Эконометрические исследования математической модели зависимости доходов международных перевозок от длины дороги

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агенство железнодорожного транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

петербургский государственный университет путей сообщения

Кафедра «Экономика и менеджмент в строительстве»

Курсовая работа

по дисциплине «ЭКОНОМЕТРИКА»

Тема работы:

«Эконометрические исследования математической модели зависимости доходов международных перевозок от длины дороги»

Выполнила:

Студентка учебной группы ЭББ - 106

И. И. Галдобина

Проверил: Руководитель доцент

А.И. БОБРОВ

Санкт-Петербург 2013



Задание

Цель работы

Целью данной курсовой работы является освоение и отработка навыков использования основных экономико-математических моделей и стандартных компьютерных процедур, их анализа в процессе решения прикладной задачи статистического анализа доходов от международных перевозок в общих доходах от длины дороги.

Этапы и требования к выполнению разделов работы

1. Подготовительный - подбор и ознакомление с литературой, обоснование актуальности исследования, изучение подходов к решению поставленной задачи.

2. Моделирования - обоснование применения методов математического моделирования решения задачи; осмысливаются все понятия и зависимости, на которых базируется модель, преимущества выбранного метода по сравнению с другими и производится описание метода.

3. Алгоритмизации и программирования - изучение алгоритмов и программ расчетов на ПЭВМ. При выборе программного обеспечения можно остановиться на прикладных пакетах программ или создать собственный программный продукт.

4. Расчетный - применение алгоритма и программы для вычислений статистических параметров и коэффициентов функций регрессии.

5. Анализ - оценка погрешности вычислений и раскрытие сущности полученных результатов, их взаимосвязи с исходными данными. Для проведения анализа рекомендуется использовать различные виды наглядности: схемы, графики, диаграммы, таблицы и т. п.

6. Заключительный - оформление расчетно-пояснительной записки и подготовка к защите.

Основные задачи

Рассчитать методом наименьших квадратов параметры уравнений линейной и нелинейной парной регрессии.

Оценить тесноту связи доходов от международных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации.

Выполнить дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий.

Провести сравнительную оценку силы связи фактора (длина дороги) с результатом (доходы от международных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности.

Оценить с помощью ошибки аппроксимации качество уравнения регрессии доходов от международных перевозок от длины дороги.

Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов линейного регрессионного моделирования.

Рассчитать прогнозное значение доходов от международных перевозок в предположении увеличения значения длины дороги на 10% от ее среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости 0,05.

Исходные данные

Для разработки математической модели используются опытные данные, представленные в табл. 1.1.

№ п/п	Наименование дороги	Место управления дороги	Длина, км.	Грузооборот, млн. ткм.
1	Октябрьсая	Санкт - Петербург	10147	90567
2	Московская	Москва	9257	70730
3	Свердловская	Екатеринбург	7167	101199
4	Северо-Кавказская	Ростов- на - Дону	6579	35852
5	Западно-Сибирская	Новосибирск	6061	128356
6	Дальневосточная	Хабаровск	6111	64318
7	Северная	Ярославль	6004	91487
8	Горьковская	Нижний Новгород	5554	75056
9	Куйбышевская	Самара	4846	75860
10	Южно-Уральская	Челябинск	4887	91266
11	Юго-Восточная	Воронеж	4308	49198
12	Приволжская	Саратов	4283	37914
13	Восточно-Сибирская	Иркутск	3824	62433
14	Забайкальская	Чита	3487	78769
15	Красноярская	Красноярск	3161	46420
16	Сахалинская	Южно-Сахалинс	1037	505
17	Калининградская	Калининград	662	1261

Таблица 1.1

Представить

Пояснительную записку, которая должна содержать: титульный лист, оглавление и введение; краткие теоретические сведения по моделированию; необходимые аналитические зависимости и расчетные формулы; схемы алгоритмов и программы решения задач; результаты расчетов, оформленные в виде таблиц, диаграмм и графиков; анализ полученных результатов; список литературы.



Оглавление

Введение

1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

2. Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

3. Оценка тесноты связи доходов от международных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации

4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

5. Сравнительная оценка силы связи длины дороги с доходами от международных перевозок с помощью среднего коэффициента эластичности

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

7. Расчет прогнозного значения доходов от международных перевозок по линейной модели при увеличении длины дороги

8. Реализация решенных задач на компьютере

8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Выводы



Введение

В данной курсовой работе стоит задача обосновать математическую модель доходов международных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета являются реальные значения доходов международных перевозок в общих доходах и длины дороги (всего 16 железных дорог). Для обоснования модели в курсовой работе рассматриваются линейные и нелинейные парные функции регрессии. В работе на основе полученных функций регрессии выполнен выбор математической модели, позволяющей прогнозировать доходы от международных перевозок из числа общих доходов в зависимости от увеличения длины железной дороги.

Доходы железнодорожного транспорта подразделяются на доходы от обычных видов деятельности и прочие доходы. Доходами от обычных видов деятельности являются следующие виды поступлений, связанных с оказанием услуг, выполнением работ, а также от продажи продукции и товаров сторонним организациям:

- грузовые перевозки;

- услуги инфраструктуры;

- предоставление услуг локомотивной тяги (в пассажирском и грузовом движении);

- пассажирские перевозки в дальнем следовании и пригородном сообщении;

- ремонт подвижного состава;

- строительство объектов инфраструктуры;

- научно-исследовательские и опытно-конструкторские работы;

- услуги социальной сферы;

- прочие виды деятельности.

Доходы от грузовых перевозок включают плату за перевозку груза, грузобагажа, дополнительные сборы за перевозку груза и прочие доходы.

Доходы от пассажирских перевозок состоят из провозной платы, различных видов доплат за условия перевозок, а также за перевозку багажа и почты.

Местные доходы станций - это плата за различные услуги на пассажирских станциях, которые оказываются пассажирам.

Доходы от подсобно-вспомогательной деятельности - это поступления от реализации продукции промышленных предприятий и от услуг непромышленных организаций.

Местные доходы железной дороги состоят из штрафов и сборов с грузоотправителей и грузополучателей за нарушение правил и условий перевозок.

К прочим доходам относятся операционные, внереализационные и чрезвычайные доходы.

Кроме того, тарифы на пассажирские и грузовые перевозки играют определяющую роль в формировании доходов железных дорог, а также оказывают значительное влияние на расходы потребителей услуг железных дорог.

Формирование тарифной политики, несомненно, должно проводиться с учетом интересов потребителей услуг железных дорог и интересов самой железнодорожной отрасли.

Средства, выручаемые от перевозок, в первую очередь направляются на компенсацию расходов отрасли. Ведь для того чтобы обеспечить перевозку грузов и пассажиров, необходимы средства на закупку сырья, материалов и оборудования.

Кроме того, железнодорожный транспорт остро нуждается в обновлении материально-технической базы: существует нехватка средств на ремонт путей и вокзалов, обновление вагонного парка, модернизацию оборудования.

Реализация тарифной политики, направленной на поддержку российских производителей и защиту интересов пассажиров, является задачей ОАО «РЖД».

Планирование и учет доходов в ОАО «РЖД» осуществляется в соответствии с Номенклатурой доходов и расходов по видам деятельности ОАО «РЖД». В классификаторе доходов Номенклатуры приведена группировка статей доходов по видам доходов, видам деятельности и подгруппам по видам деятельности.

Доходы от обычных видов деятельности представлены в таблице:

Удельный вес различных групп доходов

Доходы от обычных видов деятельности	в % к итогу
Грузовые перевозки	80,30%
Пассажирские перевозки в дальнем следовании	9,20%
Пассажирские перевозки в пригородном сообщении	1,20%
Предоставление услуг инфраструктуры	0,60%
Предоставление услуг локомотивной тяги	0,20%
Ремонт подвижного состава	0,70%
Строительство объектов инфраструктуры	0,40%
Предоставление услуг социальной сферы	0,20%
Прочие виды деятельности	7,20%

Как видно из приведенных данных, основная часть доходов приходится на доходы от перевозок. Это определяет их ведущую роль в хозяйственной деятельности железнодорожного транспорта.

Доходы от перевозок складываются из провозных плат, получаемых за перевозку грузов и пассажиров в соответствии с действующими тарифами.

Доходы являются источником покрытия расходов компании и образования прибыли, поэтому их планирование и учет занимает ведущее место в финансовом управлении.

В 2011 г стоимостной объем рынка железнодорожных пассажирских перевозок в России вырос на 18,1% до 182,8 млрд. руб. Росту выручки рынка способствовали рост пассажирооборота и тарифов на перевозки.



1. Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

1.1 Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

y_x = a + b · x,

где y_x - результативный признак, характеризующий теоретический доход от международных перевозок; x - фактор (длина, км);

a, b - параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (доход от международных перевозок) y от теоретических y_xбудет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 16 представлены в табл. 1.1



Таблица 1.1

х*у	х^2	y^2		(yi - yxi)
918983349	102961609	8202381489	108916,969	-18349,96903
654747610	85692049	5002732900	101071,3115	-30341,3115
725293233	51365889	10241237601	82647,23933	18551,76067
235870308	43283241	1285365904	77463,81615	-41611,81615
777965716	36735721	16475262736	72897,46716	55458,53284
393047298	37344321	4136805124	73338,23444	-9020,234441
549287948	36048016	8369871169	72394,99247	19092,00753
416861024	30846916	5633403136	68428,08698	6627,913023
367617560	23483716	5754739600	62186,82234	13673,17766
446016942	23882769	8329482756	62548,2515	28717,7485
211944984	18558864	2420443204	57444,16644	-8246,166439
162385662	18344089	1437471396	57223,7828	-19309,7828
238743792	14622976	3897879489	53177,5392	9255,460801
274667503	12159169	6204555361	50206,76775	28562,23225
146733620	9991921	2154816400	47332,96511	-912,9651079
523685	1075369	255025	28609,17119	-28104,17119
834782	438244	1590121	25303,41661	-24042,41661

С учетом обозначений при n= 17

= (y₁ +y₂ +…+ y₁₆)/16;= (x₁ +x₂ +…+x₁₆)/17;

= (y₁x₁ +y₂x₂ + … +y₁₇x₁₇)/17;

= (x₁²+x₂²+ …+x₁₇)/17; S_x² = ².

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ()/S_x² = (383619119-64775,941 5139,706 )/ (2397,95)²=8,815;

a = - b = 937 - 0, 183 * 5361, 13 = - 44, 1538

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью доходов от международных перевозок в зависимости от длины дороги, примет вид:

y_x = -44, 154 + 0, 183*x.

Рис. 1.1

На Рис. 1.1 представлены опытные данные доходов от международных перевозок и длина дороги, а также выполнено построение линейной парной регрессии.

Расчетное значение коэффициента корреляции r_xy=0, 837 близкое к 1 и расположение опытных данных рядом друг с другом, свидетельствуют о наличии корреляционной связи между длиной дороги и доходов от международных перевозок.

Построенная функция регрессии дает возможность рассчитывать прогнозные значения доходов от международных перевозок () при заданном значении длины дороги (x). Например, при увеличении длины дороги, средний ожидаемый объем доходов от международных перевозок тоже увеличивается.

1.2 Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lgy = lga + blgx.

Обозначим через Y = lgy; X = lgx; A = lga . Тогда уравнение примет вид:

Y = A + bX.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл.1.2

Таблица 1.2

Расчет параметров степенной парной регрессии
X	Y	X*Y	X^2	Y^2		(yi - yxi)	(yi - yxi)^2
4,01	3,29	13,17	16,05	10,81	1907,68	32,32	1044,47	1,67
3,96	3,32	13,17	15,70	11,04	1694,14	409,86	167988,83	19,48
3,86	3,03	11,70	14,86	9,20	1265,02	-184,02	33862,56	17,02
3,81	2,79	10,65	14,54	7,80	1126,92	-505,92	255954,78	81,47
3,78	2,93	11,09	14,31	8,59	1037,74	-184,74	34130,48	21,66
3,78	2,97	11,23	14,29	8,82	1031,68	-99,68	9935,75	10,70
3,78	2,77	10,47	14,28	7,67	1026,22	-437,22	191164,29	74,23
3,74	2,99	11,16	13,97	8,92	920,07	48,93	2394,18	5,05
3,69	3,09	11,37	13,58	9,52	796,7	421,3	177496,16	34,59
3,68	2,89	10,65	13,56	8,37	789,13	-6,13	37,54	0,78
3,63	2,86	10,40	13,21	8,19	693,28	33,72	1137,04	4,64
3,62	3,00	10,87	13,13	9,01	673,36	328,64	108004,44	32,80
3,58	2,96	10,60	12,83	8,76	602,22	307,78	94727,89	33,82
3,53	2,87	10,12	12,48	8,21	525,42	207,58	43088,81	28,32
3,50	2,67	9,36	12,25	7,15	480,9	-8,9	79,16	1,89
2,82	1,76	4,97	7,96	3,11	75,83	-17,83	317,92	30,74
58,78	46,2	170,98	217	135,17	14646,3	345,7	1121364,3	78,12
3,67	2,89	10,69	13,56	8,45	-	-	70085,27
0,07	0,11	-	-	-	-	-	-
0,26	0,33	-	-	-	-	-	-
0,92	-	-	-	-	-	-	-
0,08	-	-	-	-	-	-	-

Тогда

B= (-)/S_x² = (10, 69 - 2, 89 · 3, 67)/ (0, 26)² = 1, 1815;

C = - b · = 2, 89 - 1, 1815 ·3, 67 = -1, 453.

Следовательно, a=10^C, a=10^-1,453, a= 0, 03523;

b = 0, 08/0,07=1, 1815

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Y = -1, 453 + 1, 1815·X.

Выполнив его потенцирование, получим:

y_x = 10^-1,453x^1,1815=0,03523x^1,1815

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение y_x. Эти значения приведены в табл. 1.2

На Рис. 1.2 представлены опытные значения доходов от международных перевозок, а также выполнено построение степенной парной регрессии.

Рис. 1.2

Расчетное значение коэффициента корреляции r_xy=0,92 близкое к 1 и расположение опытных данных рядом друг с другом, свидетельствуют о наличии корреляционной связи между длиной дороги и доходов от перевозок.

1.3 Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

y_x= a·b^x

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии.После логарифмирования получим следующее выражение:

lgy_х =lga + xlgb.

Введя обозначения переменных и констант

Y = lgy_х, A = lga, B = lgb,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Y = A + Bx

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 1.3

Таблица1.3

Расчет параметров показательной парной регрессии
x	Y	Y*x	x^2	Y^2		(yi - yxi)	(yi - yxi)^2
10147	3,29	33361,32	102961609	10,81	2773,57	-833,57	694832,02
9177	3,32	30495,59	84217329	11,04	2140,01	-36,01	1296,58
7167	3,03	21743,43	51365889	9,20	1250,38	-169,38	28689,41
6499	2,79	18152,30	42237001	7,80	1045,88	-424,88	180525,07
6061	2,93	17764,48	36735721	8,59	930,31	-77,31	5977,05
6031	2,97	17908,55	36372961	8,82	922,88	9,12	83,18
6004	2,77	16631,77	36048016	7,67	916,24	-327,24	107087,42
5474	2,99	16347,14	29964676	8,92	795,2	173,8	30207,98
4846	3,09	14953,05	23483716	9,52	672,29	545,71	297795,06
4807	2,89	13910,31	23107249	8,37	665,32	117,68	13848,4
4308	2,86	12327,49	18558864	8,19	582,23	144,77	20958,56
4203	3,00	12612,65	17665209	9,01	566,11	435,89	189997,74
3824	2,96	11315,37	14622976	8,76	511,56	398,44	158752,51
3407	2,87	9761,41	11607649	8,21	457,6	275,4	75847,3
3161	2,67	8452,33	9991921	7,15	428,47	43,53	1894,88
662	1,76	1167,39	438244	3,11	219,67	-161,67	26137,17
85778	46,2	256904,58	539379030	135,17	14877,72	114,28	1833930,33
5361,13	2,89	16056,54	33711189,38	8,45	-	-	114620,65
4969528,11	0,11	-	-	-	-	-	-
2229,24	0,33	-	-	-	-	-	-

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B= / S_x² = (16056, 54 - 2, 89 * 5361, 13)/(2229, 24)² = 0,000116;

C = - B = 2, 89 - 0, 000116 * 5361, 13 = 2, 2649.

Следовательно, a=10^C, a=10^2,2649, a=184, 0383;

b = 10^0,000116, b=1, 00027.

Таким образом, получено уравнение

Y = 2, 2649 + 0, 000116x,

или после потенцирования

y_x = 10^2,264910^0,000116x= 184, 04* (1, 0003) ^x.

На Рис. 1.3 представлены опытные данные доходов от международных перевозок и длины дороги, а также выполнено построение показательной парной регрессии.

Рис. 1.3



На рис. 1.4 выполнено построение функций регрессии

Рис. 1.4



2. Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где - общая сумма квадратов отклонений;

- объясненная (факторная) сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Результаты расчетов сведены в табл. 2.1

Номер п. п.	Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий
		yi -	(yi - )2		yxi-	(yxi- )2	yi - yxi	(yi - yxi)2
1	1940	1003	1006009	1812,88	875,88	767158,27	127,12	16160,58
2	2104	1167	1361889	1635,35	698,35	487697,52	468,65	219629,6
3	1081	144	20736	1267,5	330,5	109228,92	-186,5	34781,5
4	621	-316	99856	1145,25	208,25	43366,2	-524,25	274833,38
5	853	-84	7056	1065,09	128,09	16406,02	-212,09	44980,47
6	932	-5	25	1059,6	122,6	15029,68	-127,6	16280,64
7	589	-348	121104	1054,65	117,65	13842,53	-465,65	216833,89
8	969	32	1024	957,66	20,66	426,73	11,34	128,65
9	1218	281	78961	842,73	-94,27	8887,66	375,27	140830,87
10	783	-154	23716	835,59	-101,41	10284,37	-52,59	2765,51
11	727	-210	44100	744,26	-192,74	37146,86	-17,26	298,07
12	1002	65	4225	725,05	-211,95	44923,45	276,95	76702,15
13	910	-27	729	655,69	-281,31	79137,19	254,31	64675,27
14	733	-204	41616	579,37	-357,63	127898,94	153,63	23602,06
15	472	-465	216225	534,35	-402,65	162127,61	-62,35	3887,43
16	58	-879	772641	77	-860	739598,92	-19	361,02
Сумма	14992	-	3799912	14992	-	2663160,89	-	1136751,11

На основании выполненных расчетов имеем:

3799912 = 2663160,89 + 1136751,11, следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b увеличить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: y_x = -44,1538 + 0,2013·xи приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.2).

Таблица 2.2

Номер п. п.	Дисперсионный анализ линейной и степенной регрессий, при b=0, 2013
		yi -	(yi - )2		yxi-	(yxi- )2	yi - yxi	(yi - yxi)2
1	1940	1003	1006009	1998,58	1061,58	1126949,26	-58,58	3431,46
2	2104	1167	1361889	1803,30	866,30	750482,89	300,70	90417,99
3	1081	144	20736	1398,66	461,66	213132,88	-317,66	100909,89
4	621	-316	99856	1264,19	327,19	107050,33	-643,19	413687,54
5	853	-84	7056	1176,01	239,01	57125,76	-323,01	104335,43
6	932	-5	25	1169,97	232,97	54275,27	-237,97	56629,98
7	589	-348	121104	1164,54	227,54	51772,21	-575,54	331240,61
8	969	32	1024	1057,84	120,84	14601,99	-88,84	7892,31
9	1218	281	78961	931,41	-5,59	31,21	286,59	82131,80
10	783	-154	23716	923,56	-13,44	180,57	-140,56	19757,76
11	727	-210	44100	823,11	-113,89	12971,70	-96,11	9236,49
12	1002	65	4225	801,97	-135,03	18233,46	200,03	40012,53
13	910	-27	729	725,67	-211,33	44660,07	184,33	33977,29
14	733	-204	41616	641,72	-295,28	87188,63	91,28	8331,53
15	472	-465	216225	592,20	-344,80	118887,34	-120,20	14447,94
16	58	-879	772641	89,12	-847,88	718907,16	-31,12	968,21
Сумма	14992	-	3799912	16561,85	-	3376450,71	-	1317408,75



Из таблицы следует:

1136751,11<1317408,75

и 3799912 ? 3376450,71 + 1317408,75,

т.е..



3. Оценка тесноты связи доходов от международных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

r_xy= b(S_x/ S_y) = M_xy/(S_x / S_y) = ( - )/ S_xS_y.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах -1 ? r_xy? 1. Если коэффициент регрессии b> 0, то 0 ? r_xy? 1, и наоборот, при b< 0 -1 ? r_xy? 0.

Используя первое выражение для r_xy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy=b(S_x/S_y) = 0,183* (2229,24/487,33) = 0,837.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением длины дороги доходы от перевозок тоже увеличивается.

Так же учитывая, что значение коэффициента корреляции находится в промежутке от 0,9 до 1,0 говорит о том, что связь сильная, т.е. длина дороги зависит в большей степени, нежели от других факторов.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента r_xy², который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) доходов от перевозокy_x, объясняемую зависимостью от длины дорогиx, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1-r_xy² характеризует долю дисперсии доходов от перевозокy, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

r_yx² = (0,837)² = 0,701.

Следовательно, изменение результата (доходов от международных перевозок в общих доходах) на 70,1% объясняется изменением фактора (длины дороги).

В отличие от линейной регрессии нелинейная регрессия характеризуется не коэффициентом корреляции, а индексом корреляции R_xyи индексом детерминации R_xy²:

R_xy = (1 - (S_ост²/S_y² )^1/2,

гдеS_ост² = ( (y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² + ... + (y₁₆ - y_x16)² )/ n;

S_y² = ( (y₁ - )² + (y₂ - )² + ... + (y₁₆ - )² )/ n.

Величина данного показателя находится в пределах 0 ? R_xy? 1, при этом чем она ближе к единице, тем теснее связь между доходами от перевозок и длины дороги, тем более надежное уравнение регрессии.

Расчеты показателей степени связи между доходами от перевозок и длины дороги при степенной модели показывают, что она несколько лучше линейной модели.

Аналогичная оценка для показательной функции регрессии находится науровне оценки линейной регрессии, но несколько хуже степенной.



4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

Из графиков и приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение доходов от перевозокy( результативный признак) отличается от теоретического значения y_x, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака (y - y_x) для каждого опыта представляет собой ошибку аппроксимации функции, связывающей доходы от перевозок и длину дороги. В данном случае число таких опытов равно семнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а абсолютные значения разностей опытного и теоретического результативных признаков, отнесенные к опытному признаку и выраженные в процентах, то есть:

А_i= | (y_i-y_xi) / y_i|100% .

Таблица 4.1

Номер п. п.	Линейная регрессия	Степенная регрессия	Показательная регрессия
	(yi - yxi)		(yi -yxi)		(yi -yxi)
1	127,124	6,55	32,32	1,67	-833,57	0,67
2	468,647	22,27	409,86	19,48	-36,01	0,00
3	-186,498	17,25	-184,02	17,02	-169,38	0,06
4	-524,246	84,42	-505,92	81,47	-424,88	0,43
5	-212,086	24,86	-184,74	21,66	-77,31	0,02
6	-127,596	13,69	-99,68	10,70	9,12	0,00
7	-465,654	79,06	-437,22	74,23	-327,24	0,30
8	11,342	1,17	48,93	5,05	173,80	0,10
9	375,274	30,81	421,30	34,59	545,71	1,27
10	-52,588	6,72	-6,13	0,78	117,68	0,06
11	-17,265	2,37	33,72	4,64	144,77	0,11
12	276,952	27,64	328,64	32,80	435,89	1,08
13	254,313	27,95	307,78	33,82	398,44	1,09
14	153,630	20,96	207,58	28,32	275,40	0,65
15	-62,349	13,21	-8,90	1,89	43,53	0,02
16	-19,001	32,76	-17,83	30,74	-161,67	0,34
Сумма	0	136,99	345,70	78,12	114,28	6,19
Ср.знач.	0	8,56	21,61	4,88	7,14	0,39

Оценка качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации - средняя арифметическая А_i:

А = (А₁ +А₂ + … + А₁₆) / 16.

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функции связи между доходами от перевозок и длиной дороги:

А = 136,99 / 16 = 8,56 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 78,12/16 = 4,88% и для показательной функции: А = 6,19/16 = 0,39%.

Их анализ показывает, что ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии. Ниже приводятся графики ошибки аппроксимации линейной, степенной и показательной регрессий.



5. Сравнительная оценка силы связи длины дороги с доходами от международных перевозок с помощью среднего коэффициента эластичности

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится доход от перевозок y_x от своей средней величины при изменении длины дороги x на 1% от своего значения. Для произвольной величины x он может быть вычислен по следующей формуле:

Э = y_x' (x)· / ?y_x.

С учетом приведенной формулы коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

y_x = -44,154 + 0,183x

примет следующий вид:

Э = y_x' (x) · / ?y_x= b · / (a + b) = 0,183 * 5361,13 / (-44,1538 + 0,183 * 5361,13) = 1,05

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии

y_x = 0,0352x^1,1815вычисляют по соотношению:

Э = y_x' (x) · / ?y_x= a · b · x^b-1· (x/ a · x^b) = b = 1,183

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии

y_x = 184,04* (1,0003) ^x вычисляют по соотношению:

Э = y_x' (x) · / ?y_x= * Ln (b)=5361,13*Ln(1,0003)=1,43

Таким образом, анализ разработанных математических моделей показывает, что изменение 1% длины приводит к увеличению на 1,05….1,43% доходов от перевозок в общих доходах. При этом по линейной модели это увеличение составляет 1,05%, по степенной функции регрессии - 1,183%, по показательной функции регрессии - 1,43%.



6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

регрессия корреляция доход перевозка

Оценку статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H₀, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияния на результат y, то есть длина железной дороги не оказывает влияния на доходы от перевозок. Альтернативная гипотеза H₁ будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

F_факт = S_факт²/ S_ост²,

где S_факт²- факторная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_факт² = ((y_x1- )²+ (y_x2 - )² + ...+ (y_x16 - )²) / 1;

S_факт² = 2663160,9

S_ост² - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

S_ост² = ( (y₁ - y_x1)² + (y₂ - y_x2)² + ...+ (y₁₆ - y_x16)² )/ n - 2.

S_ост² = 81196,51

Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная выборочные дисперсии не отличаются друг от друга. Для опровержения нулевой гипотезы H₀ необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное F_табл значение F-критерия Фишера - это максимальная величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б, который примем равным 0,05.

Если F_табл<F_факт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если F_табл>F_факт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая незначимость и ненадежность уравнения регрессии.

По таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости б = 0,05 и степенях свободы к₁ = 1, к₂ = 16-2=14 получаем F_табл = 4,6. Выполнив расчет, получим F_факт = 2663160,9 / 81196,51 = 32,79.

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, чтоF_табл<F_факт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.



7. Расчет прогнозного значения доходов от международных перевозок по линейной модели при увеличении длины дороги

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу, следует рассчитать прогнозное значение доходов от перевозок, если прогнозное значение длины железной дороги увеличится на 10% от среднего значения всех дорог. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости, равного 0,05.

Если прогнозное значение длины дороги составитx_p = 1,1 * = 1,1 * 5361,13=5897,24, то прогнозное точечное значение доходов от международных перевозок можно вычислить по соотношению:

y_xp = -44,154 + 0,183 · x_p= -44,154 + 0,183 · 5897,24= 1035,115

Для определения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

m_yp= S_ост·(1 + 1/16 + ( x_p-)²/( (x₁ - )² + (x₂ - )² +...+ (x₁₆-

- )²))^1/2 = 1066,185·(1 + 1/16 + (5897,24 - 5361,13)² / ( (10147 - 5361,13)² + (9177 - 5361,13)² +…+ (662 - 5361,13)²))^1/2 = 64,102

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

?_yp = t_табл · m_yp = 2,13·64,102 = 136,54.

Здесь t_табл- табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n- 2 = 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза доходов от перевозок при прогнозируемом увеличении длины дороги на 10% можно вычислить по формулам:

y_xpmin = y_xp - ?_yp = 1035,115 - 136,54 = 898,58;

y_xpmax=y_xp + ?_yp = 1035,115 + 136,54 = 1171,66.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,304.



8. Реализация решенных задач на компьютере

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel.

8.1 Реализация процедуры «ЛИНЕЙН»

Статистическая функция ЛИНЕЙН позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

y_x= a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

Значение коэффициента b	значение коэффициента а
Среднеквадратическое отклонениеb		среднеквадратическое
коэффициент детерминации	среднеквадратическое	отклонениеy
F-статистика		число степеней свободы
регрессионная сумма квадратов	остаточная сумма квадратов

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1) подготовку исходных данных;

2) выделение области пустых ячеек 5 2 для вывода результатов регрессионной статистики;

3) активизацию Мастера функций одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ;

4) в окне КАТЕГОРИЯ выбрать СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ - ЛИНЕЙН; затем щелкнуть по кнопке ОК;

5) заполнить аргументы функции;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Для раскрытия всей таблицы необходимо нажать на клавишу F2, затем нажать комбинацию клавишей CTRL + SHIFT + ENTER.

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели доходов от международных перевозок в зависимости от длины 16дорог.

Значение коэффициента b	0,18301	-44,1538	Значение коэффициента a
Среднеквадратическое отклонение b	0,03196	185,5403	Среднеквадратическое отклонение a
Коэффициент детерминации	0,70085	284,95	Среднеквадратическое отклонение b
F-статистика	32,799	14	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	2663161	1136751	Остаточная сумма квадратов

8.2 Реализация процедуры «Анализ данных»

Для активизации надстройки «Пакет анализа» необходимо открыть меню «Сервис» и щелкнуть по строке «Надстройки…». В открывшемся меню следует отметить строку «Пакет анализа» и подтвердить выбор кнопкой «ОК».

Использование пакета анализа осуществляется выбором строки «Анализ данных…» в строке «Сервис» после выделения любой ячейки рабочего листа. Построение парной линейной регрессии выполняется с помощью инструмента «Регрессия» пакета анализа.

Инструмент анализа «Регрессия» пакета анализа данных Excel позволяет по введенным статистическим данным получить значения выборочных коэффициентов корреляции и детерминации, стандартного отклонения; разложения общей суммы квадратов на объясненную и остаточную, расчетное значение -статистики и уровень значимости на котором расчетная -статистика равняется соответствующей табличной величине; значения регрессионных параметров, их стандартные ошибки, и -статистики; таблицу теоретических значений и величины их отклонений от опытных данных; график статистических данных с линией регрессии и график остатков; и другие статистические оценки.

Вызов опции «Регрессия» осуществляется через надстройку «Анализ данных…» меню «Сервис».

Вызов надстройки «Анализ данных…» приведет к появлению списка инструментов анализа. В этом списке необходимо выбрать «Регрессия» и подтвердить выбор нажатием кнопки «ОК».

Интерфейс инструмента анализа «Регрессия» представляет собой диалоговое окно, в верхней части которого следует ввести статистические данные результирующей переменной в поле «Входной интервал Y» и данные фактора в поле «Входной интервал X». При необходимости построения уравнения регрессии вида нужно задать параметр «Константа-ноль». Параметр «Уровень надежности» в процентах определяет величину доверительной вероятности . В качестве выходного интервала удобно задать адрес ячейки непосредственно рядом с таблицей исходных данных. Рекомендует активизировать параметры «Остатки» (таблица теоретических значений результирующего показателя и соответствующие значения остатков), «График остатков» (график отклонений теоретических значений результирующего показателя от его опытных значений) и «График подбора» (график статистических данных с соответствующими теоретическими величинами, вычисленными по уравнению регрессии).

После подтверждения настроек нажатием кнопки «ОК» итоги регрессионного анализа высветятся в заданной области.

Ниже приведены пояснения к итогам расчетов инструмента анализа «Регрессия».

1. Регрессионная статистика:

Множественный R - выборочный коэффициент корреляции;

R-квадрат - выборочный коэффициент детерминации;

Нормированный R-квадрат - выборочный скорректированный на объем выборки коэффициент детерминации;

Стандартная ошибка - стандартная ошибка результирующей переменной;

Наблюдения - объем выборки.

2. Дисперсионный анализ:

Регрессия - строка таблицы, соответствующая объясненной сумме квадратов отклонений;

Остаток - строка таблицы, соответствующая остаточной сумме квадратов отклонений;

Итого - строка таблицы, соответствующая общей сумме квадратов отклонений;

df - столбец значений числа степеней свободы;

SS - столбец значений сумм квадратов отклонений;

MS - столбец значений сумм квадратов отклонений отнесенных к числу степеней свободы;

F - расчетное значение -статистики;

Значимость F- значение уровня статистической значимости, при котором табличное значение -статистики с числом степеней свободы 1 и будет равно расчетной -статистике (если это значение меньше заданного уровня значимости, то есть основание отвергнуть гипотезу о статистической ненадежности уравнения регрессии).

Y-пересечение - строка таблицы соответствующая свободному регрессионному коэффициенту;

Переменная X1 - строка таблицы соответствующая регрессионному коэффициенту при переменной ;

Коэффициенты - столбец значений регрессионных параметров;

Стандартная ошибка - столбец значений выборочных среднеквадратичных отклонений регрессионных параметров;

t-статистика - столбец расчетных значений -статистик регрессионных параметров;

3. Вывод остатков:

Наблюдения- номера наблюдений по порядку;

Предсказанное Y -теоретические значения результирующего показателя, соответствующие опытным величинам;

Остатки - отклонения (разность) теоретических значений результирующего показателя и соответствующих опытных значений.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,837166676
R-квадрат	0,700848044
Нормированный R-квадрат	0,679480047
Стандартная ошибка	284,950009
Наблюдения	16
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	2663160,893	2663160,893	32,79895861	5,23096E-05
Остаток	14	1136751,107	81196,50764
Итого	15	3799912
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-44,15375144	185,5402535	-0,237973974
Переменная X 1	0,183012661	0,031955904	5,727037507
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	1812,875718	127,1242817
2	1635,353437	468,6465628
3	1267,497989	-186,4979889
4	1145,245531	-524,2455315
5	1065,085986	-212,085986
6	1059,595606	-127,5956062
7	1054,654264	-465,6542643
8	957,6575541	11,34244591
9	842,7256031	375,2743969
10	835,5881093	-52,5881093
11	744,2647915	-17,26479154
12	725,0484621	276,9515379
13	655,6866637	254,3133363
14	579,3703841	153,6296159
15	534,3492695	-62,34926953
16	77,00063005	-19,00063005



8.3 Реализация процедуры «ТРЕНД»

Построению линий регрессии и получению регрессионных зависимостей в Excel с помощью процедуры «ТРЕНД» предшествует создание точечных графиков исходных данных. Построение точечных графиков начинается с вызова мастера диаграммы, в окне которого на вкладке «Стандартные» выбирается тип «Точечная» и вид позволяющий сравнивать пары значений.

Построение графика заключается в добавлении нового ряда статистических данных. Для этого на вкладке «Ряд» «Мастера диаграммы» необходимо нажать кнопку «Добавить». Добавление нового ряда данных требует ввода его имени и значений фактора, и результирующего показателя соответственно в поля «Значения X» и «Значения Y».

На построенном графике следует щелкнуть правой кнопкой «мыши» по одной из точек графика и в появившемся меню выбрать «Добавить линию тренда». На вкладке «Тип» окна «Линия тренда» выбирается вид построения линии тренда «Линейная». Изменить название и использовать возможность отображения уравнения на диаграмме можно на вкладке «Параметры».

Рис 8.3

Выводы

1.В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели доходов от международных перевозок в зависимости от длины дороги. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения доходов от международных перевозок и длин 16 дорог, расположенных на территории РФ. Для выбора и обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.

2.Выполнена оценка тесноты связи доходов от международных перевозок и длины дороги с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между доходами от международных перевозок и длинами дорог показывают, что степенная модель несколько лучше линейной и показательной моделей.

3.Анализ ошибки аппроксимации функций регрессии позволяет заключить, что она находится в допустимых для практического использования пределах и средняя ее величина равна:

- для линейной функции: А = 136,99 / 16 = 8,56 %.

- для степенной функции: А = 78,12 / 16 = 4,88%

- для показательной функции: А = 6,19 / 16 = 0, 39%.

4.Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (длина дороги) с результатом (доходы от международных перевозок) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение 1% длины приводит к увеличению на 1,05….1,43% доходов от перевозок в общих доходах. При этом по линейной модели это увеличение составляет 1,05%, по степенной функции регрессии - 1,183%, по показательной функции регрессии - 1,43%.

5.Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что F_табл<F_факт,значит необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.

6.Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при достаточной надежности (вероятность 0,95) она достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,304

7.Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанным в курсовой работе алгоритмам (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Экономико-математические модели»), показало высокую степень их совпадения.



Список рекомендуемой литературы

1. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.1: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2005. - 40 с.

2. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.2: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2006. - 48 с.

3. Герасименко П.В. Специальные разделы высшей математики для экономических специальностей, ч.3: Учебное пособие - СПб.: Петербургский государственный университет, 2005. - 43 с.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: МГУ, 2001. - 368 с.

5. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 311 с.

6. Эконометрика: Учебник /Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

Размещено на Allbest.ru