Элементарная теория сумм Гаусса
Значение суммы Гаусса при пробеге полной системы вычетов по модулю, его реализация в системе Mathlab. Свойство модуля комплексного числа и взаимно простые числа. Произведение сопряженных величин и квадрат модуля. Пробег квадратичных вычетов и невычетов.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.11.2012 |
| Размер файла | 72,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Элементарная теория сумм Гаусса
Рассмотрим следующую сумму - сумму Гаусса:
где D - целое положительное и (a, D)=1.
Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда
х=qD+k,
где k =0, 1, …, D-1 , q є Z
Будем иметь:
что и требовалось.
Лемма 1.
Пусть (a, D)=1. Тогда
Доказательство:
По свойству модуля комплексного числа:
Имеем:
Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z
х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z
Следовательно,
t = x - x = (q - p)D + (k - i) = l D + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z
а) Пусть D - нечетное, т.е. (2а, D)=1
если D делит t
Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде:
Получили
Тогда
Отсюда
б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление: D = 2D , где D - четное и (a, D)=1 .
Получим:
Так как D четное, то
Следовательно
в) Пусть D = 2 (mod 4) , т.е. D = 4q + 2 , q є Z. Тогда из предыдущего случая имеем: D = 2 (2q+1)= 2D , D - нечетное. Имеем:
Что и требовалось
Лемма 2.
Если D и D взаимно простые числа, то
S (aD1 , D2) S (aD2 , D1) = S (a , D1 D2)
Доказательство:
В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2. При этом D1t1 + D2t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1D2 . Действительно, всего членов в сумме D1D2 и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное: пусть D1t1 + D2t2 = D1t1 + D2t2 (mod D1D2)
Отсюда
D1 (t1 - t1) = D2 (t2 - t2) (mod D1D2)
Тогда
D1 (t1 - t1) = D2 (t2 - t2) (mod D2)
А так как
D2 (t2 - t2) = 0 (mod D2)
То по свойству сравнений имеем D1 (t1 - t1) = 0 (mod D2) Отсюда так как (D1, D2)=1 , то t1 - t1 = 0 (mod D2) Аналогично получим t2 - t2 = 0 (mod D1)
Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2) и t2 = t2 (mod D1) . Но это противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2, так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1t1 + D2t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1D2 .
Поэтому
Лемма 3.
Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда
Доказательство:
что и требовалось доказать.
Лемма 4.
Если р простое нечетное число , то
Доказательство:
Из леммы 3. Получим
Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то
Лемма 5.
Если р и q различные простые числа , то
Доказательство:
Так как (р, q)= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2: в нашем случае
Итак, мы показали, что
что и требовалось доказать
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение минимального числа договоров предприятия с магазинами и вероятность поступления от них определенного числа заявок. Вычисление товара, пользующегося наибольшим спросом. Оценка возможных отклонений дневной выручки от среднего значения.
задача [257,7 K], добавлен 06.12.2009Нахождение последовательности многочленов, нахождение их суммы и произведения. Вычисление суммы и среднего арифметического данного ряда чисел, нахождение минимального и максимального числа. Определение цены реализации товара в точке безубыточности.
контрольная работа [178,7 K], добавлен 06.11.2009Понятие регрессии. Оценка параметров модели. Показатели качества регрессии. Проверка статистической значимости в парной линейной регрессии. Реализация регрессионного анализа в программе MS Excel. Условия Гаусса-Маркова. Свойства коэффициента детерминации.
курсовая работа [233,1 K], добавлен 21.03.2015Методика определения максимального числа подзадач без пределов и максимального числа целочисленных решений без пределов. Метод "затраты-эффект" и особенности его применения в управлении проектами. Задача привлечения дополнительных финансовых ресурсов.
контрольная работа [37,9 K], добавлен 09.07.2014Исследование методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений. Решение графическим и симплексным методом задач линейного программирования. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли и нахождение оптимального плана выпуска продукции.
контрольная работа [177,8 K], добавлен 02.02.2010Характеристика Mathcad як системи комп'ютерної алгебри з класу систем автоматизованого проектування. Опис математичної моделі задачі. Обґрунтування вибору методу її розв’язання симплекс-методом, алгоритм Гоморі. Аналіз результатів роботи в MathCAD.
контрольная работа [119,9 K], добавлен 02.10.2014На основе экстраполяции значений прогнозирующей функции осуществить прогноз выпуска продукции на квартал следующего года . Коэффициент простоя системы, среднее число клиентов в системе, среднюю длину очереди, среднее время пребывания клиента в системе.
контрольная работа [93,3 K], добавлен 11.04.2007Уравнение нелинейной регрессии и вид уравнения множественной регрессии. Преобразованная величина признака-фактора. Преобразование уравнения в линейную форму. Определение индекса корреляции и числа степеней свободы для факторной суммы квадратов.
контрольная работа [501,2 K], добавлен 27.06.2011Обзор корреляционного поля. Доверительные интервалы регрессии. Оценка качества линейной модели прогнозирования. Проверка ее на соответствие условиям теоремы Гаусса-Маркова. Точечный и интервальный прогнозы. Нахождение средней ошибки аппроксимации.
контрольная работа [47,9 K], добавлен 09.08.2009Закон распределения генеральной совокупности. Вычисление вероятности при помощи распределения Гаусса. Срок действия декларации о соответствии и сертификата соответствия. Применение математической статистики при измерениях и испытаниях продукции.
презентация [128,7 K], добавлен 30.07.2013
