Методы построения моделей нелинейных процессов

Понятие и виды нелинейных моделей регрессии. Приведение нелинейной функции к линейному виду с помощью замены переменных и логарифмирования. Анализ влияния уровня инфляции на количество безработных с помощью парной нелинейной регрессии и линеаризации.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 22.05.2012
Размер файла 293,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Глава I. Теоретические основы методов построения нелинейных регрессионных моделей

1.1 Линейная регрессия и виды нелинейных моделей регрессии

1.2 Линеаризация и логарифмические преобразования

1.3 Оценка качества и адекватности модели

Глава II. Парная нелинейная регрессия и линеаризация на примере влияния уровня инфляции на количество безработных

Заключение

Список литературы

Введение

В данной курсовой работе рассматриваются нелинейные модели регрессии и линеаризация на примере влияния уровня инфляции (индекс потребительских цен) на количество безработных. В настоящий момент, в период мирового экономического кризиса, исследования этого влияния очень актуально. С повышением индекса потребительских цен (инфляции) сокращается количество рабочих мест и, следовательно, увеличивается количество безработных. Эконометрические исследования призваны выяснить, насколько тесно связаны между собой два этих показателя и по возможности определить и рассчитать возможные варианты развития общества и экономики страны при дальнейшем увеличении или наоборот снижении уровня потребительских цен (инфляции).

Цель работы: изучить. Изучит методы построения моделей нелинейных процессов.

Задачи работы:

1) Ознакомиться с понятиями линейной регрессии и видами нелинейных регрессий;

2) Привести внутренне линейные модели к линейному виду с помощью логарифмирования;

3) Оценить качество полученных моделей и их адекватность;

4) Проанализировать влияние уровня инфляции на количество безработных.

Предметом исследования выступает выбор наиболее подходящей модели для описания зависимости между исходными данными.

Объект исследования - исследование нелинейных моделей регрессии и линеаризации с помощью соотношения таких социально-экономических явлений как инфляция и безработица, их взаимосвязь.

В работе использовались различные методы исследования: эконометрические, экономические, математические, а также использование табличного процессора Microsoft Excel.

Для написания курсовой работы использовались учебное пособие Магнуса Я.Р. «Эконометрика. Начальный курс», учебник «Эконометрика» Елисеевой И.И., «Введение в эконометрику» Кристофера Доугерти, учебно-методическое пособие «Эконометрика» Шалобанова А.К.

Курсовая работа состоит из 2-х глав. В первой главе приводятся теоретические и основы методов построения нелинейных регрессионных моделей. Приводятся определения понятий модели, линейной регрессии, рассматриваются основные виды нелинейной регрессии, и приведение их к линейному виду простой заменой переменных и дальнейшая оценка параметров. Наличие формул коэффициента эластичности, индекса корреляции, индекса детерминации и F- критерия Фишера позволяет оценить качество полученных моделей и их адекватность.

Во второй главе рассмотрены модели характеризующие зависимость между инфляцией и числом безработных, использованы линейная, параболическая, гиперболическая, полулогарифмическая и степенная функции, произведен подсчет параметров и основных коэффициентов.

Глава I. Теоретические основы методов построения нелинейных регрессионных моделей

1.1 Линейная регрессия и виды нелинейных моделей регрессии

Математические модели широко применяются в бизнесе, экономике, общественных науках, исследовании экономической активности даже в исследовании политических процессов.

Математические модели полезны для более полного понимания сущности происходящих процессов, их анализа. Модель, построенная и верифицированная на основе (уже имеющихся) наблюденных значений объясняющих переменных, может быть использована для прогноза значений зависимой переменной в будущем или для других наборов значений объясняющих переменных. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М., 2004. С. 26-28.

Простейшая модель регрессии - линейная регрессия. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров - и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

. (1.2)

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, например

- полиномы различных степеней -

,

.

- равносторонняя гипербола -

;

- полулогарифмическая функция -

.

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам, например

- степенная -

;

- показательная -

;

- экспоненциальная -

.2 Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004. с.13

Нелинейная регрессия по включенным переменным не имеет никаких сложностей для оценки её параметров. Они определяются, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов. Параметры a, b и c определяются либо методом подстановки, либо методом определителей.

- определитель системы;

- частные определители для параметров a, b, c.3 Нарбут М. А., Соколовская М.В. Эконометрика: текст лекций/ СПб ГУАП. СПб, 2004. с. 10

Рис. 1.1 Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя переменными

1.2 Линеаризация и логарифмические преобразования

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

(1.3)

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

(1.4)

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).4 Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. с. 98

К внутренне линейным моделям относятся

- степенная функция -

Линеаризация проводится логарифмированием,

(1.5)

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

;

- показательная -

,

- экспоненциальная -

.5 Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004., с. 26

Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени коэффициент b. Единственный способ это сделать - логарифмировать обе части равенства:

(1.6)

Сделаем замены : ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным:

.

Нужно пересчитать исходные данные для фактора Y, и потом, когда коэффициенты регрессии будут найдены, вернуться назад к коэффициентам .;

- логистическая -

,

- обратная -

.

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:

, .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием6 Замков О.О. Математические методы в экономике. Учебник, М..: МГУ им. Ломоносова. Изд. «Дело и Сервис», 1999.:

, (1.7)

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Таблица 1.1 Линеаризация моделей

Название функции

Вид модели

Заменяемые переменные

Вид линеаризированной модели

Показательная

Ln y = Ln a+ х ln b

Ln y = Y, Ln a = б, Ln b =в

Y = a + xb

Степенная

Ln y = Ln a+ b ln x

Ln y = Y, Ln a = б, Ln x =x

Y = a + bx

гиперболическая

Y = a + b/x

1/x=X

Y = a +b X

Рассмотрим далее функции вида (1.8), которые являются нелинейными как по параметрам, так и по переменным:

. (1.8)

Мы обнаружим, что соотношение (1.8) может быть преобразовано в линейное уравнение путем использования логарифмов.

Применение логарифмов

Основные правила гласят:

Если у = xz, то log у = log x + log z-

Если у = x/z, то log у = log х - log z.

Если у = хп, то log у - n log х

Эти правила могут применяться вместе для преобразования более сложных выражений. Например, возьмем уравнение (1.8). Если то по правилу 1:

log у = log а + log x и по правилу 3

= log a + log х.

Для натуральных логарифмов справедливо еще одно правило:

4. Если у = ex, то log у = х.

Выражение ех, которое часто записывается как exp (x), известно также как антилогарифм х. Можно сказать, что log () является логарифмом антилогарифма х, и так как логарифм и антилогарифм взаимно уничтожаются, неудивительно, что log ) превращается просто в х.

Используя приведенные выше правила, уравнение (1.8) можно преобразовать в линейное путем логарифмирования его обеих частей. Если соотношение (4.4) верно, то

logy = log = log a + logx (1.9)

Если обозначить у'= log у, z = log х и a'= log а, то уравнение (1.8) можно переписать в следующем виде:

у'=а'+вz. (1.10)

Процедура оценивания регрессии теперь будет следующей. Сначала вычислим у' и z для каждого наблюдения путем взятия логарифмов от исходных значений. Вы можете сделать это на компьютере с помощью имеющейся статистической программы. Затем оценим регрессионную зависимость у' от z. Коэффициент при z будет представлять собой непосредственно оценку в. Постоянный член является оценкой а', т. е. log а. Для получения оценки а необходимо взять антилогарифм, т. е. вычислить ехр (а').7 Фестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер. с нем. - М.: Финансы и статистика, 1982, с.137

1.3 Оценка качества и адекватности модели

Широкое использование степенной функции связано с тем, что параметр в ней имеет четкое экономическое истолкование - он является коэффициентом эластичности. (Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%.) Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

. (1.11)

Так как для остальных функций коэффициент эластичности не является постоянной величиной, а зависит от соответствующего значения фактора , то обычно рассчитывается средний коэффициент эластичности:

. (1.12)

Приведем формулы для расчета средних коэффициентов эластичности для наиболее часто используемых типов уравнений регрессии:

Таблица 1.2 Формулы расчёта коэффициентов эластичности Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1999, с. 204

Вид функции,

Первая производная,

Средний коэффициент эластичности,

1

2

3

Возможны случаи, когда расчет коэффициента эластичности не имеет смысла. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения в процентах.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части - «объясненную» и «необъясненную»:

, (1.12)

где - общая сумма квадратов отклонений; - сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); - остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 1998.,с. 128

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.3 ( - число наблюдений, - число параметров при переменной ).

Табл. 1.3 Схема дисперсионного анализа

Компоненты дисперсии

Сумма квадратов

Число степеней свободы

Дисперсия на одну степень свободы

Общая

Факторная

Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

. (1.13)

Фактическое значение -критерия Фишера (1.13) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Уравнение нелинейной регрессии, так же, как и в случае линейной зависимости, дополняется показателем тесноты связи. В данном случае это индекс корреляции:

, (1.14)

где - общая дисперсия результативного признака ,

- остаточная дисперсия.

Величина данного показателя находится в пределах: . Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: учебное пособие - Мн.: БГУ, 2000, с. 74

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.15)

т.е. имеет тот же смысл, что и в линейной регрессии;

.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . А близость этих показателей указывает на то, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Индекс детерминации используется для проверки существенности в целом уравнения регрессии по -критерию Фишера:

, (1.16)

где - индекс детерминации, - число наблюдений, - число параметров при переменной . Фактическое значение - критерия (1.16) сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы (для остаточной суммы квадратов) и (для факторной суммы квадратов).

О качестве нелинейного уравнения регрессии можно также судить и по средней ошибке аппроксимации, которая вычисляется по формуле:

. (1.17)

Таблица 1.4 Значения - критерия Фишера при уровне значимости Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004, с. 194

1

2

3

4

5

6

8

12

24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

161,5

199,5

215,7

224,6

230,2

233,9

238,9

243,9

249,0

254,3

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,37

19,41

19,45

19,50

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,84

8,74

8,64

8,53

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,04

5,91

5,77

5,63

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,82

4,68

4,53

4,36

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,15

4,00

3,84

3,67

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,73

3,57

3,41

3,23

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,44

3,28

3,12

2,93

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,23

3,07

2,90

2,71

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,07

2,91

2,74

2,54

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

2,95

2,79

2,61

2,40

12

4,75

3,88

3,49

3,26

3,11

3,00

2,85

2,69

2,50

2,30

13

4,67

3,80

3,41

3,18

3,02

2,92

2,77

2,60

2,42

2,21

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,70

2,53

2,35

2,13

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,64

2,48

2,29

2,07

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,59

2,42

2,24

2,01

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,55

2,38

2,19

1,96

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,51

2,34

2,15

1,92

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,48

2,31

2,11

1,88

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,45

2,28

2,08

1,84

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,42

2,25

2,05

1,81

22

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,40

2,23

2,03

1,78

23

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,38

2,20

2,00

1,76

24

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,36

2,18

1,98

1,73

25

4,24

3,38

2,99

2,76

2,60

2,49

2,34

2,16

1,96

1,71

26

4,22

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,32

2,15

1,95

1,69

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,30

2,13

1,93

1,67

28

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,44

2,29

2,12

1,91

1,65

29

4,18

3,33

2,93

2,70

2,54

2,43

2,28

2,10

1,90

1,64

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,27

2,09

1,89

1,62

35

4,12

3,26

2,87

2,64

2,48

2,37

2,22

2,04

1,83

1,57

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,18

2,00

1,79

1,51

45

4,06

3,21

2,81

2,58

2,42

2,31

2,15

1,97

1,76

1,48

50

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,29

2,13

1,95

1,74

1,44

60

4,00

3,15

2,76

2,52

2,37

2,25

2,10

1,92

1,70

1,39

70

3,98

3,13

2,74

2,50

2,35

2,23

2,07

1,89

1,67

1,35

80

3,96

3,11

2,72

2,49

2,33

2,21

2,06

1,88

1,65

1,31

90

3,95

3,10

2,71

2,47

2,32

2,20

2,04

1,86

1,64

1,28

100

3,94

3,09

2,70

2,46

2,30

2,19

2,03

1,85

1,63

1,26

125

3,92

3,07

2,68

2,44

2,29

2,17

2,01

1,83

1,60

1,21

150

3,90

3,06

2,66

2,43

2,27

2,16

2,00

1,82

1,59

1,18

200

3,89

3,04

2,65

2,42

2,26

2,14

1,98

1,80

1,57

1,14

300

3,87

3,03

2,64

2,41

2,25

2,13

1,97

1,79

1,55

1,10

400

3,86

3,02

2,63

2,40

2,24

2,12

1,96

1,78

1,54

1,07

500

3,86

3,01

2,62

2,39

2,23

2,11

1,96

1,77

1,54

1,06

1000

3,85

3,00

2,61

2,38

2,22

2,10

1,95

1,76

1,53

1,03

3,84

2,99

2,60

2,37

2,21

2,09

1,94

1,75

1,52

1

Глава II. Парная нелинейная регрессия и линеаризация на примере влияния уровня инфляции на количество безработных

Данные об уровне инфляции и количестве безработных с 1992 года по 2007 год включительно:

Год

Индекс потребительских цен (инфляция), Х

Число безработных, тыс. чел., y

1992

20

62,4

1993

8,5

36,4

1994

3

53,8

1995

2,3

53,1

1996

1,2

69,8

1997

1,1

81,4

1998

1,7

93,3

1999

1,4

92,5

2000

1,2

80,3

2001

1,2

43,4

2002

1,1

49,2

2003

1,2

43,1

2004

1,1

38

2005

1,1

39,9

2006

1

21,8

2007

1,1

21,2

Для того чтобы определить уравнение регрессии воспользуемся графическим методом:

Из графика поля корреляции невозможно точно определить, какую функцию лучше использовать. В связи с этим исследуем каждую Нелинейную функцию по отдельности, чтобы определить какая из них подходит.

1. Линейная функция

Найдем параметры уравнения a и b методом наименьших квадратов (МНК):

y - фактическое значение.

Для нахождения параметров а и b рассчитываем частные производные по каждому из параметров и приравниваем их к нулю.

;

Проведя дифференцирование, получим следующую систему уравнений:

Год

Индекс потребительских цен (инфляция), Х

Число безработных, тыс. чел., y

xy

а+bx

1992

20

62,4

400

1248

56,7558608

1993

8,5

36,4

72,25

309,4

55,5502744

1994

3

53,8

9

161,4

54,9736896

1995

2,3

53,1

5,29

122,13

54,9003061

1996

1,2

69,8

1,44

83,76

54,7849891

1997

1,1

81,4

1,21

89,54

54,7745057

1998

1,7

93,3

2,89

158,61

54,8374059

1999

1,4

92,5

1,96

129,5

54,8059558

2000

1,2

80,3

1,44

96,36

54,7849891

2001

1,2

43,4

1,44

52,08

54,7849891

2002

1,1

49,2

1,21

54,12

54,7745057

2003

1,2

43,1

1,44

51,72

54,7849891

2004

1,1

38

1,21

41,8

54,7745057

2005

1,1

39,9

1,21

43,89

54,7745057

2006

1

21,8

1

21,8

54,7640224

2007

1,1

21,2

1,21

23,32

54,7745057

Итого:

48,2

879,6

504,2

2687,43

879,6

Среднее:

3,0125

54,975

31,5125

167,9644

54,975

Параметры а и b можно найти методом определителей:

; .

- частные определители для параметров а и b.

- определитель системы.

;

Можно сделать вывод, что связь между факторным и результативным признаком (между индексом потребительских цен и количеством безработных) прямая, потому что b>0, с изменением значения инфляции на 1, число безработных в среднем меняется на 0,1048336 тысячу человек.

Коэффициент эластичности является показателем силы связи, выраженным в процентах.

Для линейной функции рассчитывается следующим образом:

Э =

При линейной зависимости признаков x и y, средний коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

Э = = 0,1048336 * 3,0125/54,975= 0,01002178

0,01002178 = 0,01% - с ростом инфляции на 1%, число безработных увеличивается на 0,1%.

; ;

4,73680734 20,5635287 = 0,02414841

Линейный коэффициент корреляции не лежит в пределах и равен 0,02414841. Это говорит о том, что связь между факторами и результативными признаками практически отсутствует.

Средняя ошибка аппроксимации.

43,1798051%, более 7%.

Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

2. Параболическая функция

Найдем параметры уравнения a и b МНК

Находим производные по параметрам a, b, c:

; ; .

хІ

хі

Х4

хy

xІy

(a+b*x+c*xІ)

(y-yх)І

(y- yср.)І

400

8000

160000

1248

24960

61,0452322

1,835396

55,130625

72,25

614,125

5220,06

309,4

2629,9

45,681885

86,15339

345,030625

9

27

81

161,4

484,2

51,7736238

4,106201

1,380625

5,29

12,167

27,9841

122,13

280,899

53,1727553

0,005293

3,515625

1,44

1,728

2,0736

83,76

100,512

55,6559903

200,053

219,780625

1,21

1,331

1,4641

89,54

98,494

55,8989874

650,3016

698,280625

2,89

4,913

8,3521

158,61

269,637

54,484126

1506,672

1468,80563

1,96

2,744

3,8416

129,5

181,3

55,1786203

1392,885

1408,12563

1,44

1,728

2,0736

96,36

115,632

55,6559903

607,3272

641,355625

1,44

1,728

2,0736

52,08

62,496

55,6559903

150,2093

133,980625

1,21

1,331

1,4641

54,12

59,532

55,8989874

44,87643

33,350625

1,44

1,728

2,0736

51,72

62,064

55,6559903

157,6529

141,015625

1,21

1,331

1,4641

41,8

45,98

55,8989874

320,3737

288,150625

1,21

1,331

1,4641

43,89

48,279

55,8989874

255,9676

227,255625

1

1

1

21,8

21,8

56,1448592

1179,569

1100,58063

1,21

1,331

1,4641

23,32

25,652

55,8989874

6557,989

1140,75063

504,2

8675,52

165358

2687,43

29446,38

879,6

7906,49

; ; .

58,76168853; -2,76056647; 0,143737183.

a > 0 - относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Знак при коэффициенте регрессии показывает направлении связи. b<0 и c>0 парабола симметрична относительно своего минимума, что позволяет определить минимум в точке меняющей направление связи, т.е. снижение на рост.

Ввиду симметричности кривой параболу 2-й степени не всегда можно использовать в конкретных исследованиях. Чаще всего исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы.

Индекс корреляции:

0,412984531

из этого следует, что связь между рассматриваемыми признаками слабая.

Коэффициент эластичности.

Э = -7,10889586% = -7 с ростом инфляции на 1%, число безработных уменьшается в среднем на 7%.

Средняя ошибка аппроксимации

31,97123809

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

Табличное значение F= 3.81. Значение F=1.34< табличного значения, значит, используемая модель неадекватна.

3. Полулогарифмическая функция

Найдем параметры уравнения a и b МНК

Ln X

lnx*y

(lnx)І

(y-yср)І

a+blnx

y-a-blnx

(y-a-blnx)І

2,995732

186,9337

8,97441185

55,13063

57,5192608

4,88073925

23,8216156

2,140066

77,89841

4,57988318

345,0306

56,6213156

-20,2213156

408,901604

1,098612

59,10534

1,20694896

1,380625

55,5284027

-1,72840274

2,98737604

0,832909

44,22747

0,69373761

3,515625

55,249571

-2,149571

4,62065547

0,182322

12,72604

0,03324115

219,7806

54,5668374

15,2331626

232,049241

0,09531

7,758249

0,00908403

698,2806

54,4755268

26,9244732

724,927259

0,530628

49,50762

0,28156634

1468,806

54,9323542

38,3676458

1472,07624

0,336472

31,12368

0,11321357

1408,126

54,7286048

37,7713952

1426,67829

0,182322

14,64042

0,03324115

641,3556

54,5668374

25,7331626

662,195655

0,182322

7,912756

0,03324115

133,9806

54,5668374

-11,1668374

124,698258

0,09531

4,689261

0,00908403

33,35063

54,4755268

-5,27552677

27,8311827

0,182322

7,858059

0,03324115

141,0156

54,5668374

-11,4668374

131,488361

0,09531

3,621787

0,00908403

288,1506

54,4755268

-16,4755268

271,442982

0,09531

3,802876

0,00908403

227,2556

54,4755268

-14,5755268

212,445981

0

0

0

1100,581

54,3755073

-32,5755073

1061,16367

0,09531

2,020576

0,00908403

1140,751

54,4755268

-33,2755268

1107,26068

9,140257

513,8262

16,0281463

7906,49

879,6

-1,7053E-13

7894,58906

0,571266

32,11414

1,00175914

;

; ; .

54,3755073; 1,0494107.

Y= 54,3755073 + 1,0494107·lnx

Параметр b = 1,0494107 (b>0), следовательно, связь - прямая. Параметр а = 54,3755073 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора.

Индекс корреляции:

0,03879705, ,

следовательно, связь между признаками практически отсутствует.

Коэффициент эластичности.

0,01889714

- с ростом уровня инфляции на 1%, число безработных возрастает в среднем на 0,02%.

Средняя ошибка аппроксимации.

43,0545643%

это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

==0,02

< табличного 4,6, значит, модель не адекватна.

4. Равносторонняя гипербола

Найдем параметры уравнения a и b МНК

1/х

y/x

1/xІ

a+b/x

y-yср

(y-yср.)І

y-a-b/x

0,05

3,12

0,0025

61,6205657

7,425

55,13063

0,7794343

0,117647

4,282353

0,01384083

60,9233865

-18,575

345,0306

-24,523387

0,333333

17,93333

0,111111111

58,7004964

-1,175

1,380625

-4,9004964

0,434783

23,08696

0,189035917

57,6549473

-1,875

3,515625

-4,5549473

0,833333

58,16667

0,694444444

53,547433

14,825

219,7806

16,252567

0,909091

74

0,826446281

52,7666659

26,425

698,2806

28,633334

0,588235

54,88235

0,346020761

56,0734445

38,325

1468,806

37,226555

0,714286

66,07143

0,510204082

54,7743529

37,525

1408,126

37,725647

0,833333

66,91667

0,694444444

53,547433

25,325

641,3556

26,752567

0,833333

36,16667

0,694444444

53,547433

-11,575

133,9806

-10,147433

0,909091

44,72727

0,826446281

52,7666659

-5,775

33,35063

-3,5666659

0,833333

35,91667

0,694444444

53,547433

-11,875

141,0156

-10,447433

0,909091

34,54545

0,826446281

52,7666659

-16,975

288,1506

-14,766666

0,909091

36,27273

0,826446281

52,7666659

-15,075

227,2556

-12,866666

1

21,8

1

51,8297452

-33,175

1100,581

-30,029745

0,909091

19,27273

0,826446281

52,7666659

-33,775

1140,751

-31,566666

11,11707

597,1613

9,082721884

879,6

0

7906,49

6,324E-13

0,694817

37,32258

0,567670118

;

; .

62,13587203; -10,3061268

Параметр а = 62,13587203 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Параметр b<0, следовательно, мы имеем медленно повышающуюся функцию.

Индекс корреляции:

0,135087786, ,

следовательно, связь между признаками практически отсутствует.

Коэффициент эластичности.

Э = - = -9,8064604 = -9,8

- с ростом инфляции на 1%, число безработных уменьшается в среднем на 9,8%.

Средняя ошибка аппроксимации.

41,96227481%

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

< табличного 4,6, значит, модель неадекватна.

5. Степенная функция

Преобразование функции данного вида путем логарифмирования будет осуществлено следующим образом:

,

где , , , - натуральный логарифм y, a, x, е соответственно;

b - параметр уравнения.

Далее следует произвести замену прологарифмированных параметров и переменных: ln y=Y; ln a= A; ln x=X, ln е= е.

Исходное уравнение примет вид:

.

;

Ln ; .

Ln a = 3,884109536; b = 0,057261978; a = exp(ln a) = 48,62362559.

Параметр а = 48,62362559 (а>0), следовательно, относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора. Параметр b>0, следовательно, мы имеем медленно повышающуюся функцию. Связь прямая.

Ln X

ln y

(lnx)І

(y-yср)І

a*x^b

ln x*lny

y-a*x^b

(y-a*x^b)І

2,995732

4,133565

8,974411855

55,13063

57,7227335

12,38305

4,67726646

21,8768216

2,140066

3,594569

4,579883184

345,0306

54,9626552

7,692615

-18,5626552

344,572166

1,098612

3,985273

1,206948961

1,380625

51,7807391

4,37827

2,01926087

4,07741445

0,832909

3,972177

0,693737607

3,515625

50,9988743

3,308462

2,1011257

4,41472922

0,182322

4,245634

0,03324115

219,7806

49,1339199

0,774071

20,6660801

427,086867

0,09531

4,399375

0,00908403

698,2806

48,8897218

0,419305

32,5102782

1056,91819

0,530628

4,53582

0,281566341

1468,806

50,1237205

2,406834

43,1762795

1864,19111

0,336472

4,527209

0,113213566

1408,126

49,5695435

1,52328

42,9304565

1843,0241

0,182322

4,38577

0,03324115

641,3556

49,1339199

0,79962

31,1660801

971,32455

0,182322

3,770459

0,03324115

133,9806

49,1339199

0,687436

-5,73391989

32,8778373

0,09531

3,895894

0,00908403

33,35063

48,8897218

0,371318

0,31027824

0,09627258

0,182322

3,763523

0,03324115

141,0156

49,1339199

0,686171

-6,03391989

36,4081892

0,09531

3,637586

0,00908403

288,1506

48,8897218

0,346699

-10,8897218

118,58604

0,09531

3,686376

0,00908403

227,2556

48,8897218

0,351349

-8,98972176

80,8150974

0

3,08191

0

1100,581

48,6236256

0

-26,8236256

719,50689

0,09531

3,054001

0,00908403

1140,751

48,8897218

0,291077

-27,6897218

766,720691

9,140257

62,66914

16,02814627

7906,49

804,76618

36,41956

74,8338199

8292,49697

0,571266

3,916821

1,001759142

Индекс корреляции:

0,48821534

из этого следует, что связь между рассматриваемыми признаками слабая.

Коэффициент эластичности.

Э = b = 0,057261978 - с ростом инфляции на 1%, число безработных увеличивается в среднем на 0,06%.

Средняя ошибка аппроксимации.

37,49593051

- это больше 7%. Так как не лежит в пределах от 5 до 7%(включительно), то это свидетельствует о том, что данная модель не подходит к исходным данным.

=

< табличного 4,49, но непосредственно близко к нему по значению, поэтому можно сказать, что данная модель наиболее адекватна из всех рассмотренных.

Заключение

нелинейный регрессия инфляция безработный

В первой главе мы рассмотрели теоретические аспекты, а именно что такое модель, линейная регрессия, нелинейная регрессия, какие виды нелинейной регрессии бывают, нахождение параметров, что такое линеаризация, приведение нелинейной функции к линейному виду с помощью замены переменных и логарифмирования. Рассмотрели оценку качества моделей с помощью коэффициентов эластичности, индексов корреляции и оценку адекватности моделей с помощью F - критерия Фишера, привели табличные значения, по которым сравнивается адекватность модели.

Во второй главе на основании исходных данных, взятых из статистического ежегодника Тульской области, а именно индекса потребительских цен (инфляции) и количества безработных в тысячах человек, мы строили модели и оценивали их по параметрам и коэффициентам, и пытались определить какая из функциональных моделей наиболее подходит для описания данных. Были исследованы следующие функции: линейная, параболическая, гиперболическая, полулогарифмическая и степенная. Путем расчетов мы выяснили, что наилучшим образом из всех рассмотренных функциональных моделей для описания исходных данных подходит степенная функция.

Список литературы

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К, Пересецкий А.А.. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие, 6-е издание. М: Дело, 2004 - 576с.

2. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344 с.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.: Инфра-М, 1999, 402 с.

4. Шалабанов А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие. Казань, Академия управления «ТИСБИ»,2004.

5. Трофимов В.В., Тужилин А.А. Математические модели экономики. М.: 2005

6. Нарбут М.А., Соколовская М.В. Эконометрика: текст лекций/ СПб ГУАП. СПб, 2004. 48 с.

7. Айвазян С.А., Мхиторян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для ВУЗов. - М.: ЮНИТИ, 1998.

8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для ВУЗов/ Под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311с.

9. Статистический ежегодник. 2008 г.

10. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. Учебник, М..: МГУ им. Ломоносова. Изд. «Дело и Сервис», 1999.

11. Груббер Й. Эконометрика. В 2-х т. Т 1.: Введение в эконометрию. К., 1996 - 397 с.

12. Бородич С.А. Вводный курс эконометрики: учебное пособие - Мн.: БГУ, 2000. - 354 с.

13. Фестер Э., Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа: Пер. с нем. - М.: Финансы и статистика, 1982

14. Кулинич Е.И. Эконометрия. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 304 с.

15. Эконометрика: Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов - М.: Издательство «Экзамен», 2002. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.