Методи розв’язування різних типів економічних задач

Побудування на площині множини розв’язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей. Правила утворення двоїстої задачі. Оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики до замовників, що мінімізує загальну вартість транспортних послуг.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык украинский
Дата добавления 14.02.2015
Размер файла 1,5 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

ВСТУП

Економіко-математичне моделювання є галуззю економічної науки, яка вивчає основні принципи та інструментарій постановки економічних задач, побудови їх математичних моделей, методів розв'язування та аналізу економічних задач з метою використання отриманих результатів в економіці. Метою розрахункової роботи є вивчення методів розв'язування різних типів економічних задач.

В розрахункової роботі розглядаються основні методи розв'язування, аналізу та використання задач зі знаходженням екстремуму функції на множині допустимих варіантів у широкому спектрі теоретико-економічних та практичних проблем.

двоїстий задача транспортний нерівність

ЗАДАЧА 1

Побудувати на площині множину розв'язків (багатокутник) системи лінійних обмежень-нерівностей й геометрично знайти найбільше та найменше значення лінійної функції в цьому багатокутнику (x10, x20).

Розв'язання

Задана економіко-математична модель є моделлю задачі лінійного програмування, що містить лише дві змінні, і тому може бути розв'язана графічно.

Перший крок згідно з графічним методом полягає в геометричному зображенні допустимих планів задачі, тобто у визначенні такої області, де водночас виконуються всі обмеження моделі. Замінимо знаки нерівностей на знаки строгих рівностей і побудуємо графіки відповідних прямих (рис.1.1.).

Рисунок 1.1

Кожна з побудованих прямих поділяє площину системи координат на дві півплощини. Координати точок однієї з півплощин задовольняють розглядувану нерівність, а іншої -- ні. Щоб визначити необхідну півплощину (на рис.1.1 її напрям позначено стрілкою), потрібно взяти будь-яку точку і перевірити, чи задовольняють її координати зазначене обмеження. Якщо задовольняють, то півплощина, в якій міститься вибрана точка, є геометричним зображенням нерівності. Інакше таким зображенням є інша півплощина.

Умова невід'ємності змінних х1 ? 0, х2 ? 0 обмежує область допустимих планів задачі першим квадрантом системи координат. Переріз усіх півплощин визначає область допустимих планів задачі -- шестикутник OABCDE. Координати будь-якої його точки задовольняють систему обмежень задачі та умову невід'ємності змінних. Тому поставлену задачу буде розв'язано, якщо ми зможемо відшукати таку точку багатокутника OABCDE, в якій цільова функція Z набирає найбільшого та найменшого значення.

Для цього побудуємо вектор , координатами якого є коефіцієнти при змінних у цільовій функції задачі. Вектор завжди виходить із початку координат і напрямлений до точки з координатами (х1 = с1; х2 = с2). У нашій задачі вектор . Він задає напрям збільшення значень цільової функції Z, а вектор, протилежний йому, -- напрям їх зменшення.

Побудуємо лінію, що відповідає, наприклад, значенню Z=0. Це буде пряма 50х1 + 30х2 = 0, яка перпендикулярна до вектора і проходить через початок координат. Оскільки в даному прикладі необхідно визначити найбільше значення цільової функції, то пересуватимемо пряму 50х1 + 30х2 = 0 паралельно самій собі згідно з напрямом вектора доти, доки не визначимо вершину багатокутника, яка відповідає оптимальному плану задачі.

Із рис.1.1 видно, що останньою спільною точкою прямої цільової функції та багатокутника OABCDE є точка С. Координати цієї точки є оптимальним планом задачі.

Координати точки С є розв'язком системи рівнянь

(1.1)

(1.2)

звідси маємо: х1 = 50; х2 = 60.

Отже,

Виходячи з аналогічних міркувань, знаходимо, що , х1 = 0; х2 = 0.

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див.рис.1.2-1.6).

Рисунок 1.2

Рисунок 1.3

Рисунок 1.4

Рисунок 1.5

Рисунок 1.6

ЗАДАЧА 2

Симплексним методом знайти розв'язок задачі.

Розв'язання

2.1 Знаходження першого опорного плану задачі

Запишемо систему обмежень задачі в канонічному вигляді. Для цього перейдемо від обмежень-нерівностей до строгих рівнянь, увівши до лівої частини обмежень додаткові змінні х5 та х6:

(2.1)

У цільовій функції Z додаткові змінні мають коефіцієнти, які дорівнюють нулю:

(2.2)

Канонічну систему обмежень задачі запишемо у векторній формі:

(2.3)

Де

(2.4)

Оскільки вектори та одиничні та лінійно незалежні, то саме з них складається початковий базис у зазначеній системі векторів. Змінні задачі х5 та х6, що відповідають одиничним базисним векторам, називають базисними, а решту -- вільними змінними задачі лінійного програмування. Прирівнюючи вільні змінні до нуля, з кожного обмеження задачі дістаємо значення базисних змінних:

(2.5)

Згідно з визначеними векторна форма запису системи обмежень цієї задачі матиме вигляд:

.(2.6)

Оскільки додатні коефіцієнти х5 та х6 відповідають лінійно незалежним векторам, то за означенням

(2.7)

є опорним планом задачі і для цього початкового плану

.(2.8)

2.2 Складання симплексної таблиці для першого опорного плану

Складемо симплексну таблицю для першого опорного плану задачі.

Елементи останнього рядка симплекс-таблиці є оцінками j, за допомогою яких опорний план перевіряють на оптимальність. Їх визначають так:

;(2.9)

;(2.10)

;(2.11)

;(2.12)

;(2.13)

.(2.14)

У стовпчику «План» оцінкового рядка записуємо значення цільової функції Z, якого вона набуває для визначеного опорного плану: .

2.3 Перевірка опорного плану на оптимальність

Після обчислення всіх оцінок опорний план перевіряємо на оптимальність. Для цього продивляємось елементи оцінкового рядка. Якщо всі (для задачі на max) або (для задачі на min), то визначений опорний план є оптимальним. Якщо ж в оцінковому рядку є хоча б одна оцінка, що не задовольняє умову оптимальності (від'ємна в задачі на max або додатна в задачі на min), то опорний план є неоптимальним і його можна поліпшити.

У цій задачі в оцінковому рядку дві оцінки та від'ємні, тобто не задовольняють умову оптимальності, і тому перший визначений опорний план є неоптимальним. За алгоритмом симплекс-методу необхідно від нього перейти до іншого опорного плану задачі.

2.4 Перехід від одного опорного плану до іншого

Перехід від одного опорного плану до іншого здійснюють зміною базису, тобто через виключення з поточного базису якоїсь змінної та включення замість неї нової з числа вільних змінних.

Для введення до нового базису вибираємо змінну х2, оскільки їй відповідає найбільша за абсолютною величиною оцінка з-поміж тих, які не задовольняють умову оптимальності (|-10|>|-8|).

Щоб визначити змінну, яка підлягає виключенню з поточного базису, для всіх додатних елементів стовпчика «х2» знаходимо відношення і вибираємо найменше значення. Згідно з даними симплексної таблиці маємо, що , і тому з базису виключаємо змінну х5, а число а12 = 3 -- розв'язувальний елемент. Дальший перехід до нового опорного плану задачі полягає в побудові наступної симплексної таблиці, елементи якої розраховуємо за методом Жордана-Гаусса.

Друга симплексна таблиця має такий вигляд:

У цій таблиці спочатку заповнюємо два перших стовпчики «Базис» і «Сбаз», а решту елементів нової таблиці розраховуємо за розглянутими нижче правилами:

1. Кожний елемент розв'язувального (напрямного) рядка необхідно поділити на розв'язувальний елемент і отримані числа записати у відповідний рядок нової симплексної таблиці.

2. Розв'язувальний стовпчик у новій таблиці записують як одиничний з одиницею замість розв'язувального елемента.

3. Якщо в напрямному рядку є нульовий елемент, то відповідний стовпчик переписують у нову симплексну таблицю без змін.

4. Якщо в напрямному стовпчику є нульовий елемент, то відповідний рядок переписують у нову таблицю без змін.

Усі інші елементи наступної симплексної таблиці розраховують за правилом прямокутника.

Щоб визначити будь-який елемент нової таблиці за цим правилом, необхідно в попередній симплексній таблиці скласти умовний прямокутник, вершини якого утворюються такими числами:

1 - розв'язувальний елемент (число 1);

2 - число, що стоїть на місці елемента нової симплексної таблиці, який ми маємо розрахувати;

3 та 4 - елементи, що розміщуються в двох інших протилежних вершинах умовного прямокутника.

Необхідний елемент нової симплекс-таблиці визначаємо за такою формулою:

.

Наприклад, визначимо елемент , який розміщується в новій таблиці в другому рядку стовпчика «х4». Складемо умовний прямокутник:

Тоді . Це значення записуємо в стовпчик «х4» у другому рядку другої симплексної таблиці.

Аналогічно розраховуємо усі елементи нової симплексної таблиці, у тому числі й елементи стовпчика «План» та оцінкового рядка. Наявність двох способів зображення визначення оцінок опорного плану (за правилом прямокутника та за відповідною формулою) дає змогу контролювати правильність арифметичних обчислень на кожному кроці симплекс-методу.

Після заповнення нового оцінкового рядка перевіряємо виконання умови оптимальності Zj - сj ? 0 для другого опорного плану. Цей план також неоптимальний, оскільки . Використовуючи процедуру симплекс-методу, визначаємо третій опорний план задачі, який наведено у вигляді таблиці:

В оцінковому рядку третьої симплексної таблиці немає від'ємних чисел, тобто всі і задовольняють умову оптимальності. Це означає, що знайдено оптимальний план задачі:

(2.15)

Або

Х* = (48; 118; 0; 0; 0; 0);(2.16)

.(2.17)

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див.рис.2.1-2.3).

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

ЗАДАЧА 3

Побудувати двоїсту задачу до заданої та знайти її розв'язок. Використовуючи теореми двоїстості знайти розв'язок прямої задачі. Задана пряма задача має вигляд:

max Z = - 5x1 + 2x2;

Розв'язання

Двоїста задача утворюється за такими правилами:

1. Кожному обмеженню прямої задачі відповідає змінна двоїстої задачі. Кількість невідомих двоїстої задачі дорівнює кількості обмежень прямої задачі.

2. Кожній змінній прямої задачі відповідає обмеження двоїстої задачі, причому кількість обмежень двоїстої задачі дорівнює кількості невідомих прямої задачі.

3. Якщо цільова функція прямої задачі задається на пошук найбільшого значення (max), то цільова функція двоїстої задачі - на визначення найменшого значення (min), і навпаки.

4. Коефіцієнтами при змінних у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени системи обмежень прямої задачі.

Двоїстою до задачі

max Z=c0 + (c, x),

Ax=b, x0,

(записаній у векторно-матричній формі) є

,

, y0,

де - матриця, транспонована до А; (с, x), (b, y) - скалярні добутки відповідних векторів.

Перш ніж записати двоїсту задачу, необхідно пряму задачу звести до стандартного вигляду. Оскільки цільова функція Z максимізується і в системі обмежень є нерівності, то їх слід звести до виду «». Тому перше обмеження задачі помножимо на (-1). Після цього знак нерівності зміниться на протилежний. Отримаємо:

max Z = - 5x1 + 2x2;(3.1)

(3.2)

За наведеними вище правилами складемо двоїсту задачу:

min F = - y1 + 5y2;(3.3)

(3.4)

Оскільки записані задачі симетричні (обмеження прямої та двоїстої задач є лише нерівностями, а змінні обох задач можуть набувати лише невід'ємних значень), то будь-яку з них можна розв'язати симплекс-методом. Наприклад, визначимо спочатку оптимальний план прямої задачі. Для цього застосуємо алгоритм симплекс-методу.

1. max Z = - 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4; (3.5)

(3.6)

2. Векторна форма запису системи обмежень має вигляд:

,(3.7)

де , , , , .

У системі векторів для утворення початкового одиничного базису відсутній один вектор. Тому введемо штучну змінну в перше обмеження.

3. Розширена задача лінійного програмування буде такою:

max Z = - 5x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 - Мx5;(3.8)

(3.9)

У цій задачі х4 та х5 - базисні змінні, а х1, х2, х3 - вільні. Нехай х1=х2=х3=0, тоді х4=5; х5=1.

Перший опорний план задачі:

X0=(0; 0; 0; 5; 1), Z0 = - M.(3.10)

4. Подальше розв'язування прямої задачі подано у вигляді симплексної таблиці:

З останньої симплекс-таблиці запишемо оптимальний план прямої задачі:

Х*=(0; 5/3; 2/3; 0), Zmax = 10/3.(3.11)

Згідно зі співвідношенням двоїстості за першою теоремою (якщо одна з пари спряжених задач має оптимальний план, то й друга задача також має розв'язок, причому для оптимальних розв'язків значення цільових функцій обох задач збігаються) можна зробити висновок, що оптимальний план двоїстої задачі існує і

min F = max Z = 10/3.(3.12)

Компоненти вектора Y* (оптимальний план двоїстої задачі) визначимо за формулою:

,(3.13)

де та міститься в стовпчику «сбаз» останньої симплекс-таблиці;

.(3.14)

Матриця D- 1 також міститься в останній симплекс-таблиці у стовпчиках змінних «x5» та «x4», які утворювали початковий базис.

Отже,

,(3.15)

min F = - 10 + 52/3 = 10/3.(3.16)

Застосувавши для розв'язування прямої задачі симплекс-метод, ми знайшли її оптимальний план, а потім визначили оптимальний розв'язок двоїстої задачі за допомогою співвідношень першої теореми двоїстості.

Перевіримо правильність рішення прямої задачі за допомогою MS Excel (див.рис.3.1-3.3).

Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Перевіримо правильність рішення двоїстої задачі за допомогою MS Excel (див.рис.3.4-3.6).

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

ЗАДАЧА 4

Компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис.од.продукції щотижня. Вона уклала договір із чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня доставляти відповідно 110, 40, 60 та 80 тис.од.продукції. Вартість транспортування 1 тис.од.продукції замовникам з кожної фабрики наведена в таблиці:

Необхідно визначити оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики до замовників, що мінімізує загальну вартість транспортних послуг.

Розв'язання

4.1 Побудова математичної моделі

Нехай xij - кількість продукції, що перевозиться з і-ої фабрики до j-го замовника . Загальні витрати, пов'язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування 1 тис.од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути мінімальними. Оскільки транспортна задача за умовою є збалансованою, закритою , то математична модель сформульованої задачі має вигляд:

min Z = 4x11 + 4x12 + 2x13 + 5x14 + 5x21 + 3x22 + x23 + 2x24 + 2x31 + x32 ++ 4x33 +2x34 (4.1)

за умов:

(4.2)

4.2 Знаходження першого опорного плану задачі

Запишемо умови задачі у вигляді транспортної таблиці (табл.4.1) та складемо її перший опорний план у цій таблиці методом мінімальної вартості.

Таблиця 4.1

Загальна вартість перевезень продукції згідно з першим опорним планом визначається у такий спосіб:

Z1 = 4110 + 540 + 160 + 140 + 240 = 820 (ум. од.).(4.3)

Перший опорний план транспортної задачі вироджений, оскільки кількість заповнених клітинок у таблиці дорівнює п'яти, а (m+n-1) = 3+4-1=6.

Для дальшого розв'язування задачі необхідно в одну з порожніх клітинок записати «нульове перевезення» так, щоб не порушити опорності плану, тобто можна зайняти будь-яку пусту клітинку, яка не утворює замкненого циклу із заповненими клітинами. Наприклад, заповнимо нулем клітинку А2В4. Тепер перший план транспортної задачі є невиродженим, і його можна перевірити на оптимальність методом потенціалів.

4.3 Перевірка опорного плану на оптимальність

На основі першої умови оптимальності ui + vj = cij складемо систему рівнянь (для заповнених клітин таблиці) для визначення потенціалів першого опорного плану:

(4.4)

Записана система рівнянь є невизначеною, і один з її розв'язків дістанемо, узявши, наприклад, v4 = 0. Тоді всі інші потенціали однозначно визначаються з цієї системи рівнянь: u1=5, u2=2, u3=2, v1= - 1, v2= - 1, v3= - 1. Ці значення потенціалів першого опорного плану записуємо у транспортну таблицю.

Потім згідно з алгоритмом методу потенціалів перевіряємо виконання другої умови оптимальності ui + vj ? cij (для порожніх клітинок таблиці):

А1B2 : u1 + v2 = 5 + (-1) = 4 = 4;(4.5)

А1B3 : u1 + v3 = 5 + (-1) = 4 > 2;(4.6)

А2B1 : u2 + v1 = 2 + (-1) = 1 < 5;(4.7)

А2B2 : u2 + v2 = 2 + (-1) = 1 < 3;(4.8)

А3B1 : u3 + v1 = 2 + (-1) = 1 < 2;(4.9)

А3B3 : u3 + v3 = 2 + (-1) = 1 < 4.(4.10)

Умова оптимальності не виконується для клітинки А1B3. Порушення 13=(u1+v3)-c13 = 4 - 2 = 2 записуємо в лівому нижньому кутку відповідної клітинки.

Отже, перший опорний план транспортної задачі неоптимальний. Тому від нього необхідно перейти до другого плану, змінивши співвідношення заповнених і порожніх клітинок таблиці.

4.4 Перехід від одного опорного плану до іншого

Потрібно заповнити клітинку А1B3, в якій є єдине порушення умови оптимальності. Ставимо в ній знак «+». Для визначення клітинки, що звільняється, будуємо цикл, починаючи з клітинки А1B3, та позначаємо вершини циклу почергово знаками «-» і «+». Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу. Для цього у порожню клітинку А1B3 переносимо менше з чисел хij, які розміщені в клітинках зі знаком «-». Одночасно це саме число хij додаємо до відповідних чисел, що розміщені в клітинках зі знаком «+», та віднімаємо від чисел, що розміщені в клітинках, позначених знаком «-».

У даному разі , тобто . Виконавши перерозподіл перевезень продукції згідно із записаними правилами, дістанемо такі нові значення: для клітинки А1B3 -- 40 тис.од.продукції, а для А2B3 - (60 - 40) = 20 тис.од., а для А2B4 - (0+40) = 40 тис.од. Клітинка А1B4 звільняється і в новій таблиці буде порожньою. Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану, тобто дорівнювати (n+m - 1).

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий вигляд (табл.4.2).

Таблиця 4.2

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

Z2 = 4110 + 240 + 120 + 240 + 140 + 240 = 740 (ум.од.). (4.11)

Новий план знову перевіряємо на оптимальність, тобто повторюємо описані раніше дії. Другий опорний план транспортної задачі також неоптимальний (має місце порушення для клітинки А3B1). За допомогою побудованого циклу, виконавши перехід до третього опорного плану транспортної задачі, отримуємо табл.4.3.

Таблиця 4.3

Визначимо загальну вартість витрат на транспортування продукції згідно з третім опорним планом:

Z3 = 490 + 260 + 260 + 220 + 140 + 220 = 720 (ум.од.). (4.12)

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний. Тому:

.(4.13)

За оптимальним планом перевезень перший замовник отримує 90 тис.од. продукції з першої фабрики та 20 тис.од. -- з третьої. Другий споживач задовольняє свій попит за рахунок виробництва та перевезення 40 тис.од. продукції з третьої фабрики і т.д. При цьому загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 720 ум.од.

Перевіримо правильність рішення задачі за допомогою MS Excel (див.рис.4.1-4.3).

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

Рисунок 4.3

ЗАДАЧА 5

Дані про роздрібний товарообіг і доходи населення в умовних грошових одиницях в деякій країні за 1996-2007рр. представлені в табл.5.1.

Таблиця 5.1 - Роздрібний товарообіг і доходи населення

Рік

Роздрібний товарообіг, млн. умов. од.,

Доходи населення, млн. умов. од., X

1996

236

257

1997

254

275

1998

267

293

1999

281

309

2000

290

319

2001

311

337

2002

325

350

2003

335

364

2004

355

385

2005

375

405

2006

401

437

2007

431

469

Необхідно розрахувати методом найменших квадратів оцінки параметрів споживчої функції; перевірити достовірність вибраної лінії регресії методом аналізу дисперсій; оцінити лінійний коефіцієнт кореляції; визначити довірчі інтервали для та ; побудувати на одному графіку вихідні дані та знайдену лінію регресії.

Розв'язання

5.1 Оцінка параметрів споживчої функції

Зв'язок між роздрібним товарообігом і доходом населення носить прямолінійний характер, тому споживча функція має вигляд [3]:

,(5.1)

де - роздрібний товарообіг;

- особисті доходи громадян;

- константа;

- кутовий коефіцієнт кореляції;

- стохастична складова (залишки).

Для оцінювання параметрів та в рівнянні (5.1) скористаємось методом найменших квадратів (МНК). Запишемо систему нормальних рівнянь [3]:

(5.2)

.(5.3)

Для знаходження та запишемо рівняння оцінок:

,(5.4)

,(5.5)

де - моменти першого порядку;

- моменти другого порядку.

;(5.6)

;(5.7)

;(5.8)

;(5.9)

.(5.10)

Для зручності розрахунку моментів побудуємо таблицю 5.2.

Таблиця 5.2 - Проміжні розрахунки

Рік

1996

236

55696

257

66049

60652

-93

8649

1997

254

64516

275

75625

69850

-75

5625

1998

267

71289

293

85849

78231

-57

3249

1999

281

78961

309

95481

86829

-41

1681

2000

290

84100

319

101761

92510

-31

961

2001

311

96721

337

113569

104807

-13

169

2002

325

105625

350

122500

113750

0

0

2003

335

112225

364

132496

121940

14

196

2004

355

126025

385

148225

136675

35

1225

2005

375

140625

405

164025

151875

55

3025

2006

401

160801

437

190969

175237

87

7569

2007

431

185761

469

219961

202139

119

14161

Всього

3861

1282345

4200

1516510

1394495

46510

;(5.11)

;(5.12)

;(5.13)

;(5.14)

;(5.15)

;(5.16)

.(5.17)

Таким чином, маємо споживчу функцію:

.(5.18)

5.2 Перевірка достовірності підібраної лінії регресії методом аналізу дисперсій за критерієм Фішера

Розрахуємо критерій Фішера [3]:

(5.19)

де - обґрунтована складова дисперсії;

- необґрунтована складова дисперсії;

- загальна дисперсія;

,(5.20)

де - емпіричне значення ;

- теоретичне значення ;

- середнє значення ;

,(5.21)

.(5.22)

Виходячи з даних міркувань:

(5.23)

Таблиця 5.3 - Таблиця аналізу дисперсій

Компоненти дисперсії

Число ступенів свободи,

Сума квадратів,

Середнє значення суми квадратів,

Регресія

1

Відхилення від регресії

Всього

Таблиця 5.4 - Таблиця аналізу дисперсій стосовно даних задачі

Компоненти дисперсії

Число ступенів свободи,

Сума квадратів,

Середнє значення суми квадратів,

Регресія

1

(0,928)2*46510=40021,86

40021,86

Відхилення від регресії

10

10*4,48=44,8

4,48

Всього

11

40066,66

,(5.24)

.(5.25)

Таким чином:

,(5.26)

де - число ступенів свободи відповідно чисельника і знаменника.

.(5.27)

, , тобто розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить не випадковий характер і взаємозв'язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний.

5.3. Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції

Оцінку лінійного коефіцієнта кореляції r виконаємо за такою формулою [3]:

,(5.28)

.(5.29)

Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв'язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу.

5.4 Побудова довірчих інтервалів для , та

Побудова довірчого інтервалу для кутового коефіцієнту кореляції виконаємо за такою формулою [3]:

,(5.30)

де - деяка похибка при оцінці ;

- довірчий коефіцієнт при рівні імовірності та ступенях свободи. Знаходиться за таблицями -розподілу Ст'юдента.

Приймається якісна гіпотеза, відповідно до якої .

Формула для розрахунку має вигляд [3]:

,(5.31)

.(5.32)

;(5.33)

; ;(5.34)

.(5.35)

Знайдений інтервал не має значень 0 та 1, тому результати регресії відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої , тому робимо висновок про достатню точність оцінки .

Побудову довірчого інтервалу для коефіцієнта виконаємо за такою формулою [3]:

,(5.36)

де - деяка похибка при оцінюванні ;

,(5.37)

.(5.38)

; ;(5.39)

(5.40)

До інтервалу входять як від'ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка при оцінюванні не істотно відмінна від нуля.

Побудову довірчого інтервалу для лінійного коефіцієнту кореляції виконаємо за такою формулою [3]:

,(5.41)

де - деяка похибка при оцінці ;

- деяка функція при рівні імовірності , коефіцієнті кореляції та деякій точковій оцінці . Оскільки не можна визначити, а, значить, і значення всієї функції невідоме, необхідно скористатися -перетворенням Фішера. Для цього вводимо нову змінну :

(5.42)

Розподіл приблизно співпадає з нормальним розподілом.

Тоді за таблицею - перетворення Фішера .

Знаходимо

,(5.43)

.(5.44)

Визначаємо при 95% рівні імовірності довірчі інтервали для :

;(5.45)

;(5.46)

.(5.47)

Скориставшись знову таблицями -перетворення Фішера, знайдемо тепер граничні значення для :

(5.48)

(5.49)

Отже

.(5.50)

Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, а значить, тіснота зв'язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадян є дуже високою.

5.5 Побудова знайденої лінії регресії на одному графіку з вихідними даними

В кінці рішення задачі побудуємо на одному графіку вихідні дані та лінію регресії (рис.5.1):

Рисунок 5.1 - Вихідні дані та лінія регресії

ВИСНОВОК

Побудована споживча функція має вигляд: . Розходження обґрунтованої та необґрунтованої складових дисперсії носить не випадковий характер і взаємозв'язок між рівнем споживання та рівнем доходу тісний. Високий лінійний коефіцієнт кореляції свідчить про тісний взаємозв'язок між роздрібним товарообігом та рівнем доходу. Знайдений довірчий інтервал не має значень 0 та 1, тому результати регресії відповідають якісній гіпотезі, згідно до якої , тому робимо висновок про достатню точність оцінки . До довірчого інтервалу входять як від'ємні, так і додатні значення, отже при 95% імовірності похибка при оцінюванні не істотно відмінна від нуля. Оцінка лінійного коефіцієнту кореляції є досить точною, а значить, тіснота зв'язку між роздрібним товарообігом та рівнем доходу громадян є дуже високою.

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. - К.: КНЕУ, 2003. - 452 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Ехсеl 7.0. - СПб.: ВНV, 1997. - 384 с.

Наконечний С.І., Терещенко Т. О., Романюк Т. П. Економетрія: Підручник. - К.:КНЕУ, 1997. - 352с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Методи розв’язування, аналізу та використання задач зі знаходженням екстремуму функції на множині допустимих варіантів у широкому спектрі теоретико-економічних та практичних проблем. Модель задачі лінійного програмування. Складання симплексної таблиці.

    контрольная работа [960,6 K], добавлен 08.10.2013

  • Загальна економіко-математична модель задачі лінійного програмування. Основні форми запису задач. Оптимальний та допустимий розв'язок. Геометрична інтерпретація, властивості розв'язків та графічний метод розв'язування задач лінійного програмування.

    презентация [568,4 K], добавлен 10.10.2013

  • Побудування математичної моделі задачі. Розв'язання задачі за допомогою лінійного програмування та симплексним методом. Наявність негативних коефіцієнтів в індексному рядку. Основний алгоритм симплексного методу. Оптимальний план двоїстої задачі.

    контрольная работа [274,8 K], добавлен 28.03.2011

  • Аналіз розв’язків спряжених економіко-математичних задач. Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється і нової продукції. Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів. Аналіз діапазону зміни коефіцієнтів матриці обмежень та цільової функції.

    лекция [402,7 K], добавлен 10.10.2013

  • Математична модель задачі по визначенню асортименту, що максимізує прибуток. Оптимальний план двоїстої задачі. Загальна вартість перевезень за оптимальним планом. Знаходження графічним методом екстремумів функцій в області, визначеній нерівностями.

    контрольная работа [299,1 K], добавлен 28.03.2011

  • Теорема Куна-Такера в теорії нелінійного програмування. Правила переходу від однієї таблиці до іншої. Точка розв’язку задачі. Побудування функції Лагранжа. Доведення необхідності умови. Розв'язання задачі квадратичного програмування в матричній формі.

    курсовая работа [197,7 K], добавлен 17.05.2014

  • Оптимальні обсяги виробництва електроплит різних моделей, що максимізують дохід фірми. Оптимальний план двоїстої задачі до поставленої задачі лінійного програмування. Побудова математичної моделі транспортної задачі. Мінімальне значення цільової функції.

    контрольная работа [274,1 K], добавлен 28.03.2011

  • Побудова опорного плану систему нерівностей. Постановка задачі на максимум. Індексний рядок та негативні коефіцієнти. Задача лінійного програмування. Рішення задачі симплексним методом. Введення додаткових змінних. Оптимальний план двоїстої задачі.

    контрольная работа [278,4 K], добавлен 28.03.2011

  • Математична модель задачі лінійного програмування та її розв’язок симплекс-методом. Опорний план математичної моделі транспортної задачі. Оптимальний план двоїстої задачі. Рішення графічним методом екстремумів функції в області, визначеній нерівностями.

    контрольная работа [290,0 K], добавлен 28.03.2011

  • Складання математичної моделі задачі. Побудова симплексної таблиці. Розв’язок задачі лінійного програмування симплексним методом. Рішення двоїстої задачі та складання матриці. Знаходження графічним методом екстремумів функцій, визначеній нерівностями.

    контрольная работа [239,0 K], добавлен 28.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.