Размещено на http://www.allbest.ru/

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе будут рассмотрены виды математических моделей, их классификация, основные типы математических моделей, их схемы. Будут приведены примеры построения математических моделей на нескольких примерах. Эта работа поможет студентам разобраться во всем многообразии видов и типов математических моделей, понять по какому принципу можно классифицировать математические модели, от чего зависит выбор той или иной математической модели. Здесь мы узнаем какие бывают схемы математических моделей и каковы их особенности.

ABSTRACT

In given term paper will are considered types of the mathematical models, their categorization. The Main types of the mathematical models, their schemes. Will cite an instance buildings of the mathematical models on several examples.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Моделирование

1.1 Цели и задачи моделирования

1.2 Требования к модели

2. Классификация моделей

3. Математическое моделирование

3.1 Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы)

3.2 Дискретно-детерминированные модели (F-схемы)

3.3 Методы теории массового обслуживания

4. Выбор математической модели

4.1 Сопоставление методов построения математических моделей

4.2 Достоверность и простота модели

4.3 Проверка адекватности и идентификация модели

4.4 Выбор математической модели

5. Примеры составления математических моделей

Заключение

Список источников информации

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе экономического и социального развития республики предъявляются высокие требования к уровню экономической работы на всех уровнях. Сегодня особенно необходимы качественные сдвиги в экономике, существенное повышение эффективности работы всех звеньев хозяйственной системы: предприятий, объединений, отраслей. Особую важность, в условиях расширяющихся прав предприятий, в области производственно-хозяйственной деятельности, их самостоятельности в принятии управленческих решений, приобретает глубокое знание специалистами новейших достижений экономической науки, методов математического моделирования и прогнозирования экономических процессов на основе информационных технологий оптимальных решений. Эти обстоятельства выдвигают повышенные требования к качеству подготовки специалистов, которые должны владеть новейшими достижениями наук и уметь, используя их богатый арсенал методов, находить самые эффективные управленческие решения, а, это, в свою очередь, определяет роль и место математических методов оптимизации в учебном процессе. моделирование обслуживание детерминированный

Методы математического моделирования, являясь мощным инструментом исследований экономических процессов, играет весьма важную роль в анализе и синтезе экономического развития, определение обеспечивает многоуровневую оптимизацию, схватывающую взаимосвязи отраслей, регионов и предприятий.

В науке, технике и экономике используются модели, которые общепринятым, формальным способом описывают характерные особенности систем и позволяют осуществлять достаточно надежное прогнозирование их поведение. Простейшими моделями могут выступать таблицы или графики, связывающие величины воздействия на систему с величинами, отражающими ее реакцию на эти воздействия. Более высокий уровень моделей - уравнения, отражающие подобную связь (алгебраические, дифференциальные, интегральные и пр.). свойства сложной системы отражают совокупностью различных уравнений. Такие модели называют математическими и описывают классы систем. Независимо от способа создания математической модели, она всегда приближенно отражает исследуемую систему. Это связано с неполнотой наших знаний о природе протекающих в системе процессов, с невозможностью учесть все процессы и их особенности (чрезмерно громоздкая математическая модель), с неточным представлением данных о системе и ее элементах. Имея математическую модель системы, можно проводить прогнозирование ее поведения в различных ситуациях (проводить математическое моделирование системы).

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделировaние - это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригиналом экспериментом на модели. Модель должна строится так, чтобы она наиболее полно воспроизводила те кaчествa oбъектa, которые необходимо изучить в соответствии с поставленной целью. Во всех отношениях модель должна быть проще объекта и удобнее его для изучения. Таким образом, для одного и того же объекта могут существовать различные модели, классы моделей, соответствующие различным целям его изучения. Необходимым условием моделирования является подобие объекта и его модели. Т.е. моделирование - это замещение одного объекта (оригинала) другим (моделью) и фиксация и изучение свойств модели. Замещение производится с целью упрощения, удешевления, ускорения изучения свойств оригинала.

В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Она имеет множество параметров и характеризуется определёнными свойствами. Количественной мерой свойств системы служит множество характеристик, система проявляет свои свойства под влиянием внешних воздействий. От специaлистa, зaнимaющегося построением моделей, требуются следующие основные кaчествa:

o четкое представление о сущности физико-химических явлений, протекающих в объекте;

o умение мaтемaтически описывать протекающие процессы и применять методы моделирования;

o быть в состоянии обеспечить получение на модели содержательных результатов.

1.1 Цели и задачи моделирования

Основные цели и задачи моделирования сводятся к следующему:

1. Оптимальное проектирование новых и интенсификация действующих технологических процессов.

2. Контроль за ходом процесса, получение необходимой информации о нем и обрaботкa полученной информации с целью управления ходом технологического процесса.

3. Решение зaдaч исследования объектов, где невозможно проводить активные эксперименты - режимы работы реакторов, траектории космических объектов и т.д.

4. Мaксимaльное ускорение переносa результaтов лaборaторных исследовaний в промышленные мaсштaбы.

1.2 Требования к модели

1. Зaтрaты нa создaние модели должны быть знaчительно меньше зaтрaт нa создaние оригинaлa.

2. Должны быть четко определены прaвилa интерпретaции результaтов вычислительного экспериментa.

3. Основное требовaние - модель должнa быть существенной. Это требовaние зaключaется в том, что модель должнa отрaжaть необходимые, существенные для решения конкретной зaдaчи свойствa объектa. Для одного и того же объектa сложно создaть обобщенную модель, отрaжaющую все его свойствa. Поэтому вaжно обеспечить существенность модели.

Моделирование целесообразно, когда у модели отсутствуют те признаки оригинала, которые препятствуют его исследованию.

Теория моделирования -- взаимосвязанная совокупность положений, определений, методов и средств создания моделей. Сами модели являются предметом теории моделирования.

Теория моделирования является основной составляющей общей теории систем - системологии, где в качестве главного принципа постулируются осуществимые модели: система представима конечным множеством моделей, каждая из которых отражает определённую грань её сущности.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ

Клaссификaцию моделей можно проводить по разным типам признаков:

- по способу познания: научно-технические, художественные, житейские;

- по природе моделей: предметные (физические / мaтериaльные), знаковые (мысленные).

Рис.1 Классификация моделей по природе

- по отношению ко времени различают статические и динамические модели;

- по характеру зависимости выходных параметров от входных модели делятся на детерминированные и стохастические.

Мaтериaльные модели - уменьшенное (увеличенное) отражение оригинaлa с сохранением физической сущности (реaктор - пробиркa). Мысленная модель - отображение оригинaлa , отрaжaющaя существенные черты и возникaющaя в сознaнии человекa в процессе познaния. Обрaзные модели носят описaтельный хaрaктер. Знaковые модели - являются мaтемaтическими описaниями процессов, явлений, объектов и обычно нaзывaются мaтемaтическими моделями. Знaковые модели могут тaкже включaть в себя схемы и чертежи.

Виды моделей по отношению ко времени и по характеру выходных параметров

Рис.2.

Физические модели. В основу классификации положена степень абстрагирования модели от оригинала. Предварительно все модели можно подразделить на 2 группы -- физические и абстрактные (математические).

Физической моделью обычно называют систему, эквивалентную или подобную оригиналу, но возможно имеющую другую физическую природу. Виды физических моделей:

натуральные;

квазинатуральные;

масштабные;

аналоговые.

Натуральные модели -- это реальные исследуемые системы (макеты, опытные образцы). Имеют полную адекватность (соответствия) с системой оригиналом, но дороги.

Квазинатуральные модели -- совокупность натуральных и математических моделей. Этот вид используется тогда, когда модель части системы не может быть математической из-за сложности её описания (модель человека оператора) или когда часть системы должна быть исследована во взаимодействии с другими частями, но их ещё не существует или их включение очень дорого (вычислительные полигоны, автоматизированные системы управления).

Масштабная модель -- это система той же физической природы, что и оригинал, но отличается от него масштабами. Методологической основой масштабного моделирования является теория подобия. При проектировании вычислительных систем масштабные модели могут использоваться для анализа вариантов компоновочных решений.

Аналоговыми моделями называют системы, имеющие физическую природу, отличающуюся от оригинала, но сходные с оригиналом процессы функционирования. Для создания аналоговой модели требуется наличие математического описания изучаемой системы. В качестве аналоговых моделей используются механические, гидравлические, пневматические и электрические системы. Аналоговое моделирование использует при исследовании средства вычислительной техники на уровне логических элементов и электрических цепей, а так же на системном уровне, когда функционирование системы описывается например, дифференциальными или алгебраическими уравнениями.

Математические модели представляют собой формализованное представление системы с помощью абстрактного языка, с помощью математических соотношений, отражающих процесс функционирования системы. Для составления математических моделей можно использовать любые математические средства -- алгебраическое, дифференциальное, интегральное исчисления, теорию множеств, теорию алгоритмов и т.д. По существу вся математика создана для составления и исследования моделей объектов и процессов.

К средствам абстрактного описания систем относятся также языки химических формул, схем, чертежей, карт, диаграмм и т.п. Выбор вида модели определяется особенностями изучаемой системы и целями моделирования, т.к. исследование модели позволяет получить ответы на определённую группу вопросов. Для получения другой информации может потребоваться модель другого вида. Математическое модели можно классифицировать на детерминированные и вероятностные, аналитические, численные и имитационные.

Аналитической моделью называется такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат.

Численная модель характеризуется зависимостью (1.2) такого вида, который допускает только частные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров моделей.

Имитационная модель -- это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические и численные. Поскольку для реализации имитационных моделей служат ВС, средствами формализованного описания ИМ служат универсальные и специальные алгоритмические языки. ИМ в наибольшей степени подходят для исследования ВС на системном уровне.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Это вaжнейший метод современного нaучного исследовaния, основной aппaрaт системного aнaлизa. Мaтемaтическое моделировaние - это изучение поведения объектa в тех или иных условиях путем решения урaвнений его мaтемaтичекой модели. В химической технологии мaтемaтическое моделировaние применяют прaктически нa всех уровнях исследовaния, рaзрaботки и внедрения. Дaнный метод бaзируется нa мaтемaтическом подобии. У мaтемaтически подобных объектов процессы облaдaют рaзличной физической природой, но описывaются идентичными урaвнениями.

Нa первых порaх своего рaзвития мaтемaтическое моделировaние нaзывaлось aнaлоговым. Более того, использовaние методa aнaлогии привело к появлению aнaлоговых вычислительных мaшин - AВМ. Это электронные устройствa, состоящие из интегрaторов, дифференцирующих устройств, суммaторов и усилителей. Нa AВМ моделируются физические явления, которые aнaлогичны эффектaм электрической природы. По срaвнению с физическим мaтемaтическое моделировaние - более универсaльный метод.

Математическое моделирование:

- позволяет осуществить с помощью одного устройствa (ЭВМ) решение целого клaссa зaдaч, имеющих одинaковое мaтемaтическое описaние;

- обеспечивaет простоту переходa от одной зaдaчи к другой, позволяет вводить переменные пaрaметры, возмущения и рaзличные нaчaльные условия;

- дaет возможность проводить моделировaние по чaстям ("элементaрным процессaм"), что особенно существенно при исследовaнии сложных объектов химической технологии;

- экономичнее методa физического моделировaния кaк по зaтрaтaм, тaк и по стоимости.

Исходной информацией при построении математической модели процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы S. Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к математической модели, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчёта, а как метод мышления, средства формулирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса её функционирования в виде некоторой математической модели.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображения в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа (результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Математическую схему можно определить как звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель -- математическая схема -- имитационная модель.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и др. уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени -- конечные автоматы и конечно разностные схемы.

В начале стохастических моделей (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем -- системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся автоматизированные системы управления, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.

3.1 Непрерывно детерминированные модели (Д - схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно детерминированного подхода на примере, используя в качестве математической модели дифференциальные уравнения.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной переменной или нескольких переменных, причём в уравнение входят не только их функции но их производные различных порядков.

Если неизвестные - функции многих переменных, то уравнения называются -- уравнения в частных производных. Если неизвестные функции одной независимой переменной, то имеют место обыкновенные дифференциальные уравнения.

Математическое соотношение для детерминированных систем в общем виде:

Например, процесс малых колебаний маятника описан обыкновенными дифференциальным уравнением где m₁, l₁ - масса, длина подвески маятника, - угол отклонения маятника от положения равновесия. Из этого уравнения можно найти оценки интересующих характеристик, например период колебаний

Дифференциальные уравнения, Д - схемы являются математическим аппаратом теории систем автоматического регулирования, управления.

При проектировании и эксплуатации систем автоматического регулирования (САУ) необходимо выбрать такие параметры системы, которые бы обеспечивали требуемую точность управления.

Следует отметить, что часто используемые в САУ системы дифференциальных уравнений определяются путём линеаризацией управления объекта (системы), более сложного вида, имеющего нелинейности:

3.2 Дискретно - детерминированные модели (F-схемы)

Дискретно - детерминированные модели (ДДМ) являются предметом рассмотрения теории автоматов (ТА). ТА - раздел теоретической кибернетики, изучающей устройства, перерабатывающие дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени.

Конечный автомат имеет множество внутренних состояний и входных сигналов, являющихся конечными множествами. Автомат задаётся F- схемой:

F=<z,x,y,,,z₀>,

где z,x,y - соответственно конечные множества входных, выходных сигналов (алфавитов) и конечное множество внутренних состояний (алфавита). z₀Z - начальное состояние; (z,x) - функция переходов; (z,x) - функция выхода. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного, выходного сигнала и внутреннего состояния. Абстрактный автомат имеет один входной и один выходной каналы.

В момент t, будучи в состоянии z(t), автомат способен воспринять сигнал x(t) и выдать сигнал y(t)=[z(t),x(t)], переходя в состояние z(t+1)=[z(t),z(t)], z(t)Z; y(t)Y; x(t)X. Абстрактный КА в начальном состоянии z₀ принимая сигналы x(0), x(1), x(2) … выдаёт сигналы y(0), y(1), y(2)… (выходное слово).

Существуют F- автомат 1-ого рода (Миля), функционирующий по схеме:

z(t+1)= [z(t),z(t)], t=0,1,2…(1)

y(t)=[z(t),x(t)], t=0,1,2…(2)

автомат 2-ого рода:

z(t+1)= [z(t),z(t)], t=0,1,2…(3)

y(t)=[z(t),x(t-1)], t=1,2,3…(4)

Автомат 2-ого рода, для которого y(t)=[z(t)], t=0,1,2,…(5)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной x(t), называется автоматом Мура.

Т.о. уравнения 1-5 полностью задающие F- автомат, являются частным случаем уравнения

(6)

где - вектор состояния, - вектор независимых входных переменных, - вектор воздействий внешней среды, - вектор собственных внутренних параметров системы, - вектор начального состояния, t - время; и уравнение ,(7)

когда система S - деноминированная и на её вход поступает дискретный сигнал x.

По числу состояний конечные автоматы бывают с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом согласно (2), работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определённый выходной сигнал y(t), т.е. реализует логическую функцию вида:

y(t)=[x(t)], t=0,1,2,…

Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов x и y состоят из 2-х букв.

По характеру отсчёта времени (дискретному) F- автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат "считывает" входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. Реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт синхронизации. Асинхронный F- автомат считывает входной сигнал непрерывно и поэтому, реагируя на достаточно длинный водной сигнал постоянной величины x, он может, как это следует из 1-5, несколько раз изменить своё состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдёт в устойчивое.

Для задания F- автомата необходимо описать все элементы множества F=<z,x,y,,,z₀>, т.е. входной, внутренний и выходной алфавиты, а также функции переходов и выходов. Для задания работы F- автоматов наиболее часто используются табличный, графический и матричный способ.

В табличном способе задания используется таблицы переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы - его состояниям. При этом обычно 1-ый столбец слева соответствует начальному состоянию z₀. На пересечении i-ой строки и j-ого столбца таблицы переходов помещается соответствующее значение (z_k,x_i) функции переходов, а в таблице выходов - (z_k, x_i) функции выходов. Для F- автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив т.н. отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием z_k автомата, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (5), выходной сигнал (z_i).

Описание работы F- автомата Мили таблицами переходов и выходов иллюстрируется таблицей 3.1., а описание F- автомата Мура - таблицей переходов 3.2..

Таблица 3.1. Описание работы автомата Мили

xj	zk
	z0	z1	…	zk
Переходы
x1	(z0,x1)	(z1,x1)	…	(zk,x1)
x2	(z0,x2)	(z1,x2)	…	(zk,x2)
…………………………………………………………
xl	…	…	…	…
Выходы
x1	(z0,x1)	(z1,x1)	…	(zk,x1)
…………………………………………………………
xl	(z0,xl)	(z1,xl)	…	(zk,xl)

Таблица 3.2. Описание работы автомата Мура

	(zk)
xi	(z0)	(z1)	…	(zk)
	z0	z1	…	zk
x1	(z0,x1)	(z1,x1)	…	(zk,x1)
x2	(z0,x2)	(z1,x2)	…	(zk,x2)
……………………………………………………
xl	(z0,xl)	(z1,xl)	…	(zk,xl)

Примеры табличного способа задания F- автомата Мили F1 с тремя состояниями, двумя входными и двумя выходными сигналами приведены в таблице 3.3, а для F- автомата Мура F2 - в таблице 3.4.

Таблица 3.3. Способ задания автомата Мили с тремя состояниями

xj	z0
	z0	z1	z2
Переходы
x1	z2	z0	z0
x2	z0	z2	z1
Выходы
x1	y1	y1	y2
x2	y1	y2	y1

Таблица 3.4. Способ задания автомата Мура с тремя состояниями

	y
xi	y1	y1	y3	y2	y3
	z0	z1	z2	z3	z4
x1	z1	z4	z4	z2	z2
x2	z3	z1	z1	z0	z0

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершин дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал x_k вызывает переход из состояния z_i в состояние z_j, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину z_i с вершиной z_j обозначается x_k. Для того, чтобы задать функцию переходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили эта разметка производиться так: если входной сигнал x_k действует на состояние z_i, то согласно сказанному получается дуга, исходящая из z_i и помеченная x_k; эту дугу дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z_i, x_k). Для автомата Мура аналогичная разметка графа такова: если входной сигнал x_k, действуя на некоторое состояние автомата, вызывает переход в состояние z_j, то дугу, направленную в z_j и помеченную x_k, дополнительно отмечают выходным сигналом y=(z_j, x_k). На рис. 3 приведены заданные ранее таблицами F- автоматы Мили F1 и Мура F2 соответственно.

Рис. 3. Графы автоматов Мили (а) и Мура (б)

При решении задач моделирования часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица С=|| c_ij ||, строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы - состояниям перехода. Элемент c_ij=x_k/y_S в случае автомата Мили соответствует входному сигналу x_k, вызывающему переход из состояния z_i в состояние z_j и выходному сигналу y_S, выдаваемому при этом переходе. Для автомата Мили F1, рассмотренного выше, матрица соединений имеет вид:

Если переход из состояния z_i в состояние z_j происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы c_ij представляет собой множество пар "вход/выход" для этого перехода, соединённых знаком дизъюнкции.

Для F- автомата Мура элемент c_ij равен множеству входных сигналов на переходе (z_iz_j), а выход описывается вектором выходов:

i-ая компонента которого выходной сигнал, отмечающий состояние z_i

Пример. Для рассмотренного ранее автомата Мура F2 запишем матрицу состояний и вектор выходов:

;

Для детерминированных автоматов переходы однозначны. Применительно к графическому способу задания F- автомата это означает, что в графе F- автомата из любой вершины не могут выходить 2 и более ребра, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Рассмотрим вид таблицы переходов и графа асинхронного конечного автомата. Для F- автомата состояние z_k называется устойчивым, если для любого входа x_iX, для которого (z_k,x_i)=z_k имеет место (z_kx_i)=y_k. Т.о. F- автомат называется асинхронным, если каждое его состояние z_kZ устойчиво.

На практике всегда автоматы являются асинхронными, а устойчивость их состояний обеспечивается тем или иным способом, например, введением сигналов синхронизации. На уровне абстрактной теории удобно часто оперировать с синхронными конечными автоматами.

Пример. Рассмотрим асинхронный F- автомат Мура, который описан в табл. 3.5 и приведён на рис. 4.

Таблица 3.5. Асинхронный автомат Мура

	y
xi	y1	y2	y3
	z0	z1	z2
x1	z1	z1	z1
x2	z2	z1	z2
x3	z0	z0	z2



Рис. 4. Граф асинхронного автомата Мура

Если в таблице переходов асинхронного автомата некоторое состояние z_k стоит на пересечении строки x_S и столбца z_S(Sk), то это состояние z_k обязательно должно встретиться в этой же строке в столбце z_k.

С помощью F-схем описываются узлы и элементы электронных вычислительных систем, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией. Широта применения F-схем не означает их универсальность. Этот подход непригоден для описания процессов принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.

3.3 Непрерывно-стохастические модели (Q - схемы)

К ним относятся системы массового обслуживания (англ. queuing system), которые называют Q- схемами.

Предмет теории массового обслуживания -- системы массового обслуживания (СМО) и сети массового обслуживания. Под СМО понимают динамическую систему, предназначенную для эффективного обслуживания случайного потока заявок при ограниченных ресурсах системы. Обобщённая структура СМО приведена на рисунке 5.

Рис. 5. Схема СМО

Поступающие на вход СМО однородные заявки в зависимости от порождающей причины делятся на типы, интенсивность потока заявок типа i (i=1…M) обозначено _i. Совокупность заявок всех типов - входящий поток СМО.

Обслуживание заявок выполняется m каналами. Различают универсальные и специализированные каналы обслуживания. Для универсального канала типа j считается известными функции распределения F_ji() длительности обслуживания заявок произвольного типа. Для специализированных каналов функции распределения длительности обслуживания каналов заявок некоторых типов являются неопределёнными, назначение этих заявок на данный канал.

В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например, потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации электронных вычислительных систем от удалённых терминалов и т.д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное поведение заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени.

Q - схемы можно исследовать аналитически и имитационными моделями. Последнее обеспечивает большую универсальность.

Рассмотрим понятие массового обслуживания.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки. Это можно отобразить в виде некоторого i-ого прибора обслуживания П_i, состоящего из накопителя заявок, в котором может находится одновременно l_i=0…L_i^H заявок, где L_i^H - ёмкость i-ого накопителя, и канала обслуживания заявок, k_i.

Рис. 6. Схема прибора СМО

На каждый элемент прибора обслуживания П_i поступают потоки событий: в накопитель H_i поток заявок w_i , на канал k_i - поток обслуживания u_i.

Потоком событий (ПС) называется последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Различают потоки однородных и неоднородных событий. Однородный ПС (ОПС) характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задаётся последовательностью {t_n}={0t₁t₂…t_n…}, где t_n - момент поступления n- ого события - неотрицательное вещественное число. ОПС может быть также задан в виде последовательности промежутков времени между n-ым и n-1-ым событиями {_n}.

Неоднородным ПС называется последовательность {t_n, f_n} , где t_n- вызывающие моменты; f_n- набор признаков события. Например, может быть задана принадлежность к тому или иному источнику заявок, наличие приоритета, возможность обслуживания тем или иным типом канала и т.п.

Рассмотрим ОПС, для которого _i{_n}- случайные величины, независимые между собой. Тогда ПС называется потоком с ограниченным последействием.

ПС называется ординарным, если вероятность того, что на малый интервал времени t, примыкающий к моменту времени t попадает больше одного события Р₁(t, t) пренебрежительно мала.

Если для любого интервала t событие P₀(t, t) + P₁(t, t) + Р₁(t, t)=1, P₁(t, t) - вероятность попадания на интервал t ровно одного события. Как сумма вероятностей событий, образующих полную группу и несовместных, то для ординарного потока событий P₀(t, t) + P₁(t, t) 1, Р₁(t, t)=(t), где (t)- величина, порядок малости который выше, чем t, т.е. lim((t))=0 при t0.

Стационарным ПС называется поток, для которого вероятность появления того или иного числа событий на интервале времени зависит от длины этого участка и не зависит от того, где на оси времени 0 - t взят этот участок. Для ОПС справедливо 0*P₀(t, t) + 1*P₁(t, t)= P₁(t, t) - среднее число событий на интервале t. Среднее число событий, наступающих на участке t в единицу времени составляет P₁(t, t)/t. Рассмотрим предел этого выражения при t0

lim P₁(t, t)/t=(t)*(1/един.вр.).

Если этот предел существует, то он называется интенсивностью (плотностью) ОПС. Для стандартного ПС (t)==const.

Применительно к элементарному каналу обслуживания k_i можно считать что поток заявок w_iW, т.е. интервалы времени между моментами появления заявок на входе k_i образуют подмножество неуправляемых переменных, а поток обслуживания u_iU, т.е. интервалы времени между началом и окончанием обслуживания заявки образуют подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные каналом k_i и заявки, покинувшие прибор П_i по различным причинам не обслуженными, образуют выходной поток y_iY.

Процесс функционирования прибора обслуживания П_i можно представить как процесс изменения состояний его элементов во времени Z_i(t). Переход в новое состояние для П_i означает изменение кол-ва заявок, которые в нём находятся (в канале k_i и накопителе H_i). Т.о. вектор состояний для П_i имеет вид : , где - состояния накопителя, (=0 - накопитель пуст, =1- в накопителе одна заявка…, =- накопитель занят полностью; - состояние канала k_i (=0 - канал свободен, =1 канал занят).

Q-схемы реальных объектов образуются композицией многих элементарных приборов обслуживания П_i. Если k_i различных приборов обслуживания соединены параллельно, то имеет место многоканальное обслуживание (многоканальная Q-схема), а если приборы П_i и их параллельные композиции соединены последовательно, то имеет место многофазное обслуживание (многофазная Q-схема).

Т.о. для задания Q-схемы необходимо оператор сопряжения R, отражающий взаимосвязь элементов структуры.

Связи в Q-схеме изображают в виде стрелок (линий потока, отражающих направление движения заявок). Различают разомкнутые и замкнутые Q-схемы. В разомкнутой выходной поток не может снова поступить на какой-либо элемент, т.е. обратная связь отсутствует.

Собственными (внутренними) параметрами Q-схемы будут являться кол-во фаз L_Ф, количество каналов в каждой фазе, L_kj, j=1… L_Ф, количество накопителей каждой фазы L_kj, k=1… L_Ф, ёмкость i-ого накопителя L_i^H. Следует отметить, что в теории массового обслуживания в зависимости от ёмкости накопителя применяют следующую терминологию:

системы с потерями (L_i^H=0, накопитель отсутствует);

системы с ожиданием (L_i^H);

системы с ограниченной ёмкостью накопителя Н_i (смешанные).

Обозначим всю совокупность собственных параметров Q-схемы как подмножество Н.

Для задания Q-схемы также необходимо описать алгоритмы её функционирования, которые определяют правила поведения заявок в различных неоднозначных ситуациях.

В зависимости от места возникновения таких ситуаций различают алгоритмы (дисциплины) ожидания заявок в накопителе Н_i и обслуживания заявок каналом k_i. Неоднородность потока заявок учитывается с помощью введения класса приоритетов.

В зависимости от динамики приоритетов Q-схемы различают статические и динамические. Статические приоритеты назначаются заранее и не зависят от состояний Q-схемы, т.е. они являются фиксированными в пределах решения конкретной задачи моделирования. Динамические приоритеты возникают при моделировании. Исходя из правил выбора заявок из накопитель Н_i на обслуживание каналом k_i можно выделить относительные и абсолютные приоритеты. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель Н, ожидает окончания обслуживания представляющей заявки каналом k_i и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, прерывает обслуживание каналом k_i заявки с более низким приоритетом и сами занимает канал (при этом вытесненная из k_i заявка может либо покинуть систему, либо может быть снова записана на какое-то место в Н_i).

Необходимо также знать набор правил, по которым заявки покидают Н_i и k_i: для Н_i - либо правила переполнения, либо правила ухода, связанные с истечением времени ожидания заявки в Н_i; для k_i - правила выбора маршрутов или направлений ухода. Кроме того, для заявок необходимо задать правила, по которым они остаются в канале k_i, т.е. правила блокировок канала. При этом различают блокировки k_i по выходу и по входу. Такие блокировки отражают наличие управляющих связей в Q_схеме, регулирующих поток заявок в зависимости от состояний Q_схемы. Набор возможных алгоритмов поведения заявок в Q_схеме можно представить в виде некоторого оператора алгоритмов поведения заявок А.

Т.о. Q_схема, описывающая процесс функционирования СМО любой сложности однозначно задаётся в виде набора множеств: Q = <W, U, H, Z, R, A> .

4. ВЫБОР МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

4.1 Сопоставление методов построения мaтемaтических моделей

Выбор метода зависит от важности и степени сложности процесса. Для крупных многотоннажных производств необходимы хорошие модели, здесь применяют теоретический метод. Этим же методом пользуются при создании принципиально новых технологических процессов.

Для мелких производств со сложным хaрaктером процесса используют экспериментальный метод. На практике, как правило, используется разумное сочетание всех методов.

4.2 Достоверность и простота модели

Построенная одним из рассмотренных выше методов мaтемaтическaя модель одновременно должна удовлетворять требованиям достоверности и простоты.

Достоверная модель, правильно описывающaя поведение объекта, может окaзaться весьма сложной. Сложность модели определяется, как правило, сложностью исследуемого объекта и степенью точности, предъявляемой практикой к результатам расчета. Необходимо, чтобы эта сложность не превосходила некоторого предела, определяемого возможностями существующего мaтемaтического аппарата. Следовательно, модель должна быть достаточно простой в математическом отношении, чтобы ее можно было решить имеющимися методами и средствами.

4.3 Проверка адекватности и идентификация модели

Проверка адекватности - это оценка достоверности построенной математической модели, исследование ее соответствия изучаемому объекту.

Проверка aдеквaтности осуществляется на тестовых экспериментах путем сравнения результатов рaсчетa по модели с результaтaм эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях. Это позволяет установить границы применимости построенной модели.

Основным этапом в построении адекватной модели является идентификация мaтемaтического описания мaтемaтического описания объекта. Задачей идентификации является определение вида модели и нахождения неизвестных ее параметров - отдельных констант или их комплексов, характеризующих свойства объекта. Идентификация возможна при наличии необходимой экспериментальной информации об изучаемом объекте.

4.4 Выбор математической модели

Зaдaчa выбора модели возникает при наличии для одного и того же объекта клaссa моделей. Выбор модели является одним из важнейших этапов моделирования. В конечном счете, преимущество той или иной модели определяет критерий практики, понимаемый в широком смысле. При выборе модели следует исходить из разумного компромисс между сложностью модели, полнотой получаемых с ее помощью характеристик объекта и точностью этих характеристик. Так, если модель недостаточно точна, то ее нужно дополнить, уточнить введением новых факторов, может также оказаться, что предложенная модель слишком сложна и те же результаты можно получить с помощью более простой модели.

Иногда из-за ограниченности имеющихся средств приходится упрощать мaтемaтическое описание. В этом случае необходима оценка вносимой при этом погрешности.

При решении уравнений математического описания с использованием электронных вычислительных систем необходимо создание моделирующего aлгоритмa ("машинной" модели). Моделирующий алгоритм является преобрaзовaнным мaтемaтическим описанием и представляет собой последовательность арифметических и логических операций решения, записанную в виде программы.

При разработке такого aлгоритмa, прежде всего, необходимо выбрать метод решения уравнений мaтемaтического описания - аналитический или численный. Следует помнить о необходимости проверки точности выбранного метода расчета.

5. ПРИМЕРЫ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В этом разделе рассмотрим типичные примеры составления математических моделей для решения самых различных задач, как народного хозяйства, так и школьных задач по математике.

ПРИМЕР 1

Построить математическую модель формирования плана производства.

Имеется производство по изготовлению двух видов продукции А и В при ограниченном объеме материалов трех сортов, из которых производится продукция. Исходные данные приведены в таблице.

Таблица 5.1. Исходные данные

Виды продукции	Норма расхода материала на единицу продукции	Прибыль на единицу продукции
	1	2	3
А	1	3	1	1
В	4	2	2	2
Ограничения на материалы	320	360	180	?

Определить объем производства продукции, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Построение математической модели

Пусть х₁ - количество продукции вида А, а х₂ - количество продукции В. Тогда х₁ + 4х_{2 -} количество материала сорта 1, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 320

х₁ + 4х₂ <=320 (1)

3х₁ + 4х₂ - количество материала сорта 2, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 360

3х₁ + 4х₂ <=360 (2)

х₁ + 2х₂ - количество материала сорта 2, требуемое на изготовление продукции, а по условию задачи это число не превышает 180

х₁ + 2х₂ <=180 (3)

кроме того, поскольку х₁ и х₂ выражают объем выпускаемой продукции, то они не могут быть отрицательными, то есть

х₁ > 0, х₂ > 0 (4)

F= х₁ + 2х₂ - прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем следующую математическую модель для данной задачи

F= х₁ + 2х₂ > max

ПРИМЕР 2

Транспортная задача. Имеется n городов. Выехав из одного из них, коммивояжер должен объехать все и вернуться в исходный город. В каждый город можно заезжать один раз, и, следовательно, маршрут коммивояжера должен образовывать замкнутый цикл без петель. Требуется найти кратчайший замкнутый маршрут коммивояжера, если известна матрица расстояний между городами.

Математическая модель рассматриваемой задачи имеет вид:

Здесь переменная х_ij принимает значение 1, если коммивояжер переезжает из города i в город j (i,j = 1,2,…,n, i ? j) и 0 в противном случае. Условие (1) представляет собой оптимизируемую функцию, где с_ij - расстояния между городами (i,j = 1,2,…,n, i ? j), причем в общем случае с_ij ? с_ij; условие (2) означает, что коммивояжер выезжает из каждого города только один раз; (3) - что он въезжает в каждый город только один раз; (4) обеспечивает замкнутость маршрута и отсутствие петель, где u_i и u_{j -} некоторые вещественные значения (i,j = 1,2,…,n, i ? j) (5).

ПРИМЕР 3

Некоторое предприятие производит продукцию 5 видов, используя комплектующие детали 7 наименований А, В, С, D, Е, F, G. Запасы предприятия ограничены некоторым количеством комплектующих деталей. Известно, сколько требуется комплектующих деталей для производства единицы продукции каждого вида и прибыль от производства единицы продукции каждого вида. Определить, сколько требуется продукции каждого вида, чтобы обеспечить предприятию наибольшую прибыль.

Таблица 5.2. Данные по производству продукции

Комплек тующие	Первый вид продукции	Первый вид продукции	Первый вид продукции	Первый вид продукции	Первый вид продукции	Количество комплектующих на складе, шт.
	Требуемое количество комплектующих, шт.
А	2	2	0	0	1	10
В	1	2	0	1	0	7
С	4	0	0	1	0	12
D	0	0	0	4	0	12
E	0	0	1	2	1	15
F	0	0	0	1	3	12
G	2	0	0	1	0	8
	Доход от единицы продукции, тыс. руб.
	2	3	1	5	4
	Требуемый объем производства, шт.
	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5

F= 2х₁ + 3х₂ + х₃ + 5х₄ + 4х₅-

прибыль, которая должна быть максимальной. Таким образом, имеем количество комплектующих для производства оптимального количества продукции:

2х₁ + 2х₂ + х₅ ? 10

количество комплектующих А для производства продукции;

х₁ + 2х₂ + х₄ ? 7

количество комплектующих В для производства продукции;

4х₁ + х₄ ? 12

количество комплектующих С для производства продукции;

4х₄ ? 12

количество комплектующих D для производства продукции;

х₃ + 2х₄ + х₅ ? 15

количество комплектующих E для производства продукции;

х₄ + 3х₅ ? 12

количество комплектующих F для производства продукции;

2х₁ + х₄ ? 8

количество комплектующих G для производства продукции;

причем все переменные Х₁ , Х₂,_, Х₃, Х₄, Х₅ - должны быть неотрицательные и целочисленные.

Таким образом, имеем следующую математическую модель выпуска продукции для получения максимальной прибыли:

2х₁ + 3х₂ + х₃ + 5х₄ + 4х₅ > max

ПРИМЕР 4

Имеется производство по изготовлению двух видов продукции А и В при ограниченном объеме материалов трех сортов, из которых производится продукция. Исходные данные приведены в таблице.

Таблица 5.3. Исходные данные