Парные регрессии и корреляции, множественные регрессии и системы эконометрических уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Парная регрессия и корреляция

Задание к задачам 1-10. Имеются данные о расходах населения на продукты питания (y) и доходах семьи (x), ден. ед. для 8 районов.

1. Для характеристики зависимости y от x рассчитайте параметры следующих функций:

а) линейной;

2. Оцените тесноту связи изучаемых признаков.

3. Оцените каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Табл. 1

№	х	у	ху	х2	у2	у	у-у	А
1	120	85	10200	14400	7225	90,13	-5,13	-,06
2	310	110	34100	96100	12100	122,43	-12,43	11,3
3	530	155	82150	280900	24025	159,83	-4,83	3,12
4	740	210	155400	547600	44100	195,53	14,47	6,89
5	960	245	235200	921600	60025	232,93	12,07	4,93
6	1180	285	336300	1392400	81225	270,33	14,67	5,15
7	1450	325	471250	2102500	105625	316,23	8,77	2,7
8	1870	360	673200	3496900	129600	387,63	-27,63	7,68
Итого	7160	1775	1997800	8852400	463925	1775,04	-0,04	47,81
Ср.знач.	895	221,88	249725	1106550	57990,63	-	-

b0*8+b1*7160=1775

b0*7160+b1*8852400=1997800

=

b0=221.88-0.17*895=221.88-152.15=69.73

Уравнение регрессии имеет вид:

y=69.73+0.17*x

С увеличением дохода семьи расходы населения на продукты питания увеличиваются на 0,17 ден.ед.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxy=0.17*(v305525/v(57990,63-(221,88)2))=0,17*(v305525/v8759,9)=0,17*(552.74/93.59)=0.17*5.91?1

Связь между рассматриваемыми признаками весьма сильная, функциональная.

Определим коэффициент детерминации:

R2xy=12=1

Вариация результата на 100% объясняется вариацией фактора х

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчетные) значения у. Найдем величину средней ошибки аппроксимации:

А=47,81/8=5,98

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных и фактических данных: среднее отклонение составляет 5,98%.

Рассчитаем F-критерий:

Fнабл.=(1/(1-1))*((8-1-1)/1)=0

Fкр. находим по таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б=0,05 и степенях свободы: k1=1, k2=6: Fкр.=5,59

Так как Fкр > Fнабл (5,59 > 0), гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии и показателя тесноты связи.

Задание к задачам 11-20.

1. Определите параметры уравнения парной линейной регрессии и дайте интерпретацию коэффициента регрессии.

2. Оцените тесноту связи с помощью коэффициентов корреляции и детерминации, проанализируйте их значения.

3. С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость параметров уравнения регрессии по критерию Стьюдента.

4. Рассчитайте прогнозное значение результата y, если прогнозное значение фактора х составит 1,062 от среднего уровня (х). Определите доверительный интервал прогноза (для б = 0,05).

Выявить и оценить зависимость между стоимостью валового регионального продукта (вновь созданная стоимость) за год, млрд. руб., (y4), и инвестициями в основной капитал в 2006 г., млрд. руб., (x2) y4 = f (x2).

Табл. 2

№	Территория Северо-Западного федерального округа	Инвестиции в основной капитал в 2006г., млрд. руб., х	Валовый региональный продукт за год, млрд. руб., у	ху	х2	у2	у	у-у
1	Республика Карелия	12,6	48,1	606,06	158,76	2313,61	58,06	-9,96
2	Республика Коми	30,2	113,5	3427,7	912,04	12882,25	88,33	25,17
3	Архангельская область	30,5	107,6	3281,8	930,25	11577,6	88,85	18,75
4	Вологодская область	41,45	114,2	4733,59	1718,1	13041,64	107,68	6,52
5	Калининградская область	18,11	51,3	929,04	327,97	2631,69	67,54	-16,24
6	Ленинградская область	67,02	132,4	8873,45	4491,68	17529,76	151,66	-19,26
7	Мурманская область	13,53	81,6	1104,05	183,06	6658,56	59,66	21,94
8	Новгородская область	7,95	39,1	310,85	63,2	1528,81	50,06	-10,96
9	Псковская область	5,75	30,3	174,23	33,06	918,09	46,28	-15,98
	Итого	227,11	718,1	23440,77	8818,12	69082,17	718,12	-0,02
	Ср.знач.	25,23	79,79	2604,53	979,79	7675,8	-	-

b0*9+b1*227,11=718,1

b0*227,11+b1*8812,12=23440,77

b1=(2604,53-(79,79*25,23))/(979,79-(25,23)2)=(2604,53-2013,1)/(979,79-636,55)=591,43/343,24=1,72

b0=79,79-(1,72*25,23)=79,79-43,4=36,39

у=36,39+1,72*х

С увеличением инвестиций в основной капитал валовой региональный продукт за год увеличивается на 1,72 млрд. руб.

Тесноту линейной связи оценивает коэффициент корреляции:

rxy=1,72*(18,53/36,19)=1,72*0,51=0,88

Связь между рассматриваемыми признаками сильная, прямая.

R2xy=0,882=0,774

Это означает, что 77,4% вариации валового регионального продукта (у) объясняется вариацией фактора х- инвестиций в основной капитал.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля:b0=b1=0

tкр для числа степеней свободы df=9-2=7 и б=0,05 составит 2,36

Определим стандартные ошибки Sb0, Sb1:

S2=2618,3342/9-2=2618,3342/7=374,05

Sb0=v374,05*(v8818,12/(9*v343,24))=19,34*(93,9/(9*18,53))=19,34*(93,9/166,77)=19,34*0,56=10,83

Sb1=19,34/(18,53*v9)=19,34/(18,53*3)=19,34/55,59=0,35

Тогда tb0=36,39/10,83=3,36; tb1=1,72/0,35=4,91

Фактическое значение t-статистики для коэффициента b1 превосходит табличное значение tb1=4,91>tкр=2,36, поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть b1 не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Фактическое значение t-статистики для коэффициента b0 также превосходит критическое значение tb0=3,36>tкр=2,36, поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть b0 не случайно отличен от нуля, а статистически значим.

Рассчитаем доверительный интервал для b0 и b1:

в0=[36,39±2,36*10,83]; в0min=10,8312; в0max=61,9488

в1=[1,72±2,36*0,35]; в1min=0,894; в1max=2,546

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=0,95 параметры b0 и b1, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, то есть является статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Точечный прогноз валового регионального продукта при прогнозном значении инвестиций в основной капитал хр=1,062*х=1,062*25,23=26,79 млрд. руб. составит:

ур=36,39+1,72*26,79=36,39+46,08=82,47 млрд. руб.

Чтобы получить интервальный прогноз, найдем стандартную ошибку прогноза:

Sур=19,34*v(1+1/9+((82,47-25,23)2)/(9*343,24))=19,34*v(1+1/9+((57,24)2/3089,16))=19,34*v(1+1/9+1,06)=19,34*v(1,11+1,06)=19,34*v2,17=19,34*1,473=28,49.

Доверительный интервал прогнозируемой себестоимости составит:

ур=[82,47±2,36*28,49]=[52,47±67,24].

урmin=15,23 урmax=299,38.

То есть при инвестициях в основной капитал, составляющих 1,062 от среднего уровня (х), равным 26,79 млрд. руб., валовый региональный продукт с надежностью 0,95 находится в пределах от 15,23 млрд. руб. до 299,38 млрд. руб.

2. Множественная регрессия

Задание к задачам 1-20.

По данным об экономических результатах деятельности российских банков выполните следующие задания:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии и пояснить экономический смысл его параметров.

2. Определить стандартизованные коэффициенты регрессии.

3. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с в1 и в2, пояснить различия между ними.

4. Определить парные и частные коэффициенты корреляции, а также множественный коэффициент корреляции.

5. Провести дисперсионный анализ для проверки статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи на уровне значимости б=0,05.

6. Рассчитать частные F-критерии Фишера.

7. Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов при переменных х1 и х2 множественного уравнения регрессии.

Используйте признаки: работающие активы, млн. руб., средства частных лиц, %, средства предприятий и организаций, %.

Табл. 3

№	Банк	Работающие активы, млн. руб.	Средства частных лиц, %	Средства предприятий и организаций, %
		у	х1	х2
1	Сбербанк	1917403	60	19
2	Внешторгбанк	426484	13	25
3	Газпромбанк	362532	9	38
4	Альфа-банк	186700	15	30
5	Банк Москвы	157286	30	27
6	Росбанк	151849	19	55
7	Промстройбанк	85365	24	29
8	Уралсиб	76617	22	19
9	Промсвязьбанк	54848	11	46
10	Петрокоммерц	53701	26	37
11	Номос-банк	52473	6	17
12	Зенит	50666	10	36
13	Транскредитбанк	41332	8	46
14	Еврофинанс-Моснарбанк	38245	5	22
15	Никойл	36946	11	23
16	Импэксбанк	34032	37	20
17	Союз	33062	8	34
18	Татфондбанк	11949	20	27
	Итого	3771490	334	550
	Среднее значение	209527,22	18,56	30,56

Решение:

1. Линейное уравнение множественной регрессии у от х1 и х2 имеет вид:

y=b0+b1x1+b2x2

Табл. 4

Регрессия
Регрессионная статистика
Множественный R	0,71713046
R-квадрат	0,51427609
Нормированный R-квадрат	0,44951291
Стандартная ошибка	327560,14
Наблюдения	18
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,7E+12	8,52E+11	7,940871	0,004446
Остаток	15	1,61E+12	1,07E+11
Итого	17	3,31E+12
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-189869,859	302688,4	-0,62728	0,539909	-835035	455295,2
x1	22950,7088	6108,685	3,757062	0,001903	9930,355	35971,06
x2	-866,162367	7765,362	-0,11154	0,912666	-17417,6	15685,32

Столбец Коэффициенты содержит численные значения коэффициентов регрессии:

yx1x2= - 189869,86 + 22950,71 * х1 - 866,16 * х2

При увеличении доли средств частных лиц на 1%, работающие активы увеличатся на 22950,71 млн. руб. При увеличении доли средств предприятий и организаций на 1%,сумма работающих активов сократится на 866,16 млн. руб.

2. Уравнение в стандартизированном масштабе имеет вид:

ty=в1 * tx1 + в2 * tx2

в1=(22950.71*v(517.33-18.562))/429047.81=(22950.71*13.15)/429047.81=301801.8365/429047.81=0.703

в2=(866.16*v(1042.78-30.562))/429047.81=(866.16*10.434)/429047.81=9037.51/429047.81=0.021

Получим уравнение:

ty=0,703 * tx1 + 0,021 * tx2

3. Для характеристики относительной силы влияния х1 и х2 на у рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

Эух1=(22950,71*18,56)/209527,22=425965,1776/209527,22=2,033%

Эух2=(866,16*30,56)/209527,22=26469,8496/209527,22=0,1263%

С увеличением доли средств частных лиц,х1, на 1% от их среднего уровня работающие активы, у, возрастают на 2,03% от своего среднего уровня; при повышении доли средств предприятий и организаций, х2, на 1% сумма работающих активов, у, вырастет на 0,126% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния доли средств частных лиц на сумму рабочих активов оказалась большей, чем сила влияния средств предприятий и организаций (2,033>0,1263). К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений в1 и в2.

4. Матрица коэффициентов парной корреляции

Табл. 5

	у	х1	х2
у	1
х1	0,7169	1
х2	-0,2392	-0,307	1

Рассчитаем линейные коэффициенты частной корреляции:

ryx1x2=(0,7169-0,2392*0,307)/v((1-(-0,2392)2)*(1-(-0,307)2))=(0,7169-0,0734)/v(0,9428*0,9058)=0,6435/0,9241=0,6964

ryx2x1=((-0,2392)+0,7169*0,307)/v((1-0,71692)*(1-(-0,307)2))=(-0,2392+0,22)/v(0,4861*0,9058)=-0,0192/0,6634= - 0,029

rx1x2у=((-0,307)-0,7169*(-0,2392))/v((1-0,71692)*(1-(-0,2392)2))=(-0,307+03,1715)/v(0,4861*0,9428)=-0,1355/0,677= - 0,2

Из-за средней межфакторной связи (rx1x2= - 0,307) коэффициенты парной и частной корреляции несколько отличаются: выводы о тесноте и направлении связи на основе парных и частных коэффициентов совпадают.

Значение линейного коэффициента множественной корреляции расположено в строке Множественный R таблицы Регрессионная статистика: Ryx1x2=0,7171

Множественный коэффициент детерминации (строка R-квадрат): R2yx1x2=0,5143

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как умеренная, в которой 51,4% вариации работающих активов определяется вариацией учтенных в модели факторов: доли средств частных лиц и средств предприятий и организаций.

5. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи. Анализ выполняется при сравнении фактического и критического значений F-критерий Фишера.

Результаты дисперсионного анализа представлены в таблице Дисперсионный анализ. Столбец SS содержит суммы квадратов отклонений, столбец MS- дисперсии на одну ступень свободы.

Fкр находим по таблице значений F-критерий Фишера при уровне

Значимости 0,05 и степенях свободы k1=2, k2=15: Fкр=3,68

Так как Fнабл=7,94 > Fкр=3,68, гипотеза Н0 о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает умеренную зависимость рабочих активов от доли средств частных лиц и средств предприятий и организаций.

С вероятностью 0,95 делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x1 и x2.

6. Частные F-критерии - Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и x2 в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора.

Fx1 набл=((0,71712-(-0,2392)2)/(1-0,71712))*((18-2-1)/1)=((0,5142-0,0572)/(1-0,5142))*15=(0,457/0,4858)*15=14,11

Так как Fx1набл > Fкр, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора х1 после фактора х2. Гипотезу Н0 о несущественности прироста R2y за счет включения дополнительного фактора х1 отклоняем и приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора х1 после фактора х2.

Fx2 набл=((0,71712-0,71692)/(1-0,71712))*((18-2-1)/1)=((0,5142-0,5139)/(1-0,5142))*15=(0,0003/0,4858)*15=0,0093.

Так как Fx2набл < Fкр, гипотезу Н0 о несущественности прироста R2y за счет включения дополнительного фактора х2 подтверждаем и приходим к выводу о статистически неподтвержденной целесообразности включения фактора х2 после фактора х1.

7. Оценка значимости коэффициентов b1 и b2 с помощью t- критерия Стьюдента предполагает сопоставление их значений с величиной их стандартных ошибок:

tbi=bi/Sbi

Значения стандартных ошибок и t-критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии расположены в последней таблице вывода итогов построения регрессии:

Sb1=6108,685 tb1=3,757.

Sb2=7765,362 tb2= - 0,112.

Табличное значение t-критерий Стьюдента tкр для числа степеней свободы df=18-3=15 и б=0,05 составит 2,1315.

Сравнивая tкр и tнабл, приходим к выводу, что коэффициенты регрессии b1 и b2 являются статистически значимыми и надежными.

Несмотря на полученную незначимость коэффициента b0 (tb0=0,63< tкр=2,1315), принято оставлять константу в уравнении регрессии для поглощения неучтенных в модели факторов.

Интервальные значения коэффициентов регрессии составят:

9930,355?в1?35971,623.

- 17417,64?в2?15685,1153.

С вероятностью 0,95 истинная сила влияния переменной х1 на у будет не меньше 99305,3 и не больше 35971,6;переменной х2- не меньше - 17417,6 и не больше 15685,1.

3. Системы эконометрических уравнений

Имеются структурная модель и приведенная форма модели

Требуется:

1. Проверить структурную модель на необходимое и достаточное условия идентификации;

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений, найти структурные коэффициенты модели.

Табл. 6

Структурная модель	Приведенная форма
y1=b12*y2+a11*x1+a13*x3 y2=b21*y1+ b23* y3+a22*x2 y3=b31*y2+a31*x1+a32*x2	y1=2*х1-6*x2+3*x3 y2=2*х1-2*x2+10*x3 y3= -5*х1+8*x2+5*x3

Решение:

1. Модель имеет три эндогенные (у1,у2,у3) и три экзогенные (х1,х2,х3) переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условия идентификации.

Первое уравнение:

Н: эндогенных переменных 2 (у1, у2)

отсутствующих экзогенных 1 (х2)

Выполняется необходимое равенство: 1+1=2. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у3 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Табл. 7

Уравнение	Отсутствующие переменные
	у3	х2
второе	b23	a22
третье	-1	a32

DetA= b23* a32- (-1)* a22?0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение:

Н: эндогенных переменных 3 (у1, у2, у3)

отсутствующих экзогенных 2 (x1, х3)

Выполняется необходимое равенство: 2+1=3. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют x1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Табл. 8

Уравнение	Отсутствующие переменные
	x1	х3
первое	a11	a13
третье	a31	0

DetA= a11*0- a31* a13?0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение:

Н: эндогенных переменных 2 (у2, у3), отсутствующих экзогенных 1 (х3). Выполняется необходимое равенство: 1+1=2. Следовательно, уравнение точно идентифицируемо. Д: в третьем уравнении отсутствуют у1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Табл. 9

Уравнение	Отсутствующие переменные
	у1	х3
первое	-1	a13
второе	b21	0

DetA= -1*0- b21* a13?0

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) Из второго уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

х2=(у2-2*х1+10*х3)/2

Данное выражение содержит переменные у2,х1 и х3, которые нужны для первого уравнения СФМ. Подставим полученное выражение x2 в первое уравнение ПФМ:

у1=2*х1-6*((у2-2*х1+10*х3)/2)+3*х3=2*х1-3*(у2-2*х1+10*х3)+3*х3=2*х1-3*у2+6*х1-30*х3+3*х3=8*х1-3*у2-27*х3

у1=8*х1-3*у2-27*х3 - первое уравнение СФМ

2) во втором уравнении СФМ нет переменных x1 и x3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап:

Выразим x1 в данном случае из первого уравнения:

х1=(у1+6*х2-3*х3)/2=0,5*у1+3*х2-1,5*х3

Выразим x3 из третьего уравнения ПФМ:

х3=(у3+5*х1-8*х2)/5=0,2*у3+х1-1,6*х2

Подставим его в выражение x1:

х1=(у1+6*х2-3*х3)/2=0,5*у1+3*х2-1,5*(0,2*у3+х1-1,6*х2)= 0,5*у1+3*х2-0,3*у3-1,5х1+2,4*х2=0,5*у1+5,4*х2-0,3*у3-1,5х1

х1=(0,5*у1+5,4*х2-0,3*у3)/2,5

Второй этап:

Аналогично, чтобы выразить х3 через искомые у1, у3 и х2, заменим в выражении х3 значение х1 на полученное из первого уравнения ПФМ.

х3=(у3+5(0,5*у1+3*х2-1,5*х3)-8*х2)/5=у3+0,5*у1+3*х2-1,5*х3-8*х2= у3+0,5*у1-5*х2-1,5*х3

Следовательно:

корреляция статистический регрессия эконометрический

х3=0,4*у3+0,2*у1-2*х2

Подставим полученные х1 и х3 во второе уравнение ПФМ:

у2=2*(0,5*у1+5,4*х2-0,3*у3)/2,5-2*х2+10*(0,4*у3+0,2*у1-2*х2)=0,8*(0,5*у1+5,4*х2-0,3*у3)-2*х2+10*(0,4*у3+0,2*у1-2*х2)=0,4*у1+4,32*х2-0,24*у3-2*х2+4*у3-2*у1-20*х2=2,4у1+3,76*у3-17,68*х2

у2=2,4у1+3,76*у3-17,68*х2 - второе уравнение СФМ

3) Из второго уравнения ПФМ выразим х3,так как его нет в третьем уравнении СФМ.

х3=(у2-2*х1+2*х2)/10=0,1*у2-0,2*х1+0,2*х2

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

у3=-5*х1+8*х2+5*(0,1*у2-0,2*х1+0,2*х2)=-5*х1+8*х2+0,5*у2-1*х1+1*х2=-6*х1+9*х2+0,5*у2

- третье уравнение СФМ

Таким образом, СФМ примет вид:

у1=8*х1-27*х3-3*у2

у2=2,4у1+3,76*у3-17,68*х2

у3==-6*х1+9*х2+0,5*у2

Размещено на Allbest.ru