Многофакторная модель корреляционно-регрессионного анализа

Размещено на http://allbest.ru

Многофакторная модель корреляционно-регрессионного анализа

С помощью корреляционно-регрессионного анализа мы сможем определить динамику стоимости недвижимости, и влияние отдельных факторов на стоимость недвижимости, а так же установим, какие из этих факторов оказывают наибольшее влияние на стоимость недвижимости.

Система факторов всегда формируется на стадии логического анализа. Конкретное построение модели осуществляется на основе собранной исходной информации с количественными оценками факторов.

Показатели, включаемые в статистическую модель, должны быть качественно однородны, независимы друг от друга, достаточны по количеству измерителей для статистической обоснованности результатов регрессионного анализа. Количество измерений должно превосходить число факторов не менее чем в 2 раза.

Этапы выполнения работы:

1. Ввод исходных данных;

2. Расчет корреляционной матрицы;

3. Определить коллинеарность;

4. Определить параметры уравнения регрессии;

5. Анализ факторов по коэффициенту эластичности;

6. Оценка параметров уравнения регрессии;

7. Оценить значимость показателей тесноты связи r;

8. Оценка значимости коэффициента детерминации R²;

9. Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии;

10. Доверительные интервалы для средних значений факторных признаков;

11. Автокорреляция

Пример расчета

1. Ввод исходных данных

Систему функциональных показателей формируем на стадии логического анализа.

При построении многофакторной модели прогнозирования стоимости недвижимости, могут быть включены следующие факторы:

Результирующий признак: Y -стоимость недвижимости, $;

Факторные признаки:

Х₁-стоимость одного квадратного метра объекта, $;

Х₂ - валютный курс;

Х₃ - уровень доходности населения, $;

Х₄ - социально-политическое положение, баллы;

Х₅ - инфраструктура, баллы;

Х₆ - состояние объекта, ремонт, баллы;

Х₇ - количество телефонов, штук;

Х₈ - количество телефонов

Так как для статистического анализа требуется ввести факторы за какой-то промежуток времени, то нами была составлена таблица данных факторов для нескольких наблюдений за 10 лет, которая представлена ниже:

Годы	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Y
1 год	70	17,4	43	4	5	5	2	2	38500
2 год	80	29,4	45	3	4	3	1	1	43590
3 год	180	44,6	48	4	4	2	1	1	84500
4 год	230	48,3	55	3	4	3	1	1	92500
5 год	250	45	65	4	5	5	5	2	102520
6 год	230	42,2	50	4	4	4	3	2	104500
7 год	250	42,1	66	5	5	4	4	2	112500
8 год	430	41,3	68	4	3	3	5	1	180500
9 год	650	41	65	2	4	4	2	1	272550
10 год	750	41	70	3	5	5	7	2	372500

2. Расчет корреляционной матрицы

Введем составленную матрицу в Excel. С помощью надстройки Анализ данных в меню Сервис рассчитаем корреляционную матрицу. Для этого в появившемся окне “Анализ данных” в поле “Инструменты анализа” активизируем строку “Корреляция”. В окне “Корреляция” введем входной интервал, выделяя с помощью мыши столбы и строки исходной таблицы, включая заголовки (за исключением столбца годы); установим флаг на “Метки в первой строке”; затем в поле “Выходной интервал” укажем левую верхнюю ячейку, начиная с которой должна появиться матрица результатов - корреляционная матрица.

Корреляционная матрица:

	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Y
Х1	1
Х2	0,115	1
Х3	0,743	0,292	1
Х4	-0,475	0,219	0,036	1
Х5	0,118	0,126	0,289	0,189	1
Х6	0,509	0,067	0,630	-0,047	0,688	1
Х7	0,590	0,109	0,798	0,254	0,394	0,731	1
Х8	0,131	0,168	0,360	0,478	0,751	0,791	0,669	1
Y	0,989	0,066	0,707	-0,446	0,183	0,524	0,626	0,190	1

Корреляционная матрица - симметричная матрица, в которой относительно главной диагонали, на пересечении i-ой строки и j-го столбца, расположены коэффициенты парной корреляции между i-мы и j-ми факторами. По главной диагонали коэффициенты равны 1.

В последней строке корреляционной матрицы расположены коэффициенты парной корреляции между факторными и результирующим признаками.

Учитывая, что , при r < 0 связь обратная, при r > 0 - связь прямая.

Анализируя первый столбец корреляционной матрицы, отберем факторы, влияющие на результирующий признак.

Если коэффициент корреляции , то связь между i-ым фактором и результирующим признаком тесная, тогда этот фактор влияет на среднемесячную заработную плату и остается в модели. В соответствии с этим выпишем соответствующие коэффициенты корреляции:

; ;

; ;

; ;

;

Вывод: Анализ последней строчки корреляционной матрицы показывает, что факторы Х2, Х4, Х5, Х6, Х8 исключаются из модели, так как коэффициент корреляции , а для дальнейшего рассмотрения в данной модели остаются факторы Х1, Х3, Х7.

3. Определение колинеарности

Колинеарность - это зависимость факторных признаков между собой. Связь между факторными и результирующим признаками должна быть более тесная, чем связь между самими факторами, то есть для любой пары отобранных факторов должно выполнять отношение:



Если соотношения данной системы выполняются, то оба фактора остаются в модели. Если соотношения не выполняются, то один из факторов нужно исключить из модели. Обычно исключаются факторы с меньшим коэффициентом корреляции, зависимость которых с результирующим меньше. Но при удалении факторов в каждой конкретной задаче необходимо смотреть смысловое содержание факторов. Формальный подход не допустим.

Определяем колинеарность между факторами :

1)

условие выполняется, оба фактора остаются в модели;

2)

условие выполняется, оба фактора остаются в модели;

3)

условие не выполняется, фактор Х₇ исключается, так как ;

Вывод: Таким образом, в результате анализа, для составления прогнозируемой функции оставляем фактор Х₁, Х₃. Тогда уравнение регрессии приобретает следующий вид:

Y=а₀+a₁x₁ + a₂x₃

4. Определение параметров уравнения регрессии.

В рабочем поле Excel с помощью команды копирования создадим новую таблицу с исходными данными из оставшихся факторов и найдем средние значения по столбцам:

Годы	Х1	Х3	Y
1 год	70	43	26000
2 год	80	45	32000
3 год	180	48	72000
4год	230	55	80000
5 год	250	65	100000
6 год	230	50	92000
7 год	250	66	100000
8 год	430	68	168000
9 год	650	65	280000
10 год	750	70	360000

	Х1	Х3	Y
Х1	1
Х3	0,783	1
Y	0,994	0,789	1

Для решения полученного уравнения регрессии после активизации сервисной программы Анализ данных в меню Сервис воспользуемся инструментом анализа - Регрессия. В данном диалоговом окне введем с помощью мыши входной интервал Y и X-ов; устанавим флаг на Метки; укажем начальную ячейку для выходного интервала и подтвердим начало расчета кнопкой ОК. В третьей из полученных таблиц ВЫВОДА ИТОГОВ найдем коэффициенты Y-пересечения и Х₁ , Х₃ и подставим полученные значения вместе со средними значениями Х-ов в уравнение регрессии:

Описательная статистика
	Х1	Х3	Y
Среднее	312,00	57,50	131000,00
Стандартная ошибка	72,34	3,28	34377,32
Стандартное отклонение	228,76	10,38	108710,63
Эксцесс	0,19	-1,94	1,11
Асимметричность	1,09	-0,21	1,38
Интервал	680,00	27,00	334000,00
Минимум	70,00	43,00	26000,00
Максимум	750,00	70,00	360000,00
Сумма	3120,00	575,00	1310000,00
Счет	10,00	10,00	10,00

Регрессионная статистика
Множественный R	0,995
R-квадрат	0,99
Нормированный R-квадрат	0,987
Стандартная ошибка	12487,32
Наблюдения	10

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,0527E+11	5,2635E+10	337,55	1,0949E-07
Остаток	7	1091532162	155933166
Итого	9	1,0636E+11

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	19840,79	30696,94	0,646	0,539	-52745,89	92427,48
Х1	499,99	29,25	17,091	0,000	430,81	569,16
Х3	-779,76	644,42	-1,210	0,266	-2303,58	744,06

корреляционный регрессия матрица эластичность



Вывод:

1. Уравнение регресс имеет следующий вид:

2. Зависимость между стоимостью недвижимости (У) и стоимостью одного квадратного метра (Х₁), между стоимостью недвижимости (У) и уровнем доходности населения (Х₃), является более тесной, чем между стоимостью недвижимости и остальными факторами.

5. Анализ факторов по коэффициенту эластичности

О значимости факторов нельзя судить по значению коэффициента регрессии. Анализ осуществляется по коэффициенту эластичности.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результирующий признак при изменении факторного признака на 1%. Обычно берется 10%. Знак коэффициента эластичности всегда совпадает со знаком коэффициентов регрессии. Чем больше по модулю значение коэффициента эластичности, тем большее влияние оказывает этот фактор на результирующий признак.

.

Увеличим каждый фактор на 10%:



Подставляя средние значения факторов Х₁, Х_3, а также их последовательно увеличенные на 10% значения в соответствующие уравнения регрессии, вычислим коэффициенты эластичности:

Коэффициент эластичности принято изображать графически.

Зависимость между Х₁ (стоимостью одного метра квадратного) и Y (стоимостью недвижимости объекта):

Вывод: при увеличении факторного признака Х₁ на 10 % результативный признак увеличивается на 11,91 %.

Зависимость между Х₃ (уровнем доходности населения) и Y (стоимостью недвижимости объекта)



Вывод: при увеличении факторного признака Х₃ на 10 % результативный признак сокращается на 3,42 %.

ВЫВОД: Анализ факторов по коэффициенту эластичности показал, что наибольшее влияние на стоимость недвижимости оказывает стоимость одного метра квадратного (фактор Х₁), затем уровень доходности населения (фактор Х₃).

6. Оценка параметров уравнения регрессии

Для того, чтобы оценить параметры уравнения регрессии используется t- критерий Стьюдента. В таблице «дисперсионный анализ», в графе «t- статистика» содержатся рассчитанные на компьютере данные:

Эти значения сравниваются t - критическим, учитывая принятый уровень значимости б = 0,05 и k - число степеней свободы k = n-m-1; k=10-2-1=7, затем по таблице Стьюдента определяем, что: t_кр= 2,365, либо рассчитываем это значение в Excel с помощью вставки функции < fx > в поле «Категория» выбираем Статистические в поле «выберите функцию» активизируем строку СТЮДРАСПОБР, с помощью которой компьютер возвращает t-значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы, затем нажимаем «ОК». Компьютер запрашивает аргументы функции: в поле вероятность ставим значение 0,05, а в поле степень свободы -7

Параметры уравнения регрессии признаются типичными, если выполняются неравенства:

Подставим имеющие данные для сравнения:

, условие не выполняется

, условие не выполняется.

Вывод: Анализ параметров уравнения регрессии показал, что рассчитанные на компьютере данные не удовлетворяют условию сравнения. Поэтому математическая формула регрессии не может быть использована для прогнозирования стоимости недвижимости, а может быть использована только для практических расчетов.

7. Оценить значимость показателей тесноты связи r

Для этого применяется t- критерий Стьюдента. Расчетные значения t_r для факторов Х₁, Х₃ определяется по формуле:

где r - значения, рассчитанные в корреляционной матрице ( столбец У) для объясняющих факторов

n - количество наблюдений.

Подставляя имеющиеся данные в формулу, получаем:

Рассчитанные значения надо сравнить с t- критическим равное 2,365. Показатели тесноты связи признаются типичными, если

Подставляя полученные данные, получим:

- условие выполняется

- условие выполняется

Вывод: все коэффициенты корреляции, соответствующие оставшимся факторам, признаются типичным, так как условие неравенства выполняется.

8. Оценка значимости коэффициента детерминации R²

Для этого используется F- критерий Фишера, величина которого берется из таблицы Фишера со степенями свободы:

б = 0,05

к₁ = m = 2 - число объясняющих факторов.

к ₂ = n-m-1= 10-2-1=7

, либо рассчитываем это значение в Excel с помощью вставки функции < fx > в поле «Категория» выбираем Статистические в поле «выберите функцию» активизируем строку FРАСПОБР, с помощью которой компьютер возвращает обратное значение для F-распределения вероятностей, затем нажимаем «ОК». Компьютер запрашивает аргументы функции: в поле вероятность ставим значение 0,05, в поле степень свободы1 ставим число объясняющих факторов, т.е. 2, а в поле степень свободы2 вводим к ₂ = 7

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации R² используется неравенство:

Значение F_R рассчитывается по формуле:



Подставляя данные в неравенство получим: F_расч =337,55 F_крит.=4,737

Вывод:

- Коэффициент детерминации R² является значимым, так как неравенство выполняется;

- величина R² =0,990- это означает, что 99 % общей вариации результативного признака объясняется изменением факторных признаков Х₁,Х₃, а 1 % объясняется изменениями других факторов.

9. Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии

Доверительные интервалы для коэффициентов множественной регрессии определяются:

а=499,986; Sa=29,254; tкрит.= 2,365

a₂=-779,762; Sa₂=644,425; tкрит.= 2,365

Вывод:

- 95% коэффициента регрессии а₁ лежит в интервале , а 5% вне этого интервала.

- 95% коэффициента регрессии а₂ лежит в интервале , а 5% вне этого интервала.

10. Доверительные интервалы для средних значений факторных признаков

Доверительные интервалы для средних значений факторных признаков определяются:

,

где -стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение);

n - число наблюдений;

t находится по функции таблицы Лапласа

t=1,96; n=10;

t=1,96; n=10;

Вывод:

- 95% факторного признака ( стоимость 1 м²) лежит в интервале , а 5% вне этого интервала.

- 95% факторного признака (уровень доходности населения) лежит в интервале , а 5% вне этого интервала.

11. Автокорреляция

А) Для определения величины коэффициента автокорреляции используются значения остатков, которые имеют следующий вид:

ВЫВОД ОСТАТКА	Дополнительные расчеты
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки i	i2	i-i-1	(i-i-1)2
1	21310,03	4689,97	21995795,26
2	24750,37	7249,63	52557205,69	2559,67	6551896,96
3	72409,64	-409,64	167803,63	-7659,27	58664467,15
4	91950,59	-11950,59	142816514,7	-11540,95	133193479,87
5	94152,68	5847,32	34191125,44	17797,90	316765392,98
6	95849,39	-3849,39	14817836,19	-9696,71	94026224,81
7	93372,92	6627,08	43918181,06	10476,47	109756499,91
8	181810,80	-13810,80	190738248,8	-20437,88	417706990,59
9	294146,91	-14146,91	200135182,7	-336,11	112971,52
10	340246,66	19753,34	390194268,6	33900,25	1149226941,72
СУММА	1310000,00	0,00	1091532162,	15063,37	2286004865,50

Для определения величины коэффициента автокорреляции используется формула Дарвина - Оутсона:

использование, которой связано с дополнительными расчетами. Подставим данные в формулу и получим:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах 0?dw?4.

Значит и размер автокорреляционного поля должен иметь эти же пределы.

Б) В автокорреляции содержатся (слева направо):

1. Зона положительной автокорреляции

2. Зона неопределенности

3. Зона отсутствия автокорреляции

4. Зона неопределенности

5. Зона отрицательной автокорреляции.

Размер зон неопределенности зависят от показателей таблицы Дарвина-Оутсона.

Для того чтобы найти в таблице нужные показатели надо знать номер столбца и строки.

Номер нужного столбца - это число объясняющих факторов уравнения регрессии: k=m=2;

Номер строки- это количество наблюдений: n=10.

В таблице находятся показатели d_l и d_u :

В левой половине автокорреляционного поля:

Нижняя граница зоны равна d_l =0,697

Верхняя граница зоны равна d_u = 1,641

Для правой половины автокорреляционного поля границы неопределенности надо рассчитать:

Верхняя граница зоны равна 4-d_u = 4-1,641= 2,359

Нижняя граница зоны равна 4-d_l =4-0,697= 3,303

Общая картина автокорреляционного поля может быть представлена в виде:



В) Коэффициент автокорреляции , его значение соответствует зоне отсутствия автокорреляции.

Размещено на Allbest.ru