Моделирование математической модели теплообменника
Разработка математической модели объекта. Получение передаточной функции объекта по заданным динамическим каналам и в виде переменных пространства состояний. Получение дискретной математической модели объекта. Сравнение расчётной и аналитической функции.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.03.2016 |
| Размер файла | 802,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Учреждение образования «БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет ЗФ
Кафедра АППиЭ
Специальность 1-530101
Специализация АТПиП
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по дисциплине «Моделирование объектов и систем управления»
Тема «Разработка математической модели и её решение для теплообменника»
Исполнитель
студент курса группы Крокас И.С.
подпись, дата инициалы и фамилия
Руководитель Кобринец В.П.
Минск 2016
Реферат
Пояснительная записка содержит 23 страницы, 5 рис., 3 источников.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ТЕПЛООБМЕННИК, ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ, ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
Целью выполнения данной курсовой работы является разработка математической модели теплообменника.
В результате произведена разработка математической модели объекта в виде ДУ, а также в виде переменных состояния и в дискретном виде. Были получены передаточные функции по заданным динамическим каналам и переходные функции объекта по передаточным функциям каналов управления. Также были определены коэффициенты передаточных функций по динамическим каналам, по переходным функциям методом площадей.
Содержание
Введение
1. Разработка математической модели объекта в виде д.у. и их системы
2. Получение передаточной функции объекта по заданным динамическим каналам
3. Получение математической модели в виде переменных пространства состояний
4. Получение дискретной математической модели объекта
5. Получение переходной функции объекта по его передаточным функциям
6. Определение коэффициентов передаточной функции по заданным динамическим каналам методом площадей. Сравнение расчётной и аналитической функции (экспериментальной)
Заключение
Список использованной литературы
Введение
математический динамический модель канал
Качественные и количественные изменения в промышленности, науке и технике составляют основу для значительного повышения продуктивности труда и эффективности хозяйственной деятельности. Эти изменения возникают в результате осознанной, научно-обоснованной деятельности людей. Одним из направлений повышения продуктивности труда является использование современных математических методов и технических средств, таких, как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование и измерительная техника.
Цели и методы моделирования направлены на повышение эффективности и производительности труда, повышение качества продукции, оптимизация планирования и управления, освобождение человека от работы во вредных условиях. В некотрых отраслях промышленности проектируемые системы являются особенно сложными. Возникают вопросы, которые недостаточно изучить теоретически. Это придает особое значение экспериментальным исследованиям. Часто для эффективного решения задач управления необходимо иметь адекватные технологическим процессам математические модели.
Одним из направлений повышения производительности труда является использование математических методов и технических средств, таких как планирование эксперимента, исследование операций, математическое моделирование и вычислительная техника.
Модель - это схема какого либо явления или физического объекта, заменитель оригинала. Моделирование объектов и систем управления является опосредованным отражением объектов и систем управления производственных процессов на основе замены реальных объектов и систем управления какими то другими, которые связаны с реальными и позволяют более простыми методами исследовать некоторые свойства исходных объектов и систем управления, а потом переносить полученные итоги исследования на реальные объекты и систем управления.
Моделирование - это способ изучения объектов и систем управления, при котором эксперимент проводиться на его модели, а результаты качественно или количественно переносятся на оригинал. Моделирование базируется на подобии объектов. Подобными называются объекты, параметры которых в любой момент времени и в любой точке пространства определяются в определённое число раз. Один из объектов называется оригиналом, а второй его моделью.
К процессу моделирования предъявляется два требования:
· экспериментальная модель должна быть безопаснее, проще, чем эксперименты на оригинале;
· должно существовать правило, по которому результаты исследования модели переносятся на оригинал.
В зависимости от источника информации, каторая используется для построения моделей, отличают физико-химические (так же называемые аналитическими и теоретическими) и статические или эмпирические модели.
Для всех химических технологий основной задачей развития является повышение эффективности химико-технологических процессов и синтез систем управления.
При применении кибернетического подхода к вопросу построения автоматизированных систем управления технологическими процессами необходимо:
· разработать математическую модель процесса;
· решить проблему идентификации модели и ее параметров (т.к. в процессе функционирования технологического объекта или процесса в разных режимах работы модель может меняться);
· решить задачу алгоритмизации управления технологическими процессами;
· выбрать средства управления.
1 Разработка математической модели объекта в виде д.у. и их системы
Необходимо составить математическое описание теплообменника, в котором жидкий продукт нагревается насыщенным водяным паром (расход , кг/с), до температуры (рисунок 1, а). Расход продукта, проходящего через теплообменник, равен кг/с, его температура на входе составляет , а удельная теплоемкость , . Выходной величиной теплообменника является изменение температуры . [2,3]
При выводе уравнения динамики теплообменника принимаем следующие допущения:
- теплообменник обладает сосредоточенными параметрами, т.е. температура жидкости в теплообменнике постоянна во всех точках объема.
- температура теплопередающих стенок одинакова во всех точках, их термическое сопротивление пренебрежимо мало.
- коэффициент теплоотдачи между жидкостью и поверхностью металлических стенок, а также удельные теплоемкости жидкости и материала стенок кДж/() постоянны во времени.
- насыщенный водяной пар при прохождении через теплообменник полностью конденсируются, отдает тепло фазового перехода и выводится в виде конденсата при той же температуре.
- тепло, выделяющееся при конденсации пара, расходуется на изменение температуры теплопередающих стенок и нагревание жидкого продукта.
Рисунок 1 - Схемы теплообменника (а) и его динамических каналов (б).
С учетом сделанных допущений уравнение теплового баланса для теплопередающих стенок теплообменника за время
где теплота фазового перехода, Дж/кг; масса теплопередающих стенок, кг; суммарная поверхность стенок, .
Тепло, поступившее в теплообменник с жидкостью и получившее ею через металлические стенки от горячего теплоносителя за время , расходуется на увеличение температуры жидкости , находящейся в аппарате и уходящей из него за тот же отрезок времени. Тогда уравнение теплового баланса для жидкости:
где масса жидкости в теплообменнике, кг.
Перепишем уравнение (1.1) и (1.2) в следующем виде:
Заменяя в уравнениях (1.3) и (1.4) переменные их конечными приращениями, отнесенными к базисным значениям переменных (), учитывая равенство и введя обозначения
получим
или
где
Причем коэффициенты меньше единицы. Чтобы исключить из уравнения (1.7) и (1.8) переменную , продифференцируем второе из них по времени и выразим производную , а также переменную из уравнения (1.8). Полученные выражения для и подставим в уравнение (1.7). Разделив все слагаемые полученного уравнения на коэффициент при , равный , и принимая во внимание равенство
получим искомое уравнение динамики теплообменника
где
Подставив численные значения, получим:
Тогда уравнение динамики теплообменника примет вид:
Рассматриваемый теплообменник является устойчивым объектом 2-го порядка. Уравнение (1.9) подтверждает, что увеличение расхода пара и температуры жидкости на входе приведет к повышению ее температуры на выходе , а возрастание расхода жидкости к понижению величины .
2 Получение передаточной функции объекта по заданным динамическим каналам
Уравнение динамики теплообменника:
Передаточные функции объекта получим по его уравнению динамики. Для этого запишем уравнение по заданному каналу.
Затем выполним замену . Полученное уравнение имеет вид.
Передаточная функция объекта имеет вид.
Аналогичным образом получаем передаточные по другим каналам (будут использоваться при переходе в модель переменных состояния).
3 Получение математической модели в виде переменных пространства состояний
Одной из распространенных форм математического описания линейных динамических систем являются уравнения следующего вида: [1]
которые называют описанием в пространстве состояний. Это название связано с тем, что при достаточно задать начальное значение переменных xi, чтобы однозначно определить состояние системы , для любого момента времени. Модель (3.1) содержит n дифференциальных уравнений 1-го порядка с k управляющими входными воздействиями, а также s алгебраических соотношений для связи выходных переменных системы y с переменными состояния x. Коэффициенты , , называют параметрами модели.
Уравнения (3.1) удобно представить в матричной форме
где - вектор переменных состояния; - вектор управляющих (входных) воздействий; y- вектор выходов; - матрицы параметров.
Выполним переход от передаточной функции системы к модели в переменных состояниях на основе схемы аналогового моделирования. Метод рассмотрен в [2].
Модель (3.2), в сравнении с ранее рассмотренными моделями, формирует дополнительно n переменных внутреннего состояния системы, что увеличивает количество информации об объекте управления. Если модель системы управления задана с помощью одного дифференциального уравнения, которое в операторной записи имеет вид
где и m < n, то решение y(t) уравнения (3.3) совпадает с решением уравнения (3.2), имеющим следующие матрицы параметров:
Элементы матрицы B находят из системы уравнений
При этом начальные условия согласуют следующим образом:
Для перехода к модели в виде переменных пространства состояний воспользуемся пакетом MatLab в котором уже заложен данный метод. Произведём переход к модели в виде переменных пространства состояний для заданного динамического канала.
Воспользуемся пакетом MatLab:
clc,clear
W1=tf([49.198 0.4909],[692.55 109.48 1]) %Задаём передаточную функцию для заданного динамического канала
[A B C D]=ssdata(W1) %Получаем матрицы переменных состояния
Матрицы переменных состояния по заданному динамическому каналу :
A = -0.1581 -0.0462
0.0313 0
B = 0.2500 0
C = 0.2842 0.0907
D = 0
4. Получение дискретной математической модели объекта
Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем. В последние годы при исследовании дискретных систем большое значение стал иметь метод пространства состояний, благодаря его многосторонности и общему подходу к задачам анализа и проектирования. [1]
Мотивировку использования z-преобразования для изучения дискретных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа для квантованного сигнала. Пусть выходной сигнал идеального квантователя обозначен через . Преобразование Лапласа для определяется:
Выражение для не является рациональной функцией относительно , поскольку оно содержит множитель , не свойственный большинству передаточных функций непрерывных систем. Когда в передаточной функции появляется множитель , могут возникнуть трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Следовательно, желательно сначала преобразовать иррациональную функцию в рациональную, обозначаемую , посредством замены комплексной переменной на другую комплексную переменную z. Выбор такой замены очевиден:
хотя замена отвечает тем же требованиям. Решая уравнение (4.2) относительно , получим
В двух последних уравнениях Т период квантования; z комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются в виде:
где
Связь между р и z в уравнении (4.2) может быть определена как z-отображение. Подставляя (4.2) в выражение (4.1), получим
что при представлении в компактной форме является рациональной функцией относительно . Следовательно, можно определить как преобразование функции , т. е.
= z-преобразование
где z - оператор z-преобразования. Следуя выражениям (4.1) и (4.7), можно записать:
Поскольку - преобразование получается из преобразования Лапласа для функции заменой , то, в общем, для любой функции , имеющей преобразование Лапласа, существует также - преобразование.
Для осуществления z-преобразования воспользуемся пакетом Matlab:
clc,clear
W1=tf([49.198 0.4909],[692.55 109.48 1]) %Задаём передаточную функцию для заданного динамического канала
T=0.5; % задаем период квантования, от которого будет зависеть точность модели
WW=c2d(W1,T,'zoh'); %производим переход от непрерывной модели к дискретной с ранее заданным периодом квантования и выбранным экстраполятором `zoh'figure(1)
step(WW,W1) %построим в одной системе координат непрерывную модель и дискретную grid on %нанесение сетки на систему координат
Получаем графики переходных характеристик для непрерывной и дискретной систем с периодам квантования Т=0.5 (Рис. 4.1).
Рисунок 4.1 - Переходная характеристика непрерывной и дискретной систем с периодом квантования Т=0.5
Произведём увеличение части переходных характеристик, для определения погрешности, возникающей при переходе от непрерывной к дискретной модели:
Рисунок 4.2 - Увеличенная часть переходной характеристики непрерывной и дискретной систем с периодом квантования Т=0.5
Определяем погрешность квантования:
Погрешность квантования не превышает заданную (5%), значит выполняем переход от непрерывной модели к дискретной с периодом квантования 0.5.
Передаточная функция в z-области для заданного динамического канала:
5 Получение переходной функции объекта по его передаточным функциям
Выделим случай, когда входной сигнал x(t) является элементарной функцией 1(t). Реакцию системы на воздействие 1(t) можно компактно: [1]
где называется операторной передаточной функцией или оператором. Формально можно рассматривать как дробно-рациональную функцию от оператора:
Воспользуемся преобразованием Лапласа, основываясь на утверждении
если . Аналогично можно записать:
для любого операторного многочлена степени , если и ее производные при , равны нулю.
Применяя правило , получим
где
При этом предполагается, что равны нулю , , и начальные значения производных , вплоть до -й и -й соответственно. Теперь , обычные функции комплексной переменной . Поэтому операция деления на имеет обычный смысл
Учитывая определения , приходим к основной формуле
Для построения переходной характеристики воспользуемся пакетом Matlab:clc,clear
W1=tf([49.198 0.4909],[692.55 109.48 1]) %. Задаём передаточную функцию для заданного динамического канала figure(1)
step(W1) % построим переходную функцию для заданного динамического канала
grid on % нанесение сетки на систему координат
Получим переходную характеристику объекта по заданному динамическому каналу :
Рисунок 5.1 Переходная характеристика объекта по заданному динамическому каналу
6. Определение коэффициентов передаточной функции по заданным динамическим каналам методом площадей. Сравнение расчётной и аналитической функции (экспериментальной)
В основе метода площадей лежит предположение, что объект может быть описан линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, а его нормированная (приведенная к единице) переходная характеристика может быть аппроксимирована передаточной функцией вида: [3]
Порядок числителя в выражении (6.1) всегда меньше или равен порядку знаменателя. Для нахождения явного вида выражения (6.1) для конкретного технологического объекта необходимо определить значения коэффициентов ai и bi, а также значения степеней полиномов n и m.
На первом этапе осуществляют нормирование переходной характеристики и входного воздействия:
Искомые коэффициенты определяются из системы уравнений:
где i=m+n и для всех i>n ai=0, а для всех i>m bi=0.
Входящие в эту систему уравнений коэффициенты , , …, связаны с кривой разгона интегральными соотношениями и вычисляются в соответствии с (6.4), где обозначено - относительное время.
Для расчета , , …, используют численные методы (метод прямоугольников, метод трапеций и др.):
Переход от нормированной передаточной функции к обычной осуществляется путем ее умножения на коэффициент передачи :
Для определение коэффициентов передаточной функции и для сравнение аналитической переходной функции с расчетной переходной функцией воспользуемся пакетом Matlab:clc,clear
W1=tf([49.198 0.4909],[692.55 109.48 1])%Задаём передаточную функцию для заданного динамического канала
T_end=400;
dt=0.1;
t=0:dt:T_end;
N=length(t); % число экспериментальных данных
u=ones(N,1);%моделирование 1-го вход-го возд-я
h=lsim(W1,u,t);%переходная функция
fprintf('интервал измерений: T_end=%g\n',T_end)
fprintf('шаг дискретизации: dt=%g\n',dt)
fprintf('размер выборки: N=%g\n',N)
k=h(N); % коэф. передачи
fprintf('коэф.усиления: k=%g\n',k)
h0=h/k;%нормирование h
s1=trapz(t,1-h0); % первая площадь полученная методом трапеции
x=t/s1;%относительное время
x=x';
s2=s1^2.*trapz(x,(1-h0).*(1-x));
s3=s1^3.*trapz(x,(1-h0).*(x.^2/2-x+s2/(s1^2)));
a=[1 0 -1;0 1 -s1;0 0 -s2]
b=[s1;s2;s3]
z=a^-1*b
Wr=tf([z(3)*k k],[z(2) z(1) 1])
step(W1,Wr),grid
Рисунок 6.1 Сравнение переходных характеристик экспериментальной и расчетной передаточных функций
Как видно из графика переходные характеристики экспериментальной и расчетной переходных функций практически полностью совпадают.
Произведём сравнение численных значений параметров характеристик экспериментальной и расчетной передаточных функций:
Передаточные функции:
Коэффициент усиления:
Заключение
В данной курсовой работе была получена математическая модель теплообменника в виде дифференциальных уравнений. Также была получена передаточная функция объекта по заданному каналу и ее переходная характеристика.
Для идеального случая (возмущения отсутствуют) и при наличии возмущений по двум другим каналам была получена модель в переменных состояния. А также по заданному каналу дискретная модель.
По экспериментальной передаточной функции с помощью метода площадей была получена расчетная передаточная функция. Сравнение показало, что экспериментальная и расчетная передаточные характеристики практически не отличаются.
Все проделанные расчеты были выполнены в пакете MATLAB.
Список использованной литературы
1.Кузьмицкий, И.Ф., Кулаков Г.Т. Теория автоматического управления : учеб. пособие для студентов специальности «Автоматизация технологических процессов и производств». - Минск: БГТУ, 2006. - 486 с.
2.Полоцкий Л. М., Лапшенков Г.И. «Автоматизация химических производств». Теория, расчет и проектирование систем автоматизации - М:Химия, 1982. - 296 с.
3. Кузьмицкий И.Ф., Кобринец В.П., Карпович Д.С. « Моделирование объектов и систем автоматизации » - Минск: БГТУ, 2011.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР.
курсовая работа [112,5 K], добавлен 04.02.2011Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией. Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией. Метод параллельной декомпозиции.
курсовая работа [2,2 M], добавлен 23.02.2010Составление и проверка матрицы планирования. Получение математической модели объекта. Проверка адекватности математического описания. Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта.
курсовая работа [568,7 K], добавлен 31.08.2010Определение передаточной функции объекта управления. Построение кривой разгона на выходе объекта. Вычисление и построение комплексно–частотной характеристики объекта, границ устойчивости. Выбор настроек ПИ-регулятора по методике Кона и Копеловича.
курсовая работа [292,8 K], добавлен 03.05.2012Роль экономико-математических методов в оптимизации экономических решений. Этапы построения математической модели и решение общей задачи симплекс-методом. Составление экономико-математической модели предприятия по производству хлебобулочных изделий.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.07.2015Разработка оптимального режима процесса получения максимального выхода химического вещества. Получение математической модели процесса с применением метода центральных композиционных ортогональных планов второго порядка. Исследование поверхности отклика.
курсовая работа [104,3 K], добавлен 20.07.2012Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.
контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009Главные требования к математическим моделям в САП. Применение принципа декомпозиции при математическом моделировании сложного технического объекта. Разработка приближенных моделей объектов на микроуровне. Сущность метода сеток, метода конечных элементов.
презентация [705,6 K], добавлен 09.02.2015Определение значения температуры и объёма реактора, при которых выходная концентрация хлористого этила будет максимальной. Решение математической модели, включающей "идеальное смешение". Оптимизация объекта методом возможных направлений Зойтендейка.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 16.05.2013Линеаризация математической модели регулирования. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели. Исследование устойчивости замкнутой системы управления линейной системы. Определение устойчивости системы управления.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 07.08.2013
