Расчет норм затрат на сырье

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Поволжский государственный технологический университет

Кафедра информационных систем в экономике

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине: Методы и модели в экономике

Йошкар-Ола, 2014 год

Оглавление

Введение

1. Условная часть

2. Практическая часть

Заключение

Библиографический список

Введение

Данная расчётно-графическая работа предусматривает решение задачи линейного программирования. Решение подобных задач относится к вычислительной математике, а не к экономике.

Однако оно получило достаточно широкое распространение именно в экономических дисциплинах, т. к., задачи линейного программирования предусматривают исследование производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.

Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:

- задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;

- задача о смесях (планирование состава продукции);

- задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");

- транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).

Целью расчётно-графической работы является применение полученных в ходе изучения дисциплины «Методы и модели в экономике» знаний для решения конкретного примера методами линейного программирования.

В ходе решения примера было использовано программное обеспечение Microsoft Office Excel с инструментом «Поиск решения», который позволяет электронно-вычислительным способом решать подобные примеры. Инструмент увеличивает точность расчётов, исключает ошибки при вычислениях и облегчает ручной труд при решении.

1. Условная часть

Для производства 3 видов продукции А, В, С предприятие использует 4 вида сырья. Нормы затрат сырья каждого вида на производство единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указана прибыль от реализации одного изделия каждого вида.

Табл. - Исходные данные:

1. Определите оптимальный план выпуска продукции;

2. Определите статус каждого ресурса;

3. Определите ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов;

4. Определите максимальный интервал изменения запасов ресурса I, в пределах которого текущее решение остается допустимым;

5. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Производство какой продукции нерентабельно;

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли;

7. Определите изменения величины прибыли при увеличении второго вида сырья на 150 ед.;

8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде b = (220, 140, 180, 140).

2. Практическая часть

1. Определите оптимальный план выпуска продукции.

Пусть предприятие производит x1, x2, x3 единиц продукции вида А, В и С соответственно, тогда цель заключается в максимизации прибыли предприятия.

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Решим задачу с помощью инструмента «Поиск решения» программы Microsoft Excel. Для этого:

а) Введём условия задачи (рис. 1). Составим матрицу ограничений левой и правой частей неравенств. В каждую клетку матрицы внесём коэффициенты переменных и значения ограничений. В вектор переменных внесём значения 0.

Рис. 1:

Далее в ячейке целевой функции (ячейка Е4 на рис. 1) введём формулу:

СУММПРОИЗВ (B3 ч D3 B4 ч D4)

Таким образом, умножая количество единиц продукции определённого вида на соответствующую прибыль с их продажи, мы узнаем, сколько денежных единиц прибыли получит предприятие в итоге.

В ячейках суммарных затрат каждого вида сырья введём формулу:

СУММПРОИЗВ (B3 ч D3 B6 ч D6)

- и т. д., чтобы рассчитать их значения (рис 2).

б) Работаем с программой «Поиск решения». Данные - Поиск решения. В диалоговом окне (рис. 3) задаём параметры:

- адрес ячейки целевой функции (Е4);

- целевая функция (прибыль) стремится к максимальному значению.

Рис. 2:

- в поле «Изменяя ячейки» указать диапазон с данными, которые в процессе решения должны быть изменены.

Рис. 3:

- ограничения: левая часть неравенств должна быть меньше или равна правой части (необходимые ресурсы для производства продукции должны не превосходить имеющиеся запасы).

Для задания этих ограничений необходимо нажать кнопку «Добавить» (рис. 4).

Между левым и правым полем окна располагается поле для задания оператора, определяющего отношения между ними.

Выбираем из списка символ «?», выполняем клик по кнопке «Добавить».

Рис. 4:

Далее нажимаем кнопку «Выполнить». После работы программы значения переменных вставляются в таблицу (рис. 5). Для сохранения полученных результатов во всплывающем диалоговом окне устанавливаем опцию «Сохранить найденное решение», выбираем все 3 типа отчёта и нажимаем «ОК».

Рис. 5:

Таким образом, оптимальный план выпуска продукции предприятием выглядит следующим образом: 17 ед. продукции А, 15 ед. продукции В и 10 ед. продукции С.

Двойственная задача.

Далее решим двойственную задачу для этого примера. Переменными в данном случае будут являться y1, y2, y3 и y4 нормы затрат сырья 1, 2, 3 и 4-го видов соответственно, тогда цель заключается в минимизации расходов ресурсов предприятия.

Целевая функция будет иметь следующий вид:

Задача решается аналогично, с помощью инструмента «Поиск решения» программы Microsoft Excel. В итоге имеем, что наименьший расход ресурсов обеспечат следующие нормы затрат: 0 ресурса 1 и 8 ресурса 2, 4, 1 ресурса 3 и 1 ресурса 4 (рис. 6).

Т. к., значения целевых функций обеих задач одинаковы (1115 д. ед. прибыли), то прямая и двойственная задачи были составлены правильно.

Рис. 6:

2. Определите статус каждого ресурса.

Подставим оптимальный план в систему ограничений:

Получаем, что второе, третье и четвёртое ограничения выполняются как равенства, значит, ресурсы соответствующего вида полностью использованы, являются дефицитными. В первом ограничении получаем 79 < 200, т. е., данный ресурс использован не полностью, есть избыток в размере 121 единиц, ресурс не дефицитный.

3. Определите ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запаса ресурсов.

По отчёту об устойчивости прямой задачи (рис. 7) определим значения двойственных оценок. Значения находятся в графе «Теневая цена».

Рис. 7:

Двойственные оценки определяют дефицитность (ценность) сырья. Как видно из данных рис. 7, F* для второго, третьего и четвёртого сырья > 0, тогда согласно второй теореме двойственности, сырьё этих видов полностью используется в оптимальном плане и является дефицитным сырьём. Т. к., F1* = 0, сырьё первого вида есть в избытке, не дефицитное.

Кроме того, значения двойственных оценок показывают, насколько возрастает доход предприятия при увеличении дефицитного сырья на единицу (соответственно, на 1, 8, 4, 1).

Таким образом, при решении задачи об увеличении запасов ресурсов в первую очередь надо увеличивать запасы ресурса третьего вида, а потом уже ресурса второго и четвёртого видов.

4. Определите максимальный интервал изменения запасов ресурса I, в пределах которого текущее решение остается допустимым.

Определим максимальный интервал изменения запасов первого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т. е., номенклатура выпуска, не изменится. Другими словами, проведем анализ устойчивости двойственных оценок.

Исходя из данных рис. 6, нижняя граница первого ресурса - 121, верхняя - +?.

Следовательно, интервал устойчивости двойственной оценки равен:

Дb1 Ђ (200 - 121 200 + ?) = (79 + ?)

5. Определите суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Производство какой продукции нерентабельно?

Согласно значениям суммарной стоимостной оценки ресурсов (рис. 8), используемых при выпуске единицы каждого изделия, нерентабельно производство продукта С, т. к., затрат на его производство тратится больше.

К тому же, в оптимальном плане количество его производства наименьшее - 10 ед.

Рис. 8:

6. На сколько можно снизить запас каждого из ресурсов, чтобы это не привело к уменьшению прибыли?

Запасы первого, второго и третьего ресурсов снизить нельзя, т. к., они используются в оптимальном плане полностью. Запас первого ресурса можно уменьшить на 121 единицу. При этом план и прибыль останутся прежними (не уменьшатся).

7. Определите изменения величины прибыли при увеличении второго вида сырья на 150 ед.

Исходя из данных рис. 6, определим максимальный интервал изменения запасов первого вида сырья, в пределах которого структура оптимального плана, т. е., номенклатура выпуска, не изменится. Интервал устойчивости двойственной оценки будет равен:

Дb2 Ђ (b2 - 114 b2 + 110)

Поскольку увеличение запаса ресурса второго вида на 150 единиц (Дb2 = 150) не попадает в интервал (-114, 110), структура оптимального плана изменится.

Найдем новый оптимальный план (рис. 9).

Рис. 9:

Таким образом, в результате увеличения количества дефицитного ресурса второго вида на 150 единиц, производство изделия А прекратится, изделия В увеличится 28 единиц, а продукта С - до 19 единиц. Суммарная прибыль предприятия увеличится на 16% и составит 1297.

Такое изменение связано с тем, что второй вид сырья, в основном, расходуется на выпуск изделия С (6 ед.) и В (4 ед.). На выпуск изделия А второе сырьё не используется.

8. Определите оптимальное решение задачи для случая, когда вектор ресурсов задан в виде b = (220, 140, 180, 140).

В данном случае количество сырья первого вида будет увеличено на 220 - 200 = 20 единиц, второго - на 140-120 = 20 единиц, четвёртого - на 140-138 = 2 единицы.

Так как увеличение запаса ресурса второго вида на 20 единиц (Дb2 = 140) не попадает в интервал (-114, 110), структура оптимального плана изменится. Найдем новый оптимальный план (рис. 10).

Рис. 10:

Таким образом, в результате увеличения количества дефицитных ресурсов второго и четвёртого видов, производство изделия А увеличится на 3 ед., В - на 2 и С - на 2. Суммарная прибыль предприятия увеличится на 35 д. ед. и составит 1150 д. ед.

Заключение

Итак, можно сделать вывод, что рассматриваемый пример является задачей оптимального использования ресурсов, т. к., предусматривает минимизацию расходов на ресурсы при одновременной максимизации прибыли предприятия. хозяйственный стоимостный рентабельность

В ходе решения был определён оптимальный план производства продукции 3-х видов: 17 ед. продукции А, 15 ед. продукции В и 10 ед. продукции С. Данный план позволит рационально использовать ресурсы 4-х видов и получить прибыль в размере 1115 д. ед.

При этом ресурсы 1-го вида используются не полностью, а остальные - без остатка. Из этого следует, что 1-й ресурс, в отличие от остальных, не дефицитен. Об этом говорят и двойственные оценки, которые отображаются в отчёте об устойчивости. Поэтому можно уменьшить объём запасов недефицитного сырья на 121 единицу.

Интервал устойчивости для первого сырья равен (79, ?).

Другими словами, изменение запасов данного вида сырья не повлечёт изменение структуры оптимального плана (номенклатура выпуска продукции не изменится).

Также в ходе решения выяснилось, что производство продукта С нерентабельно, т. к., затрат на его производство тратится больше относительно других видов продукции.

К тому же, в оптимальном плане количество его производства наименьшее - 10 ед.

При изменении дефицитных ресурсов по условиям заданий 7 и 8, изменится структура производства и увеличится суммарная прибыль предприятия (1297 и 1150 д. ед. соответственно).

В целом, подобные задачи находят практическое применение в организациях и предприятиях с однородной номенклатурой выпускаемой продукции, т. к., анализ оптимального производства многономенклатурного товара - довольно трудоёмкий и длительный процесс, а также дополнительных затрат для организации проведения расчётов.

Библиографический список

1. Лунгу К.Н. Линейное программирование. Руководство к решению задач. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 128 с.

2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман, Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2005. - 407 с.

Размещено на Allbest.ru