Расчет важнейших эконометрических показателей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

Исходные данные

По 30 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника у (тыс.руб) от ввода в действие новых основных фондов х1 (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих х2 (%).

Номер предприятия	y	x1	x2
1	7,0	3,9	10,0
2	7,0	3,9	14,0
3	7,0	3,7	15,0
4	7,0	4,0	16,0
5	7,0	3,8	17,0
6	7,0	4,8	19,0
7	8,0	5,4	19,0
8	8,0	4,4	20,0
9	8,0	5,3	20,0
10	10,0	6,8	20,0
11	9,0	6,0	21,0
12	11,0	6,4	22,0
13	9,0	6,8	22,0
14	11,0	7,2	25,0
15	12,0	8,0	28,0
16	12,0	8,2	29,0
17	12,0	8,1	30,0
18	12,0	8,5	31,0
19	14,0	9,6	32,0
20	14,0	9,0	36,0
21	7,0	4,3	13,0
22	9,0	6,7	14,0
23	7,0	4,0	12,0
24	12,0	9,3	25,0
25	13,0	10,1	27,0
26	8,0	5,2	16,0
27	11,0	8,9	23,0
28	9,0	5,8	12,0
29	12,0	8,8	28,0
30	12,0	9,1	33,0

1) Рассчитаем корреляцию между у и х1. Все вычисления занесем в таблицу:

х1	y	х1 2	y 2	х1 * y	(yi-ycp) 2	(x1i-xcp)2
3.9	7	15.21	49	27.3	7.4711	6.9344
3.9	7	15.21	49	27.3	7.4711	6.9344
3.7	7	13.69	49	25.9	7.4711	8.0278
4	7	16	49	28	7.4711	6.4178
3.8	7	14.44	49	26.6	7.4711	7.4711
4.8	7	23.04	49	33.6	7.4711	3.0044
5.4	8	29.16	64	43.2	3.0044	1.2844
4.4	8	19.36	64	35.2	3.0044	4.5511
5.3	8	28.09	64	42.4	3.0044	1.5211
6.8	10	46.24	100	68	0.0711	0.0711
6	9	36	81	54	0.5378	0.2844
6.4	11	40.96	121	70.4	1.6044	0.0178
6.8	9	46.24	81	61.2	0.5378	0.0711
7.2	11	51.84	121	79.2	1.6044	0.4444
8	12	64	144	96	5.1378	2.1511
8.2	12	67.24	144	98.4	5.1378	2.7778
8.1	12	65.61	144	97.2	5.1378	2.4544
8.5	12	72.25	144	102	5.1378	3.8678
9.6	14	92.16	196	134.4	18.2044	9.4044
9	14	81	196	126	18.2044	6.0844
4.3	7	18.49	49	30.1	7.4711	4.9878
6.7	9	44.89	81	60.3	0.5378	0.0278
4	7	16	49	28	7.4711	6.4178
9.3	12	86.49	144	111.6	5.1378	7.6544
10.1	13	102.01	169	131.3	10.6711	12.7211
5.2	8	27.04	64	41.6	3.0044	1.7778
8.9	11	79.21	121	97.9	1.6044	5.6011
5.8	9	33.64	81	52.2	0.5378	0.5378
8.8	12	77.44	144	105.6	5.1378	5.1378
9.1	12	82.81	144	109.2	5.1378	6.5878
196	292	1405.76	3004	2044.1	161.8667	125.2267

Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая.

Коэффициент детерминации

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.95782 = 0.9174

Рассчитаем корреляцию между у и х2

Вычисления занесем в таблицу:

x	y	x 2	y 2	x * y	(yi-ycp) 2	(xi-xcp)2
10	7	100	49	70	7.4711	135.3344
14	7	196	49	98	7.4711	58.2678
15	7	225	49	105	7.4711	44.0011
16	7	256	49	112	7.4711	31.7344
17	7	289	49	119	7.4711	21.4678
19	7	361	49	133	7.4711	6.9344
19	8	361	64	152	3.0044	6.9344
20	8	400	64	160	3.0044	2.6678
20	8	400	64	160	3.0044	2.6678
20	10	400	100	200	0.0711	2.6678
21	9	441	81	189	0.5378	0.4011
22	11	484	121	242	1.6044	0.1344
22	9	484	81	198	0.5378	0.1344
25	11	625	121	275	1.6044	11.3344
28	12	784	144	336	5.1378	40.5344
29	12	841	144	348	5.1378	54.2678
30	12	900	144	360	5.1378	70.0011
31	12	961	144	372	5.1378	87.7344
32	14	1024	196	448	18.2044	107.4678
36	14	1296	196	504	18.2044	206.4011
13	7	169	49	91	7.4711	74.5344
14	9	196	81	126	0.5378	58.2678
12	7	144	49	84	7.4711	92.8011
25	12	625	144	300	5.1378	11.3344
27	13	729	169	351	10.6711	28.8011
16	8	256	64	128	3.0044	31.7344
23	11	529	121	253	1.6044	1.8678
12	9	144	81	108	0.5378	92.8011
28	12	784	144	336	5.1378	40.5344
33	12	1089	144	396	5.1378	129.2011
649	292	15493	3004	6754	161.8667	1452.9667

Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая

Коэффициент детерминации

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.90122 = 0.8122

Рассчитаем корреляцию между х1 и х2

Вычисления занесем в таблицу

x	y	x 2	y 2	x * y	(yi-ycp) 2	(xi-xcp)2
10	3.9	100	15.21	39	6.9344	135.3344
14	3.9	196	15.21	54.6	6.9344	58.2678
15	3.7	225	13.69	55.5	8.0278	44.0011
16	4	256	16	64	6.4178	31.7344
17	3.8	289	14.44	64.6	7.4711	21.4678
19	4.8	361	23.04	91.2	3.0044	6.9344
19	5.4	361	29.16	102.6	1.2844	6.9344
20	4.4	400	19.36	88	4.5511	2.6678
20	5.3	400	28.09	106	1.5211	2.6678
20	6.8	400	46.24	136	0.0711	2.6678
21	6	441	36	126	0.2844	0.4011
22	6.4	484	40.96	140.8	0.0178	0.1344
22	6.8	484	46.24	149.6	0.0711	0.1344
25	7.2	625	51.84	180	0.4444	11.3344
28	8	784	64	224	2.1511	40.5344
29	8.2	841	67.24	237.8	2.7778	54.2678
30	8.1	900	65.61	243	2.4544	70.0011
31	8.5	961	72.25	263.5	3.8678	87.7344
32	9.6	1024	92.16	307.2	9.4044	107.4678
36	9	1296	81	324	6.0844	206.4011
13	4.3	169	18.49	55.9	4.9878	74.5344
14	6.7	196	44.89	93.8	0.0278	58.2678
12	4	144	16	48	6.4178	92.8011
25	9.3	625	86.49	232.5	7.6544	11.3344
27	10.1	729	102.01	272.7	12.7211	28.8011
16	5.2	256	27.04	83.2	1.7778	31.7344
23	8.9	529	79.21	204.7	5.6011	1.8678
12	5.8	144	33.64	69.6	0.5378	92.8011
28	8.8	784	77.44	246.4	5.1378	40.5344
33	9.1	1089	82.81	300.3	6.5878	129.2011
649	196	15493	1405.76	4604.5	125.2267	1452.9667

Коэффициент корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:



Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая.

Коэффициент детерминации

Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R2= 0.85422 = 0.7297

Таким образом, получаем

r(y,x1)=0.9578

r(y,x2)=0.9012

r(x1,x2)=0.8542

Построим линейную и не линейную множественную регрессию.

Оценка уравнения регрессии

Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор получается из выражения:

s = (XTX)-1XTY

Матрица X

1	3.9	10
1	3.9	14
1	3.7	15
1	4	16
1	3.8	17
1	4.8	19
1	5.4	19
1	4.4	20
1	5.3	20
1	6.8	20
1	6	21
1	6.4	22
1	6.8	22
1	7.2	25
1	8	28
1	8.2	29
1	8.1	30
1	8.5	31
1	9.6	32
1	9	36
1	4.3	13
1	6.7	14
1	4	12
1	9.3	25
1	10.1	27
1	5.2	16
1	8.9	23
1	5.8	12
1	8.8	28
1	9.1	33

Матрица Y

7
7
7
7
7
7
8
8
8
10
9
11
9
11
12
12
12
12
14
14
7
9
7
12
13
8
11
9
12
12

Матрица X^T

Умножаем матрицы, (X^TX)

В матрице, (X^TX) число 30, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы XT и 1-го столбца матрицы X

Умножаем матрицы, (X^TY)

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1

0.3917	-0.0327	-0.0067
-0.0327	0.0295	-0.0074
-0.0067	-0.0074	0.0025

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

s = (X^TX)^-1X^TY =

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Y = 2.3497 + 0.7905X ₁ + 0.1026X ₂

Матрица парных коэффициентов корреляции

Число наблюдений n = 30. Число независимых переменных в модели ровно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равным 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (30 х 4). Матрица Х^T Х определяется непосредственным умножением или по следующим предварительно вычисленным суммам.

Матрица составленная из Y и X

1	7	3.9	10
1	7	3.9	14
1	7	3.7	15
1	7	4	16
1	7	3.8	17
1	7	4.8	19
1	8	5.4	19
1	8	4.4	20
1	8	5.3	20
1	10	6.8	20
1	9	6	21
1	11	6.4	22
1	9	6.8	22
1	11	7.2	25
1	12	8	28
1	12	8.2	29
1	12	8.1	30
1	12	8.5	31
1	14	9.6	32
1	14	9	36
1	7	4.3	13
1	9	6.7	14
1	7	4	12
1	12	9.3	25
1	13	10.1	27
1	8	5.2	16
1	11	8.9	23
1	9	5.8	12
1	12	8.8	28
1	12	9.1	33

Транспонированная матрица

Матрица A^TA.

30	292	196	649
292	3004	2044.1	6754
196	2044.1	1405.76	4604.5
649	6754	4604.5	15493

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

?n	?y	?x1	?x2
?y	?y2	?x1 y	?x2 y
?x1	?yx1	?x1 2	?x2 x1
?x2	?yx2	?x1 x2	?x2 2

Найдем парные коэффициенты корреляции.

Для y и x₁

Уравнение имеет вид y = ax + b

Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для y и x₂

Уравнение имеет вид y = ax + b

Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Для x₁ и x₂

Уравнение имеет вид y = ax + b

Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Матрица парных коэффициентов корреляции

-	y	x1	x2
y	1	0.9578	0.9012
x1	0.9578	1	0.8542
x2	0.9012	0.8542	1

Анализ первой строки этой матрицы позволяет произвести отбор факторных признаков, которые могут быть включены в модель множественной корреляционной зависимости. Факторные признаки, у которых r_yxi < 0.5 исключают из модели.

Коллинеарность - зависимость между факторами. В качестве критерия мультиколлинеарности может быть принято соблюдение следующих неравенств:

r(x_jy) > r(x_kx_j) ; r(x_ky) > r(x_kx_j).

Если одно из неравенств не соблюдается, то исключается тот параметр x_k или x_j, связь которого с результативным показателем Y оказывается наименее тесной.

Частные коэффициенты корреляции

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что он измеряет парную корреляцию соответствующих признаков (y и x_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (x_j) устранено.

Теснота связи сильная

Теснота связи умеренная

Теснота связи сильная

Теснота связи низкая

Теснота связи умеренная

Теснота связи низкая

Анализ параметров уравнения регрессии

Перейдем к статистическому анализу полученного уравнения регрессии: проверке значимости уравнения и его коэффициентов, исследованию абсолютных и относительных ошибок аппроксимации

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления:

Несмещенная ошибка e = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации)



0.5416
0.1313
0.1868
-0.1529
-0.0973
-1.093
-0.5673
0.1206
-0.5908
0.2234
-0.2468
1.3345
-0.9817
0.3943
0.4542
0.1936
0.17
-0.2487
0.7791
0.8432
-0.0823
-0.0822
0.2574
-0.2658
-0.1033
-0.1015
-0.7444
0.8344
-0.1782
-0.9282

s_e² = (Y - X*s)^T(Y - X*s) = 9.237

Несмещенная оценка дисперсии равна

Оценка среднеквадратичного отклонения равна (Стандартная ошибка для оценки Y)

Найдем оценку ковариационной матрицы вектора k = у*(X^TX)^-1

Дисперсии параметров модели определяются соотношением S ²_i = K_ii, т.е. это элементы, лежащие на главной диагонали

Частные коэффициенты эластичности

С целью расширения возможностей содержательного анализа модели регрессии используются частные коэффициенты эластичности, которые определяются по формуле

Частный коэффициент эластичности E₁ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Частный коэффициент эластичности E₂ < 1. Следовательно, его влияние на результативный признак Y незначительно.

Индекс множественной корреляции (множественный коэффициент корреляции)

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции (от 0 до 1)

Связь между признаком Y факторами X сильная

Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-m-1;a) = (27;0.05) = 1.703

Поскольку Tнабл > Tтабл , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим

Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

r(0.9533;0.9888)

Коэффициент детерминации

R²= 0.971² = 0.9429

т.е. в 94.2935 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

Оценка значения результативного признака при заданных значениях факторов

Y(0.0,0.0,) = 2.3497 + 0.7905 * 0.0 + 0.1026 * 0.0 = 2.3497

Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для среднего значения результативного признака M(Y).

S² = X₀^T(X^TX)^-1X₀

где

X₀^T = [ 1 ; 0.0 ; 0.0]

(X^TX)^-1

0.3917	-0.0327	-0.0067
-0.0327	0.0295	-0.0074
-0.0067	-0.0074	0.0025

X₀

1
0
0

Умножаем матрицы, находим S² = 0.3917

(Y - t*S_Y ; Y + t*S_Y )

(2.3497 - 1.703*0.3661 ; 2.3497 + 1.703*0.3661)

(1.7262;2.9732)

C вероятностью 0.95 среднее значение Y при X_0i находится в указанных пределах.

Доверительные интервалы с вероятностью 0.95 для индивидуального значения результативного признака.

(2.3497 - 1.703*0.69 ; 2.3497 + 1.703*0.69)

(1.1746;3.5248)

C вероятностью 0.95 индивидуальное значение Y при X_0i находится в указанных пределах.

Проверка гипотез относительно коэффициентов уравнения регрессии (проверка значимости параметров множественного уравнения регрессии)

1) t-статистика

T_табл (n-m-1;a) = (27;0.05) = 1.703

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₀ подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₁ подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b₂ подтверждается

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b_i - t_i S_bi; b_i + t_i S_bi)

b ₀: (2.3497 - 1.703 * 0.4787 ; 2.3497 + 1.703 * 0.4787) = (1.5346;3.1649)

b ₁: (0.7905 - 1.703 * 0.1314 ; 0.7905 + 1.703 * 0.1314) = (0.5667;1.0144)

b ₂: (0.1026 - 1.703 * 0.0386 ; 0.1026 + 1.703 * 0.0386) = (0.0368;0.1683)

2) F-статистика. Критерий Фишера

Табличное значение при степенях свободы k1=2 и k2 = 27, Fkp(2;27) = 3.37

Поскольку фактическое значение F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим и уравнение регрессии статистически надежно.

2) В обеих моделях отсутствует автокорреляция, так как значение остатков распределены независимо друг от друга.

3) Проверка на наличие гетероскедастичности методом графического анализа остатков.

В этом случае по оси абсцисс откладываются значения объясняющей переменной X_i, а по оси ординат квадраты отклонения e_i².

y	y(x)	e=y-y(x)	e2
7	6.4584	0.5416	0.2933
7	6.8687	0.1313	0.0172
7	6.8132	0.1868	0.0349
7	7.1529	-0.1529	0.0234
7	7.0973	-0.0973	0.0095
7	8.093	-1.093	1.1946
8	8.5673	-0.5673	0.3218
8	7.8794	0.1206	0.0146
8	8.5908	-0.5908	0.3491
10	9.7766	0.2234	0.0499
9	9.2468	-0.2468	0.0609
11	9.6655	1.3345	1.7808
9	9.9817	-0.9817	0.9638
11	10.6057	0.3943	0.1555
12	11.5458	0.4542	0.2063
12	11.8064	0.1936	0.0375
12	11.83	0.17	0.0289
12	12.2487	-0.2487	0.0619
14	13.2209	0.7791	0.607
14	13.1568	0.8432	0.7109
7	7.0823	-0.0823	0.0068
9	9.0822	-0.0822	0.0068
7	6.7426	0.2574	0.0662
12	12.2658	-0.2658	0.0706
13	13.1033	-0.1033	0.0107
8	8.1015	-0.1015	0.0103
11	11.7444	-0.7444	0.5542
9	8.1656	0.8344	0.6963
12	12.1782	-0.1782	0.0318
12	12.9282	-0.9282	0.8615
Среднее значение	9.73333	0	0.3079

Анализ остатков свидетельствует о наличии гетероскедастичности моделей.

4) Линейная множественная регрессия оказалась лучше, чем нелинейная, потому что средняя ошибка аппроксимации в первом случае не превысила допустимых 10%.

эластичность матрица корреляция детерминация

Список использованной литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., ЮНИТИ. 2008 -1022 с.

2. Доугерти Кристофер, Введение в эконометрику. Пер. с англ.- М., ИНФРА-М.- XIV, 2010 - 402 c.

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. 3-е изд. М., Дело. 2011. -400 с.

4. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. Вып.1,2. - М.: Статистика, 2005, 2006.

5. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2009. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru