интегрального уравнения необходима дискретизация границы , т.е. построение модели области Щ с границей, разбитой на граничные элементы. Пусть N+M - общее количество граничных элементов в предположении, что часть границы S1 разбита на N граничных элементов, а часть границы S2 - на M элементов. В данной работе используются прямолинейные граничные элементы и принимается, что функции и(x) и q(x) имеют постоянное значении на каждом элементе

;

, i=1, 2, …, N+M,

где - узел, находящийся в середине элемента .

Уравнение (3) в этом случае приводится к виду:

, j=1, 2, …,N+M.

Вычисление интеграла по области (последнее слагаемое в правой части (6)) зависит от вида функции источника b(x). Рассмотрены два случая:

1) b(x) - гармоническая функция в области Щ, т.е. имеет место равенство . Тогда, согласно [3], интеграл по области в правой части уравнения (6) преобразуется в интеграл по границе области следующего вида:

2) b(x) - произвольная числовая функция. В этом случае область Щ разбивается на конечные элементы ?Щ1, ?Щ2,…, ?ЩK, в каждом из которых функция b(x) полагается постоянной. Тогда интеграл по области в правой части уравнения (6) вычисляется следующим образом:

Здесь - узел элемента ?Щk.

С учетом (7a) и (7b) уравнение (6) принимает вид, соответственно,

.

Интегралы по граничным элементам от функций влияния вычисляются аналитически по формулам, полученным в [1] с помощью перехода от произвольного граничного элемента к «базовому» отрезку [0,L], лежащему на оси абсцисс:

;

Соотношения (8), записанные для всех граничных узлов, образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно значений функций и(x) и q(x) в узлах, не заданных граничными условиями,

.

Здесь и квадратные матрицы размером (N+M)Ч(N+M), элементы которых и являются интегралами от функций влияния по граничным элементам ; дифференциальный уравнение интегральный температура

- (N+M)-мерный вектор с элементами - значениями функции и(x) в узлах, причем первые N значений заданы граничными условиями, а последующие M неизвестны;

- (N+M)-мерный вектор с элементами - значениями потока q(x) в узлах границы, при этом первые N значений неизвестны, а последующие M заданы граничными условиями;

- матрица размером (N+M)ЧK, ее элементы определяются интегрированием функции влияния по конечным элементам;

- вектор размерности K. Его элементы - значения функции b(x) в узлах конечных элементов.

После определения всех граничных значений рассчитываются значения функции и во внутренних точках области по формуле:

.

Численная реализация. Представленный алгоритм был реализован в виде программы. Ниже рассмотрено решение двух тестовых задач, иллюстрирующих применение алгоритма и программы.

Задача 1. Однородная задача (при b(x)=0) о распространении тепла в пластине, имеющей форму эллипса с большой полуосью a=5м и малой полуосью b=3м. На границе задан тепловой поток

Схема задачи представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема задачи о распространении тепла в эллипсе.

В результате решения задачи с помощью представленного алгоритма было определено распределение температура на всей границе пластины и были вычислены значения температуры во внутренних точках пластины. На рис. 2 показаны результаты сравнения температуры вдоль оси абсцисс, рассчитанной с помощью: предложенного алгоритма для 100 и 400 граничных элементов с точным решением и(x)= x12-x22.

Рис. 2. Распространение тепла в эллипсе: изменение температуры вдоль оси абсцисс.

Задача 2. Задача с источником о распространении тепла в квадратной пластине со стороной h=1м. Пусть на вертикальных сторонах пластины задана температура:

,

,

а на горизонтальных - нулевой поток:

,

,

соответствующий отсутствию теплообмена с окружающей средой. Внутри пластины действует источник тепла b(x)=x12+2x1+3. Схема задачи показана на рис. 3.

Рис. 3. Схема задачи о распространении тепла в квадратной пластине.

После определения значений температуры на всей границе квадратной пластины была вычислена температура в заданных внутренних точках пластины. На рис. 4 сравнивается изменение температуры вдоль горизонтального отрезка, концы которого имеют координаты (0.25;0.75) и (0.75;0.75), рассчитанное с помощью предложенного алгоритма для 4 и 100 граничных элементов, с точным решением и(x)=x14/12+x13/3+3x12/2+1177x1/12+100.

Рисунок 2. Распространении тепла в квадратной пластине: изменение температуры вдоль заданного отрезка.

Из представленных примеров следует, что решения задач 1, 2 по предложенному алгоритму при увеличении количества граничных элементов приближаются к соответствующим аналитическим решениям. Данный алгоритм позволяет сократить время расчета задачи по сравнению с “классическим” методом граничных элементов за счет использования аналитического интегрирования и технологий параллельного программирования.

Работа выполнена при поддержке Региональной целевой программы развития вычислительных, телекоммуникационных и информационных ресурсов УрО РАН - РЦП-2014, проект № РЦП-14-П1.

Литература

1. В.П. Федотов, Л.Ф. Спевак. Модифицированный метод граничных элементов в задачах механики, теплопроводности и диффузии. Екатеринбург: УрО РАН. 2009, 164с.

2. В.П. Федотов, О.А.Нефедова. Применение модифицированного метода граничных элементов для решения параболических задач. Вестник СамГТУ. Сер. Физ.-мат. науки. 2011, Т25, №4, с. 93-101.

3. К. Бреббия, Ж. Теллес, Л. Вроубел. Методы граничных элементов. М.: Мир. 1987, 524 с.

Размещено на Allbest.ru