Анализ взаимосвязи количества населения и количества практикующих врачей за десятилетний период

Размещено на http://www.allbest.ru//

Задание

Решение задачи

1. По данным таблицы

а) применить тест ранговой корреляции Спирмэна для оценки гетероскедастичности при 5% уровне значимости;

Располагаем выборку в порядке возрастания и приписываем к нему соответствующие значения .

Находим ранги - , где самое большое значение будет иметь десятый ранг, а самое маленькое первый (при этом есть одинаковые значения х, то находим среднее арифметическое рангов).

Находим , путем подстановки значений в эмпирическое уравнение регрессии (строим функцию ЛИНЕЙН для нахождения коэффициентов b1, b0).

Рассчитываем . Определяем ранг ошибки по модулю , с помощью функции РАНГ(. Самое наименьшее значение имеет первый ранг, самое большое десятый, т.к. n=10. Далее находим , а после этого .

Рассчитываем коэффициент ранговой корреляции Спирмена:



(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

Невыполнение данного неравенства означает, что гипотеза принимается, и у нас наблюдается гомоскедастичность, оценки эффективные, состоятельные и несмещенные, 3 предпосылка МНК выполняется.

б) применить тест Голдфельда-Квандта для оценки гетероскедастичности при 5% уровне значимости (продолжение ДЗ№1).

Упорядочиваем выборку в порядке возрастания и приписываем к нему соответствующие значения . Затем исключаем из нашей выборки c-центральные значения(под номером 5,6 так как у нас n=10, то c будет равняться 2)

находится для каждой выборки до c-центральных значений, и после. Находим их по функции ЛИНЕЙН, и берем во внимание то, что большее значение из должно стоять в числителе, а меньшее в знаменателе.

С помощью функции FРАСПОБР(0,05;2;2) находим F_кр.= F_{0.05; 2; 2} = 19

Невыполнение данного неравенства означает, что гипотеза принимается, и у нас наблюдается гомоскедастичность.

2. По данным таблицы построить эмпирическое уравнение регрессии для

а. Степенной функции

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:



Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование - он является коэффициентом эластичности. Он показывает, на сколько процентов примерно изменится количество практикующих врачей при изменении величины факторного признака на 1%.

Рассчитаем коэффициент детерминации . Коэффициент детерминации находится по формуле

,

где лежит в интервале . Для моделей второго класса не выполняется основное дисперсионное соотношение, поэтому

.

И мы вынуждены рассчитывать приближенные значения:

Это означает, что 89% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 11%вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Считается, что если коэффициент аппроксимации меньше 7%, то точность избыточная, если в интервале 7-10% - то точность удовлетворительная, если больше 10% - точность недостаточная.

Как видно, точность нашей модели избыточная, но очень близка к удовлетворительной.

б. Равносторонней гиперболы

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:



Так как это модель первого класса, то в отличие от модели в пункте а, основное дисперсионное соотношение выполняться будет.

Это означает, что 83% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 17%вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Как видно, точность нашей модели удовлетворительная, так как находится в интервале 7-10%.

в. Экспоненциальной функции

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Рассчитаем коэффициент детерминации .

Для моделей второго класса не выполняется основное дисперсионное соотношение, поэтому

.

И мы вынуждены рассчитывать приближенные значения:



Это означает, что 90.2% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 9.8% вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Как видно, точность нашей модели избыточная, так как коэффициент аппроксимации меньше 7%.

г. Полулогарифмической функции

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Так как это модель первого класса, то в отличие от модели в пункте а, основное дисперсионное соотношение выполняться будет.

Это означает, что 84% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 16%вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Как видно, точность нашей модели удовлетворительная, так как находится в интервале 7-10%.

д. Обратной функции

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Рассчитаем коэффициент детерминации .

Для моделей второго класса не выполняется основное дисперсионное соотношение, поэтому

.

И мы вынуждены рассчитывать приближенные значения:

Это означает, что 93% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 7% вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:



Как видно, точность нашей модели избыточная, так как коэффициент аппроксимации меньше 7%.

е. Функции полукорень

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь следующий вид:

Так как это модель первого класса, то в отличие от модели в пункте а, основное дисперсионное соотношение выполняться будет.

Это означает, что 84% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 16%вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Как видно, точность нашей модели удовлетворительная, так как находится в интервале 7-10%.

ж. Показательной функции у=в0** е;

Рассчитаем коэффициент детерминации .

Для моделей второго класса не выполняется основное дисперсионное соотношение, поэтому

.

И мы вынуждены рассчитывать приближенные значения:

Это означает, что 90.2% вариации у-ка (количество практикующих врачей) описывается с помощью данной модели, а 9.8% вариации у-ка не описывается.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации:

Как видно, точность нашей модели избыточная, так как коэффициент аппроксимации меньше 7%.

Вывод:

Модель
	0.89	6.698
	0.83	8.42
	0.902	6.43
	0.84	8.13
	0.93	5.28
	0.84	7.98
у=в0* е	0.902	6.43

Исходя из таблицы видно, что наиболее лучшей моделью является обратная модель:

С показателем детерминации 0.93 и со средней ошибки аппроксимации = 5.28.

3. По данным таблицы для временного ряда

а. Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда), полагая тренд линейным.

t
1	12,1
2	12,6
3	13
4	13,8
5	14,9
6	16
7	18
8	20
9	21
10	22

Уравнение имеет вид:

показывает начальный уровень ряда в момент времени t = 0.

это средний за период абсолютный прирост уровня ряда.

Темпы роста количества практикующих врачей изменились за 10 лет на 9,79% со средним за год абсолютным приростом равным 1,19%.

б. Выявить на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции возмущений с использованием критерия Дарбина-Уотсона.

необходимо построить таблицу со столбцами:

ранговый корреляция аппроксимация

Определим критические значения критерия Дарбина-Уотсона по таблице: «Значения статистик Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости».

(n=10, k=1)

Фактический критерий Дарбина-Уотсона находится в интервале , следовательно, можно сделать вывод о наличии положительной автокорреляции. ? и что

в. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку остаточной дисперсии , полагая тренд линейным.

, е N(0;)

Интервальная оценка для

, г

; ; 1- = 0,975

С помощью функции ХИ2ОБР(0,025;8) или таблицы для - распределения найдем, что = 17,53

С помощью функции ХИ2ОБР(0,975;8) или таблицы для - распределения

найдем, что = 2,18

, 0.95

, г = 0.95

С надежностью 0,95 наша остаточная дисперсия попадает в интервал от 0,26 до 2,08. Чем больше наша остаточная дисперсия, тем хуже наши первоначальные условия для оценок.

г. Найти коэффициент автокорреляции (для лага ф = 1,2,3).

Необходимо построить таблицу со столбцам:

Для лага ф = 1 коэффициент автокорреляции вычисляется следующим образом:

Или с помощью функции КОРРЕЛ (вводим массив значений t без первого значения; вводим массив значений без последнего значения)

Для лага ф = 2 коэффициент автокорреляции вычисляется следующим образом:

Или с помощью функции КОРРЕЛ (вводим массив значений t без первых двух значений; вводим массив значений без последний двух значений)

Для лага ф = 3 коэффициент автокорреляции вычисляется следующим образом:



Или с помощью функции КОРРЕЛ (вводим массив значений t без первых трех значений; вводим массив значений без последний трех значений)

ф
1	0.99
2	0.96
3	0.95

Так как исследуемый ряд содержит только тенденцию, сезонных колебаний нет.

д. Найти с надежностью 0,95 интервальную оценку коэффициента регрессии , полагая тренд линейным

, е N(0; )

г = 0.95

P(), г

Интервальная оценка коэффициента регрессии :

, г

б = 1-г = 0.05

(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

или воспользуемся функцией ЛИНЕЙН(M) возьмем значение в 1 столбце, 2 строке.

1.19 - 2.31* < 1.19 + 2.31*, г=0.95

1 < 1.38 , 0,95

Истинное значение с надежностью 0,95 будет находиться в интервале от 1 до 1,38. Если время увеличится на 1 год, то количество практикующих врачей увеличится ( ) на величину, лежащую в этом интервале с надежность 0,95.

е) Оценить с надежностью 0.95 значимость коэффициента парной регрессии с использованием t-критерия, полагая тренд линейным.

Оценим значимость коэффициента

H₀: b₁=0

H₁: b₁? 0

0.05 - уровень значимости

t_кр

0.08

или воспользуемся функцией ЛИНЕЙН(M), возьмем значение в 1 столбце, 2 строке.

=? ?= 14.37

(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

t_{кр .} => H₀: не верна, принимаем гипотезу H_1. Значит коэффициент b₁ ?0 и значим, существует значимая связь между t и y.

Теперь оценим значимость коэффициента b₀.

H₀: b₀=0

H₁: b₀? 0

б = 0.05

S_b0== = 0.51 возьмем значение в 2 столбце, 2 строке.

> t_кр.

= 19.02

(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

t_кр => H₀: не верна, следовательно, принимаем гипотезу Н_1. Значит коэффициент b₀ ? 0 и значимый.

ж) Найти точечную и с надежностью 0.95 интервальную оценку прогноза среднего (индивидуального) значения количества практикующих врачей на момент времени t=11 (одиннадцатый год), полагая тренд линейным.

Найдем доверительный интервал для индивидуального значения.

t_p = 11

, е N(0; )

г = 0.95

(подставили t_p = 11)

, г

(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

, г = 0,95

, 0,95

Доверительный интервал для индивидуального значения количества практикующих врачей находится в интервале от 20,79 до 24,99, с надежностью 0,95, на момент времени t = 11 (11 год).

Найдем доверительный интервал для среднего значения.

Доверительный интервал:

, г

= 0,514

(подставили t_p = 11)

(по таблице распределения Стьюдента для односторонней критической области или c помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(0,05;8))

Тогда доверительный интервал примет вид:

, 0,95

Доверительный интервал для среднее значение количества практикующих врачей находится в интервале от 21,7 до 24,08 с надежностью 0,95, на момент времени t = 11 (11 год).

з) Проверить с надежностью 0.95 значимость парной регрессии с использованием F-критерия, полагая тренд линейным.

:

:

б = 0, 05

> F_кр. = F_{б; m-1; n-m}

Q_R ==b₁²(n = *()*10=117.13

С помощью функции FРАСПОБР(0,05;1;8) находим F_кр.= F_{0.05; 1; 8} = 5.32

F =

F > F_кр. => H₀: не верна, принимаем гипотезу H_1. Делаем вывод, что наша модель значимая.

Размещено на Allbest.ru