Нахождение статистических оценок неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и образования РФ

Государственное учреждение высшего профессионального образования

Петрозаводский Государственный Университет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

на тему: "Нахождение статистических оценок неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений"

Петрозаводск - 2011

Содержание

Введение

1. Основные понятия и определения

2. Оценка неизвестных параметров распределения

Литература



Введение

В последнее время появилась потребность в решении традиционных задач математической статистики при условии, что число независимых наблюдений не задано заранее, а является случайной величиной. С таким положением дел приходится сталкиваться в теории надежности, например, при испытаниях изделия на надежность. Если испытания проводятся на длительность жизни изделий, то за промежуток времени T, заданный заранее, в течение которого проводятся испытания, число отказавших изделий окажется случайным. Это число от одного эксперимента к другому будет изменяться непредсказуемым путем.

В точности такая же ситуация складывается у врача и биолога, когда речь идет о числе пациентов с редкой болезнью, которые обратятся в течение заданного срока к данному врачу. Если биолог обследует параметры диких животных, обитающих в данном лесу и проводит наблюдения в течение определенного срока T, то число особей, которые ему удастся встретить и обследовать, также является случайным.

Иногда при анализе эффективности или качества функционирования технических систем, экономических или финансовых компаний оценка и прогноз основных характеристик производятся на основе статистических данных, накапливаемых в течение определенного времени T. Как правило, данные накапливаются в результате осуществления некоторых информативных событий. Например, выводы о распределении размера страховых выплат, что играет ключевую роль при вычислении или оценивании такого важного критерия эффективности функционирования страховой компании, как вероятность разорения, обычно делаются на основе статистики значений страховых требований, поступивших в течение времени T, при этом число страховых требований случайно.

Приведенные примеры показывают сколь велико разнообразие ситуаций, в которых может встретиться необходимость решать статистические задачи, когда число наблюдений случайно.

Целью данной работы является нахождение статистических оценок неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений. В работе используются классические методы теории вероятностей. В основе работы лежит статья Б.В. Гнеденко, в которой впервые использован термин "теорема переноса", подчеркивающий, что в этой теореме описывается перенос свойств сходимости с сумм неслучайного числа случайных слагаемых на случайные суммы и сопутствующая трансформация предельного закона.



1. Основные понятия и определения

Определение 1. Вероятностное пространство - это тройка , где - это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками; -сигма-алгебра подмножеств называемых случайными событиями; - вероятностная мера или вероятность.

Определение 2. Пусть - вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция X: измеримая относительно и борелевской у-алгебры наОпределение 3. Функция определяющая вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее , то есть

.

называется функцией распределения.

Определение 4. Пусть существует неотрицательная функция , такая, что

.

Функция называется плотностью функции распределения .

Определение 5. Характеристической функцией случайной величины X называется комплекснозначная функция вида

,

где .Если случайная величина X - непрерывная, то

,

где плотность случайной величины X. Если случайная величина X дискретная с конечным числом значений, то

,

где значения случайной величины X принимающиеся с вероятностями .

Определение 6. Квантилью уровня функции распределения случайной величины X называется минимальное значение , при котором функция распределения не меньше значения , где , то есть:

.

2. Оценка неизвестных параметров распределения

Теоремы переноса. Пусть известно, что случайная величина распределена нормально, но параметр сдвига a неизвестен. Необходимо оценить этот параметр на основе результатов независимых наблюдений над величиной .

Известно, что если число наблюдений задано и равно n, то может быть предложено большое число "статистик", позволяющих оценить неизвестное a. На практике часто используются две такие статистики - среднее арифметическое результатов наблюдений и медиана. Среднее арифметическое следует считать более точной оценкой параметра a, чем медиану, поскольку стандартное отклонение равно , тогда как стандартное отклонение медианы асимптотически равно .

Что же можно сказать о качестве приведенных оценок параметра a, если число наблюдений становится случайным. Предполагаем, что на n-ом шаге среднее число наблюдений равно n. Рассмотрим два случая: когда распределение числа наблюдений геометрическое и отрицательно-биномиальное. вероятность статистическая распределение неизвестный

Пусть - случайная величина, обозначающая число наблюдений на n-ом шаге с геометрическим распределением. Положим

.

Покажем, что это так:

;

.

Пусть, тогда

и

.

Легко проверить, что при этом предположении (при )

.

Пусть

.

Характеристическая функция случайной величины

;

.

Правая часть соотношения совпадает с характеристической функцией экспоненциального распределения с параметром

Пусть

.

Тогда

.

Теперь рассмотрим случай, когда распределение числа наблюдений отрицательно-биномиальное. Пусть - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение.

;

Здесь и - параметры и величина определяется как

.

Известно, что

,

так что при

Воспользуемся результатами В.Е. Королева. Для любого фиксированного

,

где функция гамма - распределения с параметром формы, совпадающим с параметром масштаба и равным

Характеристическая функция случайной величины равна

.

Используя представление

,

при каждом фиксированном имеем

=

=

.

Правая часть этого соотношения в точности совпадает с характеристической функцией гамма - распределения.

Для решения стоящей задачи потребуется формулировка двух предложений, которые называются теоремами переноса.

Теорема 1. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с функцией распределения и - последовательность неотрицательных целочисленных случайных величин независимых от Тогда, если при

.

,

где и функции распределения, то при

.

Функция распределения определяется своей характеристической функцией

,

где - характеристическая функция

Теорема 2. Пусть - эмпирическая квантиль порядка при n наблюдениях. Тогда, если существуют такие постоянные и при которых

,

,

где и функции распределения, то

.

Функция распределения вычисляется по формуле:

,

где - функция стандартного нормального распределения.

Согласно первой теореме переноса, если оценивать параметр посредством среднего арифметического, то при заданном заранее числе испытаний n оценка имеет нормальное распределение со средним a и дисперсией; если же число наблюдений случайно распределено по геометрическому закону и среднее число наблюдений равно n, то оценка имеет распределение Лапласа со средним значением a и дисперсией, которую легко вычислить.

При оценке же параметра a посредством медианы оказывается, что заданное число наблюдений приводит к нормальному распределению оценки с дисперсией примерно на 25 % большей, чем при оценке посредством среднего арифметического.

Оценка же параметра a медианой для случайного числа наблюдений приводит к распределению , как это дает вторая теорема переноса. Покажем это для двух случаев: когда распределение числа наблюдений геометрическое и отрицательно-биномиальное с параметром .

Пусть число наблюдений распределено по геометрическому закону. Тогда согласно второй теореме переноса

=

=

=

.

Теперь рассмотрим случай, когда распределение числа наблюдений отрицательно-биномиальное с параметром .

=

=

=

=

+

=

.

Переход к случайному числу наблюдений приводит к новому эффекту, который не наблюдается при заданном числе наблюдений; оценка медианой приводит к распределению, у которого нет не только дисперсии, но и момента любого порядка.

Приведем доказательство второй теоремы переноса. Согласно результатам Н.В. Смирнова при разность

,

,

равномерно стремится к 0.

Имеет место равенство

,

где через обозначили . Это равенство можно переписать в следующей эквивалентной форме:

,

.

Согласно

,

предыдущее равенство переписывается следующим образом, где равномерно мало для всех значений аргумента

,

Для существования предельного распределения, как доказано Н.В. Смирновым, необходимо и достаточно, чтобы при ()

.

Теперь

.

Обозначим , тогда

.

При, согласно условию , функции сходятся к, а подынтегральная функция сходится к (, то есть ). В силу теоремы В.М. Дубровского, отсюда вытекает, что

.

Теорема доказана.



Литература

1. Б.В. Гнеденко. Об оценке неизвестных параметров распределения при случайном числе независимых наблюдений. - Труды Тбилисского Матем. ин-та, 1989.

2. Г. Крамер. Математические методы статистики. - М.: Мир, 1975.

3. В.Е. Бенинг, В.Ю. Королев, С. Я. Шоргин. Математические основы теории риска. - М., ФИЗМАТЛИТ, 2007.

4. Н.В. Смирнов. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда. - Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова, 1949.

5. В.М. Дубровский. О некоторых свойствах вполне аддитивных функций множества и их предельном переходе под знаком интеграла. - Изв. АН СССР, серия матем., 1945.

6. А.И. Кибзун, Е.Р. Горяинова, А.В. Наумов. Теория вероятностей и математическая статистика - М., ФИЗМАТЛИТ, 2005.

7. Ширяев А.Н. Вероятность. - М.: Наука, 1980.

Размещено на Allbest.ru