Построение регрессионных эконометрических моделей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Кафедра прикладной математики

Индивидуальное задание

по дисциплине: «Эконометрика»

Тема:

Построение регрессионных эконометрических моделей

Студентка Я.Е. Шкура

Руководитель работы

Ю.Е. Воскобойников

Новосибирск 2015

Исходные данные

Номер зачетной книжки - 512055

Данные, характеризующие прибыль торговой компании «Все для себя» за первые 10 месяцев 2014 года (в тыс. р.), даны в следующей таблице:

январь	февраль	Март	апрель	Май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь
387	407	437	401	459	424	465	452	469	503

Требуется:

1. Построить диаграмму рассеяния

2. Убедится в наличии тенденции (тренда) в заданных значениях прибыли фирмы и возможности принятия гипотезы о линейном тренде

3. Построить линейную парную регрессию, вычислить коэффициенты b0, b1методом наименьших квадратов

4. Нанести график регрессии на диаграмму рассеяния

5. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о ненулевом его значении

6. Вычислить оценку дисперсии случайной составляющей е эконометрической модели

7. Проверить гипотезы о ненулевых значениях b1, b0

8. Построить доверительные интервалы для коэффициентов b0, b1

9. Вычислить значения статистики F и коэффициента детерминации R2

10. Построить доверительные интервалы для дисперсии у2 случайной составляющей эконометрической модели

11. Построить доверительную область для условного математического ожидания М(Y/x) по оси Х откладывать месяцы (январь - декабрь). Нанести границы этой области на диаграмму рассеяния

12. С помощью линейной парной регрессии сделать прогноз величины прибыли на ноябрь и декабрь месяц и нанести эти значения на диаграмму рассеяния. Сопоставить эти значения с границами доверительной области для условного математического ожидания М(Y/х) и сделать вывод

Постановка задачи парной регрессии

Рассмотрим некоторый экономический объект (процесс, явление, систему) и выделим только две переменные, характеризующие этот объект. Независимая (объясняющая) переменная Х оказывает воздействие на значение переменной У, которая, таким образом, является зависимой переменной.

Имеем модель парной регрессии:

У = f(x)+е, (1)

где f(x) - функция регрессии У по Х;

е - возмущение (или ошибка модели).

Присутствие в модели е обусловлено следующими причинами:

1. Ошибки спецификации модели;

2. Ошибки измерения;

3. Ошибки, связанные со случайностью человеческих реакций.

Мы располагаем 10 парами выборочных наблюдений над величинами Х,У (т.е. имеем пространственную выборку):

xi	Yi
1	387
2	407
3	437
4	401
5	459
6	424
7	465
8	452
9	469
10	503

Пространственная выборка - это набор показателей, измеряющих значение переменной для разных экономических единиц.

По пространственной выборке построим диаграмму рассеяния:

Нанесем на график диаграммы рассеяния линию тренда:

На основе анализа диаграммы рассеяния убеждаемся в наличии тенденции увеличения прибыли фирмы и выдвигаем гипотезу о линейном тренде. Полагаем, что связь между факторами Х и У может быть описана линейной функцией, т.е.:

f(x) = в0 + в1x (2)

В качестве оценки для f(x) строим выборочную регрессию вида:

y(х) = b0+b1x (3)

Хотелось, чтобы коэффициенты b0, b1 являлись оценками в0, в1 и желательно, чтобы они обладали «хорошими» свойствами несмещенности, эффективности и состоятельности.

Несмещенность - математическое ожидание оценки равно математическому ожиданию оцениваемой величины.

Эффективность - если среднеквадратическая ошибка данной оценки является наименьшей среди всех возможных оценок.

Состоятельность - если с ростом оценки выборки, оценка стремится по вероятности к оцениваемому параметру

lim_n>? Р(РT(x)-O<еР)=1

Решение задачи нахождения коэффициентов b0, b1 основывается на применении метода наименьших квадратов. Согласно этому методу неизвестные коэффициенты b0, b1 вычисляются таким образом, чтобы величины функционала F(b0, b1)= была минимальной. Значения yi, при х=хi, определяются по уравнению регрессии:

Yi = y(xi) = b0+b1xi (4)

Для нахождения коэффициентов b0, b1 необходимо решить следующую систему уравнений:

b1= ;

b0=

Коэффициент b1называют коэффициентом регрессии У по Х, и он показывает, на сколько единиц в среднем меняется переменная У при изменении Х на одну единицу.

Для расчетов b1, b0 составим вспомогательную таблицу:

Xi	Yi	Xi2	Yi2	Xi*Yi
1	387	1	149769	387
2	407	4	165649	814
3	437	9	190969	1311	SX	2,872
4	401	16	160801	1604	SY	34,092
5	459	25	210681	2295
6	424	36	179776	2544	rXY	0,873
7	465	49	216225	3255
8	452	64	204304	3616
9	469	81	219961	4221
10	503	100	253009	5030
5,5	440,4	38,5	195114,4	2507,7	Среднее значение

Далее решим уравнение регрессии по формуле 4:

i =

393,764
404,127
414,491
424,855
435,218
445,582
455,945
466,309
476,673
487,036

регрессия тренд корреляция прогноз прибыль

Нанесем график регрессии на диаграмму рассеяния

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

R_xy = b1*= (5)

где Sx = ;

Sy =

Sx	2,872
Sy	34,092
rxy	0,873
rxyІ	0,762

Проверим гипотезу о ненулевом значении выборочного коэффициента корреляции. Для проверки данной гипотезы примем случайную величину:

Tr = (6)

Если выполняется неравенство Tr>t(1-б,n-2), то выборочный коэффициент корреляции является значимым.

Проверка значимости rxy

H0:rxy=0
H1:rxy?0
Tr =	6,934244591
Tr >	2,306004135
вывод: rxy является значимым

Для проверки значимости коэффициента b0 сформулируем следующие статистические гипотезы:

Н0:в0 = 0 (коэффициент b0 не значим);

Н1 в0 ? 0(коэффициент b0 значим)

Примем уровень значимости равным б (обычно б=0,05). В качестве критерия для проверки гипотезы Н0 примем случайную величину:

Тb0 = b0/Sb0 (7)

где Sb0 =

S² является оценкой дисперсии д² и определяется по формуле:

S²= (8)

Если РTb0Р>t(1-б,n-2), то коэффициент b0 является значимым с уровнем значимости б.

s2	345,186
sb0	161,087
Проверка значимости b0
H0:в0=0
H1:в0?0
Tb0 =	30,208
|Tb0|>	2,306004
вывод: b0 значим

Для проверки значимости коэффициента b1 сформулируем следующие статистические гипотезы:

Н0:в1 = 0 (коэффициент b1 не значим);

Н1:в1 ? 0(коэффициент b1 значим)

Примем уровень значимости равным б (обычно б=0,05). В качестве критерия для проверки гипотезы Н0 примем случайную величину:

Тb1=b1/Sb1, (9)

где Sb1=

Если РTb1Р>t(1-б,n-2), то коэффициент b0 является значимым с уровнем значимости б.

s2	345,1864
sb1	4,184077
Проверка значимости b1
H0:в1=0
H1:в1?0
Tb1 =	5,06655
|Tb1|>	2,306004
вывод: b1 значим

Для дальнейших расчетов нам понадобятся данные, приведенные в следующей таблице:

ei=yi-yi	ei2	(xi- xср.)2	(yi-?)2	(yi- yi)2	sy2	yiн	yiв
6,76	45,7	20,25	45,74678	46,24	119,246	368,5821	418,9452
-2,87	8,3	12,25	8,252562	8,41	85,774	382,7704	425,4841
-22,51	506,7	6,25	506,6592	506,25	60,669	396,5294	432,4525
23,85	569,0	2,25	569,0393	571,21	43,933	409,5699	440,1392
-23,78	565,6	0,25	565,5749	566,44	35,565	421,4661	448,9703
21,58	465,8	0,25	465,7749	466,56	35,565	431,8297	459,3339
-9,05	82,0	2,25	81,98479	82,81	43,933	440,6608	471,2301
14,31	204,8	6,25	204,7501	204,49	60,669	448,3475	484,2706
7,67	58,9	12,25	58,87074	59,29	85,774	455,3159	498,0296
-15,96	254,8	20,25	254,8377	256	119,246	461,8548	512,2179

Интервальной оценкой для параметра O называют числовой интервал (Oн,Oв) в который с заданной вероятностью г попадает неизвестное значение параметра O, т.е.: P(Oн<O<Oв) = Y

Интервал (Oн,Oв) называется доверительным, а вероятность г - доверительной вероятностью или надежностью интервальной оценки.

Интервальная оценка для коэффициента в0 с надежностью равной г имеет вид:

[b0-t(г,n-2)*Sb0], [b0+t(г,n-2)*Sb0],

где Sb0 = ;

t(г,n-2) = СТЬЮДРАСПОБР(1-г;n-2)

Интервальная оценка для в0
t = 2,306004135
354,1321859	412,6678141

Интервальная оценка для коэффициента в1 с надежностью равной г имеет вид:

[b1-t(г,n-2)*Sb1], [b1+t(г,n-2)*Sb1],

где Sb1 = ;

t(г,n-2) = СТЬЮДРАСПОБР(1-г;n-2)

Интервальная оценка для в1
	t=2,306004
5,646701024	15,0805717

Вычислим значения статистики F, для этого рассмотрим суммы:

1. Объясненная (фактическая) сумма квадратов:

Q_r = );

2. Остаточная сумма квадратов:

Qe = ;

3. Полная сумма квадратов:

Q = ²

Уравнение парной линейной регрессии значимо с уровнем значимости б, если выполняется следующее неравенство:

F =

где = FРАСПОБР(б;1;n-2) - этот критерий называют критерием Фишера.

(y-yср.)І	(yi-y)І
2851,56	45,74678
1115,56	8,252562
11,56	506,6592
1552,36	569,0393
345,96	565,5749
268,96	465,7749
605,16	81,98479
134,56	204,7501
817,96	58,87074
3918,76	254,8377
11622,4	2761,491
Q	Qe
Qr=	8860,909

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности уравнения регрессии является коэффициент детерминации:

R² = = (1 - )

Величина R² показывает, какая часть вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясненной переменной и изменяется в диапазоне:

0?R²?1

Чем ближе R² к 1, тем лучше парная регрессия аппроксимирует эмпирические данные. Если R² равен 0, то все (xi,yi) лежат на линии регрессии (Qe равно 0). Коэффициент R² имеет смысл рассматривать, если в уравнении присутствует свободный член (коэффициент b0). В случае парной регрессии имеет место R² = r²_xy.

R2=0,762399254		F=	25,66992797
		F>	5,317655072
	Уравнение парной регрессии значимо

Построим доверительный интервал для дисперсии у².

Интервальная оценка для у^{2 с} доверительной вероятностью равной г=1-б имеет вид:

где , - это квантили ч²-распределения с к=n-2 степенями свободы уровней б/2,1-б/2.

Интервальная оценка для у2
Левое	17,53454614	Правое	2,179730747
	196,8607347	1583,61928

Для того чтобы оценить функцию регрессии используют следующий интервал:

[y(x)-t(г,n-2)*S_y(x); y(x)+t(г,n-2)*S_y(x)], который является интервальной оценкой для М(YРx) с надежностью г.

Yiн	yiв
368,5821	418,9452
382,7704	425,4841
396,5294	432,4525
409,5699	440,1392
421,4661	448,9703
431,8297	459,3339
440,6608	471,2301
448,3475	484,2706
455,3159	498,0296
461,8548	512,2179

С помощью линейной парной регрессии можно сделать прогноз величины прибыли на ноябрь, декабрь. Для этого мы используем уравнение регрессии:

У = 10.364+383.4

И получаем:

Ноябрь (11)	497.4
Декабрь (12)	507.7636364



Вывод: значения прогноза сопоставимы с границами доверительной области для условного математического ожидания М(YРx). Таким образом, можно сделать вывод, что прогнозирование с помощью построенной регрессионной моделью обладает высокой степенью точности.

Размещено на Allbest.ru