Нелинейная динамика в моделировании социально-экономического развития российско-украинского приграничья

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА В МОДЕЛИРОВАНИИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ РОССИЙСКО-УКРАИНСКОГО ПРИГРАНИЧЬЯ

Кирюхин А.М.

1. Математическая модель миграционных процессов на уровне регионов двух сопредельных государств*

Рассмотрим некоторые качественные особенности миграционных феноменов для двух взаимодействующих регионов в рамках трансграничного сотрудничества между Россией и Украиной. В качестве базовой будет изучена математическая модель, описывающая динамику плотностей населения обеих приграничных областей сопредельных государств. Принципы построения вышеназванной модели подробно изложены в основополагающей работе В. Вайдлиха [1] с учетом миграционной мотивации как внешнего, так и внутреннего типа. В частности, внешними причинами миграции является территориальная экономическая ситуация и естественная привлекательность региона. Внутренние инициации зависят от социоконфигурации населения. Это, в свою очередь, предопределяет структуру миграционного выбора - агломерацию или сегрегацию.

Итак, математическая модель миграции двух приграничных регионов России и Украины может быть представлена в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений

В (1) x = x (t) - относительный прирост российского населения в приграничье, y = y (t) - относительный прирост соответственно украинского населения; krr = kuu > 0 являются внутренними коэффициентами агломерации населения России и Украины, а коэффициенты взаимовлияния kru = б и kur = в могут принимать различные знаки для описания как агломерационных, так и сегрегационных тенденций.

Таким образом, с учетом принятия допущений (1) примет форму

Система двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (2) может иметь положения равновесия, определяемые системой двух трансцендентных алгебраических уравнений

x = th (kx + бy),

y = th (вx + ky).

Очевидно, что точка с координатами x* = 0, y* = 0 является решением (3) и называется стационарной точкой (положением равновесия) системы (2).

Для нас наиболее важным является вопрос об устойчивости данного тривиального положения равновесия. В линейном приближении при малых отклонениях от положения равновесия система (2) имеет вид

Данная линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений обладает характеристическим уравнением

Отсюда легко определить корни квадратного уравнения (5):

л1,2 = k

Из явного выражения для характерических чисел л1,2 следуют условия, обеспечивающие устойчивость тривиального положения равновесия системы (4):

k < 1, (k - 1)2 > бв

Неравенства (7) гарантируют отрицательность вещественных частей корней уравнения (5).

Устойчивость тривиального положения равновесия (x = 0, y = 0) с содержательной точки зрения означает, что численность населения в обоих приграничных регионах сопредельных государств сохраняется на естественном уровне и малые воздействия не оказывают существенного влияния на данную социоконфигурацию. С другой стороны, нарушение условий (7) порождает неустойчивость, которая может кардинально изменить существующий паритет.

Далее мы будем исследовать пороговые ситуации, в которых возможны переходы из устойчивого положения в неустойчивое, и наоборот. Такие критические режимы функционирования динамических систем называются бифуркационными и содержат разнообразные эффекты, характерные сугубо для нелинейных объектов. Иначе говоря, в дальнейшем изложении необходимо изучать поведенческие особенности системы (2) с учетом вклада нелинейных членов, возникающих при разложении в ряд Тейлора гиперболических функций.

Итак, полагая

shz ? z + , chz ? 1+

получим первое нелинейное приближения системы (2)

Вполне очевидно, что линейная система (4) может быть получена из (8) путем отбрасывания нелинейных слагаемых.

Условия устойчивости (7) содержат два неравенства. Вначале рассмотрим ситуацию, когда нарушено первое неравенство, а именно k ? 1. В такой ситуации заменим приближенное равенство точным

k = 1 +

где, - малая величина из окрестности нуля, принимающая как положительные, так и отрицательные значения. Характеристические числа (6) примут вид

л1,2 =

В случае, когда параметры б и в имеют одинаковые знаки, т. е. имеют вместе взаимные агломерационные или сегрегационные тенденции, положение равновесия х = 0, y = 0 является седловой точкой. Это означает наличие неустойчивости, ведущей к существенной миграции населения из данного региона в сопредельный.

Однако для нас представляет значительно больший интерес, когда один из участников трансграничного сотрудничества ориентирован на сегрегативный тренд, а другой участник - на агломеративный. С точки зрения модели здесь оба участника равноправны, но для определенности положим, что в > 0, б = в.

В таком случае л1,2 = ± iв, i2 = 1

Очевидно, что характеристические числа л1,2 являются комплексносопряженными, а при = 0 - чисто линейными. Тривиальное положение равновесия в подобном случае является фокусом устойчивости при < 0 и неустойчивом, если > 0. Таким образом, при переходе через значение = 0 происходит потеря устойчивости стационарной точки (положения равновесия). Так как система (8) является нелинейной динамической системой, то возможно рождение периодических решений из равновесного состояния. Данное явление называется бифуркацией рождения цикла. При этом стационарный режим остается теоретически возможным, но становится неустойчивым и потому фактически не наблюдается. Потеря устойчивости с возникновением периодических решений может происходить «мягко» или «жестко». В первом случае рождающиеся периодические решения устойчивы, и при изменении параметров все происходит плавно: точка стационарности заменяется легкой вибрацией переменных. В другом случае происходит резкий срыв в новое состояние равновесия или нестационарный режим. При этом такая потеря устойчивости имеет характер катастрофы.

В начале докажем существование рождения периодических решений в исследуемой системе (8). Для этого необходимо выполнение ряда условий, содержащихся в теореме Хопфа [2]:

1) собственные числа л1,2 = ± iв при = 0 комплексно сопряжены.

2) вещественная часть производной собственных чисел по параметру не равна тождественно нулю. Дифференцируем (10), получим

3) мнимая часть собственных чисел не равна нулю Im л1,2 = в.

Все условия бифуркационной теории Хопфа выполнены. Следовательно, в системе (8) имеет место бифуркация рождения цикла.

Следующим этапом нашего исследования является вывод формул, описывающих период, амплитуду и устойчивость рождающихся периодических решений. Для этого используем методологию, представленную в [2].

В критическом случае при = 0 собственное число чисел л1,2 = ± iв. Это означает, что параметр в имеет смысл частоты колебаний в линейном приближении, обозначим щ = в и приведем систему (8) к виду соответствующей нормальной форме Пуанкаре при = 0

,

Система (11) имеет соответствующую первую ляпуновскую величину

Re C1(c) =

Так как вышеназванная величина является отрицательным числом, то рождающийся периодический режим (предельный цикл) является устойчивым. Период цикла равен

T ?

а периодические решения малой амплитуды

x = y =

Предельный цикл рождается «мягко» и граница параметра k = 1 является «безопасной» в смысле потери устойчивости тривиального положения равновесия.

Иная ситуация наблюдается при нарушении неравенства в условиях (7), т. е. когда

(k )2 ? бв

Данный режим возможен лишь в условиях, когда б и в имеют одинаковые знаки, т.е. обе страны ведут себя одинаково по отношению друг к другу (либо агломеративно, либо сегрегативно). Не нарушая общности, ради упрощения вычислений положим б = в. В таком случае система (8) примет вид

Пусть k = 1 - в - м, где м - малая знакопеременная величина. Собственные числа линеаризованной системы равны л1 = м, л2 = 2в - м.

В случае сегрегативных отношений в < 0, при м > 0 тип равновесия седловой, при м < 0 - неустойчивый узел. Система (13) в любом случае имеет неустойчивое тривиальное положение равновесия. Если же в > 0, что характерно для агломерации, то при м > 0 равновесие является устойчивым узлом, а при м < 0 наблюдается седловое равновесие. Такой режим является бифуркационным.

При помощи метода центрального многообразия система (13) может быть сведена к одному уравнению. Положим, например, у = х + Р(х), где Р(х) полином от х, начинающийся со второй степени.

Тогда получим следующее дифференциальное уравнение, пренебрегая степенями выше третьей. После необходимых преобразований имеем

x = .

Уравнение (14) является модельным для бифуркации типа «вилка» или «трезубец» [3]. В этом случае х = 0 также равновесное положение при любых значениях периметра м. Оно устойчиво при м ? 0 и неустойчиво при м < 0. Если м > 0, то х = 0 является единственным и устойчивым положением равновесия. Для м < 0 имеются также два ненулевых положения равновесия х = ±. В этом случае положение равновесия х = 0 неустойчиво, а два других х = ± - устойчивы. Такая бифуркация называется суперкритической и характеризуется слиянием и расщеплением положений равновесия. При этом возможна катастрофа «сборка».

Мы рассмотрели качественное поведение математической модели миграционных процессов на уровне регионов двух сопредельных государств. Основное внимание было уделено качественному прогнозированию параметров порядка на границах «устойчивость - неустойчивость» при смене агломеративных и сегрегативных режимов. Данный подход к анализу поведенческих свойств модели миграции обеспечивает выработку сценариев, позволяющих избежать в дальнейшем нежелательные режимы и катастрофы.

В условиях постепенного открытия экономик государств-участников СНГ, подписавших и ратифицировавших многосторонний договор о зоне свободной торговли в 2011 году, а также благодаря вступлению Российской Федерации вслед за Украиной во Всемирную торговую организацию, проявляется новый фактор мобильности трудовых ресурсов и населения, формируется общий рынок труда. Вместе с тем, рассматривая демографическую и миграционную ситуацию в двух важнейших пограничных сегментах стран Содружества - российско-казахстанском пограничье и российско-украинском пограничье, можно увидеть принципиальные различия. В российско-казахстанском сегменте наблюдается резкая асимметрия в численности населения: российской (22 млн. чел.) и казахстанской (6 млн. чел.) частях приграничья. Здесь также наблюдается резкая дифференциация смежных приграничных территорий по важнейшим социально-экономическим показателям [Лимонов, Анисимов, 2012]. В российско-украинском приграничье ситуация принципиально иная. Обе части пограничья обладают практически равной численностью населения (16 и 15 млн. чел. соответственно), а социально-экономические показатели в смежных регионах не имеют резкой дифференциации. Существенные различия наблюдаются между северо-западной и юго-восточной частями приграничья [Колосов, Вендина и др., 2011], что не провоцирует интенсивные миграционные процессы. Этот вывод обеспечивает корректность последующих построений без учета фактора мобильности населения и трудовых ресурсов.

2. Формализация процессов трансграничной кооперации для построения моделей эволюции трансграничных территорий

Далее рассмотрим построение модели эволюции международной трансграничной территории в условиях взаимодействия смежных территорий при наличии режима межгосударственной интеграционной границы.

Международная трансграничная территория - это комплексная географическая структура, состоящая из взаимодействующих приграничных территорий двух или более соседних стран, обладающих сочетаниями природных ресурсов и тех или иных видов хозяйственной деятельности, природным основанием которых является либо единая геосистема, либо сочетание двух или более геосистем регионального уровня, расположенных в зоне государственной границы [Ганзей, 2005].

Базовым фактором устойчивого социально-экономического развития контактной зоны Украины со странами Таможенного союза (прежде всего, российско-украинское приграничье) становится территориальное сотрудничество. Под территориальным сотрудничеством нами понимается сотрудничество административных единиц или политических акторов (властей), представляющих свои территории, а также сотрудничество других государственных субъектов через институты и инструменты европейской интеграции, прежде всего еврорегионы. Территориальное сотрудничество как более широкое понятие в современной региональной политике Европейского союза включает в себя, прежде всего, понятия «трансграничное» и «приграничное» сотрудничество и является с 2007 года самостоятельным инструментом политики сплочения.

В модели используется набор динамических переменных, характеризующих материальные структуры международной трансграничной территории (трансграничная конфигурация).

В качестве объекта исследования территориального сотрудничества в пределах международной трансграничной территории нами предлагается выделять трансграничный ареал территориального сотрудничества (ТАТС), который охватывает территорию, включенную в формат взаимодействия посредством юридически оформленных соглашений. Трансграничный ареал территориального сотрудничества характеризуется пространственной структурой и временной динамикой.

Трансграничное пространство в рассматриваемой модели состоит из приграничных административных районов по обе стороны государственной границы, в пределах которых возникают и формируются различные элементы сотрудничества. За счет них появляются и поддерживаются обособленные или перекрывающиеся трансграничные ареалы территориального сотрудничества, обеспечивающие динамику обоюдовыгодного взаимодействия. К структурным элементам ТАТС относятся центры, узлы и оси сотрудничества, программные и проектные ареалы, важнейшими характеристиками которых являются плотность и симметричность. Формальный анализ пространственной и временной динамики ТАТС может быть осуществлен с применением методов социодинамики как в пределах всего ареала (макро-уровень), так и на локальном участке ареала (микро-уровень). Последний из указанных уровней предназначен для исследований эффективности еврорегионов [4].

Для реализации долгосрочных трансграничных стратегий необходимо разработать социодинамическую процедуру моделирования, основанную на формализации представлений об устойчивом сбалансированном росте по обе стороны границы. Вероятностные интенсивности перехода, определяющиеся основными направлениями сотрудничества, также как и стохастическая реализация пошаговой эволюции международной трансграничной территории, являются центральными элементами исследования. Данные интенсивности должны зависеть от трансграничных полезностей, которые проектируются на основе принятия совместных и согласованных решений.

Моделирование. В общем виде моделирование направлено на решение следующих последовательных прикладных задач.

Задача 1. Сближение (стабилизация, консолидация, конвергенция, сплочение, пространственная интеграция) в пределах международной трансграничной территории.

Задача 2. Интеграционное насыщение международной трансграничной территории межрегиональными полезностями и превращение ее в функциональный трансграничный регион.

Межрегиональные (трансграничные) полезности. Представляют собой результаты коллективных действий, направленных на решение трансграничных проблем в сферах представляющих взаимных интерес по обе стороны границы. Пространственное размещение эффектов (экономических, социальных, природоохранных) от межрегиональных полезностей должно обеспечить долгосрочную симметричность их проявления. Устойчивое развитие трансграничного региона рассматривается как баланс насыщения межрегиональными полезностями по обе стороны границы. При этом понятие «трансграничная полезность» должно приниматься в широком смысле. Оно объединяет влияние социальных, экономических, природоохранных и эстетических точек зрения, согласованных мнений и общих позиций участников сотрудничества, так же как и влияние материальной заинтересованности бизнес-сообщества при принятии решений о расширении деловой активности в приграничье. Выбор функций трансграничных полезностей, которые оказывают непосредственное влияние на трансграничную конфигурацию и определяют форму интенсивностей перехода международной трансграничной территории в функциональный трансграничный регион, является ключевым в процедуре построения нелинейной динамической модели. Данный выбор определяет принятие «дорожной карты» сотрудничества и последующее согласование трансграничных стратегий. Описанная общая методология позволяет перейти к описанию эволюции международной трансграничной территории на основе теории неофукционализма [Schmitter, 1969].

Общая интегрированная модель эволюции международной трансграничной территории.

Воспользуемся набором переменных, описывающих международную трансграничную территорию как систему. Эти материальные переменные характеризуют трансграничную конфигурацию выделенной системы. Допустим, что международная трансграничная территория разбита на ячейки - квадраты (базовые территориальные единицы). Каждая ячейка относительно международной трансграничной территории мала и однородна, но в тоже время достаточно велика для размещения на ней различных структурных элементов ТАТС. Ячейки пронумерованы i (i1 , i2), j (j1, j2), … , где (i1 , i2), j (j1, j2), … - целые координаты. Вся трансграничная территория разделена границей на две части H и B, так, что любая из ячеек принадлежит одной из частей (для удобства, например, H - желтая, B - синяя).

Присвоим определенную емкость Ci ячейке i, что соответствует насыщению различными трансграничными проектами (программами). Так как все виды проектов являются целыми числами, емкость Ci также является целым, определяющим максимальное число проектов (программ), которые можно реализовать в ячейке i.

В каждой ячейке могут быть реализованы различные проекты. Обозначим через Kn номер проекта (вид взаимодействия), тогда K = 1, … , N, где N - количество проектов (программ). Введем m, которая представляет собой материальную переменную, тогда величина mi(K) определяет значение переменной проекта K, реализуемого в ячейке i.

m = { … ; … , mi(K), … , Ci ; … , mj(K) , ... , Cj ; ... } = {mi ; mj ; ...},

определяет конфигурацию международной трансграничной территории. Ввиду того, что Ci является максимальной емкостью ячейки i, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие:

Введем величины общей емкости каждой сопредельной территории, из которых образуется международная трансграничная территория:

mi(K) ? Ci

Ch = Ci ; Cb = Ci

iH iB

Интенсивности перехода. При рассмотрении элементарных изменений трансграничной конфигурации наблюдается увеличение количества межрегиональных полезностей за счет появления новых проектов (программ) трансграничного сотрудничества.

m = { … , mi(K), … }=> mi+(K) = { … , mi(K) + 1 , … }

Записанный в (18) переход означает, что один трансграничный проект (программа) вида K был реализован в ячейке i, что привело к появлению новой трансграничной (межрегиональной) полезности и переходу в новое состояние трансграничной конфигурации. Данный переход характеризуется вероятностной интенсивностью.

Интенсивность перехода внутри трансграничной конфигурации имеет следующий вид:

щiK (mi+(K) , m) ? щi^K (m) ? мiK exp {Дi+K (m)},

Дi+K (m) = u(mi+(K)) - u(m)

Коэффициент мiK характеризует общую мобильность в соответствующем переходе. Он зависит от ячейки i (пространственного расположения приграничного района) и вида трансграничного проекта (веса его трансграничной полезности).

В свою очередь u(m) представляет собой меру полезности трансграничной конфигурации. Скорость перехода внутри исследуемой конфигурации в выражении (19) зависит от разности трансграничных полезностей после и до перехода.

В случае интегральной оценки полезностей в двух смежных ячейках (желтой и синей) оценивается интенсивность перехода одновременно:

щijK (mi± (K) , m) ? щjiK (mi± (K) , m)

и вычисляется разность интенсивностей:

rij(K) (mi± (K) , m) = | щijK (mi± (K) , m) - щjiK (mi± (K) , m) |

чем < rij(K) , тем более сбалансировано влияние трансграничных полезностей на сотрудничающие ячейки (смежные приграничные районы).

Соответственно эффект от снижения различий в социально-экономическом развитии, обусловленный воздействием трансграничных полезностей (добавленной стоимостью трансграничного сотрудничества) на смежные приграничные районы, будет максимальным.

Основное уравнение.

Вывод основного уравнения эволюции вероятностного распределения различий в интенсивностях развития в момент времени t осуществлен после определения в общем виде интенсивностей перехода для всех элементарных переходов по всем переменным m и всем проектам K.

В соответствии с общей методикой [1], вероятность P эффекта реализации трансграничной конфигурации {r} в момент времени t, которая удовлетворяет условию нормировки:

P (r; t) = 1

примет вид:

= rijK (mi± (K) , m) · P (r, t)

K j i

Описанная формализация процесса реализации территориального сотрудничества с позиций «трансграничных полезностей» как универсального теоретического подхода позволяет перейти к созданию механизма конструирования функционального трансграничного региона на основе минимизации социально-экономических диспропорций внутри его контура и последующей подготовки совместной трансграничной стратегии. Достижение максимальных трансграничных полезностей приводит к появлению благоприятных трансграничных режимов для принятия решений по переходу на инновационные сценарии развития по обе стороны границы. На рис. 1 приведены возможные сценарии развития российско-украинского приграничья под влиянием внешних факторов.

Мотивированным на инновационный сценарий будет вариант, ориентированный на максимальную мобилизацию территориального сотрудничества на основе трансграничных стратегий, подготовленных на период до 2020 года в рамках действующих еврорегионов.

миграционный дифференциальный кооперация трансграничный

Выводы

Имплементация европейских принципов региональной политики в методологию исследования развития трансграничных территорий общего порубежья России и Украины обусловлена появлением государственной российско-украинской границы, её новыми функциями и воздействием на приграничное социально-экономическое пространство глобальных и континентальных геоэкономических факторов. Предложенный в работе формализованный подход к описанию эволюции международных трансграничных территорий при их переходе в состояние трансграничных функциональных регионов, позволяет моделировать динамику различных стадий интеграционных процессов. Универсальность данного подхода позволяет исследовать трансграничные регионы различной размерности: от крупных ареалов трансграничных проектов территориального сотрудничества (экологические бассейновые и образовательные программы) до еврорегионов и их отдельных частей. Унификация переменных для исследуемых полимасштабных трансграничных регионов и универсальность предложенной модели позволит в дальнейшем проводить сравнительный анализ динамики возникших пограничий на трансформируемом постсоветском пространстве.

Список литературы

1. Вайдлих В. Социодинамика: системный подход к математическому моделированию в социальных науках. - М.: Едиториал УРСС, 2005. - 480 с.

2. Хэссард Б., Казарипов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. - М.: Мир, 1985. - 280 с.

3. Ван Д., Ли Ч. Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. - М.: МЦНМО, 2005. - 416 с.

4. Кирюхин А.М. Российско-украинское пограничье: теоретические подходы к эволюции трансграничных систем // Часопис соціально-економічної географії. Вип. 10 (1). - Х.: ХНУ імені В.Н. Каразіна, 2011. - С. 178-182.

5. Лимонов Л. Э., Анисимов А. М. Анализ торгово-производственных связей приграничных регионов России и Казахстана: влияние Таможенного союза и Единого экономического пространства // Мат-лы VII Международной конференции «На пути к Евразийскому экономическому союзу». - М.: ИЭ РАН, 2012.

6. Ганзей С.С. Международные трансграничные территории как объект геоэкологических исследований: на примере Дальнего Востока России и Северо-Востока Китая: Автореф. дис. д-ра геогр.. наук. - Владивосток, 2005. - 47 с.

7. Российско-украинское пограничье: двадцать лет разделённого единства / Отв. ред.: В.А. Колосов и О. И. Вендина. - М.: Новый хронограф, 2011. - 352 с.

8. Schmitter P.C. Three Neo-Functional Hypotheses about International Integration // International Organization. 1969. - Vol. 23. - N 1.

Размещено на Allbest.ru