Эконометрическое оценивание параметров симультативных моделей экономики

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системы так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки.

Одним из традиционных подходов к исследованию макроэкономических процессов является подход, основанный на использовании эконометрических моделей.

Цель курсовой работы - рассмотреть системы эконометрических уравнений, их применение в эконометрике.

Объект работы - системы эконометрических уравнений.

В связи с поставленной целью, мной были выделены задачи данной курсовой работы:

· Понятие систем эконометрических уравнений;

· Сущность проблемы идентифицируемости;

· Методы наименьших квадратов;

· Применение эконометрических уравнений.

1. Эконометрические модели

1.1 Основные понятия и особенности эконометрических моделей.

Эконометрическая модель -- основное понятие эконометрии, экономико-математическая модель, параметры которой оцениваются с помощью методов математической статистики. Она выступает в качестве средства анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов как на макро-, так и на микроэкономическом уровне на основе реальной статистической информации.

Наиболее распространены эконометрическая модель, представляющие собой системы регрессионных уравнений, в которых отражается зависимость эндогенных величин (искомых) от внешних воздействий (текущих экзогенных величин) в условиях, описываемых параметрами модели, а также лаговыми переменными. Кроме регрессионных (как линейных, так и нелинейных) уравнений, применяются и другие математико-статистические модели.

Эконометрическая модель может быть представлена в двух формах: структурной и приведенной. Эконометрическая модель, как правило, основана на теоретическом предположении о круге взаимосвязанных переменных и характере связи между ними. При всем стремлении к «наилучшему» описанию связей приоритет отдается качественному анализу.

Поэтому в качестве этапов эконометрического исследования можно указать:

· постановку проблемы;

· получение данных, анализ их качества;

· спецификацию модели;

· оценку параметров;

· интерпретацию результатов.

1.2 Структурная и приведенная формы моделей

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

y1 = b12y2 + b13y3 +… + b1nyn + a11x1 + a12x2 +…+ a1m xm + e1,

y2 = b21y1 + b23y3 +… + b2nyn + a21x1 + a22x2 +…+ a2m xm + e2,

…………………………………………………………………,

yn = bn1y1 + bn2y2 +… + bnn-1 yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anm xm + en.

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от других систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

y1 = b12y2 + a11x1 + e1,

y2 = b21y1 + a22x2 + e2.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты bi и aj (bi -- коэффициент при эндогенной переменной, aj - коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается x -- хср, а под у -- соответственно у --yср. Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

y1 = д11x1 + д12x2 + … + д1mxn,

y2 = д11x1 + д12x2 + … + д1mxn,

………………………………,

yn = дn1x1 + дn2x2 + … + дnmxn.

дij - коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить д, а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели.

1.3 Проблема идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентификации структурные модели можно подразделить на три вида:

· идентифицируемые;

· неидентифицируемые;

· сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы.

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных (D), отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении (H) без одного.

D+1=H - уравнение идентифицируемо;

D+1<H - уравнение неидентифицируемо;

D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели. Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы, коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

1.4 Оценивание параметров структурной модели

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели:

* косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

* двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);

* трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК);

* метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММПf);

* метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММПs).

Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели. Эти методы достаточно легкореализуемы. Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идентифицируемой системы одновременных уравнений, а двухшаговый метод наименьших квадратов - для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели. Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений.

Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом. Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой.

КМНК.

Как уже отмечалось, косвенный метод наименьших квадратов используется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

· структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели;

· для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (дij);

· для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (дij);

· коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной модели.

При сравнении результатов, полученных традиционным методом наименьших квадратов и с помощью косвенного метода наименьших квадратов, следует иметь в виду, что традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов.

ДМНК.

Если система сверхидентифицируема, то КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основная идея ДМНК -- на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения. Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе оценок теоретических значений эндогенной переменной yi = дi1x1 + дi2x2 + … + дijxj и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов:

· все уравнения системы сверхидентифицируемы;

· система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно идентифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентйфицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Двухшаговый метод наименьших квадратов является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений.

2. Эконометрическая модель национальной экономики Украины

2.1 План работы

План работы следующий:

1. Собрать исходные данные в виде временных рядов с 2000 года по 2011 год следующих макроэкономических показателей: валовой национальный доход текущего и предшествующего года, личное потребление, конечный спрос(помимо личного потребления).

2. Идентифицировать по косвенному или двухшаговому методу наименьших квадратов, следующую экономическую модель:

3. Рассмотреть учебный пример на данную модель.

4. Рассчитать модель по реальным данным.

5. Описать результаты указанных выше работ.

2.2 Идентификация модели.

Для составления эконометрической модели национальной экономики Украины идентифицируем следующую эконометрическую модель:

(1),

где - валовой национальный доход, - валовой национальный доход за предшествующий год, - личное потребление за год , - конечный спрос (помимо личного потребления), и - случайные составляющие.

Проверим модель на идентифицируемость.

В данной модели две эндогенных переменные (,) и две экзогенные переменные (,). Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и одну экзогенную переменную. Иными словами, для второго уравнения имеем по счётному правилу идентификации равенство: 2=1+1.

Первое уравнение сверх идентифицировано, так как в нем на параметры при и наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная . Переменная в денном случае не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной . В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счётному правилу идентификации получаем: 1+1=2:+1>Н. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

Разрешаем уравнение структурной формы относительно эндогенных переменных и и получаем приведенную форму модели:

=>

=>

=>

Приведенная форма имеет вид:

(2),

где:

(3).

2.3 Учебный пример модели

Прежде чем приступить к реальной модели с реальными данными, изучим учебный пример с показателями в табл.2.1.

Таблица 2.1. Информация за девять лет о приростах всех показателей

год	D		Y	C
1	-6,8	46,7	3,1	7,4
2	22,4	3,1	22,8	30,4
3	-17,3	22,8	7,8	1,3
4	12	7,8	21,4	8,7
5	5,9	21,4	17,8	25,8
6	44,7	17,8	37,2	8,6
7	23,1	37,2	35,7	30
8	51,2	35,7	46,6	31,4
9	32,3	46,6	56	39,1
сумма	167,5	239,1	248,4	182,7

Проведя вычисления с помощью программы Excel, используя МНК, получим следующие оценочные коэффициенты.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения переменной С. Для этого в приведенное уравнение:

подставим значения D и , имеющиеся в условии задачи. Получим:

По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели фактические значения С на теоретические и рассчитываем новую переменную Z=+D (табл. 2.2).

Таблица 2.2

год	D		Z=+D	год	D		Z=+D
1	-6,8	15,77	8,96	6	44,7	27,36	72,06
2	22,4	16,84	39,24	7	23,1	23,97	47,07
3	-17,3	7,39	-9,91	8	51,2	33,17	84,37
4	12	14,27	26,27	9	32,3	28,98	61,28
5	5,9	14,95	20,85	сумма	167,5	182,7	350,2

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Решаем уравнение:

С помощью программы Excel, используя МНК получаем следующие коэффициенты:

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

2.4 Расчет модели с реальными данными.

В табл. 2.3. отображены данные в виде временных рядов с 2000 года по 2011 год следующих макроэкономических показателей: валовой национальный доход текущего и предшествующего года, личное потребление, конечный спрос (помимо личного потребления).

Таблица 2.3. Исходные данные в млн. грн.

год	D		y	C
2000	170070	145700	164942	229631
2001	204190	164942	200610	280030
2002	225810	200610	222585	302814
2003	267344	222585	264247	363487
2004	345113	264247	341686	496942
2005	441452	341686	436411	607029
2006	544153	436411	535459	708056
2007	720731	535459	717406	930261
2008	948056	717406	939356	1247996
2009	913345	939356	894306	1159204
2010	1082569	894306	1078917	1434130
2011	1302079	1078917	1282817	1775482
сумма	7164912	5941625	7078742	9535062

Модель та же, она является сверхидентифицированной, то есть действия будут в точности такими же как и в учебном примере, рассчитанном ранее.

Проведя вычисления с помощью программы Excel, используя МНК, получим следующие оценочные коэффициенты.

Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения переменной С. Для этого в приведенное уравнение:

значения D и , имеющиеся в условии задачи. Получим:

По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели фактические значения С на теоретические и рассчитываем новую переменную Z=+D (табл. 2.4).

Таблица 2.4. Расчётные данные в млн. грн.

год	D		Z=+D
2000	170070	228962,609	399032,6
2001	204190	275831,445	480021,4
2002	225810	301006,511	526816,5
2003	267344	358338,588	625682,6
2004	345113	465588,84	810701,8
2005	441452	593472,118	1034924
2006	544153	727455,212	1271608
2007	720731	970113,806	1690845
2008	948056	1272022,29	2220078
2009	913345	1177805,1	2091150
2010	1082569	1437327,27	2519896
2011	1302079	1727138,22	3029217

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Решаем уравнение:

С помощью программы Excel, используя МНК получаем следующие коэффициенты.

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

2.5 Выводы

В ходе работы была проведена идентификация эконометрической модель национальной экономики Украины с помощью счётного правила идентификации и было выяснено то, что система сверхидентифицирована. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

В итоге найдёны параметры первого уравнения структурной модели. В результате экономический смысл показывает на какую величину в среднем измениться национальный доход Украины, если личное потребление и конечный спрос в своей сумме изменяться на единицу, то есть в среднем на 0,43 млн. грн.

Заключение

эконометрический сверхидентифицируемый наименьший двухшаговый

Эконометрическая модель может представлять собой как очень сложную систему, так и простую формулу, которая может быть легко подсчитана на калькуляторе. В любом случае она требует знаний по экономике и статистике. Сначала для определения соответствующих взаимосвязей применяются знания по экономике, а затем для оценки количественной природы взаимосвязей, полученные за прошедший период, данные обрабатываются с помощью статистических методов.

В данной работе были рассмотрены теоретические аспекты изучаемой темы, касающихся основных понятий, проблемы идентификации и основные методы оценивания параметров структурной модели.

Так же рассмотрен теоретический и реальный пример модели, проведена её идентификация с применением соответствующего метода оценивания параметров структурной модели.

Список использованной литературы

1. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 192с.

2. Эконометрика. / Под ред. И.И. Елисеевой, - М.: Финансы и статистика, 2002.

3. Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика. - М.: Экзамен, 2003.

4. Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. «Эконометрика начальный курс» М.: изд-во «Дело» 2000.

Размещено на Allbest.ru