Практические аспекты эконометрики

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЗАДАЧА №1

Цель: Рассчитать показатели. По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли и производстве валовой продукции (производительности труда) на одного среднегодового работника (табл. 1).

Таблица 1 - Исходные данные

Требуется.

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при а = 0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при а = 0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

Решение.

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

_х = а + bх,

уравнение регрессия корреляция детерминация

где _х - прибыль на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

х - производство валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс. руб.;

a, b - параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения a и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных a и b, и затем каждое уравнение просуммируем. Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2). Подставим полученные данные в систему уравнений. Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором - на 3860). Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:

-0,406 = 5,71b;

b = -0,071.

Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение a:

a = 19,6 - (- 0,071•386) = 47,026.

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений. Уравнение регрессии имеет вид:

_х = 47,026 + (- 0,071x)

Коэффициент регрессии b= -0,071 показывает, что при росте производительности труда на 1 тыс. руб. прибыль на одного работника в среднем по данной совокупности хозяйств снизится на -0,071 тыс. руб.

Таблица 2 - Вспомогательная таблица для расчёта статистических величин.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле. Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x,определим теоретические (расчётные) значения _х (табл. 2.) Найдём величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 2.

В среднем расчетные значения прибыли на одного среднегодового работника отклоняются от фактических на 22,477%. Качество уравнения регрессии можно оценить как хорошее, так как средняя ошибка аппроксимации не превышает допустимого предела (8-10%).

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте производительности труда на 1% прибыль на одного работника снизится на -1,398 %.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитываем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл.2 и в пункте 3 решения.

Коэффициент корреляции свидетельствует о том, что связь между признаками заметная и обратная. Коэффициент детерминации rІ_хy= = 0,386 показывает, что 38,6% изменений в уровне прибыли на одного работника объясняется различием в уровне производительности труда.

5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитываем t-критерий Стьюдента.

Вычисленное t _факт сравним с табличным (критическим) значением t _табл при принятом уровне значимости а = n-2 = 10-2 = 8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Фактическое значение критерия меньше табличного, что свидетельствует о том, что линейный коэффициент корреляции не является значимым.

6. Оценим значимости уравнения регрессии и показатели
тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его
фактическое значение F_факт с табличным (критическим) значением F_табл.

Табличное значение F_табл по таблице значений Fкритерия Фишера при а = 0,05, k₁ = m = 1 и k₂ = n m l = 1011 = 8 равно 5,32 (m число параметров при переменной х ).

Фактическое значение критерия меньше табличного и указывает на то, что уравнение регрессии не является значительным. То есть уравнение регрессии и показатель тесноты связи между признаками r_ху, сформировались под случайным воздействием факторов.

7. Полученные оценки уравнения регрессии не позволяют использовать его для прогноза, но рассчитаем прогнозное значение прибыли на одного работника при среднем росте производительности труда на 10%.

Прогнозное значение производительности труда. Прогнозное значение прибыли на одного работника:

y_р = 0,071 • 425 + 47,026 = 17 тыс.руб.

ЗАДАЧА №2

По 30 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности картофеля, количестве внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля после лучших предшественников, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 3).

Требуется.

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности картофеля от количества внесенных органических удобрений и доле посадок картофеля по лучшим предшественникам в стандартизированном масштабе и в естественной форме.

Таблица 3 - Исходные данные

2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости а = 0,05.

Решение.

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

rx₁x₂ = a + b₁x₁ + b₂x₂

где rx₁x₂ - урожайность картофеля с 1 га, ц;

x₁ - внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т

x₂ - доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, %;

a, b₁ , b₂ - параметры уравнения.

Для расчета его параметров a, b₁ и b₂ сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

t_y = в₁tx₁ + в₂tx₂ ,

где t_y , t_x1 и t_x2 - стандартизированные переменные;

в₁ и в₂ - стандартизированные коэффициенты регрессии.

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:

t_y = 0,33t x₁ + 0,446t x₂

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность картофеля. Наиболее значительно влияние доли посадок картофеля лучшим предшественникам. Количество внесенных органических удобрений оказывает меньшее воздействие.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂ , используя формулы перехода от в_i к b_i :

b_i = ,

где и - средние квадратическое отклонения.

b₁ = = 0,33 • = 3,750 ;

b₂ = = 0,446 • = 0,93 .

Получим уравнение:

16,7 + 3,750 + 0,93 .

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности за счет изменения соответствующего фактора при фиксированном уровне другого. Так, коэффициент при x₁ показывает, что увеличение (или снижение) количества внесения органических удобрений на 1 т. ведет к повышению (или снижению) урожайности картофеля на 3,750 ц. Соответственно коэффициент при x₂ определяет меру зависимости урожайности картофеля от доли высадки его по лучшим предшественникам.

2. Для определения линейного коэффициента множественной корреляции используем формулу:

= = = 0,576 .

Коэффициент множественной корреляции показывает заметную зависимость между анализируемыми признаками. Коэффициент множественной детерминации = 0,576І = 0,332 свидетельствует, что 33,2% изменения урожайности картофеля связано с анализируемыми признаками.

3. Статистическую значимость уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи оценим с помощью общего F-критерия Фишера по формуле:

F_факт = ч ,

где n - число единиц совокупности;

m - число факторов в уравнении линейной регрессии;

В нашем случае:

F_факт = ч = 6,709

Табличное значение F_табл по таблице значений F-критерия Фишера при а = 0,05, k₁ = m = 2 и k₂ = n-m-1 = 302l=27 равно 3,35.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , которые сформировались под неслучайным воздействием факторов x₁ и x₂.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кулинич Е.А. Эконометрика. - М.: Финансы и статистика, 2000.

2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

3. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. - М.: Статистика, 1965.

4. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2001.

5. Яковлев В.Б. Статистическая обработка данных с применением персональных ЭВМ. Часть 2: Учеб. пособие. - М.: ВСХИЗО, 1993.

Размещено на Allbest.ru