Исследование разрешимости второй краевой задачи для уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших членах

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова

УДК 517.929.7

Исследование разрешимости второй краевой задачи для уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших членах

Бжеумихова Оксана Игоревна

В работе исследован вопрос разрешимости второй краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших членах. Исследование проведено на основе метода разделения переменных

Ключевые слова: краевая задача, дифференциальное уравнение в частных производных, отклоняющийся аргумент, задача Штурма-Лиувилля

Введение

Многие математические модели, применяемые при исследовании процессов, в таких важных областях как математическая биоэкология, механика, автоматизированные системы управления, теория климатических моделей, иммунология и т. д. базируются на дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом (например, [1-6]). Широкие возможности применения уравнений с отклоняющимся аргументом в качестве математических моделей способствуют росту интереса к исследованию новых задач для уравнений с частными производными [7-10], которые по сравнению с обыкновенными дифференциальными уравнениями описывают процессы еще в большей степени приближенные к процессам, протекающим на практике [11, 12].

В настоящей работе, методом разделения переменных, установлена разрешимость классической краевой задачи для уравнения в частных производных с инволютивным отклонением аргумента в прямоугольной области.

уравнение модельный производный

1. Постановка задачи

Пусть ? односвязная область евклидовой плоскости точек .

В области рассмотрим уравнение

, (1)

где - достаточно гладкая, причем .

Для уравнения (1) исследована следующая

Задача 1. Найти регулярное в области решение уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям

(2)

где - заданные, достаточно гладкие функций.

2. Доказательство существования и единственности задачи

Для задачи 1 справедлива следующая

Теорема 1. Пусть

1) , ,

где , , ;

2) , ,

тогда задача (1), (2) разрешима в требуемом классе функций.

Действительно, разобьем задачу (1), (2) в области на две вспомогательные:

, (3)

, , (4)

, , (5)

, (6)

, , (7)

, , (8)

где .

Решение уравнения (3) удовлетворяющее однородным граничным условиям (4) будем искать в виде [13]:

. (9)

Подставляя (9) в (3) и опуская нижние индексы, получим

,

где .

Отсюда, с учетом (4) будем иметь

, (10)

, (11)

. (12)

Исследуем задачу о собственных значениях (10), (11).

Дважды дифференцируя (10), приходим к соотношению:

. (13)

С другой стороны из (10) имеем:

(14)

На основании (13) и принимая во внимание (14), получим

. (15)

Характеристическое уравнение соответствующее (15), будет иметь вид:

.

Разрешая биквадратное уравнение, находим:

, ,

, .

Таким образом, общее решение уравнения (15) может быть записано в виде:

. (16)

Следуя [14, 15], получим из (16) представления решения (10) для различных .

Случай 1: . В этом случае общее решение (10) имеет вид:

.

Используя условия (11), получим

Определитель этой системы

только при , что противоречит рассматриваемому случаю .

Следовательно, . Откуда заключаем, что .

Случай 2: . При таком значении решение (10) имеет вид:

.

Удовлетворяя (11), имеем

Откуда заключаем, что и .

Этому собственному значению соответствует

, (17)

где - решение уравнения (12).

Требуя выполнения граничных условий (5) , получаем систему для определения постоянных входящих в (17):

,

.

Таким образом, решение задачи (3)-(5) при определяется соотношением (17).

Случай 3: Для , удовлетворяя общее решение (10)

условиям (11), находим

Определитель системы

обращается в нуль либо при , либо при . Следовательно, и , т.к. .

Случай 4: . При указанном значении для всех (10) принимает вид

. (18)

Удовлетворяя (18) граничным условиям (11) получим

В силу того, что

,

имеем и .

Случай 5. При общее решение (10) принимает вид:

.

Удовлетворяя полученное выражение для граничным условиям (11), будем иметь:

Равенство

справедливо при , либо при .

Таким образом, задача (10), (11) имеет собственные значения , и соответствующие им собственные функции , , , где - произвольные постоянные, нуждающиеся в определении.

Собственным значениям соответствуют решения уравнения (12) равные

.

Возвращаясь к решению задачи (3)-(5), видим, что функция

, (19)

является решением уравнения (3) при

.

Условия (5) позволяют определить значение постоянных входящих в (19).

С учетом условия 1) теоремы 1, функции и , разлагаются в ряд Фурье, который содержит только косинусы, а именно:

,

,

, ,

,

,

причем ряды и сходятся. Учитывая граничные условия (5), получаем:

(20)

Сопоставляя соответствующие коэффициенты в полученных соотношениях, а так же учитывая условие 2) теоремы 1 определяем постоянные входящие в (19). Следовательно, ряд (19) с коэффициентами определяемыми по формулам (20), удовлетворяет всем условиям задачи (3)-(5). Переходя к рассмотрению случая собственных значений будем иметь

. (21)

Используя условия (5) позволяют определим значение постоянных входящих в (21).

С учетом условия 1) теоремы 1, функции и , разлагаются в ряд Фурье, который содержит только синусы, а именно:

, ,

, ,

а ряды и сходятся.

Учитывая граничные условия (5), получаем:

(22)

Сравнивая соответствующие коэффициенты в полученных соотношениях, а так же учитывая условие 2) теоремы 1 определяем постоянные входящие в (21). Представленные выше рассуждения остаются справедливыми и для случая задачи (6)-(8). Причем функция аналогично функции для различных собственных значении находится в виде сходящихся тригонометрических рядов. Таким образом, решение задачи 1 определяется из соотношения .

Заключение

На основе метода разделения переменных было доказано существование решения второй краевой задачи для модельного уравнения в частных производных с инволютивным отклонением в младших членах. Несмотря на то, что результаты работы носят теоретический характер, они могут иметь широкое применение, как и в дальнейших исследованиях уравнений с отклоняющимся аргументом, так и в прикладных задачах.

Список литературы

1. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York, 1996.

2. Wu J. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay/ J.Wu, X. Zou // J. Dynamics and Differential Equations, 2001. - Vol. 13, No. 3. - P. 651-687.

3. Huang J. Traveling wave fronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with delays / J. Huang, X. Zou // J. Math. Anal. Appl, 2002. - Vol. 271. - P. 455-466.

4. Faria T. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction-diffusion equation with delay / T. Faria, S. Trofimchuk // J. Differential Equations, 2006. - Vol. 228. - P. 357-376.

5. Trofimchuk E. Slowly oscillating wave solutions of a single species reaction-diffusion equation with delay / E. Trofimchuk, V. Tkachenko, S. Trofimchuk // J. Differential Equations, 2008. - Vol. 245. - P. 2307-2332.

6. Meleshko S.V. On the complete group classification of the reaction-diffusion equation with a delay / S. V. Meleshko, S. Moyo // J. Math. Anal. Appl., 2008. - Vol. 338. - P. 448-466.

7. Hernandez E. A note on partial functional differential equations with state-dependent delay / E. Hernandez, A. Prokopczyk, L. Ladeira // Nonlinear Analysis, R.W.A., 2006. - No. 4. - P. 510-519.

8. Rezounenko A.V. Stability of positive solutions of local partial differential equations with a nonlinear integral delay term / A.V. Rezounenko // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. Proc. 8th Coll. QTDE, 2008. - No. 17. - P. 1-7.

9. Bzheumikhova O.I. Application of Fourier method to investigation of the Dirichlet problem for partial differential equations with deviating arguments / O.I. Bzheumikhova, V.N. Lesev // International Journal of Differential Equations and Applications, 2013. - Vol. 12, No. 2. - P. 103-120.

10. Лесев В.Н. Об однозначной разрешимости задачи Неймана для эллиптического уравнения с отклоняющимся аргументом / В.Н. Лесев, О.И. Бжеумихова // Экологический вестник научных центров ЧЭС, 2012. - №3. - С. 41-46.

11. Wang L. Global exponential robust stability of reaction-diffusion interval neural networks with time-varying delays / L. Wang, Y. Gao // Physics Letters A, 2006. - Vol. 350. - P. 342-348.

12. Lu J. G. Global exponential stability and periodicity of reaction-diffusion delayed recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions / J. G. Lu. // Chaos, Solitons and Fractals, 2008. - Vol. 35. - P. 116-125.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Изд-во Наука, 1977. - 735 с.

14. Лесев В.Н. Применение метода Фурье к исследованию задачи Дирихле для уравнения с отклоняющимся аргументом и оператором Лапласа в главной части / В.Н. Лесев, О.И. Бжеумихова // Научный журнал КубГАУ [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2012. - №07(81). - С. 1-10.

15. Бжеумихова О.И. Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа второго порядка с отклоняющимся аргументом / О.И. Бжеумихова, В.Н. Лесев // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011. - Т. 18, вып. 5. - С. 744-745.

Размещено на Allbest.ru