Размещено на http://www.allbest.ru/

Линии на плоскости

При чтении экономической литературы приходится иметь дело с большим количеством графиков. Укажем некоторые из них.

Кривая безразличия - кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета - кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей - кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса - кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филипса - кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера - кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и разбираться в свойствах простейших кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка - окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной системой неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. При этом на функцию F должны быть наложены ограничения так, чтобы, с одной стороны, это уравнение имело бесконечное множество решений и, с другой стороны, чтобы это множество решений не заполняло “куска плоскости”. Важный класс линий составляют те, для которых функция есть многочлен от двух переменных, в этом случае линия, определяемая уравнением, называется алгебраической. Алгебраические линии, задаваемые уравнением первой степени, cуть прямые. Уравнение второй степени, имеющее бесконечное множество решений, определяет эллипс, гиперболу, параболу или линию, распадающуюся на две прямые.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

. Общее уравнение прямой:

.

Вектор ортогонален прямой, числа A и B одновременно не равны нулю.

2⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

где - угловой коэффициент прямой, то есть, где б - величина угла, образованного прямой с осью - некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение принимает вид, если есть точка пересечения прямой с осью.

3⁰. Уравнение прямой в отрезках:

где - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4⁰. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки - :

5⁰. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A (x₁, y₁) параллельно данному вектору

6⁰. Нормальное уравнение прямой:

,

где r - радиус-вектор произвольной точки этой прямой, n⁰ - единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; - расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

где б - величина угла, образованного прямой с осью.

Уравнение пучка прямых с центром в точке имеет вид:

где - параметр пучка.

Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми, то его уравнение имеет вид:

где л и м - параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми задается формулой:

Равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

,

,

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

.

Уравнения, задают две различные параллельные прямые, если и; прямые пересекаются, если.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, , где r₀ - радиус-вектор точки M₀ или, в координатной форме,

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

.

Предполагается, что среди коэффициентов есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным R:

.

Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a.

Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

.

Эллипс, заданный уравнением, симметричен относительно осей координат. Параметры называются полуосями эллипса.

Пусть, тогда фокусы F₁ и F₂ находятся на оси на расстоянии от начала координат. Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Расстояния от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Если же, то фокусы находятся на оси,

Если, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек F₁ и F₂ (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2a.

Каноническое уравнение гиперболы:

.

Гипербола, заданная уравнением, симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось в точках и - вершинах гиперболы и не пересекает ось. Параметр называется вещественной полуосью, - мнимой полуосью. Параметр есть расстояние от фокуса до начала координат. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые называются асимптотами гиперболы. Расстояния от точки гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

.

Гипербола, у которой, называется равносторонней, ее уравнение, а уравнение асимптот. Гиперболы и называются сопряженными.

Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1) - парабола симметрична относительно оси.

2) - парабола симметрична относительно оси

В обоих случаях и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола y² = 2рx имеет фокус и директрису, фокальный радиус-вектор точки на ней.

Парабола имеет фокус и директрису; фокальный радиус-вектор точки параболы равен.

Уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство, а в других - неравенство Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где, от части плоскости, где.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем, а в какой, применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство. Его можно переписать d виде .

Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр нашей окружности. Подставляя координаты точки C в левую часть неравенства, получаем отрицательное число - 25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство . Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости.

Вектор ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости.

В уравнении коэффициенты одновременно не равны 0. Особые случаи уравнения:

1. - плоскость проходит через начало координат.

2. - плоскость параллельна оси.

3. - плоскость проходит через ось

4. - плоскость параллельна плоскости

Уравнения координатных плоскостей:

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:

график кривая экономический

2) двумя своими точками), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

3) точкой е и принадлежащей, и вектором ей коллинеарным.

Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений параметру t:

.

Решая систему как систему линейных уравнений относительно неизвестных, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

.

От уравнений можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор где, C₁) и n₂ (A₂, B₂, C₂) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей в уравнениях окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе = x₁,; такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе; прямая параллельна оси.

Задача. Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки на прямой, мы уже обсуждали вышеНаправляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы и плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам и , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями

(11.15)

Требуется написать ее параметрические уравнения.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на прямой. Положим . Система примет вид:

Решая ее, находим, . Таким образом, на прямой лежит точка . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы, являются , . Положим . Тогда

Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.

Ответ:

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Пример 11.5 Найдите точку пересечения прямой и плоскости .

Решение. Прямая задана каноническими уравнениями. Им соответствует система уравнений:

В результате для нахождения точки пересечения прямой и плоскости получаем систему уравнений

Для ее решения можно предложить следующий путь. Из первого уравнения выражаем через : . Из второго - через : . Найденные выражения для и подставляем в третье уравнение и находим. Находим и : ,.

Ответ: .

Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми. Угол между прямыми - это угол между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол, или , если - тупой угол . Во втором случае . Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы и прямых. Тогда а искомый угол определяется из равенства

2. Даны уравнение плоскости и уравнения прямой . Требуется найти угол между прямой и плоскостью. По определению, угол между прямой и плоскостью - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Пусть - угол между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Тогда либо (рис.11.12), либо (рис.1).

Рис.1. - угол между прямой и плоскостью

В обоих случаях , а так как , то

Еще одну, более сложную, задачу рассмотрим при конкретных числовых данных.

Пример 11.6 Найдите точку , симметричную точке относительно прямой :

Решение. Найдем сначала проекцию точки на прямую (рис 2.).

Рис.2. Точки, симметричные относительно прямой

Для этого напишем уравнение плоскости , проходящей через точку и перпендикулярной прямой , а затем найдем точку , являющуюся точкой пересечения плоскости и прямой.

Заметим, что плоскость, перпендикулярная прямой , параллельна нормальным векторам и плоскостей, соответствующих уравнениям в системе (11.16). Поэтому нормальный вектор плоскости, перпендикулярной прямой , можно взять равным : , .

Уравнение плоскости : , то есть . Находим точку :

Решение этой системы: ; ; , .

Пусть - искомая точка. Тогда из рис.11.14 видно, что . Находим , . Тогда

откуда , , .

Ответ:.

Размещено на Allbest.ru