Применение методов линейной алгебры при решении экономических задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по линейной алгебре

тема: Применение методов линейной алгебры при решении экономических задач

Выполнил: студент группы №1193 курса 1

Факультета экономики и управления

ФИО: Смирнов Арсений Владимирович

Руководитель: Рогачев А.В.

Дубна 2011

Оглавление

Задание

Теоретическая часть: метод Гаусса

Задание I

Задание II

Список литературы

Задание

1. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, найти вектор валового выпуска при заданных коэффициентах прямых затрат и векторе конечного продукта.

Вариант 6

4	15	8	10	470
6	16	4	2	604
5	8	4	12	225
3	9	16	4	323

2. Методом Гаусса решить заданную систему уравнений и найти все её базисные решения.

Теоретическая часть: Метод Гаусса

Методом, наиболее удобным для практического нахождения решений систем с числовыми коэффициентами, является метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса.

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Рассмотрим решение системы (1.1) m линейных уравнений с n переменными в общем виде.

 (1.1)

Предположим, что в системе (1.1) коэффициент при переменной в первом уравнении a11 ? 0 (если это не так, то перестановкой уравнений местами добьёмся того, чтобы a11 ?0).

Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,…, m-му уравнению системы (1.1), исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим

(1.2)

Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.

Шаг 2. Предположим, что (если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьёмся того, чтобы ). Умножая второе уравнение на подходящие числа () и прибавляя полученные уравнения соответственно третьему, четвёртому, …, m-ному уравнению системы, исключим переменную из всех последующих уравнений, начиная с третьего.

Продолжая процесс последовательного исключения переменных ,…,, после (r-1)-го шага получим систему

(1.3)

Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0*+0* +…+0* . Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (1.1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (1.3) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (1.3) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (1.1). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы (1.3) равно числу переменных, т.е. r = n (в этом случае система (1.3) имеет треугольный вид); б) r < n в этом случае система (1.3) имеет ступенчатый вид).

Переход системы (1.1) к равносильной ей системе (1.3) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (1.3) - обратным ходом.

Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов.

гаусс уравнение межотраслевой матрица вектор

Задача I

а) Постановка задачи (основная задача межотраслевого баланса)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска , который при известной матрице прямых затрат обеспечивает заданный вектор конечного продукта .

-- общий (валовой) объём продукции отрасли

-- коэффициенты прямых затрат в, показывающие затраты продукции отрасли на производство единицы продукции отрасли

-- объём конечного продукта отрасли для непроизводственного потребления.

Так как коэффициенты прямых затрат даны в процентах в задании 1 (ст.3), разделим их на 100. Получим:

Отрасли	1	2	3	4
1	0,04	0,15	0,8	0,10	470
2	0,06	0,16	0,04	0,02	604
3	0,05	0,08	0,04	0,12	225
4	0,03	0,09	0,16	0,04	323

Так как валовой объём продукции любой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой четырьмя отраслями, и конечного продукта, то:

 (2.1)

Обозначим

где - вектор валового выпуска, - вектор конечного продукта, - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Запишем систему (2.1) в матричном виде:

. (2.2)

. (2.3)

б) Практическая часть

.

Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Умножим расширенную матрицу системы на 100, чтобы избавиться от дробей. Получим:

.

Решим полученную систему методом Гаусса:

Решим систему уравнений

		96	x1	-	15	x2	-	8	x3	-	10	x4	=		47000
	-	6	x1	+	84	x2	-	4	x3	-	2	x4	=		60400
	-	5	x1	-	8	x2	+	96	x3	-	12	x4	=		22500
	-	3	x1	-	9	x2	-	16	x3	+	96	x4	=		32300

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определения переменных из получившейся ступенчатой системы.

1.Определим ранг данной матрицы:

Мы будем оперировать только с коэффициентами системы.

Матрица строка , которая располагается между преобразованиями и есть строка , которую мы отнимаем.

96 - 15 - 8 - 10 47000 - 6 84 - 4 - 2 60400 - 5 - 8 96 - 12 22500 - 3 - 9 - 16 96 32300

Поменяем местами строки 1 и 4 .

- 3 - 9 - 16 96 32300 - 6 84 - 4 - 2 60400 - 5 - 8 96 - 12 22500 96 - 15 - 8 - 10 47000

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 .

	- 6	- 18	- 32	192		64600

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 102 28 - 194 - 4200 - 5 - 8 96 - 12 22500 96 - 15 - 8 - 10 47000

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 5/3 .

	- 5	- 15	- 80 3	160		161500 3

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 102 28 - 194 - 4200 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 96 - 15 - 8 - 10 47000

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на -32 .

	96	288	512	- 3072		- 1033600

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 102 28 - 194 - 4200 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 0 - 303 - 520 3062 1080600

Поменяем местами строки 2 и 3 .

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 0 102 28 - 194 - 4200 0 - 303 - 520 3062 1080600

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 102/7 .

	0	102	12512 7	- 17544 7		- 3196000 7

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 0 0 - 12316 7 16186 7 3166600 7 0 - 303 - 520 3062 1080600

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на -303/7 .

	0	- 303	- 37168 7	52116 7		9494000 7



- 3 - 9 - 16 96 32300 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 0 0 - 12316 7 16186 7 3166600 7 0 0 33528 7 - 30682 7 - 1929800 7

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 3, умноженные на -8382/3079 .

	0	0	33528 7	- 135671052 21553		- 26542441200 21553

- 3 - 9 - 16 96 32300 0 7 368 3 - 172 - 94000 3 0 0 - 12316 7 16186 7 3166600 7 0 0 0 5885882 3079 2942941000 3079

Система имеет решение , так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 4 .

2. Выразим: X1: X2; X3;X4 из матрицы ступенчатого вида:

Рассмотрим строку 4 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению :

	5885882/3079	x4	=		2942941000/3079
		x4	=		500

Рассмотрим строку 3 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению : 

-	12316/7	x3	+	16186/7	x4	=		3166600/7

Из данного уравнения , найдем значение переменной x3 

-	12316/7	x3	=	-	16186/7	x4	+	3166600/7

		x3	=		8093/6158	x4	-	791650/3079

Подставим, ранее найденное, значение переменной x4

		x3	=		8093/6158 * (	500	)	-	791650/3079

		x3	=		400

Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению : 

7

x2

+

368/3

x3

-

172

x4

=

-

94000/3

Из данного уравнения , найдем значение переменной x2 

7

x2

=

-

368/3

x3

+

172

x4

-

94000/3

x2

=

-

368/21

x3

+

172/7

x4

-

94000/21

Подставим, ранее найденные, значения переменных x3 , x4

		x2	=	-	368/21 * (	400	)	+	172/7 * (	500	)	-	94000/21

		x2	=		800

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению

-	3	x1	-	9	x2	-	16	x3	+	96	x4	=		32300

Из данного уравнения , найдем значение переменной x1 

-	3	x1	=		9	x2	+	16	x3	-	96	x4	+	32300

x1

=

-

3

x2

-

16/3

x3

+

32

x4

-

32300/3

Подставим, ранее найденные, значения переменных x2 , x3 , x4

		x1	=	-	3 * (	800	)	-	16/3 * (	400	)	+	32 * (	500	)	-	32300/3

		x1	=		700

Ответ :

		x1	=		700
		x2	=		800
		x3	=		400
		x4	=		500

Задача II

а) Постановка задачи

Найти все базисные решения данной СЛАУ:



б) Практическая часть

Дана система линейных алгебраических уравнений:

Решим систему уравнений

			x1	+	3	x2	+	3	x3	-	2	x4	=		5
		3	x1	-	2	x2	-	13	x3	+	5	x4	=	-	7
		2	x1	+	4	x2	+	2	x3	-	2	x4	=		6
		4	x1	-	3	x2	-	18	x3	+	7	x4	=	-	10

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе решения (обратный ход) идет последовательное определения переменных из получившейся ступенчатой системы

Прямой ход.

Мы будем оперировать только с коэффициентами системы

Матрица строка , которая располагается между преобразованиями и есть строка , которую мы отнимаем.

1 3 3 - 2 5 3 - 2 - 13 5 - 7 2 4 2 - 2 6 4 - 3 - 18 7 - 10	x1 + 3 x2 + 3 x3 - 2 x4 = 5 3 x1 - 2 x2 - 13 x3 + 5 x4 = - 7 2 x1 + 4 x2 + 2 x3 - 2 x4 = 6 4 x1 - 3 x2 - 18 x3 + 7 x4 = - 10

Из элементов строки 2 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 3 .

	3	9	9	- 6		15

1 3 3 - 2 5 0 - 11 - 22 11 - 22 2 4 2 - 2 6 4 - 3 - 18 7 - 10

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 2 .

	2	6	6	- 4		10

1 3 3 - 2 5 0 - 11 - 22 11 - 22 0 - 2 - 4 2 - 4 4 - 3 - 18 7 - 10

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 1, умноженные на 4 .

	4	12	12	- 8		20

1 3 3 - 2 5 0 - 11 - 22 11 - 22 0 - 2 - 4 2 - 4 0 - 15 - 30 15 - 30

Поменяем местами строки 2 и 3 .

1 3 3 - 2 5 0 - 2 - 4 2 - 4 0 - 11 - 22 11 - 22 0 - 15 - 30 15 - 30

Из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 11/2 .

	0	- 11	- 22	11		- 22

1 3 3 - 2 5 0 - 2 - 4 2 - 4 0 0 0 0 0 0 - 15 - 30 15 - 30

Из элементов строки 4 вычитаем соответствующие элементы строки 2, умноженные на 15/2 .

	0	- 15	- 30	15		- 30

1 3 3 - 2 5 0 - 2 - 4 2 - 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0	x1 + 3 x2 + 3 x3 - 2 x4 = 5 - 2 x2 - 4 x3 + 2 x4 = - 4

Система имеет решение , так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

В данном случае ранг основной и расширенной матрицы равен 2 .

Обратный ход.

Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению : 

-	2	x2	-	4	x3	+	2	x4	=	-	4

Из данного уравнения , найдем значение переменной x2 

-	2	x2	=		4	x3	-	2	x4	-	4

x2

=

-

2

x3

+

x4

+

2

Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая, как Вы помните, эквивалентна следующему уравнению : 

		x1	+	3	x2	+	3	x3	-	2	x4	=		5

Из данного уравнения , найдем значение переменной x1 

		x1	=	-	3	x2	-	3	x3	+	2	x4	+	5

Подставим, ранее найденное, значение переменной x2

		x1	=	-	3 * (	- 2 x3 + x4 + 2	)	-	3	x3	+	2	x4	+	5

		x1	=		3	x3	-		x4	-	1

Ответ :

		x1	=		3	x3	-		x4	-	1
		x2	=	-	2	x3	+		x4	+	2

x3 x4 - свободные переменные

в данном случае, система имеет бесконечное множество решений.

Список литературы

1. под редакцией профессора Н.Ш. Кремера «Высшая математика для экономистов» 3-е издание - ЮНИТИ, 2007

2. под редакцией А.В. Ефимова и А.С. Поспелова «Сборник задач по математике» издательство физико-математической литературы 2004

Размещено на Allbest.ru