Построение регрессионной математической модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Построение регрессионной математической модели

1.1 Проверка выборок на однородность

1.2 Определение минимального количества опытов

2. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата

Заключение

Введение

Цель выполнения курсовой работы "Планирование и организация эксперимента" - закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.

Задачей курсовой работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.

1. Построение регрессионной математической модели

На бесцентрово-суперфинишном станке суперфинишируют ролики. При этом изменяются значения скорости вращения V (х1), силы прижатия абразивных брусков P (х2) и частота осцилляции n(х3).

Требуется построить регрессионную математическую модель зависимости параметра оптимизации - шероховатости обработанной поверхности Y (Ra) от указанных параметров.

Предполагается, что имеют место эффекты взаимодействия факторов.

Таблица 1 Исходные данные

Таблица 2 Факторы процесса и параметры оптимизации

Также необходимо:

а) проверить выборки на однородность;

б) для 7 точки плана определить минимальное количество параллельных опытов для достижения заданной точности Д=0,02.

Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Когда число уровней каждого фактора равно 2, то число опытов ПФЭ составляет , где N--число опытов (или серий параллельных опытов); k--число факторов.

План проведения эксперимента и его результаты записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования (МП). Если результаты эксперимента в таблицу не записываются, то такая таблица, содержащая только уровни факторов, называется факторным планом (ФП).

Предполагается, что в общем случае модель может иметь вид

Таблица 3 Расширенная матрица ПФЭ 23

Определение параметров нормализованной линейной модели производится по формулам:

где ai -- параметры нормализованной модели; i = l, 2, 3, ..., k -- номер фактора; u=1, 2, 3, ..., N -- номер опыта (или серии опытов); k -- число факторов; N-- число опытов; xiu значение xi в u-м опыте.

Результаты расчета:

=0,168;

Для проверки адекватности модели определяем дисперсию воспроизводимости и доверительный интервал оценки параметров

0,00013;

Все параметры линейной модели определяются с одинаковой дисперсией

После подсчета дисперсии воспроизводимости для каждого из восьми опытов, рассчитаем доверительный интервал.

где t(P,mN)- Критерий Стьюдента, определяется по таблице П1 при Р=0,95, m=4, t(P,mN)=2,045.

N - суммарное количество опытов, N=32

Sв2 - среднее значение дисперсии воспроизводимости

Параметр считается статистически значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала: Статистически незначимые параметры считаем равными нулю.

Если каждый опыт повторялся m раз, где m=4, дисперсия адекватности будет вычисляться по следующей формуле:

где fu значение отклика, вычисленное по модели при уровнях факторов, соответствующих опыту (или серии опытов) с номером u;

j -- номер опыта в серии u.

Таблица 4 Расчетные данные

Адекватность модели с взаимодействиями определяется с помощью критерия Фишера.

Определим наблюдаемое значение критерия Фишера по следующей формуле:

где So2 - дисперсия адекватности, рассчитанная ранее;

Sb2 - среднее значение дисперсии воспроизводимости для восьми опытов.

Критическое значение критерия Фишера Fк определяется по табл. П.7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии

m=(m2) и m1=N-k-1,

где m1=4, m2=4, отсюда следует Fк= 9,303.

Fн<Fк, (8,000<9,303),следовательно, регрессионная математическая модель зависимости параметра оптимизации, выбранная нами, адекватна.

1.1 Проверка выборок на однородность

фишер дисперсия выборка

При анализе выборочных данных могут выдвигаться гипотезы об однородности дисперсией в нескольких выборках. В этом случае можно использовать критерий Кохрена. Наблюдаемое значение критерия Gн определяется по формуле:

где S2imax - максимальная оценка дисперсии среди n сравниваемых дисперсий (все n выборок имеют одинаковый объем m).

Для определения наблюдаемого значения Кохрена найдём суммы дисперсий и максимальное значение дисперсий.

Выбираем максимальное значение дисперсии Simax2=0,0027

Критическое значение критерия определяется из табл. П.8 в зависимости от принятых доверительной вероятности P, объема выборок m и их числа n.

По табл. П.8 для P = 0,95, m =4 и n =8 находим Gk.

Gk = 0,438

Поскольку Gн < Gk (0,27< 0,438), то можно считать выборки однородными.

1.2 Определение минимального количества опытов

Определить количество параллельных опытов, необходимых для оценки с точностью до 2 мкм среднего квадратического отклонения размера шлифованных заготовок, если после первой серии опытов получены следующие результаты: 0,12; 0,2; 0,14; 0,18.

Рассчитаем размах данной выборки:

R=Хmax-Хmin

R=0,2-0,12=0,08

Находим первую оценку:

,

Где R - размах, R=0,08;

dm - среднее значение относительного размаха, находящийся по таблице П5, для m=4, dm=2,059.

Процедуру последовательного планирования выполним, пользуясь формулой:

где t(P,m) - значение критерия Стьюдента (табл. П.1) при Р=0,95 и m=4, t(P,m)=3,183

Подставляя значение S в данную формулу, получим: m3,18320,03882/(20,022))= 19,065

Выбирая новое значение t при m=19 и повторяя вычисления, имеем:

m2,101520.03882/(20,022))= 8,31

При m=8 получим:

m2,36520,3882/(20,022))= 10,4

Окончательно принимаем m=10. Для реализации эксперимента необходимо провести 6 дополнительных опытов.

Таблица 4 Необходимое число опытов

После реализации 6 дополнительных опытов получена новая оценка у: для m=10, dm=3,078

Согласно неравенству:

Rm / dm1 < < Rm / dm2,

где у - стандартное отклонение;

dm1=4,79, dm2=1,67, получим:

0,017 0,048

т. е. доверительный интервал равен:

Д=0,048-0,017=0,0309

а его половина Д(у)= 0,015<0,02,

Таким образом для достижения заданной точности Д=0,02 необходимо провести 10 параллельных опытов.

2. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата

Необходимо оценить значимость влияния трёх факторов на отклик при помощи латинского квадрата. Результаты эксперимента латинского квадрата для r=4 приведены ниже: оценить значимость.

Таблица 5 План и результаты эксперимента

Результаты суммирования по уровням факторов приведены в табл. 6 , где первая строка представляет собой суммы значений кодов отклика по столбцам табл., вторая -- по строкам этой таблицы, а третья -- по диагоналям.

Таблица 6 Суммы по уровням факторов

Дисперсию отклика, вызванную влиянием j-го фактора, вычисляют по формуле

где i -- номер уровня; j-- номер фактора; Y -- общая сумма значений откликов.

Для вычисления остаточной дисперсии необходимо сначала вычислить общую сумму

Тогда

Остаточная дисперсия отражает влияние неконтролируемых факторов и отождествляется с дисперсией воспроизводимости.

Проверку значимости влияния фактора Х, производят при помощи критерия Фишера, наблюдаемое значение которого

Критическое значение критерия определяется по табл. П.7

Наблюдаемое значения критерия Фишера:

Остальные значения критерия Фишера приведены в табл.7.

Таблица 7 Наблюдаемые значения критерия Фишера

Число степеней свободы для факторов f1=4-1=3, а для остаточной дисперсии f2= 16-3=13.m1=3+1=4 m2=13+1=14 Тогда при Р=0,95 по табл. П.7. Fк=3,44.

Сопоставляя значения Fк и Fн, можно сделать вывод, что x1,x2 являются значимыми(Fн>Fк).

Заключение

В данной курсовой работе представлено решение задач на извлечения наибольшего объема информации об изучаемых процессах или устройствах при ограничениях по затратам.

Решением указанной проблемы является широкое внедрение в практику прикладных исследований статистических методов планирования экспериментов, которые дают не только способ обработки экспериментальных данных, но позволяют также оптимально организовать эксперимент.

Размещено на Allbest.ru