Математические методы в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ"

ФИНАНСОВО-КРЕДИТНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ ЭКОНОМИКА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО ДИСЦИПЛИНЕ "МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭКОНОМИКЕ"

Выполнил:

Алимов Максим Витальевич

Преподаватель:

Гармаш Александр Николаевич

Москва 2012 г.

1. Системы массового обслуживания с ожиданием, основные характеристики ее функционирования

Пояснительня записка к заданию 1:

Для рациональной организации торговли, бытового обслуживания, складского хозяйства и т.п. весьма можно использовать интерпретацию деятельности производственной структуры как системы массового обслуживания (СМО), т.е. системы, в которой, с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой -- происходит постоянное удовлетворение этих запросов. Первые задачи теории массового обслуживания были рассмотрены А. К. Эрлангом в период между 1908 и 1922 годами. Стояла задача упорядочить работу телефонной станции и заранее рассчитать качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств. Понятие СМО ввел А.Я. Хинчин (Слайд 1)

Основные определения.

Требованием (клиентом, заявкой) в СМО называется каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы.

Обслуживание -- это выполнение работы по удовлетворению поступившего требования. Объект, выполняющий обслуживание требований, называется обслуживающим устройством (аппаратом, прибором) или каналом обслуживания.

Временем обслуживания называется период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание, т.е. период от начала обслуживания до его завершения. Период от момента поступления требования в систему до начала обслуживания называется временем ожидания обслуживания. Время ожидания обслуживания в совокупности с временем обслуживания составляет время пребывания требования в системе. (Слайд 2)

В зависимости от условий ожидания требования начала обслуживания СМО подразделяются на:

1) СМО с потерями (отказами) - заявки, поступившие в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, получают отказ (нулевое ожидание или явные потери), они теряются для данной системы (покидают СМО) и никакого влияния на дальнейший процесс обслуживания не оказывают. Для системы с потерями основной характеристикой ее эффективности является вероятность отказа в обслуживании или средняя доля требований, получающих отказ (оставшихся необслуженными). (Пример сотовая и стационарная телефонная связь -- требование на соединение получает отказ, если вызываемый абонент занят).

2) СМО с ожиданием требование, поступившее в момент, когда все приборы заняты обслуживанием, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. При освобождении очередного прибора одна из заявок, стоящих в очереди, немедленно принимается на обслуживание. Для СМО с ожиданием основными характеристиками являются математические ожидания длины очереди и времени ожидания. (Пример процесс разгрузки (загрузки) сырья с фур автопогрузчиком на складе (хладокомбинате))

На практике чаще встречаются (и имеют большее значение) СМО с очередью; недаром теория массового обслуживания имеет второе название: "теория очередей".

Степень загрузки обслуживающей системы характеризуется таким критерием, как среднее число занятых приборов. Этот критерий используется при оценке качества систем всех типов.

Целью теории систем массового обслуживания является выработка рекомендаций по рациональному построению СМО и рациональной организации их работы и регулированию потока заявок.

Предмет теории массового обслуживания -- построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с характеристиками (показателями эффективности СМО), описывающими, с той или другой точки зрения, ее способность справляться с потоком заявок. (Слайд 3)

Рассмотрим подробнее СМО с ожиданием.

Классификация СМО с ожиданием.

Системы массового обслуживания с ожиданием, как и системы массового обслуживания с отказами классифицируются по разным признакам:

1. По числу каналов обслуживания СМО:

1) Одноканальные (один канал обслуживания (n= 1)) (Пример одна авиакасса);

2) Многоканальные (несколько каналов обслуживания(n > 1)) (Пример несколько окошек для обслуживания клиентов в банке).

2. По дисциплине обслуживания СМО:

1) Без ограничений

2) с ограниченной длиной очередью

3) с ограничением времени ожидания (момента наступления обслуживания, что ассоциируется с понятием "допустимая длина очереди")

3. В зависимости от фазности:

1) однофазные системы (требования обслуживаются каналами одного типа (рабочими одной профессии) без передачи их от одного канала другому), (Пример касса продовольственного магазина);

2) в многофазных системах. (требования обслуживаются каналами разных типов (рабочими разных профессии) без передачи их от одного канала другому), (Пример конвейер по сборке автомобилей)

4. По месту нахождения источника требований СМО:

1) Разомкнутые (открытые) (когда источник требования находится вне системы) - если питающий источник обладает бесконечным числом требований (Пример продуктовый магазин, авиакасса - поступающий поток требований можно считать неограниченным). Характеристики потока заявок не зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято).

2) замкнутые (когда источник находится в самой системе) - в которых поступающий поток требований ограничен. (Пример проведение вакцинация в птичника на птицефабрике - их количество ограниченно и проводится с определенной периодичностью (общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно). Характеристики потока заявок зависят от того, в каком состоянии сама СМО (сколько каналов занято).

5. В зависимости от приоритетности:

1) системы без приоритета в обслуживании. - требования будут обслуживаться случайным образом.

2) системы с абсолютным приоритетом в обслуживании (обслуживаются в первую очередь)

3) системы с относительным приоритетом в обслуживании - требования будут обслуживаться в порядке их поступления, либо в зависимости от установленных приоритетов.

Существуют и другие разновидности СМО - СМО с "взаимопомощью" между каналами (незанятые каналы "помогают" занятому в обслуживании). (Слайд 4)

Структура СМО с ожиданием

Всякая СМО включает четыре элемента:

1. входящий поток заявок (заказов), заявки, поступившая в СМО в момент времени (для описания входного потока требуется задать вероятностный закон (вероятностное распределение моментов поступления требований), определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении; в систему могут поступать как единичные, так и групповые требования в систему (в последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием). (Пример машины с сырьем)

2. обслуживающее устройство (каналы обслуживания), обслуживание заявки. Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, устройств, пунктов, станций), которые будем называть каналами обслуживания. (Пример автопогрузчик)

3. очередь когда все каналы заняты, заявка становится в очередь и ожидает обслуживания (определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания)

4. выходящий поток. Обслуженный поток заявок. (Пример сырье на складе) (Слайд 5)

Методы и модели исследования СМО можно условно разбить на аналитические, статистические и имитационные модели.

Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции от параметров ее функционирования для проводения качественного анализа влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. К сожалению, аналитическому решению поддается лишь довольно ограниченный круг задач теории массового обслуживания. Ввиду невозможности получить аналитическое решение, либо сложности зависимостей, несмотря на постоянно ведущуюся разработку аналитических методов. Поэтому прибегают к различным упрощениям (при этом, принятые допущения не должны искажать реальной картины процесса). В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых поток требований является простейшим (пуассоновским). За последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова, к ним также относят электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д

Статистические методы - статистические методы оценки веротностных распределений случайных величин. (Построению статистического ряда предшествует группировка данных по признаку однородности, т.е. наблюдаемые данные необходимо распределить по таким временным интервалам, внутри которых стационарное состояние является приемлемой аппроксимацией.

После того как группировка данных будет выполнена, строится гистограмма частот. По внешнему виду гистограммы выбирают распределение одного из видов):

-метод моментов

-метод наименьших квадратов

-Метод минимума Х²

-Метод наибольшего правдоподобия Фишера

Имитационное моделирование. В случаях когда применение математических аналитических моделей неадекватно или является слишком сложным, используется имитационное моделирование, которое состоит в компьютерном моделировании реальной производственной ситуации. Принципиальное отличие от остальных методов в том, что в процессе имитации эксперимент проводится с моделью реальной системы, а не с самой системой. Важнейший момент при исследовании сложных экономических систем на имитационных моделях -- установить адекватность модели реальным объектам. Адекватная модель математически и логически с определенной степенью приближения отражает изучаемую систему. Оценка адекватности модели включает оценку адекватности ее принципиальной структуры, т.е. замысла, и оценку достоверности реализации. Проверка адекватности имитационной модели реальной системе представляет собой сложный процесс и осуществляется либо с помощью специально подобранных контрольных примеров, не обязательно имеющих реальную информацию, или же с помощью реальных задач, где известно решение, полученное аналитическим методом.

Виды моделирования:

-агентское моделирование

-системная динамика

-дискретно-событийное моделирование (слайд 6)

Простейший поток обладает тремя основными свойствами:

* ординарность -- практическая невозможность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что в системе канализации, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно произойдет два прорыва;

* стационарность -- математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим через X), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определенного количества требований в течение заданного промежутка времени At зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени;

* отсутствие последействия -- число требований, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за время t + Дt. (Пример, если произошел прорыв одной трубы на данном участке в данный момент и был устранен ремонтной бригадой, то это не определяет того, произойдет новый прорыв другой трубы на данном участке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на вероятность возникновения прорыва на других участках).

Марковские системы - входящий поток требований и выходящий поток обслуженных требований (заявок) являются пуассоновскими. (слайд 7)

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно к требований задается формулой



где л, -- параметр, интенсивность входящего потока заявок.

Важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории, и особенно в практических приложениях, получил экспоненциальный закон. Для этого закона функция распределения вероятностей имеет вид

F(t) =1-e ^{- мt}

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой 1 - е^-мt, где м -- параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе (интенсивность обслуживания) -- величина, обратная среднему времени обслуживания t_об, т.е. м = 1 / t_о6. (слайд 8)

Для оценки качества функционирования рассматриваемой системы используют следующие основные критерии:

* коэффициент простоя обслуживаемого объекта -- отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе;

* коэффициент простоя обслуживающего канала -- отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу.

Экономический фактор, играет важную роль при выборе оптимальных параметров СМО. В этом случае при решении практических задач оптимизации целесообразно обратиться к критериям, учитывающим экономические показатели. Это, например, могут быть функции стоимости потерь в системе G:

где q_ож -- оценка потерь, связанных с простаиванием требования в очереди в единицу времени; А₁ -- средняя длина очереди (среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания);

* для систем смешанного типа

Переменной при оптимизации обычно является число обслуживающих каналов n, но иногда рассматриваются параметры л,м и др. (слайд 9)

Основные характеристики (показатели качества функционирования) замкнутой СМО с ожиданием. Поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m -- число обслуживаемых объектов).

1. Вероятность того, что в системе находится k требований, при условии, что их число не превышает числа обслуживающих аппаратов (каналов) n:

где Р₀ -- вероятность того, что все каналы свободны; n -- число каналов; m -- наибольшее возможное число требований, находящихся в обслуживающей системе одновременно; л -- частота (интенсивность) поступления требований в систему от одного источника; t_о6 -- средняя продолжительность обслуживания одного требования.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, при условии, что их число больше числа каналов:

3. Вероятность того, что все каналы свободны, определяется из условия:

Следовательно,

4. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):

5. Коэффициент простоя требования в ожидании обслуживания:



6. Вероятность того, что все каналы заняты:

(слайд 10)

7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе (обслуживаемых и ожидающих обслуживания):

8. Коэффициент полного простоя требований на обслуживании и в ожидании обслуживания

9. Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание

10. Среднее число свободных каналов

11. Коэффициент простоя каналов

12. Вероятность того, что число требований, ожидающих обслуживания, больше некоторого числа В (вероятность того, что в очереди на обслуживание находится более В требований):

(слайд 11)

Пример расчета основных характеристик (показатели качества функционирования) Замкнутой СМО с ожиданием

Условие задачи.

На оптовый склад готовых мясных полуфабрикатов поставляют свою продукцию четыре предприятия -- производителя. Каждый из производителей направляет на склад автомашину с партией полуфабрикатов в среднем один раз в рабочий день (продолжительность рабочего дня 8 часов). На складе имеется один автопогрузчик, который используется только для разгрузки прибывающих автомашины. Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если автопогрузчик занят разгрузкой другой автомашины.

Обработка статистических данных о продолжительности разгрузки одной автомашины и проверка соответствующей гипотезы показали, что продолжительность разгрузки одной автомашины подчиняется показательному закону распределения и составляет в среднем 48 минут (0,1 смены). Статистическое исследование потока автомашин показало, что число автомашин, поступающих на склад в единицу времени, подчиняется пуассоновскому закону распределения.

Рассчитаем некоторые основные характеристики функционирования приведенной производственной системы как СМО (вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны; вероятность того, что на складе одна автомашина и среднюю длину очереди). (слайд 12)

Решение.

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны (на складе нет автомашин):

Вероятность того, что на складе одна автомашина:

Вероятность того, что на складе две автомашины (одна под погрузкой, а другая в очереди):

Рассчитывая аналогично, получим: Р₃ = 0,12Р₀; Р₄ = 0,036 Р₀; Р₅ = 0,0072 Р₀; Р₆ = 0,0007Р₀. Так как сумма вероятностей нахождения системы в любом из состояний равна единице, т.е.

то Р₀ (1 +0,6+ 0,3+ 0,12+ 0,036+ 0,0072+ 0,0007) = 2,0639 Р₀=1. Отсюда находим Р₀ = 0,4845.

Средняя длина очереди равна

А₁ = (2-1)Р₂ + (3-1)Р₃ + (4-1)Р₄ + (5-1)Р₅ + (6-1)Р₆ = = Р₂ + 2Р₃ + З Р₄ + 4Р₅ + 5Р₆ = (0,3 + 2*0,12 + 3* 0,036 + 4 * 0,0072 + 5 * 0,0007) * 0,4845 = 0,3296

Основные характеристики (показатели качества функционирования) разомкнутой СМО с ожиданием

1. Для нормального функционирования системы необходимо соблюдение требования:

(в противном случае очередь будет расти неограниченно), где n -- число каналов (обслуживающих аппаратов); л -- частота (интенсивность) поступления требований в систему; t_o6 -- средняя продолжительность обслуживания одного требования одним аппаратом.

2. Вероятность того, что в системе находится k требований, при условии, что их число не превышает числа каналов:

где Р₀ -- вероятность того, что все каналы свободны.

3. Вероятность того, что в системе находится k требований, при условии, что их число превышает число каналов:



4. Вероятность того, что все каналы свободны:

(слайд 14)

5. Вероятность того, что все каналы заняты (вероятность отказу в немедленном обслуживании):

6. Средняя длина очереди

7. Средняя продолжительность ожидания обслуживания (продолжительность простоя в очереди):

8. Среднее число свободных каналов:

9. Коэффициент простоя каналов:

(слайд 15)

Пример расчета основных характеристик (показатели качества функционирования) разомкнутой СМО с ожиданием

Условие задачи.

Центральный склад фирмы "Веста" отпускает мясо говядины, свинины и баранины не только на мясокомбинаты с которыми имеется постоянный долгосрочный договор, но и небольшим мясным магазинам, число которых заранее неизвестно. Представители мясных магазинов могут повторно на склад не прибыть, поскольку договорные отношения могут завершиться или прерваться с одними контрагентами и начаться с другими. Поэтому центральный склад можно считать разомкнутой (открытой) системой с неограниченным входящим потоком.

Проведенный анализ показал, что входящий на склад поток автомашин за материалами является пуассоновским, а за 1 час на склад в среднем прибывает 1,75 автомашин. На складе имеются два автопогрузчика, которые используются только для погрузки мясосырья на прибывающие автомашины. Средняя продолжительность погрузки одной автомашины одним автопогрузчиком составила 48 мин. Продолжительность погрузки одной автомашины подчиняется показательному закону распределения.

Если прибывшая автомашина застает оба автопогрузчика занятыми, то она становится в очередь.

Проведем расчет некоторых основных характеристик функционирования описанной производственной системы как СМО (вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны; вероятность того, что на складе одна автомашина; вероятность того, что на складе две автомашины; вероятность отказа в немедленном обслуживании и среднюю длину очереди). (слайд 16)

Решение

Прежде всего проверим выполнение условия n > лt^об. Так как 2 > 1,75 * 0,8 = 1,4, то система может нормально функционировать.

Вероятность того, что на складе нет автомашин:

Вероятность того, что на складе одна автомашина:

Р₁ = ¹/_1! *1,4Р₀=1,4 * 0,1765 = 0,2471.

Вероятность того, что на складе две автомашины:

Р₂ = ¹/_2! *1,4²Р₀=0,98 * 0,1765 = 0,173.

Вероятность отказа в немедленном обслуживании (вероятность возникновения очереди):

Р_отк= Р₂ * 2/(2-1,4) = 0,173 * 2/0,6= 0,5766.

Средняя длина очереди:

(слайд 17)

2. На основе информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов для максимизации выручки от реализации готовой продукции

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
	I вид	II вид	III вид
Труд	1	4	3	200
Сырье	1	1	2	80
Оборудование	1	1	2	140
Цена единицы продукции	40	60	80	-

обслуживание выручка реализация продукция

Вопросы

1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптимальный план (двойственные оценки).

3. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продукции изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида ресурсов.

Решение.

1. Сформулируйте прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получите оптимальный план выпуска продукции.

Обозначим через х_j (j = 1,3) объем выпуска продукции j - го вида, т.е. формально план производства продукции представим вектором Х= (х₁, х₂, x₃). Запишем математическую модель задачи по критерию "максимум выручки":

mах(40х₁ + 60 х₂ + 80х₃),

х₁ + 4х₂ + 3х₃ ? 200,

х₁ + х₂ + 2х₃ ? 80,

х₁ + х₂ + 2х₃ ? 140,

Х_J ? 0, у = 1,3

В этой модели линейной оптимизации (этой ЗЛП) функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов. Средствами MS Excel найден оптимальный по критерию "максимум выручки" план, предусматривающий выпуск сорока единиц продукции первого вида и сорока единиц -- второго вида.

Рис. 2.5.1.1. Поиск решения



Рис. 2.5.1.2. Результаты оптимизации

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X^* = (х₁^* = 40; х₂^* = 40; х₃^* = 0):

40 + 4*40 = 200,

40 + 40 = 80,

40 + 40 = 80<140.

Значение целевой функции на этом плане

? (Х^*) = 40*40 + 60*40 + 80*0 = 4000.

2. Сформулируйте двойственную задачу и найдите ее оптимальный план (двойственные оценки)

Для проведения экономико-математического анализа оптимального плана с помощью теорем двойственности определим двойственные оценки, т.е. найдем решение двойственной задачи. Построим задачу, двойственную к исходной:

шin (200 y₁ + 80 y₂ + 140 y₃),

у₁ + у₂ + у₃ ? 40,

4 у₁ + у₂ + у₃ ? 60,

3 у₁ + 2 у₂ + 2 у₃ ? 80,

у_{1, 2, 3} ? 0

Для нахождения двойственных оценок используем вторую теорему двойственности. Поскольку третье ограничение в (2.5.1) выполняется как строгое неравенство, то у₃^* = 0. Так как х₁^* > 0 и х₂^* > 0, то

у₁ + у₂ + у₃ = 40,

4 у₁ + у₂ + у₃ = 60

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

ц (Y^*) = 200*6 ²/₃ + 80*33 ¹/₃ + 140*0 = 4000,

т.е. ц ? (Х^*) = ц (Y^*) = 4000.

Тот же результат получаем при использовании Средств MS Excel



Рис. 2.5.1.1. Поиск решения

Рис. 2.5.1.2. Результаты оптимизации

По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных, т.е. двойственные оценки (теневые цены (виртуально созданные) - объективно обусловленные оценки).

3. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане

Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. Для этого рассчитывается соотношение-разность:

- если -- выгодно производить (постановка на производство "изделия-претендента" экономически целесообразна);

- если Д_j >0 --производство невыгодно (экономически неоправданно).

III вид (х₃^*=0): 3*6,66666666666667 + 2*33,3333333333333 + 2*0 = 20,0000000000001 + 66,6666666666666 + 0 = 86,667 ( > 60),

(80 - 86,667 = -6,668 -- нормированная стоимость в таблице на рис. 2.5.4.3);

III вид продукции невыгодно производить

Рис. 2.5.4.3. Отчет по устойчивости

Поскольку для третьего вида продукции затраты на единицу продукции превышает выручку от ее реализации, то его выпуск экономически не оправдан и в оптимальном плане х₃ = 0

Выпуск единиц продукции третьего вида в данный момент при данных условиях не целесообразен и убыточен, в данный момент выгодно производить единицы продукции первого и второго вида.

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

а) проанализируйте использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи

Чтобы использовать в экономическом анализе найденные двойственные оценки, надо знать их интервалы (диапазоны) устойчивости -- интервалы изменения объемов ресурсов, в пределах которых двойственные оценки сохраняют свои значения. Для определения пределов устойчивости двойственных оценок при изменении значений объемов ресурсов существуют математические соотношения, которые реализованы в Отчете по устойчивости надстройки Поиск решения Excel. Графы "Допустимое увеличение" и "Допустимое уменьшение" в этом отчете задают допустимый диапазон изменений правой части ограничения, в котором соответствующая теневая цена сохраняет свое значение.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

1) Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. Двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи (третья теорема двойственности).

В данном примере привлечение дополнительного труда на 1 единицу привело бы к росту максимальной суммы выручки на 6,67 у.е. (у₁^*= 6,67), увеличение запасов сырья на 1 единицу привело бы к росту максимальной суммы выручки на 33,33 у.е. (у₂^*= 33,33), а привлечение дополнительного оборудования не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму выручки (у₃^*= 0).

Сказанное позволяет выявить направления "расшивки" узких мест, обеспечивающие наибольший экономический эффект, а также целесообразность изменений в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2) Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче критерия эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы более дефицитны (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем недефицитны (избыточны). В данном примере недефицитным ресурсом является оборудование, поскольку у₃^* = 0 (избыток составляет 60 едениц ресурсов). Острее ощущается дефицитность сырья (у₂^*= 33,33) -- он более дефицитен, чем труд (у₁^*= 6,67).

3) Двойственные оценки позволяют определять своеобразные "нормы заменяемости ресурсов": имеется в виду не абсолютная их заменяемость, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В данном примере относительная заменяемость ресурсов (труда и сырья) определяется соотношением (нормой) 6,67: 33,33 = 1:5.

4) Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. Для этого рассчитывается соотношение-разность:

- если -- выгодно производить (постановка на

производство "изделия-претендента" экономически целесообразна);

- если Д_j >0 --производство невыгодно (экономически неоправданно).

I вид: 6,66666666666667 + 33,3333333333333 + 0 = 40 ( = 40),

(40 - 40 = 0 -- нормированная стоимость в таблице на рис. 2.5.4.3);

I вид продукции выгодно производить

II вид:

4*6,66666666666667 + 33,3333333333333 + 0 = 26,66666666666668 + 33,3333333333333 = 60,00000000000001= 60 ( = 60),

(60 - 60 = 0 -- нормированная стоимость в таблице на рис. 2.5.4.3);

II вид продукции выгодно производить

III вид:

3*6,66666666666667 + 2*33,3333333333333 + 2*0 = 20,0000000000001 + 66,6666666666666 + 0 = 86,667 ( > 60),

(80 - 86,667 = -6,668 -- нормированная стоимость в таблице на рис. 2.5.4.3);

III вид продукции невыгодно производить

Поскольку для третьего вида продукции затраты на единицу продукции превышает выручку от ее реализации, то его выпуск экономически не оправдан и в оптимальном плане х₃ = 0, а для первого и второго вида продукции затраты на единицу продукции не превышают выручку от ее реализации, то его выпуск экономически оправдан и в оптимальном плане х₁ = 40; х₂ = 40.

б) определите, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

Поскольку эти изменения происходят в пределах устойчивости двойственных оценок (см. рис. 2.5.4.3), будем иметь:



структура плана остается той же, т.е. (х₃ = 0). Двойственные оценки и нормы расхода остались прежними -- продукцию третьего вида по-прежнему производить невыгодно. Совмещая эти два вывода, получим:

В этой модели линейной оптимизации функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов. Средствами MS Excel найден оптимальный по критерию "максимум выручки" план, предусматривающий выпуск сорока единиц продукции первого вида и сорока единиц -- второго вида. Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях -- X -- (х₁ = 64, х₂ = 34, х₃ = 0), соответственно, выручка составит 4600 у.е., т.е. увеличиться на 600 у.е.

Рис. 2.5.4.2.1. Поиск решения



Рис. 2.5.4.2.2. Результаты оптимизации

в) оцените целесообразность включения в план выпуска продукции изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида ресурсов. ( 2.5.4.3)

Находим соотношение-разность при удельной цене 70 едениц. Тогда согласно свойству 4 двойственных оценок имеем:

2 * 6 ²/₃ + 2 * 33 ¹/₃ + 2*0 - 70 = 13¹/₃ + 66 ²/₃ - 70 = 80 -70 = -10 <0

выгодно расширение ассортимента;

Целесообразно включить в план выпуска продукции изделия четвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида ресурсов.

Список использованной литературы

1. Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2011

2. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В., Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов. - 3-е изд. - М.: Юрайт-издат: Высшее образование, 2011.

3. Афанасьев М.Ю., Багриновский К.А., Матюшок В.М. Прикладные задачи для исследования операций: учебное пособие. - ИНФРА-М, 2006.

4. Грачева М.В. и др., Моделирование экономических процессов: учебник. - М.: Юнити-Дана, 2005.

5. М. С. Красс, Б. П. Чупрынов Математические методы и модели для магистрантов экономики: учебное пособие. - 2-е издание., доп.. - СПб.: Питер, 2010.

6. М. С. Красс, Б. П. Чупрынов Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник,. - М.: Дело, 2006.

7. Н.Ш.Кремера.Исследование операций в экономике: Учебное пособие / ВЗФЭИ; Под ред. - М.: Банки и биржи: ЮНИТИ, 1997.

Размещено на Allbest.ru