Моделирование распределительных процессов на основе динамических задач векторной оптимизации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование распределительных процессов на основе динамических задач векторной оптимизации

А.А. Золотарев

Южный федеральный университет

Ростов-на-Дону

Аннотация

Развитие методов многокритериальной оптимизации сложных систем обусловлено необходимостью повышения эффективности их функционирования на основе обобщения и развития принципа межкритериального компромисса, качественно, но лучше количественно отражающего обоснованную значимость каждого критерия с отдельной из оценочных позиций, например: инженерно-технической, экономической, экологической, социальной и других [1 - 4].

В динамично изменяющихся условиях функционирования, эффективные исследования современных систем невозможны без учета фактора времени на основе анализа нестационарных моделей [5 - 7].

Предлагаемый ниже подход моделирования и многоцелевого принятия решений в динамических системах на примере обобщенной задачи ресурсной распределительной оптимизации представим, как непрерывную во времени эволюционную модель, из которой в дальнейшем посредством дискретизации следует задача оптимального многоэтапного планирования.

Постановка задачи

На конечном горизонте планирования продолжительностью

для рассматриваемой динамической модели введем время , изменяющееся в конечных пределах от начального до конечного ограниченного момента . Дискретизацию непрерывных динамических процессов реализуем на сетке , где последовательные смежные моменты дискретного времени связаны соотношением

(n=1,2,..,N)

на каждом n-ом временном распределительном этапе производственного процесса продолжительностью . Для постоянного значения

рекуррентное соотношение связи между дискретными точками времени принимает вид

.

Пусть на рассматриваемом интервале оптимизируемый план выпуска продукции допускает аппроксимацию

.

В этом случае валовой план выпуска продукции одной номенклатуры связан отношением порядка "" с предельно допустимым значением S:

. (1)

Где - один из допустимых знаков множества, т.е. .

Аналогично, для мгновенного план-заказа поставки готовой продукции на каждом этапе допустимо кусочно-постоянное представление

.

Где - объем этапного заказа, обусловленный, например, спросом или сформированным портфелем заказов. Тогда для баланса валового заказа и максимального объема производства S имеет место аналогичное (1) соотношение

.

Обозначим через весовой вектор с компонентами, количественно характеризующими значимость соответствующей составляющей критериального вектора динамической системы:

(2)

Тогда осредненные на горизонте планирования

взвешенные значения компонент вектора цели (2) примут вид:

Вводя обозначения

и преобразуя, выводим

.

Сводя полученные определяющие соотношения модели и соотношения (2), приходим к постановке задачи векторной однопродуктовой оптимизации с ограничивающими условиями (1), являющейся задачей минимизации осредненного взвешенного вектора целей, т.е.:

(3)

. (4)

Здесь - искомый вектор оптимального плана, ограниченный известными значениями , - снизу и сверху, соответственно (в (4) векторное неравенство означает неравенство соответствующих скалярных компонент); - транспонированный весовой вектор, - k-ая целевая вектор-функция с этапными составляющими. Ниже дано представление компонент всех векторных величин, рассматриваемых в (3) и (4):

(5)

.

Свертка скалярных критериев и условия компромисса

Пусть ограничения (4) не противоречивы, т.е. не пусто множество допустимых решений, а оптимальное решение достигается я в точке для каждой k-ой скалярной задачи (3) (4), т.е.

, (6)

причем очевидно, что в общем должно выполняться условие .

Основываясь на методологии "идеальной точки", инкапсулированной в свертке скалярных компонент вектора критериев (3), преобразуем многокритериальную задачу (3),(4) к параметрической оптимизации обобщенной задачи математического программирования [8, 9].

На первом этапе ее анализа введем вектор невязок , с компонентами , характеризующими не достижимость оптимума каждого отдельного критерия в каждой точке области допустимых решений , следующим образом:

(7)

В указанных обозначениях преобразуем векторную задачу (3),(4) к эквивалентной задаче минимизации среднеквадратичной свертки взвешенных невязок

,

как отклонений от - соответствующих локальных оптимумов (6).

Обозначая через весовой вектор, окончательно агрегированную однокритериальную задачу представим в виде:

(8)

Область допустимых решений G в (8) определена условиями (4).

Таким образом, показано, что исходная динамическая многокритериальная задача (3) при выполнении ограничений (4) эквивалентна порожденной задаче параметрической оптимизации (8) на множестве параметров-векторов и условий ограничений (4).

Последующий анализ (8) реализуется в два этапа. Вначале определяется параметрическое множество оптимальных решений задачи условной оптимизации (8) [1, 6], таких что:

Затем формулируется условие параметрического компромисса, на основе которого определяется оптимальное значение параметра . Такое решения параметрической задачи минимизации агрегированной целевой функции, описывающей общие потери и инкапсулирующей невязки , характеризующие для каждого значения параметра "неоптимальность" каждого отдельного критерия на параметрическом множестве точке , предложено в виде:

(10)

Такой результат оптимизации соотношения (10) задает параметрическое оптимальное решение исходной многокритериальной задачи, количественно выражая понимание оптимального межкритериального компромисса.

Следует заметить, что в большинстве прикладных задач параметрический вектор , определенный в (8), детерминирован исходя из экономических, технологических или бизнес условий функционирования распределительных систем. В связи с этим, целесообразно проблему поиска (10) представить как частную задачу оптимальной параметризации свертки скалярных критериев относительно их весового вектора С, т.е.:

(11)

В случае непрерывной зависимости искомое оптимальное цможно устанавить на основе необходимых условий экстремума в скалярной форме принимающих вид:

Количественный анализ и параметрическая оптимизация

Для примера рассмотрим вытекающую из общей постановки (3),(4) двухкритериальную () многоэтапную динамическую задачу, с целевыми функциями дохода

и потерь

,

связанных с отклонениями этапных объемов выпуска продукции от плана (портфеля заказов), т.е.

(11)

Тогда на основании (9), обозначая

(где - параметр взвешивания), агрегированная свертка скалярных критериев (11) принимает вид

(12)

;

Численный эксперимент позволил выделить закономерности оптимальной параметризации критериальной свертки (12) на основе реализации детерминированных методов и эвристических алгоритмов оптимизации (Particle Swarm Optimization, Нелдера-Мида) [10 - 11].

Характерное поведение параметрической зависимости функции "потерь" представлено на рис. 1 для двухэтапной задачи. Здесь, соответствующее условию (10) минимизации потерь [12]

,

оптимальное по параметру решение X*=X*(*) отмечено как точка X* на параметрической траектории оптимальных решений X*() критериальной свертки (12).

Рис. 1 - Параметрическая зависимость потерь и оптимальных X*()

На рис. 1 сеткой сплошных линий отображены два семейства изолиний целевых функций (11) в виде выпуклых и прямых линий, соответственно. На плоскости X1OX2 пронумерованы точки {i=0,1,2,…} параметрической последовательности X*(i) для дискретных изменений i=ih с шагом h=0,05 (0?i?1). Причем, соответствующие =0 и =1 крайние точки такой последовательности, обозначенные как B и A, являются оптимальными для каждого отдельного критерия , где реализуются их оптимумы .

Соответствующие значения исходных данных и выявленного оптимального решения приведены в таблице.

Таблица

Исходные данные и параметрически оптимальное решение X*

Видно, что кривая валовых потерь при =* имеет явно выраженный минимум (параметрический оптимум), который достигается в граничной точке регуляризация планирование однопродуктовый

X*=X*(*)

области G, являющейся точкой излома кусочно-линейной траектории оптимальных X*(i) задачи (12).

Моделирование в широком диапазоне входных параметров и оптимизация режимов функционирования рассматриваемых динамических систем на основе предложенной параметрической минимизации зависимости суммарных потерь в случаях более высоких размерностей задач выявили аналогичные закономерности.

Работа выполнена в рамках научного проекта РФФИ №13-01-00943

Литература

1. Золотарев А.А. Математическое моделирование и оптимизация распределительных систем. Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2016. 184 с.

2. Munier. A. Strategy for using multicriteria analysis in decision-making. Springer, 2011. 319 p.

3. Розин М.Д., Свечкарев В.П. Проблемы системного моделирования сложных процессов социального взаимодействия // Инженерный вестник Дона, 2012, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/846/.

4. Антонова А.С., Аксенов К.А. Многокритериальное принятие решений в условиях риска на основе интеграции мультиагентного, имитационного, эволюционного моделирования и численных методов // Инженерный вестник Дона, 2012, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1466.

5. Graves S.C., Kletter D.B., Hetzel W.B. A dynamic model for requirements planning with application to supply chain optimization // Operations Research. 1998. Vol.46. No.3. pp. S35-S49.

6. Золотарев А.А. Методы оптимизации распределительных процессов. М.: Инфра-Инженерия, 2014. 160 c.

7. Zolotarev A.A., Agibalov O.I. Abilities of modern graphics adapters for optimizing parallel computing // World Applied Sciences Journal, 2013. Vol.23. No.5. pp. 644-649.

8. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решений. М.: МАКС Пресс, 2008. 197 с.

9. Золотарев А.А., Дидковский Д.О. Оптимальная параметризация в задачах распределения ресурсов // Вестник Донского государственного технического университета, 2009. Т.9. ч.2. С. 5-12.

10. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. М.: Физматлит, 2006. 320 с.

11. Золотарев А.А., Венцов Н.Н., Агибалов О.И., Деева А.С. Оптимизация распределительных процессов на основе аналитических методов и эвристических алгоритмов // Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2016, Т.2, № 1 URL: vestnik-nauki.ru/wp-content/uploads/2016/01/2016-%E2%84%961-%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%B2.pdf.

12. Золотарев А.А. Многофакторная оптимизация распределительных систем. // Сетевое партнерство в науке, промышленности и образовании. Труды Международной мультиконференции. СПб.: Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2016. С. 221-228.

References

1. Zolotarev A.A. Matematicheskoe modelirovanie i optimizatsiya raspredelitelnyh sistem [Mathematical modeling and optimization of distributive systems]. Saarbrucken: LAP Lambert Academic Publishing, 2016. 184 p.

2. Munier. A. Strategy for using multicriteria analysis in decision-making. Springer, 2011. 319 p.

3. Rozin M.D., Svechkarev V.P. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/846/.

4. Antonova A.S., Aksenov K.A. Inћenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1466.

5. Graves S.C., Kletter D.B., Hetzel W.B. Operations Research. 1998. Vol. 46. No. 3. pp. S35-S49.

6. Zolotarev A.A. Metody optimizatsii raspredelitelnyh protsessov [Methods of optimization of distributive processes]. Moscow: Infra-Inћenerya, 2016. 184 p.

7. Zolotarev A.A., Agibalov O.I. World Applied Sciences Journal, 2013. Vol. 23. No. 5. pp. 644-649.

8. Lotov A.V., Pospelova I.I. Mnogokriterialnye zadachi priniatiya resheniy [Multicriteria problems of decision-making]. Moscow: MAX Press, 2008. 197 p.

9. Zolotarev A.A., Didkosky D.O. Vestnik Donskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2009. Vol. 9. No. 2. pp. 5-12.

10. Gladkov L.A., Kureichik V.V., Kureichik V.M. Geneticheskie algoritmy [Genetic algorithms]. Moscow: Fizmatllit, 2006. 320 p.

11. Zolotarev A.A., Ventsov N.N., Agibalov O.I., Deeva A.S.. Vestnik nauki I obrazovania severo-zapada Rossii, 2016. Vol. 2. No. 1. URL: vestnik-nauki.ru/wp-content/uploads/2016/01/2016-%E2%84%961-%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%B5%D0%B2.pdf.

12. Zolotarev A.A. Mezhdunarodnaya multikonferentsiya "Setevoe partnerstvo v nauke, promyshlennosti i obrazovanii": trudy (International Multi-Conference "Network cooperation in science, industry and education"). St. Petersburg, 2016, pp. 221-228.

Размещено на Allbest.ru