Построение аналитических моделей динамики объектов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Харьковский национальный университет радиоэлектроники

Кафедра СТ

Дисциплина: «Моделирование систем»

Лабораторная работа №1

«Построение аналитических моделей динамики объектов»

Выполнил:

ст. гр. КН-10-2

Горбачёва А.Е. Приняла:

доц. Имангулова З. А.

Харьков 2012

1.1 Цель работы

Изучение методики построения аналитических моделей динамики простейшей одномерной системы путем ее идентификации по методу наименьших квадратов. Приобретение навыков выбора вида и параметров модели динамики объекта, экспериментальная оценка точности модели.

1.2 Краткие теоретические сведения. Подготовка к работе

Идентификация- процесс построения математической модели системы на основе экспериментально полученных в процессе её функционирования входных и выходных сигналов.

Задача идентификации - по результатам наблюдений над входными и выходными переменными системы необходимо построить оптимальную математическую модель.

Наиболее широкое применение нашли оценки по критериям наименьших квадратов, наименьших взвешенных квадратов, максимального правдоподобия и минимального риска. В зависимости от вида математической модели различают методы непараметрической (функциональной) и параметрической идентификации.

Объектом исследования является одномерная система типа "серый ящик". Задача идентификации формулируется следующим образом: по результатам наблюдения над входными u(t) и выходными y(t) переменными системы необходимо построить оптимальную в смысле минимума квадратов отклонений ее математическую модель.

Выход модели связан с ее входом зависимостью

yм(t) = Fм [uм(t), q, 0], (1.1)

где Fм - оператор модели;

uм(t) , yм(t) - соответственно входной и выходной сигналы модели;

q - вектор параметров модели, q = (q0, q1, ..., qm).

Сигналы на выходе системы наблюдаются в условиях отсутствия помехи в дискретные моменты времени t1, t2, ..., tn и имеют значения y(t1) = y1, y(t2) = y2, ... , y(tn) = yn. Выбор модели осуществляется на множестве полиномов

Fм = q0 tm + q1 tm-1 + ...+ qm, (1.2)

где m - степень полинома модели.

В качестве критерия близости использовать минимум суммы квадратов отклонений выходов модели yм(t) от выходов системы y(t)

. (1.3)

Наилучшие значения параметров модели являются решениями системы уравнений

(1.4)

или

(1.5)

где n - количество наблюдаемых сигналов (экспериментов).

Точность модели оценивать по соотношению

, (1.6)

где умi - значение выхода модели для момента времени ti.

Однако при высоких степенях m система является плохо обусловленной. Поэтому метод наименьших квадратов применяют для нахождения многочленов, степень которых не выше 5.

1.3 Ход работы

1.3.1Полученный вариант задания

математический система модель риск

1.3.2 Выполнить предварительный анализ данных эксперимента и выбрать вид модели Fм

Модель будет представлена полиномом. В теоретической части вверху было указано, что наиболее эффективно выбирать степень полинома в диапазоне от 3 до 5. Но так как при m=5 объём вычислений резко возрастает, система становится плохо обусловленной, а существенного увеличения точности нет, а при m=3 существенно не хватает точности, поэтому по критерию точность-эффективность наиболее подходит 4 степень полинома.

Соответствующие вектора дискретных моментов времени и выходных сигналов модели:

1.3.3 Составить систему уравнений для определения наилучших значений параметров модели q.

Рисунок 1.1 - элементы матрицы

Рисунок 1.2 - вычисления матрицы коэффициентов и вектора свободных членов

Далее, решив систему уравнений получили вектор коэффициентов полинома

Теперь определяем вектор выходных сигналов модели Fm, точность модели и строим модельную траекторию

Вектор выходных сигналов модели в дискретные моменты времени

1.3.4 Определяем вектор погрешностей

Рисунок 1.3 - График зависимости выходных сигналов от времени для объекта y(t) и полученных моделей yм(t)

математический система модель риск

Видно, что графики выходных сигналов модели и объекта практически совпали. Это говорит о том, что точность модели довольно высокая.

Метод прогнозирования по схеме экспоненциального сглаживания

Для решения рассматриваемой задачи воспользуемся формулой:

,

где уi+1 - значение прогнозируемой величины в (i+1)-й момент времени;

k - количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания;

- коэффициент сглаживания.

Величина приближенно определяется по формуле .

Результат сглаживания зависит от параметра альфа. Еслиравно 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются. Еслиравно 0, то игнорируются текущие наблюдения. Значениямежду 0, 1 дают промежуточные результаты.

Рис. 1.4 - график выходных сигналов модели по метода наименьших квадратов и метода экспоненциального сглаживания

Прогноз оказался не очень точным. Так как графики не совпали.

Вывод

в результате проделанной лабораторной работы я рассмотрела методику построения аналитических моделей динамики простейшей одномерной системы путем ее идентификации по методу наименьших квадратов и оценила точность модели. Также я убедилась что степень полинома лучше выбирать от 3 до 5. Метод наименьших квадратов требует минимум исходной информации и является более точным, но вычисления получаются очень громоздкие.

Метод экспоненциального сглаживания - очень удобный метод прогнозирования многих временных рядов при выборе правильного параметра альфа, но метод не точен.

Размещено на Allbest.ru