Моделирование объектов управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СЛАВЯНСКИЙ КОЛЛЕДЖ НАЦИОНАЛЬНОГО АВИАЦИОННОГО УНИВЕРСИТЕТА

(СК НАУ)

Реферат

По дисциплине «Цифровые автоматизированные системы»

ТЕМА:

«Моделирование объектов управления»

Общие принципы построения моделей технических систем

Основные понятия о моделях объектов управлении

При изучении любых объектов (технических систем, процессов, явлений) основной задачей является построение их моделей. Как результат познания модель представляет собой отображение в той или иной форме свойств, закономерностей, физических и других характеристик, присущих исследуемому объекту. Характер модели определяется поставленными целями и может быть различным в зависимости от ее назначения. Модели разделяют на два основных класса: символические (словесные описания, схемы, чертежи, математические уравнения и т. д.) и вещественные (макеты, разного рода физические аналоги и электронные моделирующие устройства, имитирующие процессы в объектах)

При исследовании объектов, предназначенных для управления, применяют математические модели, входящие в класс символических, и вещественные. К математическим моделям относится такое математическое описание, которое адекватно отражает как статические, так и динамические связи между входными и выходными переменными объекта. Математическая модель может быть получена и аналитически (закономерности протекающих в объекте процессов полностью известны), и по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Последний подход особенно широко используется на практике, так как позволяет обойтись минимумом априорных сведений об объекте при построении его модели.

Для управления объектом необходимо иметь модель в виде математического описания, устанавливающего связь между входными и выходными переменными в форме, на основе которой может быть выбран закон управления, обеспечивающий заданное функционирование объекта. Получаемое описание должно давать преобразования воздействия на объект u в реакцию объекта y. Переменные u и y могут представлять собой функции одинаковых и разных аргументов.

Преобразование одной функции в другую производится оператором, который определяет совокупность математических или логических операций, устанавливающих соответствие между ними: y(t)=A{u(t)}.

В качестве примера можно назвать операторы дифференцирования, интегрирования и т. п. Для стационарных линейных одномерных объектов оператор может быть задан в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка, интегральной свертки, частотной характеристики (передаточной функции) объекта.

Операторы, используемые для описания моделей, можно классифицировать согласно схеме, приведенной на рис. 1.1.

На практике объекты стремятся описывать линейными стационарными моделями, хотя в действительности все объекты в той или иной мере обладают свойствами нелинейности, нестационарности, распределенности, стохастичности.

Использование более простых операторов следует рассматривать как попытку аппроксимации характеристик сложного объекта упрощенным приближенным описанием, но удобным для дальнейших расчетов. Описания могут быть заданы различным образом: аналитически, таблично, в виде разложения по какой-либо системе функций и т. д.

Рис.1.1 - Классификация моделей объектов управления по операторам их описания.

Проиллюстрируем использование моделей при решении задач управления объектами (рис.1.2). После формулировки целей управления необходимо выделить объект управления из среды, т. е. определить границы объекта и установить его взаимодействие со средой. Последнее характеризуется моделью возмущений. Далее строится структура и проводится идентификация параметров модели объекта. В процедуре синтеза управления, являющейся оптимизационной задачей, модель объекта выступает как ограничение. С помощью же модели возмущений можно оценить некоторые качественные показатели управления.

Рис. 1.2 - Структурная схема решения задачи управления объектом.

Когда решается задача управления сложным объектом, часто не удается получить описание, имеющее приемлемую точность. В этом случае используется ансамбль моделей, в котором каждая из них описывает отдельные стороны процесса. С упрощением моделей ослабляются и цели управления (например, в неопределенной ситуации ставится задача нахождения разумной стратегии управления без жестких качественных показателей). Часто такие модели реализуются как совокупность программ, имитирующих работу объекта и ориентированных на использование ЭВМ.

Аналитическое составление математических моделей

Если известно конструктивное устройство объекта управления, то зная физические законы протекающих в нем процессов, его модель можно найти аналитически. При аналитическом составлении математической модели обычно используются уравнения материального и энергетических балансов, принципы подобия, законы Кирхгофа и т.д. Приступая к составлению модели, необходимо вначале ознакомиться с объектом, изучить документацию, процессы, протекающие в объекте, определить рабочую точку и область, в которой могут меняться переменные. Кроме того, целесообразно определит характеристики исполнительных устройств, через которые на объект подаются управляющие воздействия, и контрольно-измерительных приборов, служащих для наблюдения за процессом.

Методику аналитического составления математических моделей проиллюстрируем на примере. Рассмотрим резервуар. Переменные q1 и q2 обозначают расход жидкости, а f1 и f2 -- проходные сечения вентилей.

Для составления модели необходимо определить, какие переменные будут характеризовать управление, возмущение и состояние. В данном простом примере объект содержит только один накопитель (накапливается вещество), поэтому в качестве переменной состояния можно выбрать координату h. Управляющие и возмущающие координаты определяются практическими отображениями, связанными с конкретным включением объекта в систему, а также связью системы с внешней средой. Допустим, что f1 - управляющая координата, а f2 -- возмущение

После выбора координат необходимо определить статические характеристики исследуемого объекта, т. е. зависимости, связывающие координаты в установившемся режиме, когда производные всех переменных в системе равны нулю. Для этого в рассматриваемом случае используем закон гидравлики Бернулли: , где µ - коэффициент, характеризующий гидравлическое сопротивление и зависящий от вязкости жидкости,
геометрии трубопровода, шероховатости поверхности труб и т. д.

Для выходного патрубка можно записать:, однако в статике q1 = q2, поэтому (14.2).

Уравнение связывает все три координаты и позволяет получить три однопараметрических семейства характеристик: по управлению, по возмущению и регулировочную функцию, определяем формулами:

(14.3)

Как видно из рис. 14. 9 полученные статистические характеристики (14.3) являются нелинейными. Они могут быть использованы, например, для выбора рабочей точки или оценки соотношения между переменными в различных режимах. На следующем этапе строится уравнение динамического режима. Здесь может быть использован метод «замороженных координат», суть которого состоит в том: что при составлении дифференциального уравнения координаты, зависящие от времени -- q2(t), f1(t),h(t), считаются постоянными (замороженными) на время dt. Используя этот метод, уравнение динамического режима можно записать в виде

(14.4)

где F-- площадь сечения резервуара.

Из уравнения следует, что количество жидкости, поступившей в резервуар за время dt, уравновешивается изменением количества жидкости в резервуаре и количеством жидкости, вытекающей из резервуара (уравнение материального баланса). Разделив уравнение на dt и подставив в выражение q1(t) из (14.2)
(последнее справедливо для мгновенных значений), получим дифференциальное уравнение, описывающее поведение исследуемого объекта:

Это уравнение нелинейно, однако если объект работает при малых отклонениях от положения равновесия (обычно так работают системы стабилизации), его можно линеаризовать. Перепишем для удобства уравнение

После его линеаризации способом малых приращении переменных имеем

(14.5)

где

Полученное уравнение описывает объект в окрестности рабочей точки (f10,q20,h0), которая становится началом координат отсчета переменных.

Следует обратить внимание на следующие обстоятельства. Обычно, описание объекта не удается завершить аналитически, так как значения некоторых параметров приходится определять экспериментально. В рассматриваемом примере к таким параметрам относится коэффициент µ. Вообще говоря, статические характеристики содержатся в динамических моделях,
при этом определение статических зависимостей связано с тем. что построить полное динамическое описание удается не всегда. В большинстве случаев приходится удовлетвориться нелинейными статическими и линеаризованными динамическими уравнениями.

Вид математического описания объекта в значительной степени зависит от принятой системы координат. Так, если бы можно было вместо f1(t) принять в качестве управляющей координату q1(t), то уравнение (14.4), описывающее динамику объекта, было бы линейным.

Заметим также, что полученная математическая модель нуждается в проверке на адекватность. В данном случае для проверки можно использовать экспериментально снятую переходную функцию, параметры которой легко сопоставить с параметрами уравнения (14.5). Однако на практике подобная задача может оказаться достаточно сложной и потребовать специального технического обеспечения и подготовительной работы.

И последнее. Даже в рассмотренном простом примере получено несколько моделей (статическая, нелинейная, динамическая, линеаризованная). В более сложных случаях число возможных и необходимых моделей увеличивается за счет все более подробного учета нелинейных, распределенных, стохастических свойств реального объекта. В общем случае приходится искать компромисс между сложным и точным и, с другой стороны, простым, но грубым описанием. Выбор определяется конкретной целью идентификации, т.е., по существу, назначением искомого описания объекта.

Вопросы

1. Что такое модель?

2. Как определяется характер модели?

3. Какие модели бывают?

4. Какие модели в основном применяются для исследования объектов?

5. Как можно получить математическую модель?

6. Какое описание должно давать преобразования воздействия на объект u в реакцию объекта y?

7. Какие бывают описания?

8. Какие уравнения используются при аналитическом составлении математической модели?