Размещено на http://www.allbest.ru/

Вариант 19

Задание 1. Построение и анализ линейной множественной регрессии

В табл.Б1 приведены ежегодные данные о потребительских расходах и располагаемых личных доходах для США на период с 1959 по 1983 годы. Оцените множественную регрессию между регрессандом (эндогенной переменной) У и регрессорами (экзогенными переменными) Х1 , Х2, Х3 , используя данные за 25 лет. Дайте интерпретацию коэффициентам регрессии. Исследуйте степень корреляционной зависимости между переменными. Проверьте остатки на наличие автокорреляции и гетероскедастичность.

Решение:

Оценим параметры теоретической модели линейной множественной регрессии следующего вида:

Оценку прамаметров произведем с помощью метода наименьших квадратов, исходя из которого следует решить систему 4-х линейных уравнений:

Решив данную систему c помощью пакета программы Statistica, получили:

Оценки парметров равны:

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь вид:

Внизу приведены значения стандартных ошибок коэффицентов регрессии

Коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются оцененными параметрами теоретического уравнения множественной регрессии, которые включают в себя оценку отклонения .

Значение F-статистики (Фишера) при 0 уровне значимости имеет большое значение (2640), которое многократно превышает критическое значение, равное 26,7 при числах степеней свободы 3 и 21 и при уровне значимости 0,01 (т.е. 1%). Следовательно, гипотеза о незначимости модели непринимается, а значит, в целом полученная модель статистически значима.

Об общем качестве полученного уравнения множестсвенной регрессии говорит также коэффициент детерминации R2 , приближенный к 1, что говорит о тесной связи между регрессандом и регрессорами.

Если рассматреть t-статистики (Стъюдента) полученных коэффициентов регрессии и сравнить их абсолютные величины с критическим (табличным) значением, которое равно 2,080 при числе степеней свободы 25-3-1=21 и уровне значимости (то есть вероятности ошибки) 2,5% (б=0,025), то мы увидим, что абсолютные значения t-статистик всех коэффициентов больше критического. А это говорит о том, что мы не принимаем гипотезы о незначимости данных коэффициентов в модели, следовательно, все коэффициенты являются статистически значимыми в полученной модели.

Для исследования степени корреляционной зависимости между переменными постороим корреляционную матрицу:

Из матрицы видно, что очень высокая степень положительной зависимости между экзогенными переменными, т.е. регрессорами, TIME и DPI, TIME и GAS, DPI и GAS - значение коэффициента корреляции между ними стремится к 1. В свою очередь, зависимость между эндогенной переменной HOUS и всеми экзогенными переменными является также сильной, особенно с переменными TIME и DPI.

Построим статистику Дарбина-Уотсона для определения наличия автокорреляции остатков в построенной модели, т.е. наличия зависимости между остатками:

Поскольку , то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Для исследования модели на наличие гетероскедастичности, т.е. непостоянства дисперсий отклонений, построим график зависимости квадратов ошибок (по оси ординат) от линейной комбинации объясняющих переменных (по оси абсцисс):

На графике видна прямопропорциональная зависимость между квадратами ошибок и линейной комбинацией объясняющих переменных, то есть с увеличением значения прогнозируемой величины растет дисперсия случайных отклонений. Из этого делаем вывод о непостоянтстве дисперсии отклонений, что говорит о наличии гетероскедастичности в полученной модели.

Задание 2 Системы одновременных уравнений и их идентификация

Задача 2. Представить представленные ниже модели в приведенном виде и построить графы состояний для структурной и приведенной форм модели.

Что можно сказать об идентифицируемости модели?

Какие из переменных являются эндогенными, а какие из переменных являются экзогенными?

В моделях через еt и vt обозначены случайные члены

2.9. Рассматривается модель «доход - потребление» вида

сt =в0 +в1yt +в2ct-1 + еt

it = г0 + г1 rt +vt

yt = сt +it +gt,

где сt - объем потребления.it - объем инвестиций, yt- доход, gt - объем государственных расходов в период t.

Решение:

линейный множественный регрессия автокорреляция

Построим граф состояний для структурной формы модели (в круге - эндогенная переменная, в прямоугольнике - экзогенная переменная):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим граф состояний для приведенной формы модели:

Задание 3. Анализ временных рядов и прогнозирование

Построить график временного ряда

Подобрать модель авторегрессии -скользящего среднего ARMA(p,q) к данному ряду, оценить ее параметры .

Проверить качество модели и степень ее адекватности реальным данным с помощью анализа остатков

На основе наблюдаемых значений провести прогноз на несколько периодов вперед.

Провести экспоненциальное сглаживание данного временного ряда с целью проведения прогноза.

Сравнить результаты прогнозирования, проведенные двумя способами.

В качестве временного ряда предлагается динамика дефлятора цен для личных потребительских расходов на кухонное оборудование (1972 г - 100%).

Решение:

Построим график временного ряда:

Приведем вид графика к станционарному с помощью преобразований переменной.

График преобразованных данных (модель авторегрессии)

Оценим параметры полученной авторегрессионной модели

Variable: PKIT : x^(1/4); ln(x); x-.113-1.10*x(t-1); D(-1)

Transformations:

Model: (2,0,0)(1,0,0) Seasonal lag: 4

No. of obs.:23 Initial SS=.00078 Final SS=.00056 (71.31%) MS=.00003

Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); highlight: p<.05

Const. p(1) p(2) Ps(1)

Estimate: .00008 .12306 -.5610 .00831

Std.Err.: .00084 .22836 .22193 .28977

Итак, мы получили модель авторегрессии с 2-мя регулярными и 1-м сезонным параметрами, а также сезонным лагом, равным 4.

Регулярный параметр с лагом 2 является статистически значимыми в полученной модели.

Оценим качество и степень адекватности модели с помощью анализа остатков ряда.

Построим графики остатков Normal Plot (график на нормальной вероятностной бумаге)

Красная линия - статистические данные; синие точки - ожидаемые значения

На графике видно, что модель достаточно точно описывает ожидаемые значения, поскольку их отклонения от фактических данных сравнительно небольшие.

Проведем прогноз потребительских расходов на кухонное оборудование на 3 года вперед

Прогноз показал, что расходы на кухонное оборудование в последующие 3 года будут снижаться.

Проведем экспоненциальное сглаживание и прогнозирование.

Выберем экспоненциальную модель линии тренда и подберем автоматически параметры альфа и гамма, сделаем экспоненциальное сглаживание и прогнозирование:

По МНК наилучшими значениями являются: альфа = 1 и гамма = 0.062

Сравнивая полученные 2-мя способами прогнозы на несколько лет вперед , мы видим, что они не отличаются по значениям. На сравнительном графике видно, что линии тренда сперва падают вниз, а затем линия тренда экспоненциального сглаживания опять начинает расти вверх, начиная с 28 года, что говорит о том, что, начиная с этого года, спрос на кухонное оборудование опять возрастет.

Размещено на Allbest.ru