Построение аддитивной (мультипликативной) модели временного ряда

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Ярославский государственный технический университет»

Кафедра «Кибернетики»

Контрольная работа №2

Контрольная работа по дисциплине

“Эконометрика”

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1.Найти коэффициенты автокорреляции со смешением на 1,2,3 и 4 месяца.

2.Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью р = 0.95 .

3.Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную (или мультипликативную) временного ряда.

Вариант	Стоимость акции по месяцам (руб.)
10	35.1	33	33,9	38,6	36,3	38	41,9	40	40,3	44,8	43,8	45,2

Решение

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на K периодов находятся по формуле:

Функция r(k) называется автокорреляционной функцией, а ее график кореллограммой.

1.1 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу№1.

Таблица №1 - Расчеты

Месяц	yt	yt+1	yt^2	yt+1^2	yt*yt+1
1	35,1	33	1232,01	1089	1158,3
2	33	33,9	1089	1149,21	1118,7
3	33,9	38,6	1149,21	1489,96	1308,54
4	38,6	36,3	1489,96	1317,69	1401,18
5	36,3	38	1317,69	1444	1379,4
6	38	41,9	1444	1755,61	1592,2
7	41,9	40	1755,61	1600	1676
8	40	40,3	1600	1624,09	1612
9	40,3	44,8	1624,09	2007,04	1805,44
10	44,8	43,8	2007,04	1918,44	1962,24
11	28,9	45,2	835,21	2043,04	1306,28
Итого	410,8	435,8	15543,82	17438,08	16320,28

1.2 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 2 месяц. Для этого составим расчетную таблицу№2.

Таблица №2 - Расчеты

Месяц	yt	yt+2	yt^2	yt+2^2	yt*yt+2
1	35,1	33	1232,01	1089	1158,3
2	33	33,9	1089	1149,21	1118,7
3	33,9	38,6	1149,21	1489,96	1308,54
4	38,6	36,3	1489,96	1317,69	1401,18
5	36,3	38	1317,69	1444	1379,4
6	38	41,9	1444	1755,61	1592,2
7	41,9	40	1755,61	1600	1676
8	40	40,3	1600	1624,09	1612
9	40,3	44,8	1624,09	2007,04	1805,44
10	44,8	43,8	2007,04	1918,44	1962,24
Итого	381,9	390,6	14708,61	15395,04	15014



1.3 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяц. Для этого составим расчетную таблицу№3.

Таблица №3 - Расчеты

Месяц	yt	yt+3	yt^2	yt+3^2	yt*yt+3
1	35,1	33	1232,01	1089	1158,3
2	33	33,9	1089	1149,21	1118,7
3	33,9	38,6	1149,21	1489,96	1308,54
4	38,6	36,3	1489,96	1317,69	1401,18
5	36,3	38	1317,69	1444	1379,4
6	38	41,9	1444	1755,61	1592,2
7	41,9	40	1755,61	1600	1676
8	40	40,3	1600	1624,09	1612
9	40,3	44,8	1624,09	2007,04	1805,44
Итого	337,1	346,8	12701,57	13476,6	13051,76

1.4 Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяц. Для этого составим расчетную таблицу№4.

Таблица №4 - Расчеты

Месяц	yt	yt+4	yt^2	yt+4^2	yt*yt+4
1	35,1	33,9	1232,01	1149,21	1189,89
2	33	38,6	1089	1489,96	1273,8
3	33,9	36,3	1149,21	1317,69	1230,57
4	38,6	38	1489,96	1444	1466,8
5	36,3	41,9	1317,69	1755,61	1520,97
6	38	40	1444	1600	1520
7	41,9	40,3	1755,61	1624,09	1688,57
8	40	44,8	1600	2007,04	1792
Итого	296,8	313,8	11077,48	12387,6	11682,6

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции.

Значимость коэффициентов автокорреляции принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q -критерия Бокса - Пирса.

Первый критерий используется ятя проверки значимости отдельного коэффициента автокорреляции. С его помощью удается выявить среди запаздывающих переменных те, которые необходимо включить в модель. Второй критерий позволяет сделать вывод о значимости всего множества переменных, включаемых в модель.

Суть проверки по первому критерию сводится к построению доверительного интервала для каждого коэффициента автокорреляции по формуле:

где n - число пар наблюдений временного ряда.

Возможность построения такого интервала основана на том, что коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающемся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением равным . Если рассчитанное значение автокорреляции попадает в этот интервал, то можно сделать вывод, что данные не показывают наличие автокорреляции k -го порядка с 95% уровнем надежности.

Статистика для проверки по Q критерию рассчитывается по формуле

где n - объем выборочной совокупности (длина временного ряда);

m - максимальный рассматриваемый лаг.

Статистика Q имеет распределение с m - степенями свободы и поэтому в случае, когда расчетное значение Q превосходит критическое значение с соответствующими степенями свободы, то, в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m, считается значимой.

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда с помощью критерия стандартной ошибки. Доверительный интервал для k - го коэффициента автокорреляции исходного временного ряда в соответствии с формулой

будет равен:

1) для или , так как объем выборки в этом случае составляет n-1=12-1=11 пар наблюдений;

2) для или , так как объем выборки в этом случае составляет n-2=12-2=10 пар наблюдений;

3) для или , так как объем выборки в этом случае составляет n-3=12-3=9 пар наблюдений;

4) для или , так как объем выборки в этом случае составляет n-4=12-4=8 пар наблюдений;

Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда составляют:

не попадают в соответствующие доверительные интервалы r(2), r(3). Тогда делаем вывод, что данные наблюдений показывают наличие автокорреляции 2-ого, 3-его порядков.

Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.

Наблюдаемое значение Q-статистики равно:

Для уровня значимости и числа степеней свободы k= 4 находим по таблице критических точек распределения

Так как то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m = 4. считается значимой.

3. Построим коррелограмму для исходного временного ряда (см. рисунок№1)

Рисунок №1 - График зависимости величины лага от коэффициента автокорреляции

Знание автокорреляционной функции может оказать помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической опенки его параметров.

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов. 1гмеюгшгх сильную нелинейную тенденцию. Например, параболу второго порядка или экспоненту, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях временного ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка k, исследуемый ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в k моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебании, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Следует отметить, что интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима.

Если при анализе временного ряда установлено, что ряд содержит сезонные или цикл1гческие колебания, то при моделировании сезонных колебаний применяют простейший подход - рассчитывают значения сезонной компоненты методом скользящей средней и строят аддитивную или мультипликативную модель временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий: Y=T+S+E.

Такая модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Общий вид мультипликативной модели может быть представлен формулой

Y=T*S*E.

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой Т, сезонной S и случайной Е компонент. Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний.

Если амплитуда колебании приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений Т, S и Е для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие пункты.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+S) в аддитивной модели или (T*S) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (T+S) или (Т * S) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (Т * S).

6. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

4. Проведем анализ исходного временного ряда по его коррелограмме, по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.

Рисунок №2 - График зависимости месяцев от стоимости акции

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков, свидетельствуют о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции третьего порядка свидетельствует о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

Рассчитаем компоненты выбранной модели.

1) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящее среднее.

2) Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем среднее за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты Si. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для аддитивной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна нулю.

Таблица №5 -Расчет скользящей средней, сезонной компоненты

t, Месяцы	yt, Стоимость акции, руб	Простая 3-х членная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	35,1	-	-
2	33	34	-1
3	33,9	35,16667	-1,26667
4	38,6	36,26667	2,333333
5	36,3	37,63333	-1,33333
6	38	38,73333	-0,73333
7	41,9	39,96667	1,933333
8	40	40,73333	-0,73333
9	40,3	41,7	-1,4
10	44,8	42,96667	1,833333
11	43,8	44,6	-0,8
12	45,2	-	-

Таблица №6 - Расчет данных

Показатель	Номер месяца, i
	1	2	3
Квартал	1	-	-1	-1,26667
	2	2,333333	-1,33333	-0,73333
	3	1,933333	-0,73333	-1,4
	4	1,833333	-0,8	-
Итог за i-й месяц (за весь год)	6,1	-3,86667	-3,4
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го месяца, Si	2,033333	-0,96667	-1,13333
Скоррелированная сезонная компонента Si	2,055556	-0,94444	-1,11111

Для данной модели получаем:

6,1-3, 86667-3,4=-0,02222

Коррелирующий коэффициент определяется по формуле:

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом :

где i=1,2,3

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты

: 2,055556-0,94444-1,111111=0

Окончательно, для сезонной компоненты получены следующие значения:

за 1 месяц, за 2 месяц , за 3 месяц

Полученные данные заносим в таблицу №6.

3) Элиминируем влияние сезонной компоненты вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда

Таблица №7 - Расчет коэффициентов

t	yt	S	T+E=yt-Si	T	T+S	E=yt-(T+Si)	E2	yi-yi	yi-yi
1	35,1	2,055556	33,04444	20,522	22,57756	12,52244	156,8116	-4,14167	17,1534
2	33	-0,94444	33,94444	21,43	20,48556	12,51444	156,6113	-6,24167	38,9584
3	33,9	-1,11111	35,01111	22,338	21,22689	12,67311	160,6077	-5,34167	28,5334
4	38,6	2,055556	36,54444	23,246	25,30156	13,29844	176,8486	-0,64167	0,411736
5	36,3	-0,94444	37,24444	24,154	23,20956	13,09044	171,3597	-2,94167	8,653403
6	38	-1,11111	39,11111	25,062	23,95089	14,04911	197,3775	-1,24167	1,541736
7	41,9	2,055556	39,84444	25,97	28,02556	13,87444	192,5002	2,658333	7,066736
8	40	-0,94444	40,94444	26,878	25,93356	14,06644	197,8649	0,758333	0,575069
9	40,3	-1,11111	41,41111	27,786	26,67489	13,62511	185,6437	1,058333	1,120069
10	44,8	2,055556	42,74444	28,694	30,74956	14,05044	197,415	5,558333	30,89507
11	43,8	-0,94444	44,74444	29,602	28,65756	15,14244	229,2936	4,558333	20,7784
12	45,2	-1,11111	46,31111	30,51	29,39889	15,80111	249,6751	5,958333	35,50174
Среднее	39,24167		Итого				2272,009		191,1892

4) Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+Е) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначим ряд (T+E) как W:

W=T+E

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид:

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений

Таблица №8 - Расчет

	t	wt	t2	twt	wt
	1	33,04444	1	33,04444	20,522
	2	33,94444	4	67,88889	21,43
	3	35,01111	9	105,0333	22,338
	4	36,54444	16	146,1778	23,246
	5	37,24444	25	186,2222	24,154
	6	39,11111	36	234,6667	25,062
	7	39,84444	49	278,9111	25,97
	8	40,94444	64	327,5556	26,878
	9	41,41111	81	372,7	27,786
	10	42,74444	100	427,4444	28,694
	11	44,74444	121	492,1889	29,602
	12	46,31111	144	555,7333	30,51
Итого	78	470,9	650	3227,567

Система нормальных уравнений имеет вид:

;

Линейная тенденция временного ряда имеет вид:

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

6) Расчет ошибки проводится по формуле:

Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 1,965442.

Средний уровень исходного временного ряда легко посчитать

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину

1-(1,965442/120,0767) = 0,984 или 98,4%

Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняет 98.4% обшей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.

Если при выборе модели сезонных колебании была выбрана мультипликативная модель, то методика её построения состоит из следующих шагов (на примере модели с периодичностью в 3 месяца):

1) Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящие средние;

2) Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на уровни скользящей средней(см.таблицу №9). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для мультипликативной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, то есть 3;

Таблица №9 - Расчет оценки сезонной компоненты

t, Месяцы	yt, Стоимость акции, руб	Простая 3-х членная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	35,1	-	-
2	33	34	0,970588
3	33,9	35,16667	0,963981
4	38,6	36,26667	1,064338
5	36,3	37,63333	0,96457
6	38	38,73333	0,981067
7	41,9	39,96667	1,048374
8	40	40,73333	0,981997
9	40,3	41,7	0,966427
10	44,8	42,96667	1,042669
11	43,8	44,6	0,982063
12	45,2	-	-

Таблица №10 - Расчет скоррелированной сезонной компоненты

Показатель	Номер месяца, i
	1	2	3
Квартал	1	-	0,970588	0,963981
	2	1,064338	0,96457	0,981067
	3	1,048374	0,981997	0,966427
	4	1,042669	0,982063	-
Итог за i-й месяц (за весь год)	3,155381	3,899218	2,911475
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го месяца, Si	1,051794	0,974805	0,970492
Скоррелированная сезонная компонента Si	1,052815	0,975751	0,971434

корректирующий коэффициент рассчитывается по формуле

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как произведение средней оценки на корректирующий коэффициент :

(см.таблицу №10)

Проверяется условие равенства трем суммы значений сезонной компоненты т.е 1,0052815+0,975751+0,971434=3

3) Делится каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. При этом в таблицу заносится величина

4) Определим трендовую компоненту Т мультипликативной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (Т * Е) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначнм ряд (Т*Е ) как W:

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид:

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда а и b определяются из системы нормальных уравнений:

Подставив в уравнение значения i =1,2,3,…12 , получим выровненные уровни для каждого момента времени или, в старых обозначениях, уровни (Т*Е).

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

6) Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле

E=Y/(T*S).

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле

E' = y_t-(T*S).

Делается в таблице восьмой столбец для величины Е' и девятый столбец для квадрата абсолютной ошибки (Е')². Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца (в десятом столбце таблицы).

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня (в столбце 11 таблицы №9).

С помощью величины

вычисляется доля объясненной дисперсии уровней ряда, она равна как видно 98,38%.

Таким образом, рассчитанная мультипликативная модель исходного временного ряда с сезонной составляющей (см таблица №12)

Таблица №12 - Расчеты

t	y	S	T*E=Y/S	T	T*S	E=y/(T*S)	E'=y-(T*S)	E'2	y-y	y-y2
1	35,1	1,052815	33,3392	20,522	21,60587	1,624559	13,49413	182,0916	-4,14167	17,1534
2	33	0,975751	33,8201	21,43	20,91035	1,578166	12,08965	146,1597	-6,24167	38,9584
3	33,9	0,971434	34,89686	22,338	21,69989	1,56222	12,20011	148,8426	-5,34167	28,5334
4	38,6	1,052815	36,66362	23,246	24,47373	1,577201	14,12627	199,5514	-0,64167	0,411736
5	36,3	0,975751	37,20211	24,154	23,56829	1,540205	12,73171	162,0964	-2,94167	8,653403
6	38	0,971434	39,11743	25,062	24,34608	1,560826	13,65392	186,4295	-1,24167	1,541736
7	41,9	1,052815	39,79807	25,97	27,3416	1,532463	14,5584	211,947	2,658333	7,066736
8	40	0,975751	40,99406	26,878	26,22624	1,52519	13,77376	189,7165	0,758333	0,575069
9	40,3	0,971434	41,48506	27,786	26,99227	1,49302	13,30773	177,0958	1,058333	1,120069
10	44,8	1,052815	42,55259	28,694	30,20947	1,482979	14,59053	212,8836	5,558333	30,89507
11	43,8	0,975751	44,8885	29,602	28,88418	1,516401	14,91582	222,4816	4,558333	20,7784
12	45,2	0,971434	46,52915	30,51	29,63845	1,525046	15,56155	242,1618	5,958333	35,50174
Ср.	39,24167						Итого	2281,457		191,1892