Программа максимизации прибыли

Разработка месячной программы выпуска, обеспечивающей получение максимальной выручки от реализации готовой продукции. Построение математической модели оптимизации производства. Анализ информации о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 18.03.2012
Размер файла 262,8 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Задача №1

выручка математический оптимизация сырье

Для изготовления продукции двух видов А и Б предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице 1.1.,

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать месячную программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Таблица 1.1

Наименование ресурсов

Норма затрат на

Объём ресурса

Продукт А

Продукт Б

Сырьё

3

1

178

Оборудование

1

2

160

Трудоресурсы

7

1

386

Цена реализации

459

85

 

1. Построение математической модели оптимизации выпуска продукции Обозначим переменные месячных объёмов выпуска продукции модели: Х1 - месячный объём выпуска продукции А

Х2 - месячный объём выпуска продукции Б

Используя данные таблицы 1.1, определим затраты каждого вида ресурса для выпуска производственной программы х=(х12):

расход сырья = 3х12,

затраты времени работы оборудования = х1+2х2,

затраты рабочего времени = 7х12

Так как ежемесячный расход ресурсов не может превышать их имеющийся объём, то имеем ресурсные ограничения

12?178

х1+2х2?160

12?386

Если обозначить функцию размера выручки через Z, то Z=459x1+85x2.

Таким образом, математическая модель оптимизации выпуска продукции может быть записана в следующем виде.

Найти неизвестные значения переменных х1, х2, удовлетворяющие ограничениям:

12?178

х1+2х2?160

12?386

x1?0, x2?0,

и доставляющие максимальное значение целевой функции

Z=459x1+85x2>max

2. Нахождение оптимальной производственной программы выпуска продукции

Построим множество (область) допустимых решений. В неравенствах ограничений заменим знак неравенства на знак равенства.

Для нахождения оптимального решения определим направление возрастания целевой функции. Для этого приравняем Z к нескольким возрастающим значениям, например, 25000 и 23000.

Оптимальное решение соответствует точке С. Она лежит на пересечении прямых 3х12=178 и 7х12=386. Решая систему этих уравнений, находим координаты точки С. . При этом значение целевой функции .

Полученное решение означает, что предприятию необходимо ежемесячно производить 52 единиц продукции А и 22 единицу продукции Б, что позволит ему получать максимальную месячную выручку вы размере 25738 рублей.

Рис. 1 Иллюстрация построения множества допустимых решений и нахождения точки максимума целевой функции

3. Построение двойственной задачи

Коэффициенты при х1 станут коэффициентами первого ограничения двойственной задачи, коэффициенты при х2 станут коэффициентами второго ограничения двойственной задачи, а коэффициенты целевой функции станут правой частью ограничений двойственной задачи. А правые части прямой задачи станут коэффициентами целевой функции двойственной задачи.

Таким образом, двойственная задача:

найти неизвестные значения переменных u1, u2, u3, удовлетворяющие ограничениям

3u1+u2+7u3?459

u1+2u2+u3?85

u1?0, u2?0, u3?0

и доставляющие минимальное значение целевой функции

W=178u1+160u2+386u3>min

4. Нахождение оптимального решения двойственной задачи

Составим систему уравнений для нахождения значений переменных u1, u2, u3 в соответствии с теоремами двойственности.

Подставляя в эти уравнения найденные ранее значения , получим:

т.к. , то =0;

т.к. , то =0;

т.к. =160-52-2*22=64?0, то u2=0.

Таким образом, получаем новую систему уравнений:

=0

=0

u2=0.

Решая данную систему, находим оптимальные значения переменных двойственной задачи:

u1=34, u2=0, u3=51

Вычислим оптимальное значение целевой функции двойственной задачи:

W*=178u1*+160u2*+386u3*=25738, т.е. Z*=W*=25738, что соответствует первой теореме двойственности.

5. Экономическая интерпретация переменных и оптимального решения двойственной задачи

Для исследуемой задачи оптимизации производственной программы получим:

u1 - стоимостная оценка сырья, её размерность [руб./кг];

u2 - стоимостная оценка времени работы оборудования, её размерность [руб./ст.-час]

u3 - стоимостная оценка трудовых ресурсов, её размерность [руб./чел.-час]

u1*=34 означает, что при увеличении месячного размера используемого сырья со 178 до 178+?s1 увеличение максимальной суммарной выручки составит u1*?s1=34?s1 руб., а при уменьшении сырья на ?s2 выручка уменьшится на u1*?s2=34?s2 руб.

u2*=0 означает, что ни уменьшение, ни увеличение месячного фонда времени работы оборудования не приведёт к изменению оптимального значения суммарной выручки. Действительно, использование месячного фонда времени работы оборудования для выпуска оптимальных объёмов продукции составит х1+2х2=52+2*22=96 ст.-час, а на предприятии может быть задействовано 160 ст.-час. Следовательно, 160-96=64 ст.-час фонда времени работы оборудования остаются незанятыми. Поэтому прирост фонда времени работы оборудования или его сокращение (но не более, чем на 64 ст.-час) не приведёт к изменению оптимальной программы выпуска и, следовательно, к изменению оптимального значения суммарной выручки.

u3*=51 означает, что при увеличении трудоресурсов с 386 до 386+?m1 увеличение максимальной суммарной выручки составит u3*?m1=51?m1 руб., а при уменьшении фонда времени на ?m2 выручка уменьшится на u3*?m2=51?m2 руб.

1) предприятию выгодно приобретение дополнительного сырья, если его рыночная цена не превышает 34 рубля за килограмм

2) предприятию целесообразно сокращение времени использования оборудования, но не более чем на 64 ст.-час.

3) предприятию выгодно увеличить используемые при производстве продукции А и Б трудовые ресурсы, но если их содержание не превысит 51 руб. за 1 чел.-час.

6. Графический анализ устойчивости изменения используемого сырья

При изменении объёма используемого сырья точка С оптимального решения перемещается вдоль отрезка BD, где точка D лежит на пересечении оси ОХ1 и граничной прямой (3): х1+2х2=160, а точка В на пересечении прямых (2) и (1): х1+2х2=160 и 3х12=178. Координаты точки

В . Любое изменение объёма используемого сырья, приводящее к выходу точки пересечения С из этого отрезка, ведёт к тому, что точка С перестаёт быть оптимальным решением. Поэтому можно сказать, что концевые точки В и D отрезка BD определяют искомый интервал устойчивости. Для определения интервала устойчивости изменения сырья найдём количество сырья, используемого в точках D и В. Количество сырья, соответствующего точке В, равно 3х12=3*39.2+60.4=178, аналогично, количество используемого сырья, соответствующего точке D, равно 3х12=3*0+80=.80

Таким образом, интервал устойчивости изменения сырья - это интервал [80; 178].

При значении объёма используемого сырья, равного левой границе интервала устойчивости, т.е. 80, оптимальная точка С совпадёт с точкой D. Максимальное значение выручки в этом случае будет равно Z*=459х1*+85х2*=459*0+85*80= 6800

Аналогично для правой границы, т.е. для 178 кг, оптимальная точка С совпадёт с точкой B и

Z*=459х1*+85х2*=459*39.2+85*60.4= 23126.8.

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьём и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих.

Для этого оно может получить в банке кредит сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информации о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объёмах сырья и парка оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции приведены в таблице 3.1.

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведённой за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Таблица 3.1

Наименование ресурсов

Норма затрат на

Объём ресурса

Продукт А

Продукт Б

Сырьё

3

3

1170

Оборудование

1

3

450

Трудоресурсы

2

3

?

Цена реализации

1216

1260

1. Построение математической модели оптимизации выпуска продукции

Для построения модели введём следующие обозначения:

x1 - объём выпуска продукции А,

x2 - объём выпуска продукции Б,

S - потребность в трудовых ресурсах,

t - почасовая ставка оплаты труда,

V - размер кредита,

Z - выручка от реализации произведённой продукции,

P - прибыль предприятия.

Выразим в математической форме основные условия и ограничения данной задачи.

Ограничения по использованию сырья:

1+3х2?1170

Ограничения по использованию оборудования:

х1+3х2?450

Потребность в трудовых ресурсах:

S= 2х1+3х2

Размер необходимого кредита:

V=tS=t(2х1+3х2)

Выручка от реализации произведённой продукции:

Z=1216x1+1260x2

Сумма расходов по обслуживанию кредита определяется размером возвращаемого кредита и процентов по нему, т.е. равна

V+V+0.1V=1.1V

Прибыль предприятия:

P=Z-1.1V=(1216x1+1260x2)-1.1 t(2х1+3х2)=(1216-2.2t)x1+(1260-3.3t)x2.

Следовательно, математическая модель оптимизации выпуска продукции принимает следующий вид: найти неизвестные значения объёмов выпуска х1 и х2, удовлетворяющие ограничениям

1+3х2?1170 (1)

х1+3х2?450 (2)

х1?0, х2?0 (3)

и доставляющие максимальное значение целевой функции

P=(1216-2.2t)x1+(1260-3.3t)x2>max. (4)

При этом необходимый размер кредита определяется по формуле:

V=tS=2tх1+3tх2,

где - оптимальное решение задачи (1) - (4).

2. Определение оптимальной программы выпуска продукции

При ставке оплаты труда t=10 коэффициенты целевой функции равны соответственно

с1=1216-2.2*10=1194

с2=1260-3,3*10=1227

Следовательно, Р=1194 x1+1227x2>max.

Графическое решение задачи изображено на рис. 2.

Рис. 2. Иллюстрация графического решения

Множество допустимых решений представляет собой четырёхугольник ОАВС. Вектор-градиент целевой функции обозначении через grad P(10). Точкой максимума является точка В с координатами .

Максимальный размер прибыли: Р==1194*360+1227*30=466650 (руб.).

Потребность в трудовых ресурсах: S*= 2х1*+3х2*=2*360+3*30= 810 (чел.-час)

Размер необходимого кредита: V*=tS*=10*810=8100 (руб.)

Сумма уплаченных процентов: 0,1V*=0.1*8100=810 (руб.)

3. Нахождение функции спроса на трудовые ресурсы

Сначала найдём решение задачи при t=50. Она имеет следующий вид:

1+3х2?1170

х1+3х2?450

х1?0, х2?0

P=1106x1+1095x2>max.

Оптимальное решение сместилось в точку С=(390;0).

Максимальный размер прибыли:

Р*=1106x1*+1095x2*=1106*390+1095*0= 431340 руб.,

а потребность в трудовых ресурсах:

S*= 2х1*+3х2*=2*390+3*0= 780 (чел.-час),

размер кредита:

V*=tS*=50*780=39000 (руб.)

сумма уплаченных процентов: 0,1V*=0.1*39000=3900 (руб.)

При уменьшении t от 50 до 10 вектор grad P(t), а значит, и линии уровня целевой функции поворачиваются против часовой стрелки. Между двумя этими значениями параметра t существует такое значение, при котором оптимальным решением будет являться любая точка отрезка ВС.

Так как граничная прямая (1) задаётся уравнением 3х1+3х2=1170, а линии уровня целевой функции - уравнением (1216-2.2t)x1+(1260-3.3t)x2=h, где h - любое число, то имеем: . Отсюда 1216-2.2t=1260-3.3t, значит 1,1t=44. Таким образом, t*=40.

Теперь мы можем построить функцию спроса на трудовые ресурсы.

§ При 10?t<40 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=10 величине спроса в точке В, т.е. S*(t)=S*(10)=810

§ При 40<t?50 спрос на трудовые ресурсы равен ранее найденной при t=50 величине спроса в точке C, т.е. S*(t)=S*(50)=780

§ При t=40 спрос на трудовые ресурсы определён неоднозначно. В зависимости от того, какое оптимальное решение из отрезка ВС будет выбрано, он может принять любое значение из числового отрезка [780;810]

Зная, спрос на трудовые ресурсы, можно определить величину необходимого кредита как функцию от ставки труда, используя формулу V*(t)=t•S*(t)

§ При 10?t<40 размер кредита V*(t)=t•S*(t)=810 t

§ При 40<t?50 размер кредита V*(t)=t•S*(t)=780 t

§ При t=40 размер кредита определён неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из числового отрезка [780;810], размер кредита V*(40) может быть любым числом из отрезка [780•40;810•40]=[31200,32400]

Найдём зависимость величины прибыли от ставки оплаты труда t, используя формулу

P*(t)= (1216-2.2t)x1*+(1260-3.3t)x2*

§ При 10?t<40 оптимальное решение - точка В=(360,30). Поэтому величина прибыли P*(t)= (1216-2.2t)•360+(1260-3.3t)•30=475560-891t

§ При 40<t?50 оптимальное решение - точка С=(390,0). Поэтому величина прибыли P*(t)= (1216-2.2t)•390+(1260-3.3t)•0=474240-858t

§ При t=40 оптимальное решение задачи - любая точка отрезка ВС. Однако во всех точках этого отрезка величина прибыли одинакова и равна

475560-891t=474240-858t=439920

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час) и оборудование (К, тыс. ст.-час). Производственная функция фирмы, построенная путём обработки статистических данных, имеет вид: Y=5*L0.9*K0.1,где Y - объём выпуска продукции (ед.).

а) Пусть К=0.5(Кminmax)=36. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Y=5*L0.9*360.1?7,155L0.9

б) Пусть L=0.5(Lmin +Lmax)=36. Тогда ПФ - степенная функция следующего вида:

Y=5*360.9*K0.1?125,789K0.1

2) Y1=120, Y2=180, Y3=240

Составим соответствующие этим значениям уравнения изоквант:

Y=5*L0.9*K0.1=120

Y=5*L0.9*K0.1=180

Y=5*L0.9*K0.1=240

Выразим L через К:

Итак, уравнения изоквант:

3) Yбаз =180, Lбаз =36

При заданном увеличении объём выпуска продукции составит:

Y=1.1*Y баз =1.1*180=198

Используя уравнения изокванты: Y=5*L0.9*K0.1=198

имеем:

Т.о. если объём трудовых ресурсов не изменится, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит:

В базовом периоде потребность в оборудовании составляла:

Если же объём трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит L=1.05*L баз =1.05*36=37,8, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

4) Согласно условию фирма может приобрести на рынке, используемые в производстве, ресурсы по ценам рк =10 и рl =90. величина её затрат С на покупку L единиц рабочей силы и К единиц оборудования составит

С= ркК+ рlL=10K+90L

Математическая модель: найти объёмы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям:

10K+90L ?4000

К?0, L?0

и доставляющие максимальное значение целевой функции:

Y=5*L0.9*K0.1>max

Граничная прямая бюджетного ограничения задаётся уравнением:

10K+90L=4000

т.к. =, то

K=L

т.о. 10L+90L=4000

100L=4000

L*=40

K*=40

MRTSKL==10/90=0.11

Итак,

1. Фирма должна взять в аренду К*=40 тыс. ст.-час оборудования и нанять по контракту L*=40 тыс. чел.-час рабочей силы. В этом случае при имеющемся бюджетном ограничении будет выпущено максимальное количество продукции Y*=200

2. Предельная норма технологического замещения оборудования рабочей силой MRTSKL=0.11

3. Предельная эффективность финансовых ресурсов равна 0,05.

Фирма может влиять дополнительным финансированием на скорость строительства своего торгового павильона. Очерёдность выполнения работ, их нормальная и ускоренная продолжительность выполнения, а также стоимость строительно-монтажных работ при нормальном и ускоренном режиме выполнения приведены в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Имя работы

A

B

С

D

E

F

G

H

Q

V

Опирается на работу

E

G

C,F,Q

V

E

V

G

V

Нормальный срок (дни)

22

33

47

11

22

11

11

33

39

11

Ускоренный срок (дни)

18

27

36

9

18

9

9

27

27

9

Нормальная стоимость (млн. руб.)

5,4

16,2

356,4

91,8

9

7,2

0,9

10,8

315,9

108

Плата за ускорение (млн. руб.)

6,6

19,8

465,3

112,2

11

8,8

1,1

13,2

456,3

132

Построим сетевой график строительства торгового павильона.

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Полные пути:

Рассчитаем раннее время наступления каждого события сетевого графика.

Таким образом, раннее время наступления конечного события сетевого графика составляет 61 день, то есть раньше, чем за 61 день, торговый павильон не может быть построен.

Следовательно,

, а

Стоимость строительства торгового павильона

S=5,4+16,2+356,4+91,8+9+7,2+0,9+10,8+315,9+108= 921,6 млн. руб.

Рассчитаем удельные затраты на ускорение работ:

Работа

A

B

С

D

E

F

G

H

Q

V

Максимальное сокращение времени выполнения (дни)

4

6

11

2

4

2

2

6

12

2

Удельные затраты на ускорение (млн. руб.)

1,65

3,3

42,3

56,1

2,75

4,4

0,55

2,2

38,025

66

Так как критический путь один, то можно сократить одну из работ, входящих в него. Работа Q имеет меньшие удельные затраты на сокращение, значит, на первом этапе её и нужно сократить.

Т.о. новая стоимость проекта S1=S+38,025=959,625. После выполнения сокращения нового критического пути не появилось. Так как работу Q можно сократить ещё максимум на 11 дней, то мы воспользуемся этой возможностью и сократим её. Получим Sуск=S1+38,025=959,625+38,025=997,65. Нового критического пути не появилось.

Новый сетевой график:

Размещено на http://www.allbest.ru/

22

Итак, стратегия минимального удорожания комплекса работ при сокращении сроков строительства на 2 дня (с 61 до 59 дней) состоит в следующем: необходимо уменьшить продолжительность работы Q на 2 дня. Ускорение строительства павильона обойдётся в Sуск=997,65 млн. руб., что на 76,05 млн. руб. больше, чем при нормальном режиме работы: Sуск - S=997,65-921,6=76,05 млн. руб. При ускоренном строительстве сроком 59 дней сетевой график проекта будет иметь 1 критический путь:

.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Модели, применяемые в производстве, их классификация, возможности и влияние информации на их сложность. Определение минимизации затрат и максимизации прибыли от реализации продукции с помощью "Excel" и оптимальных значений производственных процессов.

    курсовая работа [2,1 M], добавлен 29.11.2014

  • Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.

    задача [203,4 K], добавлен 03.05.2009

  • Составление математической модели и решение задачи планирования выпуска продукции, обеспечивающего получение максимальной прибыли. Нахождение оптимального решения двойственной задачи с указанием дефицитной продукции при помощи теорем двойственности.

    контрольная работа [232,3 K], добавлен 02.01.2012

  • Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.

    дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014

  • Составление математической модели производства продукции. Построение прямой прибыли. Нахождение оптимальной точки, соответствующей оптимальному плану производства продукции. Планирование объема продукции, которая обеспечивает максимальную сумму прибыли.

    контрольная работа [53,7 K], добавлен 19.08.2013

  • Определение оптимальных объемов производства по видам изделий за плановый период и построение их математической модели, обеспечивающей максимальную прибыль предприятию. Решение задачи по минимизации затрат на перевозку товаров средствами модели MS Excel.

    курсовая работа [3,4 M], добавлен 26.05.2013

  • Оценка динамики денежной выручки и цены реализации подсолнечника в СХА "Заря". Индексный и корреляционный анализ прибыли и рентабельности продукции. Построение многофакторной экономико-математической модели среднего уровня окупаемости подсолнечника.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 12.12.2010

  • Составление плана выпуска продукции. Определение остатков ресурсов после изготовления продукции. Нахождение лимитирующего фактора. Построение графика допустимых решений. Применение метода "2-х точек" в решении задач. Оптимальная программа выпуска.

    контрольная работа [15,7 K], добавлен 26.11.2010

  • Пример решения задачи симплексным методом, приведение ее к каноническому виду. Составление экономико-математической модели задачи. Расчеты оптимального объёма производства предприятия при достижении максимальной прибыли. Построение симплексной таблицы.

    практическая работа [58,0 K], добавлен 08.01.2011

  • Построение математической и электронной модели в MS Excel. Распределение средств по различным источникам для получения максимальной прибыли от рекламы. Смысл данных отчета по устойчивости. Условия составления оптимального плана распределения средств.

    контрольная работа [47,7 K], добавлен 01.03.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.