Экономико-математический анализ задач линейного программирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по экономико-математическим методам и прикладным моделям

Вариант № 5

Выполнила: ст. III курса (день)

Специальность: БУ,АиА

Проверил: Прокофьев О. В

Пенза 2012



Задача 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на тонну краски, т	Максимально возможный запас, т
	Краска Е	Краска I
А В	1 2	2 1	6 8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Решение:

Введем переменные:

Х₁ - суточная реализация краскиЕ(тонн);

Х₂ - суточная реализация краски I (тонн);

Составим целевую функцию:

f(x1,x2) =3000*x1+200*x2 - maxмаксимальный доход от реализации красок х1 и х2 за сутки

Ограничения:

х1+2х2?6

2х1+х2?8

х2-х1?1

х2?2

х1?0, х2?0, где

х2+2х1?6 - ограничение по расходу продукта А;

2х2+х1?8 - ограничение по расходу продукта В;

х2-х1 -суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1 т(по условию);

х2?2-спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки(по условию).

Для определения области допустимых значений заменяем нестрогие неравенства системы на строгие и строим соответствующие прямые в координатных осях х1 0 х2.

х1+2х2=6

2х1+х2=8

х2-х1=1

х2=2

Решением первого уравнения является прямая, найдем точки, через которые проходит искомая прямая:

Х1	0	6
Х2	3	0



Областью допустимых значений является полуплоскость, лежащая ниже данной прямой. Проверим: возьмем точку (0,0), она принадлежит данной полуплоскости, 0+0?6.

Решением второго уравнения является прямая, найдем точки, через которые она проходит:

Х1	0	2
Х2	8	4

Областью допустимых значений является полуплоскость, лежащая ниже данной прямой. Возьмем для проверки точку с координатами (0,0), она принадлежит данной полуплоскости, 0+0?8.

Решением третьего уравнения является прямая, найдем точки, через которые она проходит:

Х1	0	1
Х2	1	2

Областью допустимых значений является полуплоскость, лежащая ниже данной прямой. Для проверки подставим точку с координатами (0,0), она принадлежит данной полуплоскости, 0-0?1.

Решением четвертого уравнения является прямая, параллельная оси х1, проходящая через точку 2 на оси х2.

Областью допустимых значений является полуплоскость, лежащая ниже этой прямой. Для проверки подставим точку с координатами (0,0), она принадлежит данной полуплоскости, 0?2.

Многоугольником решений является многоугольник АВСDЕ, координаты точек которого удовлетворяют условиям неотрицательности и неравенствам системы ограничений задачи.

Найдем координаты точки А, которая получена на пересечении прямых

х1=0

х2-х1=1, где

х1=0, х2= 1, подставляем эти значения в целевую функцию и получаем:

3000*0+2000*1=2000

Аналогично находим координаты точки В, полученной путем пересечения прямых:

х2=2

х2-х1=1, где х1=1, х2=2

Подставим эти значения в целевую функцию:

3000*1+2000*2=7000

Найдем координаты точки С, полученной путем пересечения прямых:

х2=2

х1+2х2=6, где х1=2, х2=2.

Подставляем эти значения в целевую функцию:

3000*2+2000*2=10000.

Найдем координаты точки D, полученной путем пересечения прямых:

х1+2х2=6

2х1+х2=8, где х1=3,33, х2=1,33.

Подставим эти значения в целевую функцию:

3000*10/3+2000*4/3=12666,67.

Найдем координаты точки Е, полученной путем пересечения прямых:

х2=0

2х1+х2=8, где х1= 4, х2=0.

Подставляем эти значения в целевую функцию:

3000*4+2000*0= 12000.

Таким образом, выделяя наибольшее значение целевой функции, определяем, что в точке D с координатами (3,33, 1,33) целевая функция достигает максимального значения.

Вывод: при х1=3,33, х2- 1,33, значение целевой функции равно 12666,67 ден.ед., т.е. доход от реализации продукции будет максимальным при производстве красок в следующем количестве: краска Е 3,33 тонны, краска I 1,33 тонны в сутки.

При решении задачи на минимум, необходимо найти минимальное значение целевой функции, оно находится в точке А, с координатами (0,1). Таким образом минимальный доход будет получен, если фабрика будет производить только краску I, в количестве одной тонны в сутки.

Задача 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд Сырье Оборудование	1 1 1	4 1 1	3 2 2	200 80 140
Цена изделия	40	60	80

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

Решение:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем переменные:

Х₁ - количество единиц изделий I вида;

Х₂ - количество единиц изделий II вида;

Х₃ - количество единиц изделий III вида;

Составим целевую функцию:

Ограничения:

1х₁ + 4х₂ + 3х₃ ? 200

1х₁ + 1х₂ + 2х₃ ? 80

1х₁ + 1х₂ + 2х₃ ? 140

х₁? 0; х₂ ? 0; х₃ ? 0

Для решения используем Excel, надстройку Поиск решения

Вводим зависимость для функции цели в целевую ячейку (Е4) (вставка функции СУММПРОИЗВ).



Рис. 1.

Зададим значение для ЦФ с помощью функции СУММПРОИЗ

Рис. 2.

Установим курсор в ячейку Е4, выберем в меню «формулы», соответствующую функцию и зададим значения массив 1 и 2. Для массива 1 соответствуют ячейки с В3 по D3, для массива 2 соответствуют ячейки с В4 по D4.Аналогичным образом зададим значения для ячеек с Е7 по Е9, используя функцию СУММПРИЗВ. Воспользуемся надстройкой «Поиск решения». оптимизация задача одномерный показатель



Рис. 3.

Установим курсор в ячейку Е4, зададим искать максимальное значение, внесем все ограничения, в отделе «Параметры», поставим соответствующие флажки, «Линейная модель», «Неотрицательные значения» (рис. 4).

Рис. 4.

Нажимаем команду «Выполнить», при этом указываем, что необходимо предоставить следующие типы отчета: «Результаты», «Устойчивость» (рис.5).



Рис. 5.

В итоге получаем:

Рис. 6.

Рис. 7.

Таким образом, х1=40, х2=40, х3=0. Следовательно, оптимальный план выпуска продукции, с максимальной выручкой 4000 ед. имеет вид:

40 шт. - продукции 1 - го вида,

40 шт. - продукции 2-го вида.

0 шт. - продукции 3-го вида.

При этом ресурсы труд и сырье будут использованы на 100%, а ресурс оборудование будет использован только на 57,14%.

2 Составляем расширенную матрицу

1 4 3 200

1 1 2 80

1 1 2 140

40 60 80 f(x) max

Транспонируем матрицу

1 1 1 40

4 1 1 60

3 2 2 80

200 80 140 g(y) min

по полученной матрице составляем двойственную ЗЛП.

у = (у₁, у₂, у₃) - ?

g(y) = 200y₁ + 80у₂ + 140у₃ (min) - общая стоимость запасов всех ресурсов

1у₁ + 1у₂ + 1у₃ ? 40

4у₁ + 1у₂ + 1у₃ ? 60

3у₁ + 2у₂ + 2у₃ ? 80

У₁ ? 0, У₂ ? 0, У₃ ? 0

У₁ - двойственная оценка ресурса «труд»

У₂ - двойственная оценка ресурса «сырьё»

У₃ - двойственная оценка ресурса «оборудование»

1у₁ + 1у₂ + 1у₃ - стоимость ресурсов, расходуемых на одно изделие I вида

40 - цена изделия I вида

4у₁ + 1у₂ + 1у₃ - стоимость ресурсов, расходуемых на одно изделие II вида

60 - цена изделия II вида

3у₁ + 2у₂ + 2у₃ - стоимость ресурсов, расходуемых на одно изделие III вида

80 - цена изделия IIIвида

Находим оптимальный план с помощью теорем двойственности

х₁ = 40, х₂ = 40, х₃ = 0

х₁*(у₁ + у₂ + у₃ - 40) = 0

40*(у₁ + у₂ + у₃ - 40) = 0

у₁ + у₂ + у₃ - 40 = 0

у₁ + у₂ + у₃ = 40

х₂*(4у₁ + 1у₂ + 1у₃ - 60) = 0

40*(4у₁ + 1у₂ + 1у₃ - 60) = 0

4у₁ + 1у₂ + 1у₃ - 60

4у₁ + 1у₂ + 1у₃ = 60

х₃*(3у₁ + 2у₂ + 2у₃ - 80) = 0

0*(3у₁ + 2у₂ + 2у₃ - 80) = 0

0=0

у₁*(1х₁ + 4х₂ + 3х₃ - 200) = 0

у₁*(1*40 + 4*40 + 3*0 - 200) = 0

у₁*0 = 0 (ресурс труд расходуется полностью)

у₂*(1х₁ + 1х₂ + 2х₃ - 80) = 0

у₂*(1*40 + 1*40 - 80) = 0

у₂*0 = 0 (ресурс сырьё расходуется полностью)

у₃*(1х₁ + 1х₂ + 2х₃ - 140) = 0

у₃*(1*40 + 1*40 - 140) = 0

у₃*(-60) = 0 у₃ = 0/-60 = 0 (ресурс оборудование расходуется не полностью)

у₁ + у₂ + у₃ = 40

4у₁ + 1у₂ + 1у₃ = 60

у₃ = 0

у₁ + у₂ + у₃ = 40

4у₁ + у₂ + у₃ = 60

у₁ = 20/3 ? 6,667; у₂ ? 33,333; у₃ = 0

Найдём значение функции цели двойственной задачи при этом решении

g (y) = 200*6,667 + 80*33,333 + 0 ? 4000 = f(x)

f(x) = g(y)

Значит у =(6,667; 33,333; 0) - это оптимальное решение двойственной задачи.

Это означает, что оптимальный план двойственной задачи определен верно.

3. Если изделие вошло в оптимальный план, значит стоимость ресурсов, затраченных на его изготовление равно его цене. Если же стоимость ресурсов, затраченных на производство одного изделия, больше его цены, то изделие не войдет в оптимальный план из-за своей убыточности. В нашей задаче это изделие 3-го вида. Изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление продукции третьего вида.

80 - цена едини продукции его вида.

86,67 > 80, затраты на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

4.Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился бы на одну единицу. Это позволяет выявить направление «расшивки» узких мест, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитными и какие совсем недефицитными.

Двойственные оценки позволяют определить своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется ввиду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т. е заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

- расход ресурса труд на производство изделий всех видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 - запас ресурса труд.

200 = 200, следовательно, ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.

- расход сырья на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 - запас сырья.

80 = 80, значит, ресурс сырье расходуется полностью, является дефицитным.

расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 - запас рабочего времени оборудования.

80 < 140, следовательно, оборудование расходуется не полностью, он находится в избытке.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₂=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y₁=6,67). Ограниченные запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу -- на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y₃ = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость. Если увеличить запасы сырья на 18ед., то выручка изменится:

х1+4х2+3х3?200

х1+х2+2х3?80+18

х1+х2+2х3?140

х1?0, х2?0, х3?0.

Подставим новое значение 98 и найдем новое значение целевой функции:

Рис. 8.

Таким образом, новый оптимальный план (64,34,0). Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия 1-го вида в количестве 64 ед. и изделия 2-го вида в количестве 34 ед.

Выпуск изделий 1-го вида увеличится на 24 единицы, выпуск изделий 2-го вида уменьшиться на 6 единиц, выпуск изделий 3-го вида не изменится, их выпускать по-прежнему не выгодно.

Оценим целесообразность включения изделия 4-го вида. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений, с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий.

Рис. 9.



Таким образом, включение в оптимальный план изделия 4-го вида не является целесообразным, т.к. не влияет на увеличение прибыли.

Задача 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трёх видов, при этом каждое их трёх предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идёт на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки a_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_iвектора конечной продукции Y.

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Таблица 1

Вариант №	Для первой строки	Для второй строки	Для третьей строки
	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В	2В	3В	4В
5	0,2	0,3	0,0	120	0,3	0,1	0,2	250	0,1	0,0	0,3	180



Таблица 2

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij	Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	1А 1Б 1В	2А 2Б 2В	3А 3Б 3В	4А 4Б 4В

Решение:

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij	Конечный продукт Y
	1	2	3
1 2 3	0,2 0,3 0,1	0,3 0,1 0,0	0,0 0,2 0,3	120 250 180

А = Y =

Проверим продуктивность матрицы А

(Е - А)^-1 =

Е = Е - А = - =

= 0,8*0,9*0,7 + (-0,3)*0*0 + (-0,3)*(-0,2)*(-0,1) - 0*0,9*(-0,1) - 0,8*(-0,2)*0 - (-0,3)*(-0,3)*0,7 = 0,504+0-0,006-0-0-0,063 = 0,435 ? 0

Находим (Е - А)м =

₁₁ = (-1)¹⁺¹ = 1* (0,9*0,7 - 0*(-0,2)) = 0,63

₁₂ = (-1)¹⁺² = -1* ((-0,3)*0,7 - 0*0) = 0,21

₁₃ = (-1)¹⁺³ = 1* ((-0,3)*(-0,2) - 0*0,9) = 0,06

₂₁ = (-1)²⁺¹ = -1* ((-0,3)*0,7 - (-0,2)*(-0,1)) = 0,23

₂₂ = (-1)²⁺² = 1* (0,8*0,7 - 0*(-0,1)) = 0,56

₂₃ = (-1)²⁺³ = -1* (0,8*(-0,2) - 0*(-0,3)) = 0,16

₃₁ = (-1)³⁺¹ = 1* ((-0,3)*0 - 0,9*(-0,1)) = 0,09

₃₂ = (-1)³⁺² = -1* (0,8*0 - (-0,3)*(-0,1)) = 0,03

₃₃ = (-1)³⁺³ = 1* (0,8*0,9 - (-0,3)*(-0,3)) = 0,63

Отрицательных элементов нет, значит, матрица А продуктивна.

Х = (Е-А)^-1 * Y = =

Х₁ = 319,31 Х₂ = 451,49 Х₃ = 302,76

Решение в Excel:

Х_ij= a_ij * X_j

х₁₁ = а₁₁ * Х₁ = 0,2*319,31= 63,862

х₁₂ = а₁₂ * Х₂ = 0,3*451,494 = 135,448

х₁₃ = а₁₃ * Х₃ = 0,0*302,759 = 0

х₂₁ = а₂₁ * Х₁ = 0,3*319,31= 95,793

х₂₂ = а₂₂ * Х₂ = 0,1*451,494 = 45,149

х₂₃ = а₂₃ * Х₃ = 0,2*302,759 = 60,552

х₃₁ = а₃₁ * Х₁ = 0,1*319,31 = 31,931

х₃₂ = а₃₂ * Х₁ = 0,0*541,494 = 0

х₃₃ = а₃₃ * Х₁ = 0,3*302,759 = 90,828

Условно чистая продукция - это сумма оплаты труда, чистого дохода и амортизационных расходов.

В итоге плановая модель-баланс производства и распределения продукции предприятия.

Z₁ =63,862+95,793+31,931=191,586

Z₂ = 135,448+45,149+0=180,597

Z₃ = 0+60,552+90,828=151,379

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1	63,862	135,448	0	120	319,31
2	95,793	45,149	60,552	250	451,494
3	31,931	0	90,828	180	302,759
Условно чистая продукция	191,586	180,597	151,379	550
Валовой продукт	319,31	451,494	302,759		1073,563

Решение в Excel:



Задание 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже в таблице:

Таблица 1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	5	7	10	12	15	18	20	23	26

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

1. Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей. Используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:

=7,218803

Расчетные значения л, л и т. д сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина л и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Значения критерия Ирвина для уровня значимости а=0,05, т.е с 5%-ной ошибкой, приведены в таблице 2.

Таблица 2

n	10
л	1,5



Дальнейшие расчеты представлены в таблице 3.

Таблица 3

Среднеквадратическое значение временного ряда равно 7,218803.

Как следует из таблицы все расчетные значение критерия меньше критического уровня ( при уровне значимости а=0,05,n=10, л=1,5). Таким образом, аномалии во временном ряде не обнаружены.

2. Расчеты, необходимые для построения модели и проверки ее качества представлены ниже в таблице 4

Таблица 4

Таким образом, получили линейную модель у=2,633х+1,9444

Критерии адекватности моделей экономического прогнозирования.

Важным этапом прогнозирования социально-экономических процессов является проверка адекватности модели реальному явлению. Для ее осуществления исследуют ряд остатков, т.е отклонений расчетных значений от фактических. Если трендовая модель выбрана правильно, то для остатков характерны: равенство нулю математического ожидания, случайный характер отклонений от математического ожидания, отсутствие автокорреляции и неизменность дисперсии остатков во времени, нормальный закон распределения.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. С этой целью строится t-статистика. Полученная t-статистика равная1,119159 намного меньше табличного значения. При а=0,05 числе степеней свободы t=2,306004.

Нулевая гипотеза остатков не отклоняется. Модель адекватна по этому признаку. Данная проверка носит формальный характер, так как в линейной модели это свойство всегда выполняется.

Для проверки условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда часто используется критерий,основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны. В данном случае число поворотных точек равно 5.

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона. С этой целью строится статистика Дарбина-Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит расчетная формула:

При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2, а при полной автокорреляции -0или4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2)и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных моделей. Значения этих границ для трех уровней значимости (а=0,01, а=0,025 и а=0,05) даны в специальных таблицах. При сравнении расчетного значения d-статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации:d2<d<2-ряд остатков не коррелирован; d<d<d2- область неопределенности, когда нет оснований ни принять ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать в формуле d=4-d=4-2,28=1,72.Табличное значение d1=1,08 иd2=1,36. Так как 1,72>d2, то остатки статистически независимые. Модель адекватна по этому признаку.

3.Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R\S критерия:

=0,9/0,32059=2,8

Поскольку значение критерия входит в диапазон между критическими уровнями, нормальный закон распределения остатков выполняется и значит модель адекватна по этому признаку.

3.Оценка точности модели имеет смысл только для адекватных моделей. В случае временных рядов точность модели определяется как разность между фактическим и расчетным значениями. В качестве статистических показателей точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда.

Так как погрешность меньше 5%, модель точная.

5.Построение точечного и интервального прогнозов. Если в ходе проверки разрабатываемая модель признана достаточно надежной, на ее основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подставки в модель значений времени t соответствующих периоду упрежденияk:t=n+k. Так как в случае трендовой модели в виде полинома первой степени- линейной модели роста- экстраполяция

Yпрогн(n+k) = a0+a1*(n+k)=1,944444+2,633333*(9+2)=30,911111

Рассчитываем ширину интервального прогноза:

Таким образом, с вероятностью 70% можно утверждать, что будущее значение временного ряда находится в границах от 30,40937 до 31,41285.

6.Построим график. Перебирая варианты аппроксимирующих кривых, мы остановились на линейной функции, как наиболее подходящей.



Список использованной литературы

1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб.пособие. - М.: Вузовский учебник, 2008.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели. Методическое пособие для выполнения контрольной и лабораторной работ: - М.: Вузовский учебник, 2006.

Размещено на Allbest.ru