Основы экономико-математического моделирования

Определение прибыли от реализации продукции с помощью симплексного метода. Исследование экономического смысла дополнительных переменных. Расчет стоимости доставки единицы груза из каждого пункта отправления. Анализ особенностей оптимального плана.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

Главная Коллекция "Otherreferats" Экономико-математическое моделирование Основы экономико-математического моделирования

Рубрика	Экономико-математическое моделирование
Вид	контрольная работа
Язык	русский
Дата добавления	15.05.2015
Размер файла	126,9 K

посмотреть текст работы

скачать работу можно здесь

полная информация о работе

весь список подобных работ

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа по дисциплине

«Экономико-математическое моделирование в АПК»

1. Задача линейного программирования

Предприятие планирует выпуск продукции I и II видов, на производство которых расходуется три вида сырья А, Ви С. Потребность a_iji-го вида сырья для производства каждой единицы j-го вида продукции, запас b_iсоответствующего вида сырья и прибыль c_j от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:

Виды сырья	Виды продукции	Запасы сырья
	I	II
A	a₁₁ = n	a₁₂ = 2	b₁ = mn +5n
B	a₂₁ = 1	a₂₂ = 1	b₂ = m + n +3
C	a₃₁ = 2	a₃₂ = m + 1	b₃ = mn + 4m +n + 4
прибыль	c₁ = m +2	c₂ = n + 2
план (ед.)	x₁	x₂

Симплекс-метод.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 7x₁ + 3x₂ при следующих условиях-ограничений.

x₁ + 2x₂?10

x₁ + x₂?9

2x₁ + 6x₂?30

x₁ + x₂?1

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₃. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₅. В 4-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x₆ со знаком минус.

1x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 10

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 9

2x₁ + 6x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 30

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅-1x₆ = 1

Введем искусственные переменные x: в 4-м равенстве вводим переменную x₇;

1x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 10

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 9

2x₁ + 6x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ = 30

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅-1x₆ + 1x₇ = 1

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = 7x₁+3x₂ - Mx₇ > max

За использование искусственных переменных, вводимых в целевую функцию, накладывается так называемый штраф величиной М, очень большое положительное число, которое обычно не задается.

Полученный базис называется искусственным, а метод решения называется методом искусственного базиса.

Причем искусственные переменные не имеют отношения к содержанию поставленной задачи, однако они позволяют построить стартовую точку, а процесс оптимизации вынуждает эти переменные принимать нулевые значения и обеспечить допустимость оптимального решения.

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x₇ = 1-x₁-x₂+x₆

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = 7x₁ + 3x₂ - M(1-x₁-x₂+x₆) > max

или

F(X) = (7+M)x₁+(3+M)x₂+(-M)x₆+(-M) > max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1	2	1	0	0	0	0
1	1	0	1	0	0	0
2	6	0	0	1	0	0
1	1	0	0	0	-1	1

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные переменные задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₃, x₄, x₅, x₇

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,10,9,30,0,1)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
x₃	10	1	2	1	0	0	0	0
x₄	9	1	1	0	1	0	0	0
x₅	30	2	6	0	0	1	0	0
x₇	1	1	1	0	0	0	-1	1
F(X0)	-M	-7-M	-3-M	0	0	0	M	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (10 : 1 , 9 : 1 , 30 : 2 , 1 : 1 ) = 1

Следовательно, 4-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	min
x₃	10	1	2	1	0	0	0	0	10
x₄	9	1	1	0	1	0	0	0	9
x₅	30	2	6	0	0	1	0	0	15
x₇	1	1	1	0	0	0	-1	1	1
F(X1)	-M	-7-M	-3-M	0	0	0	M	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₇ в план 1 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₇ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы.

B	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x ₅	x ₆	x ₇
10-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	2-(1 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(-1 * 1):1	0-(1 * 1):1
9-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	0-(0 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(-1 * 1):1	0-(1 * 1):1
30-(1 * 2):1	2-(1 * 2):1	6-(1 * 2):1	0-(0 * 2):1	0-(0 * 2):1	1-(0 * 2):1	0-(-1 * 2):1	0-(1 * 2):1
1 : 1	1 : 1	1 : 1	0 : 1	0 : 1	0 : 1	-1 : 1	1 : 1
(0)-(1 * (-7-M)):1	(-7-M)-(1 * (-7-M)):1	(-3-M)-(1 * (-7-M)):1	(0)-(0 * (-7-M)):1	(0)-(0 * (-7-M)):1	(0)-(0 * (-7-M)):1	(M)-(-1 * (-7-M)):1	(0)-(1 * (-7-M)):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
x₃	9	0	1	1	0	0	1	-1
x₄	8	0	0	0	1	0	1	-1
x₅	28	0	4	0	0	1	2	-2
x₁	1	1	1	0	0	0	-1	1
F(X1)	7	0	4	0	0	0	-7	7+M

Итерация 1.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₆, так как это наибольший коэффициент по модулю.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i6

и из них выберем наименьшее:

min (9 : 1 , 8 : 1 , 28 : 2 , - ) = 8

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇	min
x₃	9	0	1	1	0	0	1	-1	9
x₄	8	0	0	0	1	0	1	-1	8
x₅	28	0	4	0	0	1	2	-2	14
x₁	1	1	1	0	0	0	-1	1	-
F(X2)	7	0	4	0	0	0	-7	7+M	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₄ в план 2 войдет переменная x₆.

Строка, соответствующая переменной x₆ в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x₄ плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 2 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₆ плана 2 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x₆ и столбец x₆.

Все остальные элементы нового плана 2, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы.

B	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x ₅	x ₆	x ₇
9-(8 * 1):1	0-(0 * 1):1	1-(0 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(1 * 1):1	0-(0 * 1):1	1-(1 * 1):1	-1-(-1 * 1):1
8 : 1	0 : 1	0 : 1	0 : 1	1 : 1	0 : 1	1 : 1	-1 : 1
28-(8 * 2):1	0-(0 * 2):1	4-(0 * 2):1	0-(0 * 2):1	0-(1 * 2):1	1-(0 * 2):1	2-(1 * 2):1	-2-(-1 * 2):1
1-(8 * -1):1	1-(0 * -1):1	1-(0 * -1):1	0-(0 * -1):1	0-(1 * -1):1	0-(0 * -1):1	-1-(1 * -1):1	1-(-1 * -1):1
(7+M)-(8 * (-7)):1	(0)-(0 * (-7)):1	(4)-(0 * (-7)):1	(0)-(0 * (-7)):1	(0)-(1 * (-7)):1	(0)-(0 * (-7)):1	(-7)-(1 * (-7)):1	(7+M)-(-1 * (-7)):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
x₃	1	0	1	1	-1	0	0	0
x₆	8	0	0	0	1	0	1	-1
x₅	12	0	4	0	-2	1	0	0
x₁	9	1	1	0	1	0	0	0
F(X2)	63	0	4	0	7	0	0	M

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	x₇
x₃	1	0	1	1	-1	0	0	0
x₆	8	0	0	0	1	0	1	-1
x₅	12	0	4	0	-2	1	0	0
x₁	9	1	1	0	1	0	0	0
F(X3)	63	0	4	0	7	0	0	M

Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым.

Оптимальный план можно записать так:

x₁ = 9

F(X) = 7*9 = 63

Анализ оптимального плана.

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x₃. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 1-го вида в количестве 1

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x₆. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 8

В оптимальный план вошла дополнительная переменная x₅. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 3-го вида в количестве 12

Значение 0 в столбце x₁ означает, что использование x₁ - выгодно.

Значение 4> 0 в столбце x₂ означает, что использование x₂ - не выгодно.

Значение 7 в столбце x₄ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 7.

Значение 0+1M в столбце x₇ означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 0+1M.

Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 7x₁+3x₂ > max, при системе ограничений:

x₁+2x₂?10	(1)
x₁+x₂?9	(2)
2x₁+6x₂?30	(3)
x₁+x₂?1	(4)
x₁?0	(5)
x₂?0	(6)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 7x₁+3x₂ > max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 7x₁+3x₂ = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (7; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой линию.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (5) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x₂=0

x₁+x₂=1

Решив систему уравнений, получим: x₁ = 1, x₂ = 0

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

F(X) = 7*1 + 3*0 = 7

Двойственная задача линейного программирования.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 7x₁ + 3x₂ при следующих условиях-ограничений.

x₁ + 2x₂?10

x₁ + x₂?9

2x₁ + 6x₂?30

x₁ + x₂?1

1x₁ + 2x₂ + 1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 10

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 9

2x₁ + 6x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 30

1x₁ + 1x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 1

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x₃, x₄, x₅, x₆

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,10,9,30,1)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
x₃	10	1	2	1	0	0	0
x₄	9	1	1	0	1	0	0
x₅	30	2	6	0	0	1	0
x₆	1	1	1	0	0	0	1
F(X0)	0	-7	-3	0	0	0	0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация 0.

1. Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

2. Определение новой базисной переменной.

3. Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1

и из них выберем наименьшее:

min (10 : 1 , 9 : 1 , 30 : 2 , 1 : 1 ) = 1

Следовательно, 4-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	min
x₃	10	1	2	1	0	0	0	10
x₄	9	1	1	0	1	0	0	9
x₅	30	2	6	0	0	1	0	15
x₆	1	1	1	0	0	0	1	1
F(X1)	0	-7	-3	0	0	0	0	0

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x₆ в план 1 войдет переменная x₁.

Строка, соответствующая переменной x₁ в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x₆ плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x₁ плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x₁ и столбец x₁.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы.

B	x ₁	x ₂	x ₃	x ₄	x ₅	x ₆
10-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	2-(1 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(1 * 1):1
9-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	1-(1 * 1):1	0-(0 * 1):1	1-(0 * 1):1	0-(0 * 1):1	0-(1 * 1):1
30-(1 * 2):1	2-(1 * 2):1	6-(1 * 2):1	0-(0 * 2):1	0-(0 * 2):1	1-(0 * 2):1	0-(1 * 2):1
1 : 1	1 : 1	1 : 1	0 : 1	0 : 1	0 : 1	1 : 1
0-(1 * -7):1	-7-(1 * -7):1	-3-(1 * -7):1	0-(0 * -7):1	0-(0 * -7):1	0-(0 * -7):1	0-(1 * -7):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
x₃	9	0	1	1	0	0	-1
x₄	8	0	0	0	1	0	-1
x₅	28	0	4	0	0	1	-2
x₁	1	1	1	0	0	0	1
F(X1)	7	0	4	0	0	0	7

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆
x₃	9	0	1	1	0	0	-1
x₄	8	0	0	0	1	0	-1
x₅	28	0	4	0	0	1	-2
x₁	1	1	1	0	0	0	1
F(X2)	7	0	4	0	0	0	7

Оптимальный план можно записать так:

x₁ = 1

F(X) = 7*1 = 7

Построим двойственную задачу по следующим правилам.

1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.

2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.

3. Система ограничений двойственной задачи записывается в виде неравенств противоположного смысла неравенствам системы ограничений прямой задачи.

Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.

Расширенная матрица A.

1	2	10
1	1	9
2	6	30
1	1	1
7	3	0

Транспонированная матрица A^T.

1	1	2	1	7
2	1	6	1	3
10	9	30	1	0

Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.

Неравенства, соединенные стрелочками (-), называются сопряженными.

y₁ + y₂ + 2y₃ + y₄?7

2y₁ + y₂ + 6y₃ + y₄?3

10y₁ + 9y₂ + 30y₃ + y₄ > min

y₁ ? 0

y₂ ? 0

y₃ ? 0

y₄ ? 0

Исходная задача I		Двойственная задача II
x₁ ? 0	-	y₁ + y₂ + 2y₃ + y₄?7
x₂ ? 0	-	2y₁ + y₂ + 6y₃ + y₄?3
7x₁ + 3x₂ > max	-	10y₁ + 9y₂ + 30y₃ + y₄ > min
x₁ + 2x₂?10	-	y₁ ? 0
x₁ + x₂?9	-	y₂ ? 0
2x₁ + 6x₂?30	-	y₃ ? 0
x₁ + x₂?1	-	y₄ ? 0

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A^-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A^-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y₁ = 0

y₂ = 0

y₃ = 0

y₄ = 7

Z(Y) = 10*0+9*0+30*0+1*7 = 7

Критерий оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно.

Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.

Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели:

1*1 + 2*0 = 1 < 10

1*1 + 1*0 = 1 < 9

2*1 + 6*0 = 2 < 30

1*1 + 1*0 = 1 = 1

1-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 1-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₁ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 1 составляет 9 (10-1).

Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₂ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 2 составляет 8 (9-1).

3-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 3-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₃ = 0.

Неиспользованный экономический резерв ресурса 3 составляет 28 (30-2).

4-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 4-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₄>0).

Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.

Обоснование эффективности оптимального плана.

При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим:

1*0 + 1*0 + 2*0 + 1*7 = 7 = 7

2*0 + 1*0 + 6*0 + 1*7 = 7 > 3

1-ое ограничение двойственной задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс экономически выгодно использовать, а его использование предусмотрено оптимальным планом прямой задачи (x₁>0).

2-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 2-го вида использовать экономически не выгодно. И действительно в оптимальном плане прямой задачи x₂ = 0.

Поскольку теневая (альтернативная) цена больше рыночной цены этого продукта, то выгоднее продать ресурсы по рыночным ценам.

При этом разница между ценами (7 - 3 = 4) показывает величину изменения целевой функции F(x) при введении дополнительной единицы x_i.

Анализ устойчивости оптимального плана.

Проведем анализ устойчивости оптимального плана и оценим степень влияния изменения ресурсов на значение целевой функции.

Чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции.

Так как любые изменения коэффициентов целевой функции оказывают влияние на оптимальность полученного ранее решения, то наша цель - найти такие диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции (рассматривая каждый из коэффициентов отдельно), при которых оптимальные значения переменных остаются неизменными.

Пусть каждое значение параметра целевой функции изменится на ? с_i. Найдем интервалы, при которых будет экономически выгодно использование ресурсов.

Допустимые диапазоны изменения коэффициентов в целевой функции определятся из соотношений:

1-ый параметр целевой функции может изменяться в пределах:

?c^-₁ = min [y_k/d_1k] для d_1k>0.

?c⁺₁ = |max[y_k/d_1k]| для d_1k<0.

Таким образом, 1-параметр может быть уменьшен на 7 или увеличен на 0

Интервал изменения равен:

(c₁ - ?c₁^-; c₁ + ?c₁⁺)

[7-7; 7+0] = [0;7]

Если значение c₁ будет лежать в данном интервале, то оптимальный план не изменится.

Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Из теоремы об оценках известно, что колебание величины b_i приводит к увеличению или уменьшению f(X).

Оно определяется величиной y_i в случае, когда при изменении величин b_i значения переменных у_i в оптимальном плане соответствующей двойственной задачи остаются неизменными.

Поэтому необходимо найти такие интервалы изменения каждого из свободных членов системы ограничений исходной ЗЛП, в которых оптимальный план двойственной задачи не менялся бы.

Найдем интервалы устойчивости ресурсов.

Нижняя граница для: ?b^-₁

?b^-₁ = min[x_k/d_k1] для d_k1>0.

Таким образом, 1-ый запас может быть уменьшен на 9

1-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y₁ = 0. Другими словами, верхняя граница b⁺₁ = +?

Интервал изменения равен:

(b₁ - ?b^-₁; +?)

[10-9; +?] = [1;+?]

Нижняя граница для: ?b^-₂

?b^-₂ = min[x_k/d_k2] для d_k2>0.

Таким образом, 2-ый запас может быть уменьшен на 8

2-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y₂ = 0. Другими словами, верхняя граница b⁺₂ = +?

Интервал изменения равен:

(b₂ - ?b^-₂; +?)

[9-8; +?] = [1;+?]

Нижняя граница для: ?b^-₃

?b^-₃ = min[x_k/d_k3] для d_k3>0.

Таким образом, 3-ый запас может быть уменьшен на 28

3-ый вид ресурса в оптимальном плане недоиспользован, является недефицитным. Увеличение данного ресурса приведет лишь к росту его остатка. При этом структурных изменений в оптимальном плане не будет, так как двойственная оценка y₃ = 0. Другими словами, верхняя граница b⁺₃ = +?

Интервал изменения равен:

(b₃ - ?b^-₃; +?)

[30-28; +?] = [2;+?]

4-ый запас может изменяться в пределах:

?b^-₄ = min[x_k/d_k4] для d_k4>0.

?b⁺₄ = |max[x_k/d_k4]| для d_k4<0.

Таким образом, 4-ый запас может быть уменьшен на 1 или увеличен на 8

Интервал изменения равен:

(b₄ - ?b^-₄; b₄ + ?b⁺₄)

[1-1; 1+8] = [0;9]

В оптимальный план не вошла основная переменная x₁, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

x₁ может изменяться в пределах:

0 ? ?b₁ ? 1

[10-1; 10] = [9;10]

В оптимальный план не вошла основная переменная x₂, т.е. ее не выгодно использовать. Определим максимально возможное значение в рамках полученных двойственных оценок:

x₂ может изменяться в пределах:

0 ? ?b₂ ? 1

[9-1; 9] = [8;9]

2. Транспортная задача

На трех складах А₁, А₂ и А₃ хранится а₁=100, а₂=200, а₃=60+10n единиц одного и того же груза, соответственно. Этот груз требуется доставить трем потребителям В₁, В₂ и В₃, заказы которых b₁=190, b₂=120,b₃=10mединиц груза, соответственно. Стоимости перевозок c_ijединицы груза с i-го складаj-му потребителю указаны в соответствующих клетках транспортной таблицы:

Потребности Запасы	В₁	В₂	В₃
	b₁=190	b₂=120	b₃=10m
А₁	а₁=100	4	2	m
А₂	а₂=200	n	5	3
А₃	а₃=60+10n	1	m + 1	6

Транспортная задача.

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Распределительный метод является одним из вариантов базового симплексного метода. Поэтому идея распределительного метода (как и симплексного) содержит такие же три существенных момента.

Прежде всего отыскивается какое-то решение задачи -- исходный опорный план. Затем посредством специальных показателей опорный план проверяется на оптимальность. Если план оказывается не оптимальным, переходят к другому плану. При этом второй и последующие планы должны быть лучше предыдущего. Так за несколько последовательных переходов от не оптимального плана приходят к оптимальному.

	1	2	3	Запасы
1	4	2	5	100
2	1	5	3	200
3	1	6	6	70
Потребности	190	120	50

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

? a = 100 + 200 + 70 = 370

? b = 190 + 120 + 50 = 360

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 10 (370--360).

Тарифы перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.

Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

Первая итерация заключается в определении исходного опорного плана и проверке его на оптимальность.

Определение исходного опорного плана. Первый опорный план может быть найден посредством различных способов: по правилу северо-западного угла, приоритету ближайших пунктов, способу минимального элемента С=(cij), способу Фогеля и по способу Лебедева-Тихомирова.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод северо-западного угла, построим первый опорный план транспортной задачи.

План начинается заполняться с верхнего левого угла.

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 100, потребности 190. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x₁₁ = min(100,190) = 100.

4	x	x	x	100 - 100 = 0
1	5	3	0	200
1	6	6	0	70
190 - 100 = 90	120	50	10	0

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 200, потребности 90. Поскольку минимальным является 90, то вычитаем его.

x₂₁ = min(200,90) = 90.

4	x	x	x	0
1	5	3	0	200 - 90 = 110
x	6	6	0	70
90 - 90 = 0	120	50	10	0

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 110, потребности 120. Поскольку минимальным является 110, то вычитаем его.

x₂₂ = min(110,120) = 110.

4	x	x	x	0
1	5	x	x	110 - 110 = 0
x	6	6	0	70
0	120 - 110 = 10	50	10	0

Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 70, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x₃₂ = min(70,10) = 10.

4	x	x	x	0
1	5	x	x	0
x	6	6	0	70 - 10 = 60
0	10 - 10 = 0	50	10	0

Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 60, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x₃₃ = min(60,50) = 50.

4	x	x	x	0
1	5	x	x	0
x	6	6	0	60 - 50 = 10
0	0	50 - 50 = 0	10	0

Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 10, потребности 10. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его.

x₃₄ = min(10,10) = 10.

4	x	x	x	0
1	5	x	x	0
x	6	6	0	10 - 10 = 0
0	0	0	10 - 10 = 0	0

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

F(x) = 4*100 + 1*90 + 5*110 + 6*10 + 6*50 + 0*10 = 1400

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

4*100 + 1*90 + 5*110 + 6*10 + 6*50 + 0*10 = 1400

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверка опорного плана на оптимальность. Чтобы установить является ли опорный план оптимальным, надо проверить, как повлияет на величину целевой функции любое возможное перераспределение поставок.

План распределения поставок будет оптимальным лишь в том случае, когда целевая функция имеет минимальное значение, т.е. когда дальнейшее уменьшение затрат на поставку будет невозможно.

Проверим возможность уменьшения суммарных затрат на поставку продукции. С этой целью для каждой свободной от поставки клетки определяется величина Д_ij, характеризующая изменение суммарных затрат на поставку (в расчете на единицу перераспределяемой продукции), при условии включения в план единичной поставки х_ij=1 от поставщика А_i к потребителю В_j.

При этом должно быть произведено такое изменение остальных поставок, чтобы получившаяся совокупность поставок не нарушала баланса спроса и поставок транспортной задачи.

Величина Д_ij называется оценкой свободной клетки (или характеристика).

В исходном решении задачи имеются клетки свободные от поставок.

Необходимо вычислить значение оценок Д_ij для этих свободных от поставок клеток. С этой целью для каждой свободной клетки составляется означенный цикл перерасчета (или замкнутая цепь, круг, кольцо, контур и т.д.).

Под циклом пересчета (цепью) понимается замкнутая ломаная линия. Вершинами цикла (цепи) являются клетки таблицы, проще - вершины лежат в клетках таблицы.

Причем одна из вершин находится в свободной от поставки клетке, в той, для которой определяется оценка Д_ij. Все другие вершины находятся в базисных клетках, т.е. клетках, занятых поставками.

Вершины, в которых поставки при перераспределении увеличиваются, отмечаются плюсом и называются положительными вершинами и, наоборот, вершины, в которых поставки при перераспределении уменьшаются отмечаются минусом и называются отрицательными вершинами.

В цикле знаки по вершинам расставляют начиная с вершины, лежащей в свободной клетке, для которой определяется Д_ij. В нее записывают знак плюс, затем знаки по вершинам чередуются: минус, плюс , минус, плюс и т. д., независимо от того, расставляют ли их по часовой стрелке или в обратном направлении. Таким образом, в цикле всегда насчитывается одинаковое число положительных и отрицательных вершин.

Следующий этап решения транспортной задачи заключается в улучшении опорного плана.

Если при каком-то опорном плане оказывается несколько свободных клеток с отрицательными оценками Д_ij, то за один переход к лучшему плану можно занять поставкой только одну клетку - ту, которая обеспечивает наибольшее снижение целевой функции.

Шаг 1. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

(1;2): В свободную клетку (1;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100][-]	2[+]	5	0	100
2	1[90][+]	5[110][-]	3	0	200
3	1	6[10]	6[50]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,2 > 1,1 > 2,1 > 2,2).

Оценка свободной клетки равна Д₁₂ = (2) - (4) + (1) - (5) = -6.

(1;3): В свободную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100][-]	2	5[+]	0	100
2	1[90][+]	5[110][-]	3	0	200
3	1	6[10][+]	6[50][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,3 > 1,1 > 2,1 > 2,2 > 3,2 > 3,3).

Оценка свободной клетки равна Д₁₃ = (5) - (4) + (1) - (5) + (6) - (6) = -3.

(1;4): В свободную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100][-]	2	5	0[+]	100
2	1[90][+]	5[110][-]	3	0	200
3	1	6[10][+]	6[50]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,1 > 2,1 > 2,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (0) - (4) + (1) - (5) + (6) - (0) = -2.

(2;3): В свободную клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100]	2	5	0	100
2	1[90]	5[110][-]	3[+]	0	200
3	1	6[10][+]	6[50][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,3 > 2,2 > 3,2 > 3,3).

Оценка свободной клетки равна Д₂₃ = (3) - (5) + (6) - (6) = -2.

(2;4): В свободную клетку (2;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100]	2	5	0	100
2	1[90]	5[110][-]	3	0[+]	200
3	1	6[10][+]	6[50]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,4 > 2,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₂₄ = (0) - (5) + (6) - (0) = 1.

(3;1): В свободную клетку (3;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[100]	2	5	0	100
2	1[90][-]	5[110][+]	3	0	200
3	1[+]	6[10][-]	6[50]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (3,1 > 3,2 > 2,2 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₃₁ = (1) - (6) + (5) - (1) = -1.

Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются отрицательны оценки клеток (1,2;) равные: (-6).

Переход от неоптимального опорного плана к лучшему.

Поскольку в исходном опорном плане рассматриваемой задачи свободная клетка (1;2) имеет отрицательную оценку, то для получения плана, обеспечивающего меньшее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 1) = 100. Прибавляем 100 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 100 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

2*100 + 1*190 + 5*10 + 6*10 + 6*50 + 0*10 = 800

Шаг 2. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

(1;1): В свободную клетку (1;1) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4[+]	2[100][-]	5	0	100
2	1[190][-]	5[10][+]	3	0	200
3	1	6[10]	6[50]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,1 > 1,2 > 2,2 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₁₁ = (4) - (2) + (5) - (1) = 6.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5[+]	0	100
2	1[190]	5[10]	3	0	200
3	1	6[10][+]	6[50][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,3 > 1,2 > 3,2 > 3,3).

Оценка свободной клетки равна Д₁₃ = (5) - (2) + (6) - (6) = 3.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5	0[+]	100
2	1[190]	5[10]	3	0	200
3	1	6[10][+]	6[50]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (0) - (2) + (6) - (0) = 4.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190]	5[10][-]	3[+]	0	200
3	1	6[10][+]	6[50][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,3 > 2,2 > 3,2 > 3,3).

Оценка свободной клетки равна Д₂₃ = (3) - (5) + (6) - (6) = -2.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190]	5[10][-]	3	0[+]	200
3	1	6[10][+]	6[50]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,4 > 2,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₂₄ = (0) - (5) + (6) - (0) = 1.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190][-]	5[10][+]	3	0	200
3	1[+]	6[10][-]	6[50]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (3,1 > 3,2 > 2,2 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₃₁ = (1) - (6) + (5) - (1) = -1.

Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются отрицательны оценки клеток (2,3;) равные: (-2).

Переход от неоптимального опорного плана к лучшему.

Поскольку в исходном опорном плане рассматриваемой задачи свободная клетка (2;3) имеет отрицательную оценку, то для получения плана, обеспечивающего меньшее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (2, 2) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 10 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

2*100 + 1*190 + 3*10 + 6*20 + 6*40 + 0*10 = 780

Шаг 3. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

	1	2	3	4	Запасы
1	4[+]	2[100][-]	5	0	100
2	1[190][-]	5	3[10][+]	0	200
3	1	6[20][+]	6[40][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,1 > 1,2 > 3,2 > 3,3 > 2,3 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₁₁ = (4) - (2) + (6) - (6) + (3) - (1) = 4.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5[+]	0	100
2	1[190]	5	3[10]	0	200
3	1	6[20][+]	6[40][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,3 > 1,2 > 3,2 > 3,3).

Оценка свободной клетки равна Д₁₃ = (5) - (2) + (6) - (6) = 3.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5	0[+]	100
2	1[190]	5	3[10]	0	200
3	1	6[20][+]	6[40]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (0) - (2) + (6) - (0) = 4.

(2;2): В свободную клетку (2;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190]	5[+]	3[10][-]	0	200
3	1	6[20][-]	6[40][+]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,2 > 2,3 > 3,3 > 3,2).

Оценка свободной клетки равна Д₂₂ = (5) - (3) + (6) - (6) = 2.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190]	5	3[10][-]	0[+]	200
3	1	6[20]	6[40][+]	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,4 > 2,3 > 3,3 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₂₄ = (0) - (3) + (6) - (0) = 3.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[190][-]	5	3[10][+]	0	200
3	1[+]	6[20]	6[40][-]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (3,1 > 3,3 > 2,3 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₃₁ = (1) - (6) + (3) - (1) = -3.

Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются отрицательны оценки клеток (3,1;) равные: (-3).

Переход от неоптимального опорного плана к лучшему.

Поскольку в исходном опорном плане рассматриваемой задачи свободная клетка (3;1) имеет отрицательную оценку, то для получения плана, обеспечивающего меньшее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана.

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 40. Прибавляем 40 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 40 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

2*100 + 1*150 + 3*50 + 1*40 + 6*20 + 0*10 = 660

Шаг 4. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

	1	2	3	4	Запасы
1	4[+]	2[100][-]	5	0	100
2	1[150]	5	3[50]	0	200
3	1[40][-]	6[20][+]	6	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,1 > 1,2 > 3,2 > 3,1).

Оценка свободной клетки равна Д₁₁ = (4) - (2) + (6) - (1) = 7.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5[+]	0	100
2	1[150][+]	5	3[50][-]	0	200
3	1[40][-]	6[20][+]	6	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,3 > 1,2 > 3,2 > 3,1 > 2,1 > 2,3).

Оценка свободной клетки равна Д₁₃ = (5) - (2) + (6) - (1) + (1) - (3) = 6.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5	0[+]	100
2	1[150]	5	3[50]	0	200
3	1[40]	6[20][+]	6	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,2 > 3,2 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (0) - (2) + (6) - (0) = 4.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[150][-]	5[+]	3[50]	0	200
3	1[40][+]	6[20][-]	6	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,2 > 2,1 > 3,1 > 3,2).

Оценка свободной клетки равна Д₂₂ = (5) - (1) + (1) - (6) = -1.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[150][-]	5	3[50]	0[+]	200
3	1[40][+]	6[20]	6	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (2,4 > 2,1 > 3,1 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₂₄ = (0) - (1) + (1) - (0) = 0.

(3;3): В свободную клетку (3;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[150][+]	5	3[50][-]	0	200
3	1[40][-]	6[20]	6[+]	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (3,3 > 3,1 > 2,1 > 2,3).

Оценка свободной клетки равна Д₃₃ = (6) - (1) + (1) - (3) = 3.

Опорный план является неоптимальным, поскольку имеются отрицательны оценки клеток (2,2;) равные: (-1).

Переход от неоптимального опорного плана к лучшему.

Поскольку в исходном опорном плане рассматриваемой задачи свободная клетка (2;2) имеет отрицательную оценку, то для получения плана, обеспечивающего меньшее значение целевой функции, эту клетку следует занять возможно большей поставкой, не нарушающей при этом условий допустимости плана. прибыль симплексный экономический

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 2) = 20. Прибавляем 20 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 20 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

2*100 + 1*130 + 5*20 + 3*50 + 1*60 + 0*10 = 640

Шаг 5. Определяем оценку для каждой свободной клетки.

	1	2	3	4	Запасы
1	4[+]	2[100][-]	5	0	100
2	1[130][-]	5[20][+]	3[50]	0	200
3	1[60]	6	6	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,1 > 1,2 > 2,2 > 2,1).

Оценка свободной клетки равна Д₁₁ = (4) - (2) + (5) - (1) = 6.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5[+]	0	100
2	1[130]	5[20][+]	3[50][-]	0	200
3	1[60]	6	6	0[10]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,3 > 1,2 > 2,2 > 2,3).

Оценка свободной клетки равна Д₁₃ = (5) - (2) + (5) - (3) = 5.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100][-]	5	0[+]	100
2	1[130][-]	5[20][+]	3[50]	0	200
3	1[60][+]	6	6	0[10][-]	70
Потребности	190	120	50	10

Цикл приведен в таблице (1,4 > 1,2 > 2,2 > 2,1 > 3,1 > 3,4).

Оценка свободной клетки равна Д₁₄ = (0) - (2) + (5) - (1) + (1) - (0) = 3.

	1	2	3	4	Запасы
1	4	2[100]	5	0	100
2	1[130][-]	5[20]	3[50]

Страница:

контрольная работа "Основы экономико-математического моделирования" скачать

Потребности

Оптимизация доставки грузов и плана выпуска промышленной продукции
Расчет связи пунктов отправления и назначения. Обеспечение вывоза всех грузов из пункта отправления и ввоза в места назначения необходимых объемов. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли, расчет оптимального плана выпуска продукции.

курсовая работа [49,1 K], добавлен 29.07.2011
Нахождение оптимального плана производства двух типов ремонтных работ с помощью симплексного метода
Математические и программные средства моделирования при решении конкретной производственной задачи. Метод реализации задачи планирования производства и нахождение оптимального плана с помощью симплексного метода. Программа на языке программирования С.

курсовая работа [603,8 K], добавлен 06.06.2011
Решение задач экономико-математического моделирования с помощью программы Excel
Программное определение оптимального сочетания зерновых культур и оптимальных рационов кормления с помощью программы Excel. Экономико-математические модели для расчета оптимального распределения минеральных удобрений, определение перечня переменных.

контрольная работа [3,1 M], добавлен 06.12.2011
Построение оптимального плана перевозок груза с минимальной стоимостью
Определение первичного опорного плана разными способами: методом северо-западного угла, методом минимальной стоимости, методом Фогеля. Перепланировка поставок с помощью метода потенциалов для каждого плана. Анализ эффективности их использования.

контрольная работа [67,2 K], добавлен 06.11.2012
Основные понятия и методы экономико-математического моделирования
Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.

реферат [431,4 K], добавлен 11.02.2011
Экономико-математические методы и модели
Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.

задача [169,2 K], добавлен 06.01.2012
Экономико-математическое моделирование производства
Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.

задача [203,4 K], добавлен 03.05.2009
Методы принятия управленческих решений для перевозки грузов из пунктов отправления в пункты потребления
Определение транспортных задач закрытого и открытого типов. Построение опорных планов методом северо-западного угла, минимальной стоимости и методом Фогеля. Анализ оптимального плана по перевозке груза. Достижение минимума затрат и времени на перевозку.

курсовая работа [6,2 M], добавлен 05.11.2014
Экономико-математические методы и прикладные модели
Решение задач линейного программирования с применением алгоритма графического определения показателей и значений, с использованием симплекс-метода. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП.

контрольная работа [94,6 K], добавлен 23.04.2013
Использование экономико-математического моделирования в животноводстве
Критерий оптимальности и матрица ЭММ распределения и использования удобрений. Расчет технико-экономических коэффициентов и констант. Основные переменные в экономико-математической задаче. Математическая запись системы ограничений и системы переменных.

контрольная работа [402,9 K], добавлен 18.11.2012

Другие документы, подобные "Основы экономико-математического моделирования"

весь список подобных работ

скачать работу можно здесь

сколько стоит заказать работу?

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.