Принятие решений при неполной информации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принятие решений при неполной информации

Одноэтапные процедуры принятия решений в условиях неопределенности

неопределенность лаплас минимаксный сэвидж

При анализе одноэтапных процедур принятия решений в условиях риска мы уже отмечали, что практическое применение критерия предельного уровня в общем случае не предполагает знания законов распределения случайных величин. Поэтому критерий предельного уровня может использоваться и при принятии решений в условиях неопределенности. В этом параграфе мы рассмотрим критерии, наиболее часто применяемые на практике:

1) критерий Лапласа;

2) минимаксный (максиминный) критерий;

3) критерий Сэвиджа;

4) критерии Гурвица.

Основное различие между критериями, перечисленными выше, определяется стратегией поведения „лица, принимающего решения", в условиях неопределенности. Так, например, критерий Лапласа базируется на более оптимистичных предположениях, чем минимаксный критерий, а критерий Гурвица, в свою очередь, можно использовать при различных подходах:

от наиболее пессимистичного до наиболее оптимистичного. Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой приходится принимать решения.

К сожалению, не существует общих правил оценки практической применимости того или иного критерия при принятии решений в условиях неопределенности. Скорее всего, это связано с тем, что поведение „лица, принимающего решения", обусловленное неопределенностью ситуации, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия.

Напомним, что мы рассматриваем задачи принятия решений в условиях неопределенности, когда выбор решения из множества G допустимых решений осуществляется одним лицом. Специфической особенностью этих задач является отсутствие у „лица, принимающего решения", разумного противника. В случае, когда в роли противника выступает „природа", нет оснований предполагать, что она стремится принести вред „лицу, принимающему решения". Информация, необходимая для принятия решений в условиях неопределенности, обычно представляется в форме матрицы, i-я строка которой соответствует решению X, из множества допустимых решений a j-й столбец соответствует состоянию изучаемой системы S с множеством возможных состояний Каждому допустимому решению и каждому возможному состоянию Sj изучаемой системы S соответствует результат:

определяющий выигрыш или потери при принятии данного Решения и реализации данного состояния. Таким образом, если множество G допустимых решений состоит из N элементов а система S может находиться в любом из m возможных состояний, то матрица

и является матрицей исходных данных для принятия решений в условиях неопределенности.

Если величина v{X_i,Sj) определяет доход (выигрыш), обусловленный принятием решения и реализацией системой S возможного события Sj, то матрица N(G,S) является матрицей дохода. Если же величина v(Xi,Sj) определяет затраты (потери, проигрыш), обусловленные принятием решения X, и реализацией системой S возможного состояния Sj, то матрицу N(G,S) называют матрицей потерь или матрицей затрат.

Перейдем к рассмотрению конкретных критериев, наиболее широко используемых при принятии решений в условиях неопределенности.

Критерии Лапласа. Для обоснования этого критерия, широко используемого в задачах принятия решений в условиях неопределенности, воспользуемся следующими соображениями, отражающими основную суть принципа недостаточного обоснования".

Поскольку вероятности пребывания изучаемой системы S в каждом ее возможном состоянии Sj, j = 1, т, не известны, то отсутствует и необходимая информация для вывода о том, что эти вероятности различны. В противном случае имела бы место ситуация принятия решений в условиях риска. Поэтому мы можем предположить равные вероятности реализации любых возможных состояний системы S. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу принятия решении в условиях риска. Если матрица - матрица доходов, то выбирают решение обеспечивающее наибольший ожидаемый доход, т.е.

,

Если - матрица потерь, то выбирают решение обеспечивающее наименьшие ожидаемые потери, т.е.

,

Здесь учтено, что вероятности пребывания системы S в состояниях Sj, j = 1, m, одинаковы и равны 1/т. Сформулированный критерий называют критерием Лапласа.

Пример 1. Предприятие должно определить уровень предложения услуг таким образом, чтобы удовлетворить потребности клиентов в течение предстоящих праздников. По предварительным прогнозам число клиентов может принять одно из следующих значений:

= 200, = 250, = 300, = 350.

Для каждого из этих возможных значений существует наилучший с точки зрения возможных затрат уровень предложений и совокупность этих уровней образует множество G из четырех элементов. Отклонения от уровней , приводят к дополнительным затратам либо из-за неполного удовлетворения спроса, либо из-за превышения предложения над спросом. Матрица потерь в условных денежных единицах приведена ниже:

В данном случае m = N = 4, a ) -- потери при уровне предложений , и реализации состояний Sj.

Имеем

Таким образом,

и наилучшим уровнем предложения в соответствии с критерием Лапласа будет .

Минимаксный (максиминный) критерий. Этот критерий является наиболее „осторожным", поскольку его реализация предполагает выбор наилучшей из наихудших возможностей. Пусть - множество допустимых решений, а - множество возможных состояний изучаемой системы. Если v{Xi,Sj) -- потери „лица, принимающего решения", при выборе им решения и реализации системой S возможного состояния Sj, то наибольшие потери независимо от возможных состояний будут равны:

.

По минимаксному критерию выбирают решение , обеспечивающее:

Аналогично, если v(X_i,Sj) - выигрыш, то по максиминному критерию выбирают решение , обеспечивающее

Пример 2. Вернемся к примеру 1. Матрица затрат имеет вид:

Так как в этом случае v(Xi,Sj) отражают затраты, то воспользуемся минимаксным критерием.

Для каждого допустимого решения X, найдем максимальные затраты:

.

Затем из полученных значений найдем минимальное:

Итак, оптимальным является решение.

Критерий Сэвиджа.

Минимаксный (максиминный) критерий является настолько „пессимистичным", что может приводить к нелогичным выводам. Необходимость использования менее „пессимистичного" критерия обычно иллюстрируют задачей принятия решений в условиях неопределенности с матрицей потерь

Применение минимаксного критерия приводит к выбору решения :

т.е. к потерям в 10000 при реализации системой одного из возможных состояний S₁ или S₂. Но интуитивно напрашивается вывод о целесообразности выбора решения , поскольку не исключается возможность реализации состояния S₂ и v(X_i,S_j)=90.

Для устранения отмеченного недостатка минимаксного (максиминного) критерия вместо величины v(Xi,Sj), характеризующей потери (выигрыши) при принятии решения X_i в реализации возможного состояния Sj, введем величину:

Фактически величина r(Xi,Sj) выражает сожаление „лица, принимающего решения", по поводу того, что оно не выбрало наилучшее решение относительно состояния Sj изучаемой системы. Поэтому матрицу

называют матрицей сожалений, а минимаксный (максиминный) критерий относительно этой матрицы - критерием Сэвиджа.

При использовании этого критерия:

а) если v(Xi,Sj) - затраты, то решение выбирают из условия:

б) если - доход, то решение выбирают из условия:

В частности, в рассмотренном выше примере, решение которого с использованием минимаксного критерия приводило к нелогичному выводу,

матрица сожалений имеет вид:

.

Таким образом,

]

и по критерию Сэвиджа оптимальным является решение . Заметим, что этот же результат мы получим и при использовании критерия Лапласа.

Пример. Вернемся к предыдущему примеру. Матрица затрат имеет вид:

Запишем матрицу сожалений:

Отсюда получаем

и оптимальным по критерию Сэвиджа является решение , которое отличается от оптимального решения по минимаксному критерию и совпадает с оптимальным решением по критерию Лапласа.

Размещено на Allbest.ru