Синтез распределенной системы управления упругой конструкцией

Аннотация

Владимир Александрович Коваль (д.т.н., проф.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Михаил Федорович Степанов (д.т.н., доц.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Ольга Юрьевна Торгашова (д.т.н., доц.), профессор кафедры «Радиоэлектроника и телекоммуникации».

Для упругого распределенного объекта управления с параметрами, зависящими от пространственной переменной, и с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту на основе спектрального метода анализа и синтеза распределенных систем выполнен переход от дифференциальных уравнений с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний. В векторно-матричные уравнения полученного спектрального представления аддитивно входят граничные условия задачи, что позволяет осуществить управление с границ. Синтезирован закон управления для подавления колебаний и выполнен анализ замкнутой системы. Полученные результаты могут быть использованы при построении систем управления летательными аппаратами с активной динамической компенсацией упругих колебаний.

Ключевые слова: упругая балка, уравнение колебаний, ряд Фурье, спектральный метод, операционная матрица, динамический регулятор, синтез, анализ.

управление колебание упругий распределенный

Введение

В авиационной и ракетной технике широко используются упругие конструкции, что вызвано стремлением увеличить скорость полета, уменьшить вес и увеличить длину летательного аппарата. При соответствующих условиях полета, особенно по мере выработки топлива, возникают упругие колебания несущей конструкции, которые по частоте и амплитуде соизмеримы с угловыми колебаниями летательного аппарата.

Упругие колебания воздействуют на датчики системы управления, а следовательно, на органы управления. Эти возмущения могут приводить к потере точности и устойчивости процесса управления полетом [1, 2]. Поэтому возникает проблема создания такого закона управления летательным аппаратом, чтобы он парировал не только внешние возмущения, но и упругие колебания корпуса.

Современные космические аппараты имеют на борту не только жесткие элементы, но и упругие конструкции - антенны, солнечные батареи, выносные штанги с измерительными приборами. Пассивная или активная стабилизация этих устройств необходима для нормальной работы космического аппарата.

Большинство работ по управлению упругими конструкциями и их стабилизации выполнено на основе современной теории аналитического конструирования оптимальных регуляторов для систем с распределенными параметрами [3, 4].

Необходимо отметить, что для объектов, описываемых системой дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, оптимизационная система уравнений, определяющая управление, представляет собой нелинейную систему дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений с частными производными [3]. Решение данной системы представляет собой достаточно сложную задачу по реализации вычислительных процедур и поиску алгоритмов, дающих хорошую сходимость полученных решений.

В данной работе ставится следующая задача. Для упругого распределенного объекта (фюзеляжа самолета или корпуса ракеты) с параметрами, зависящими от пространственной переменной, и с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту [2] осуществить переход от дифференциальных уравнений с частными производными к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме пространства состояний с использованием спектрального метода теории управления [5, 6]; синтезировать закон управления для подавления колебаний и выполнить анализ замкнутой системы.

1. Математическая модель объекта управления

Будем считать, что упругие колебания фюзеляжа самолета и корпуса ракеты достаточно точно описываются уравнением упругой балки переменного сечения с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту, которое согласно [2] имеет вид

(1)

где - пространственная переменная;

- время;

- прогиб оси балки, измеренный в перпендикулярном к недеформированной оси балки направлении;

- масса единицы длины;

- изгибная жесткость;

- модуль упругости;

- момент инерции поперечного сечения балки относительно нейтральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний;

- внешняя распределенная поперечная нагрузка, отнесенная к единице длины балки;

- коэффициент внутреннего сопротивления по Фойгхту.

Уравнение (1) представим в виде

(2)

Будем рассматривать (2) как математическую модель объекта управления с начальными условиями

(3)

и граничными условиями

(4)

Приведем к безразмерному виду дифференциальное уравнение (2), начальные условия (3) и граничные условия (4). Введем безразмерные переменные

(5)

где - некоторые номинальные значения соответствующих переменных.

В новых переменных (5) дифференциальное уравнение объекта управления будет иметь вид

(6)

Коэффициенты уравнения (6) определяются выражениями

(7)

Начальные условия:

(8)

Граничные условия:

(9)

Далее, опираясь на свойства спектральных характеристик [5], получим выражения для матриц спектрального представления объекта управления.

2. Спектральное представление задачи

Будем полагать, что функция, описывающая состояние объекта управления , является вещественной однозначной ограниченной с интегрируемым квадратом в области пространственной переменной , граничные условия прикладываются в точках ,

, .

Функцию с учетом граничных условий можно представить в виде

(10)

- функция, совпадающая с функцией на интервале ; - значение единичной скачкообразной функции на границе ; - значение единичной скачкообразной функции на границе ;

Обобщенная производная [7] от функции (10) по x будет иметь вид

Для m-ной производной можно записать следующее выражение:

Функцию разложим в ряд Фурье по системе ортонормированных функций на интервале изменения

, . (11)

С использованием свойств спектральных характеристик и с учетом осуществим переход от дифференциального уравнения с частными производными (2) при начальных условиях (3) и граничных условиях (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений

(12)

где - вектор спектральной характеристики функции с компонентами

- бесконечномерные квадратные операционные матрицы первого сомножителя спектральных характеристик функций соответственно, элементы которых вычисляются по выражениям

- бесконечномерные квадратные операционные матрицы сомножителей , элементы которых определяются выражением

- вектор спектральной характеристики функции с компонентами

- бесконечномерные квадратные операционные матрицы дифференцирования с элементами, вычисляемыми в соответствии с выражением

- векторы спектральных характеристик граничных условий с элементами

- операционные матрицы, описывающие скачки функции на интервале , вычисляемые по выражению

Преобразуем выражение (12) к виду

(13)

Введем новую переменную и представим уравнение (13) в виде системы векторно-матричных уравнений в форме Коши:

(14)

В качестве управляющих воздействий будем рассматривать значение момента и его производную по времени

на правой границе объекта. Введем обозначения:

(15)

В выражениях (15) используются обозначения векторов

, .

С учетом обозначений (15) система (14) может быть записана в векторно-матричной форме

(16)

где

вектор состояний;

вектор управлений;

вектор возмущений.

Матрицы A, B, M имеют вид

(17)

Таким образом, осуществлен переход от описания объекта управления уравнением с частными производными (2) с заданными начальными и граничными условиями (3), (4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (16) в форме пространства состояний с постоянными коэффициентами.

Дополним (16) выражением

(18)

где вектор измеряемых переменных значений в тех точках, где размещены датчики;

D - матрица, строки которой составлены из ортонормированных функций , по которым проводится разложение в ряд Фурье (11), вычисленных в точках измерения. Анализ спектрального представления объекта управления (14) показывает, что граничные условия задачи входят в уравнения объекта, что позволяет осуществить управление с границ объекта. В качестве управляющего воздействия на концах балки могут быть приложены изгибающий момент и поперечная сила, поэтому в выражениях (14) учитываются члены, пропорциональные второй и третьей производной функции по пространственной переменной x на правой границе объекта.

3. Вычисление матриц спектрального представления объекта управления и синтез регулятора

Рассмотрим распределенный объект управления (2)(4) с коэффициентами, являющимися функциями пространственных координат, при следующих исходных данных:

(19)

Распределение массы и жесткости имеет вид:

(20)

Получим безразмерные коэффициенты (7), выбрав следующие номинальные значения:

Для выбранных значений (20) относительное распределение массы и жесткости будет иметь вид

а числовые значения коэффициентов (7) будут следующими:

В качестве системы ортонормированных функций будем использовать

(21)

Приведем значения матриц объекта управления, учитывая выражения (17), а при вычислении матрицы D также то, что измерения производятся в точке :

(22)

Для объекта управления (16) с матрицами (22), (23) был выполнен синтез непрерывного регулятора на основе LQ-оптимизации и теории наблюдающих устройств в соответствии с процедурой, изложенной в [6]. Уравнения регулятора имеют вид

(24)

где

вектор состояний регулятора, числовые матрицы. При выполнении вычислений было учтено 5 амплитуд пространственных мод.

Приведем значения матриц регулятора:

На рис. 1, 2 представлены результаты анализа замкнутой системы.

Рис. 1 Значение регулируемой переменной в точке x 0.7

Из графика переходного процесса, представленного на рис. 1, следует, что возмущающее воздействие компенсируется с ошибкой не более 3 %. Управляющие воздействия, приложенные на правой границе упругого объекта, действуют в течение 1.5 с и по модулю не превышают допустимых значений.

Рис. 2 Управляющие воздействия: а - момент u1(t) на правой границе объекта; б - производная по времени u2(t) u1(t)/t на правой границе объекта

Заключение

На основании спектрального метода теории управления осуществлен переход от уравнения с частными производными, описывающего упругие колебания летательного аппарата с учетом внутреннего сопротивления по Фойгхту и с неравномерным распределением массы и жесткости по конструкции, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений в форме Коши.

С использованием LQ-оптимизации и теории наблюдающих устройств синтезирован регулятор и построен наблюдатель с коррекцией по ошибке восстановления.

Полученные результаты могут быть использованы при построении систем управления летательными аппаратами с активной динамической компенсацией упругих колебаний, что дает возможность улучшить динамику летательного аппарата, уменьшить навигационные ошибки, снизить нагрузки и напряжения в конструкции.

Библиографический список

1. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973. 560 с.

2. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1973. 616 с.

3. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1977. - 480 с.

4. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. - М.: Машиностроение, 1986. - 216 с.

5. Коваль В.А. Спектральный метод анализа и синтеза распределенных систем. - Саратов: Изд-во Сарат. гос. техн. ун-та, 2010. 148 с.

6. Коваль В.А., Торгашова О.Ю. Решение задач анализа и синтеза для пространственно-двумерного распределенного объекта, представленного бесконечной системой дифференциальных уравнений // АиТ. - 2014. - № 2. - С. 54-71.

7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1959. 472 с.

Размещено на Allbest.ru