Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Учреждение образования

«Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина»

Математический факультет

Кафедра информатики и прикладной математики

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ ОСРЕДНЕННОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Курсовая работа студента 5 курса

Брест 2011

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
• 1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
• 2. ИСЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ ОСРЕДНЕННОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ
• 3.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
• ПРИЛОЖЕНИЕ
• ВВЕДЕНИЕ
• Современный этап развития теории вероятностей и математической статистики характеризуется значительным расширением теоретических исследований по статистическому спектральному анализу (анализу в частной области) временных рядов и их практическим применением во многих областях человеческой деятельности, таких, как экономика, спектроскопия, медицина, биология, страхование, финансы, социология, радиоэлектроника, электротехника, геофизика, геология и многие другие. Цели изучения временных рядов могут быть различными. Можно, например, стремиться предсказывать будущее на основании знания прошлого, управлять процессом, порождающим ряд, выяснить механизм, порождающий ряд, или просто сжато описать характерные особенности ряда. Поэтому под статистическим спектральным анализом временных рядов понимают статистический спектральный анализ стационарных случайных процессов.
• Одной из главных задач спектрального анализа временных рядов является построение и исследование оценок спектральных плотностей стационарных случайных процессов, так как они дают важную информацию о структуре процесса.
• Существуют параметрические и непараметрические методы спектрального анализа. Среди непараметрических методов выделяют метод, в котором для построения оценки спектральной плотности производится осреднение периодограмм, построенных по непересекающимся интервалам исходной последовательности наблюдений и вводятся окна просмотра данных для уменьшения смещения оценок.
• В данной работе вычислены математическое ожидание, дисперсия и ковариация осредненной оценки взаимной спектральной плотности, построенной путем осреднения модифицированных периодограмм по непересекающимся интервалам наблюдений для многомерных временных рядов, произвольных окон просмотра данных. Построены графики оценки спектральной плотности для последовательности наблюдений - чисел солнечной активности по Вольфу с 1749 г. по 1901 г. для различных окон данных.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и какому-то другому параметру.

Совокупность функций вида

назовём r-компонентным векторным временным рядом (r-мерным временным рядом).

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Аргумент чаще всего интерпретируется как время, хотя при решении практических задач он может иметь и другое смысловое значение.

При каждом фиксированном , , - множество случайных величин.

Если в определении случайного процесса , , , то =называется -мерным случайным полем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

,

.

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

,

.

Корреляционной функцией случайного процесса , , называется функция вида

,

.

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Заметим, что если , то , .

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

,

, .

Заметим, что

,

.

Пусть - значения случайного процесса в точках .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

,

, .

Смешанным семиинвариантом ( кумулянтом ) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

,

, , которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

(1.1)

где

(1.2)

для

суммирование по всевозможным разбиениям множества .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

, при условии, что

.

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=,

, при условии, что

.

Лемма 1. Для любого целого справедливо соотношение

(1.3)

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

, (1.4)

,

Доказательство. Домножая обе части соотношения (1.1) на , , и интегрируя обе части полученного неравенства по на , получим



.

Используя лемму 1, получим при требуемый результат. Теорема доказана.

Лемма 2. Если функция интегрируема и периодична с периодом , то для любого действительного имеет место соотношение

Доказательство. Предположим, что >0. Можно записать

В третьем слагаемом правой части последнего равенства сделаем замену переменных интегрирования и, учитывая периодичность с периодом функции , получаем требуемое. Случай, когда <0, доказывается аналогично. Лемма доказана.

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=,

, при условии, что

.

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ И ДИСПЕРСИИ ОСРЕДНЕННОЙ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим r-мерный стационарный случайный процесс

, ,

с математическим ожиданием

, , ,

неизвестной взаимной спектральной плотностью

, , , где

.

математический ожидание спектральный анализ

Пусть _ последовательных наблюдений за составляющей , процесса , , .

Предположим, что число наблюдений представимо в виде и , где _ число непересекающихся интервалов разбиения длины .

Используя метод Уэлча [1], в качестве оценки взаимной спектральной плотности процесса исследована статистика вида

, (2.1)

где

, (2.2)

где , , , а задано выражением

, (2.3)

, , , причем наблюдения сглаживаются одним и тем же окном просмотра данных .

Статистику будем называть модифицированной периодограммой на м отрезке разбиения наблюдений.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и ковариацию оценки взаимной спектральной плотности, заданной соотношением (2.1).

Теорема 2.1. Математическое ожидание оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (2.1), имеет вид

, (2.4)

где

, (2.5)

, (2.6)

.

Доказательство. Подставляя вместо ее выражение в явном виде, используя соотношения (2.3), (2.2) и учитывая свойства математического ожидания, получим

=

=

,

Учитывая, что

,

получим требуемый результат. Теорема доказана.

Теорема 2.2. Ковариация оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (2.1), имеет вид

+

+

+

+

, (2.7)

где

=

, (2.8)

=, (2.9)

где задается выражением (2.6), _семиинвариантная спектральная плотность 4_го порядка, а

, (2.10)

, .

Доказательство. Используя определение ковариации, свойства математического ожидания и соотношение (2.1), получим

=

.

Таким образом, последнее выражение можно представить виде суммы трех слагаемых и .

Рассмотрим . Учитывая соотношение, связывающее смешанный семиинвариант 4-го порядка и семиинвариантную спектральную плотность 4-го порядка, а также соотношение (2.6), получим

.

Сделаем замену переменных интегрирования , . Учитывая соотношение

и равенства (2.8), (2.10) получим

. (2.11)

Рассмотрим . Учитывая (2.6), запишем

.

Используя соотношения (2.9), (2.10), получим

. (2.12)

Аналогично можно показать, что

. (2.13)

Теорема доказана.

Теорема 2.3. Дисперсия оценки взаимной спектральной плотности , , , задаваемой соотношением (2.1), имеет вид

+
++ +

. (2.14)

где , ,, задаются выражениями (2.8), (2.10), (2.9), (2.5) соответственно, , , a _ семиинвариантная спектральная плотность 4_го порядка.

Доказательство следует из теоремы 2.2 положив , , .

3.ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Для выделения определенных характеристик спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».

При определении расширенного конечного преобразования Фурье, задаваемого соотношением

введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).

Функцию

(3.1)

называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что



Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .

Примеры окон просмотра данных:

1. 1 - окно Дирихле;

2. 1- - окно Фейера;

3. ;

4. - окно Хэннинга;

5. - окно Хэмминга;

6. - окно Хэмминга;

7. , где - окно Хэмминга;

8. 1- - окно Рисса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида

где

,

где , , , а задано выражением

,

, , .

Вычислены математическое ожидание, дисперсия и ковариация оценки взаимной спектральной плотности. Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании наблюдений за числами солнечной активности по Вольфу с 1749 г. по 1901 г.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория. - М.: Мир, 1980. - 536 с.

2. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. - 755 с.

3. Труш Н.Н. Асимптотические методы статистического анализа временных рядов. - Мн.: БГУ, 1999. - 218 с.

4. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 168 с.

5. Труш Н.Н., Мирская Е.И. Случайные процессы. Преобразования Фурье наблюдений. - Мн.: БГУ, 2000.

6. Welch, P. D. The use of FFT for the estimation of power spectra / P. D. Welch // IEEE Trans. Electroacoust. - 1967. - Vol. 15., № 2. - P. 70-73.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ГРАФИКИ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ОКОН ПРОСМОТРА ДАННЫХ

Для исследования оценки (2.1) был исследован ряд, состоящий из 100 наблюдений за числами солнечной активности по Вольфу с 1749 г. по 1901 г.

Рис. 1. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле.

Рис.2. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Фейера



Рис. 3. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3.

Рис. 4. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэннинга.



Рис. 5. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 5.

Рис. 6. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 6.



Рис. 6. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7.

Рис. 6. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Рисса.



Рис. 7. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Дирихле и Фейера.

Рис. 8. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна вида 3 и Хэмминга вида 6.



Рис. 9. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 3 и Хэмминга вида 6.

Рис. 10. График оценки спектральной плотности (2.1) для окна Хэмминга вида 7 и окнаРисса.

Размещено на Allbest.ru