Главная
Коллекция "Otherreferats"
Экономико-математическое моделирование
Системи масового обслуговування
Системи масового обслуговування
Основні поняття та класифікація систем масового обслуговування. Марківський випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом. Закон Бернуллі, формули Стірлінга, Лапласа та Пуассона. Одноканальна та багатоканальна система з відмовами.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 29.04.2010 |
| Размер файла | 126,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
31
ОБЛАСНИЙ КОМУНАЛЬНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД "ІНСТИТУТ ПІДПРИЄМНИЦТВА "СТРАТЕГІЯ"
КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ
Курсова робота
З дисципліни: Дослідження операцій
На тему: Системи масового обслуговування
Студента Іощенка І.Г.
группа С-05-51
Керівник Піддубна О. О
м. Жовті Води
2008
Вступ
Основи знань про черги, іноді звані теорією черг або теорією масового обслуговування, складають важливу частину теорії управління виробництвом. Черги -- звичайне явище. Вони можуть носити форму очікування ремонту автомобіля в центрі автосервісу або очікування студентами консультації у професора. Моделі черг (як і лінійне програмування, моделі управління запасами, методи мережевого аналізу проектів) використовуються і у сфері управління матеріальним виробництвом, і у сфері обслуговування. Аналіз черг в термінах довжини черги, середнього часу очікування, середнього часу обслуговування і інших чинників допомагає нам краще зрозуміти принципи організації системи обслуговування.
Метою даної роботи є аналіз систем масового обслуговування, їх собливостей, а також вивчення методів розв'язку систем масового обслуговування і практичне їх застосування.
Задача даної роботи - провести детальний аналіз систем масового обслуговування , а також практично застосувати методи їх розв'язку.
Структура роботи. Відповідно до мети і задачі, дана робота складається із вступу, теоретичної частини, практичної частини, висновків і списку літератури. В теоретичній частині розглядається загальна теорія курсової роботи, в практичній частині - приклад розв'язку статистичної задачі з використанням методів розв'язку, приведених в теоретичній частині.
1. Основні поняття. Класифікація СМО
При дослідженні операцій часто доводиться стикатися з системами, призначеними для багаторазового використання при рішенні однотипних задач. Виникаючі при цьому процеси одержали назву процесів обслуговування, а системи - систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем є телефонні системи, ремонтні майстерні, обчислювальні комплекси, квиткові каси, магазини, перукарні і т.п.
Кожна СМО складається з певного числа обслуговуючих одиниць (приладів, пристроїв, пунктів, станцій), які називатимемо каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв'язку, робочі крапки, обчислювальні машини, продавці і ін. По числу каналів СМО підрозділяють на одноканальні і багатоканальні.
Заявки поступають в СМО звичайно не регулярно, а випадково, утворюючи так званий випадковий потік заявок (вимог). Обслуговування заявок, взагалі кажучи, також продовжується якийсь випадковий час. Випадковий характер потоку заявок і часу обслуговування призводить до того, що СМО виявляється завантаженою нерівномірно: у якісь періоди часу скуплюється дуже велика кількість заявок (вони або стають в чергу, або покидають СМО не обслуженими), в інші ж періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.
Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок і т.п.) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.
Як показники ефективності СМО використовуються: середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу; середнє число заявок в черзі; середній час очікування обслуговування; вірогідність відмови в обслуговуванні без очікування; вірогідність того, що число заявок в черзі перевищить певне значення і т.п.
СМО ділять на два основні типи (класу): СМО з відмовами і СМО з очікуванням (чергою). У СМО з відмовами заявка, що поступила в мить, коли всі канали зайняті, дістає відмову, покидає СМО і надалі процесі обслуговування не бере участь (наприклад, заявка на телефонну розмову в мить, коли всі канали зайняті, дістає відмову і покидає СМО не обслуженої). У СМО з очікуванням заявка, що прийшла в мить, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу на обслуговування.
СМО з очікуванням підрозділяються на різні види залежно від того, яка організована черга: з обмеженою або необмеженою довжиною черги, з обмеженим часом очікування і т.п.
Для класифікації СМО важливе значення має дисципліна обслуговування, що визначає порядок вибору заявок з числа тих, що поступили і порядок розподілу їх між вільними каналами. За цією ознакою обслуговування заявки може бути організовано за принципом "перша прийшла - перша обслужена", "остання прийшла - перша обслужена" (такий порядок може застосовуватися, наприклад, при витяганні для обслуговування виробів з складу, бо останні з них виявляються часто доступнішими) або обслуговування з пріоритетом (коли в першу чергу обслуговуються найбільш важливі заявки). Пріоритет може бути як абсолютним, коли важливіша заявка "витісняє" з-під обслуговування звичайну заявку (наприклад, у разі аварійної ситуації планові роботи ремонтних бригад уриваються до ліквідації аварії), так і відносним, коли важливіша заявка одержує лише "краще" місце в черзі.
2. Поняття марківського випадкового процесу
Процес роботи СМО є випадковим процесом.
Під випадковим (імовірнісним або стохастичним) процесом розуміється процес зміни в часі стану якої-небудь системи відповідно до імовірнісних закономірностей.
Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його можливі стани S1, S2, S3... можна наперед перерахувати, а перехід системи із стану в стан відбувається миттєво (стрибком). Процес називається процесом з безперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи із стану в стан не фіксовані наперед, а випадкові.
Процес роботи СМО є випадковим процесом з дискретними станами і безперервним часом. Це означає, що стан СМО міняється стрибком у випадкові моменти появи якихось подій (наприклад, приходу нової заявки, закінчення обслуговування і т.п.).
Математичний аналіз роботи СМО істотно спрощується, якщо процес цієї роботи - марківський. Випадковий процес називається марківським або випадковим процесом без наслідку, якщо для будь-якого моменту часу t0 імовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t0 і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан.
Приклад марківського процесу: система S - лічильник у таксі. Стан системи у момент t характеризується числом кілометрів (десятих доль кілометрів), пройдених автомобілем до даного моменту. Хай у момент t лічильник показує S0. Вірогідність того, що у момент t > t0 лічильник покаже те або інше число кілометрів (точніше, відповідне число рублів) S1, залежить від S0, але не залежить від того, в які моменти часу змінювалися свідчення лічильника до моменту t0. Багато процесів можна приблизно вважати марківськими. Наприклад, процес гри в шахи; система S - група шахових фігур. Стан системи характеризується числом фігур супротивника, що збереглися на дошці в момент t0. Вірогідність того, що у момент t > t0 матеріальна перевага буде на стороні одного з супротивників, залежить в першу чергу від того, в якому стані знаходиться система в даний момент t0 а не того, коли і в якій послідовності зникли фігури з дошки до моменту t0.
У ряді випадків передісторією даних процесів можна просто нехтувати і застосовувати для їх вивчення марківські моделі.
При аналізі випадкових процесів з дискретними станами зручно користуватися геометричною схемою - так званим графом станів. Звичайно стани системи зображаються прямокутниками, а можливі переходи із стану в стан - стрілками (орієнтованими дугами), що сполучають стани.
3. Рівняння для аналізу СМО
3.1 Основні рівняння СМО
Закон Бернуллі. В основі аналізу СМО лежить біноміальний закон Бернуллі, який дозволяє розраховувати ймовірність появи події "А" точно К разів при п незалежних іспитах (тільки для дискретних випадкових взаємно несумісних незалежних подій):
, (1)
; (2)
де п - кількість незалежних іспитів; Рn(К) - ймовірність появи подій "А" точно К разів при п незалежних іспитах; р - ймовірність появи однієї події "А"; q =1- р -- ймовірність протилежної події (не появи події "А"); К -- кількість появи події "А" при и спостереженнях; - сполучення по К елементів із п спостережень.
У принципі закон Бернуллі (і закони Лапласа та Пуассона, що з нього випливають) може використовуватись для визначення конструкції СМО - кількості каналів обслуговування та середнього строку обслуговування однієї вимоги.
Якщо прийняти К = 0, 1,2 ..., n, то отримаємо повну групу взаємно несумісних подій, для якої сума відповідних ймовірностей
. (3)
Формула Стірлінга. Формула Бернуллі дуже складна для обчислення, тому використовується формула Стерлінга
(4)
у якій точність розрахунків збільшується при .
Формула Лапласа. Подальші перетворення формули Бернуллі дозволяють отримати формулу Лапласа
, (5)
де
Із формули Лапласа випливає, що при або при К= Ко (тут Ко - найімовірніша кількість подій "А") отримуємо
=К0 -пр = 0; К0 =пр (6)
і ймовірність найімовірнішого числа подій Ко дорівнює
(7)
З точністю до (тобто з ймовірністю 0,997) можна вважати, що всі події відбудуться, якщо виконується умова К -- Ко , або
Формула Пуассона. При великій кількості незалежних іспитів (n » 1), малій ймовірності одного з іспитів (тут) формула Лапласа дає помилки, і тому використовують асимтотичну формулу Пуассона
, (8)
де .
Ймовірність появи події "А" не більше за т разів
(9)
Ймовірність того, що подія "А" при п іспитах зовсім не з'являється .
Формула Пуассона використовується для розрахунку різних подій. При цьому вважається, що
, (10)
де -- середня кількість телефонних дзвінків за одиницю часу; -- середи відмов пристрою за одиницю часу; -- середня кількість розпаду радіоактивних атомів за одиницю часу; -- середня кількість електронів, яка попадає на анод за одиницю часу; - середня кількість зміни знаку при телеграфних повідомленнях за одиницю часу; пт = Т= п - число подій за досить великий період часу Т .
Ймовірність появи одного телефонного дзвінка, однієї відмови пристрою і т.п.
(11)
Постійна величина формули Пуассона і формула Пуассона набуває вигляду
. (12)
3.2 Диференційні рівняння СМО
Стан СМО визначається:
· в одноканальній СМО з очікуванням - довжиною черги i;
· у багатоканальній СМО з відмовами - кількістю зайнятих каналів і(у цій СМО черги немає: якщо всі канали зайняті то вимога не обслуговується і зникає);
· у багатоканальній СМО з очікуванням - числом зайнятих каналів плюс довжиною черги.
Розглянемо досить велику кількість N таких ідентичних СМО. Позначимо через Рі ймовірність того, що СМО знаходиться на час t у стані Si, а через - зміну ймовірності Рі за малий проміжок часу t.
У СМО вважається, що потік вимог підкоряється пуассонівському закону. Тому за малий термінt на жодну з N СМО не може надійти більше однієї вимоги, та жодна з N СМО за цей час не може обслужити більше за одну вимогу. Ймовірністю надходження або закінчення обслуговування двох або більшої кількості вимог за час t у N СМО можна знехтувати, бо ця ймовірність дуже мала (дорівнює нулю). Тобто СМО переходить із стану Si, у стан Si +1 або стан Si-1. СМО не може перейти, наприклад, із стану Si, у стани Si+2, або Si-2
Тоді згідно з законом Пуассона (ймовірність появи точно k подій із п можливих за проміжок часу t) при умовах k= 1, t = t ймовірність появи точно однієї події дорівнює
(13)
Таким чином, ймовірність надходження точно однієї події дорівнює
, (14)
де - інтенсивність надходження вимог.
Одночасно вважається, що обслуговування теж підкоряється експоненціальному закону і тому ймовірність завершення обслуговування точно однієї події , де - інтенсивність обслуговування
4. СМО з відмовами
Як показники ефективності СМО| з|із| відмовами розглядатимемо|розглядуватимемо|:
А -- абсолютну пропускну спроможність СМО|, тобто середнє число заявок, що обслуговуються в одиницю часу;
Q -- відносну пропускну спроможність, тобто середню частку|долю| заявок, що прийшли, обслуговуються системою;
Ротк-- вірогідність|ймовірність| відмови, тобто того, що заявка покине СМО| не обслуженою;
k-- середнє число зайнятих каналів (для багатоканальної системи).
4.1 Одноканальна система з відмовами
Розглянемо|розгледимо| завдання|задачу|.
Є|наявний| один канал, на який поступає|надходить| потік заявок з|із| інтенсивністю . Потік обслуговуванні має інтенсивність. Знайти граничну вірогідність|ймовірність| станів системи і показники її ефективності.
Система S (СМО|) має два стани: S0-- канал вільний S1 -- канал зайнятий|позичений,посісти|. Розмічений граф станів представлений|уявлений| на мал. 1.
31
Мал. 1
У граничному, стаціонарному режимі система рівнянь, алгебри, для вірогідності|ймовірності| станів має
(15)
тобто система вироджується в одне рівняння. Враховуючи умову, нормування p0+p1=1, знайдемо з|із| (1) гранична вірогідність|ймовірність| станів
(16)
які виражають|виказують,висловлюють| середній відносний час перебування системи в стані|спроможний| S0 (коли канал вільний) і S1 (коли канал зайнятий|позичений,посісти|), тобто визначають відповідно відносну пропускну спроможність Q системи і вірогідність|ймовірність| відмови Ротк:
(17)
(18)
Абсолютну пропускну спроможність знайдемо, помноживши відносну пропускну спроможність Q. на інтенсивність потоку відмов
(19)
4.2 Багатоканальна система з відмовами
Розглянемо класичне завдання Эрланга.
Є п каналів, на які поступає потік заявок з інтенсивністю . Потік обслуговувань має інтенсивність. Знайти граничну вірогідність станів системи і показники її ефективності.
Система S (СМО) має наступні стани (нумеруємо їх по числу заявок, що знаходяться в системі): So, S1, S2, ..., Sk ..., Sn, де Sk -- стан системи, коли в ній знаходиться k заявок, тобто зайнято k каналів.
Граф станів СМО відповідає процесу загибелі і розмноження показаний на мал. 2
…
…
Мал. 2
Потік заявок послідовно переводить систему з будь-якого лівого стану в сусідній правий з однією і тією ж інтенсивністю . Інтенсивність же потоку обслуговуванні, що переводять систему з будь-якого правого стану в сусідній лівий стан, постійно міняється залежно від стану. Дійсно, якщо СМО знаходиться в стані S2 (два канали зайняті), то вона може перейти в стан S1 (один канал зайнятий), коли закінчить обслуговування або перший, або другий канал, тобто сумарна інтенсивність їх потоків обслуговуванні буде 2. Аналогічно сумарний потік обслуговуванні, що переводить СМО із стану S3 (три канали зайняті) у S2 матиме інтенсивність 3, тобто може звільнитися будь-який з трьох каналів і т.д.
Для схеми загибелі і розмноження одержимо для граничної вірогідності стану
(20)
де члени розкладання , , --,будуть представляти собою коефіцієнти при ро у виразах для граничної вірогідності p1, p2, pk ., pn.
Величина (21) називається приведеною інтенсивністю потоку заявок або інтенсивністю навантаження каналу. Вона виражає середнє число заявок, що приходить за середній час обслуговування однієї заявки. Тепер
(22)
Формула (22) для граничної вірогідності одержала назву формула Эрланга на честь засновника теорії масового обслуговування.
Вірогідність відмови СМО є гранична вірогідність того що всі п каналів системи будуть зайняті, тобто
(23)
Відносна пропускна спроможність -- вірогідність того, що заявка буде обслужена:
(24)
Абсолютна пропускна спроможність:
(25)
Середнє число зайнятих каналів є математичне очікування числа зайнятих каналів:
(26)
де pk -- гранична вірогідність станів, визначуваних по формулі (8).
Проте середнє число зайнятих каналів можна знайти простіше, якщо врахувати, що абсолютна пропускна спроможність системи А є не що інше, як інтенсивність потоку обслужених системою заявок (у одиницю часу). Оскільки кожен зайнятий канал обслуговує в середньому заявок (у одиницю часу), то середнє число зайнятих каналів
(27)
або, враховуючи (25) та (21):
(28)
5. СМО з очікуванням (чергою)
Як показники ефективності СМО з очікуванням, окрім вже відомих показників -- абсолютної А і відносної Q пропускної спроможності, вірогідності відмови Ротк,, середнього числа зайнятих каналів (для багатоканальної системи) розглядатимемо також наступні: Lсист-- середнє число заявок в системі; Tсист -- середній час перебування заявки в системі; Loч -- середнє число заявок в черзі { довжина черги); Точ -- середній час перебування заявки в черзі; Рзан -- вірогідність того, що канал зайнятий (ступінь завантаження каналу).
5.1 Одноканальна система з необмеженою чергою
На практиці часто зустрічаються одноканальні СМО з необмеженою чергою (наприклад, телефон-автомат з однією будкою).
Розглянемо завдання.
Є одноканальна СМО з чергою, на яку не накладені ніякі обмеження (ні по довжині черги, ні за часом очікування). Потік заявок, що поступають в СМО, має інтенсивність, а потік обслуговуванні -- інтенсивність . Необхідно знайти граничну вірогідність станів і показники ефективності СМО. Система може знаходитися в одному із станів So S1, S2, ., Sk, по числу заявок, що знаходяться в СМО: So -- канал вільний; .S1 -- канал зайнятий (обслуговує заявку), черги немає; S2-- канал зайнятий, одна заявка стоїть в черзі; Sk -- канал зайнятий, (до - 1) заявок стоять в черзі і т.д.
Граф станів СМО представлений на мал. 3.
… …
… …
Мал. 3
Це процес загибелі і розмноження, але з нескінченним числом станів, в якому інтенсивність потоку заявок рівна, а інтенсивність потоку обслуговуванні .
Перш ніж записати формули граничної вірогідності, необхідно бути упевненим в їх існуванні, адже у разі, коли час , черга може необмежено зростати. Доведено, що якщо р < 1, тобто середнє число заявок, що приходять, менше середнього числа обслужених заявок (у одиницю часу), то гранична вірогідність існує. Якщо р > 1, черга росте до безкінечності.
Для визначення граничної вірогідності станів скористаємося формулами для процесу загибелі і розмноження (тут ми допускаємо відому не строгість, оскільки раніше ці формули були одержані для випадку кінцевого числа станів системи). Одержимо:
(29)
Оскільки гранична вірогідність існує лише при р < 1, то геометричний ряд із знаменником р < 1, записаний в дужках у формулі (29), сходиться до суми, рівної. Тому з урахуванням співвідношень
(31)
Знайдемо граничні ймовірності інших станів
(32)
Гранична вірогідність р0, р1, р2, pk, утворюють убуваючу геометричну прогресію із знаменником р < 1, отже, вірогідність p0 найбільша. Це означає, що якщо СМО справляється з потоком заявок (при р < 1), то найбільш вірогідною буде відсутність заявок в системі.
Середнє число заявок в системі Lсист визначимо по формулі математичного очікування, яка з урахуванням (31) прийме вигляд
(33)
(підсумовування від 1 до , оскільки нульовий член p0 = 0).
Можна показати, що формула (33) перетвориться (при р < 1) до вигляду
(34)
Знайдемо середнє число заявок в черзі Lоч. Очевидно, що
Lоч=Lсист - Lоб (35)
де Lоб -- середнє число заявок, що знаходяться під обслуговуванням.
Середнє число заявок під обслуговуванням визначимо по формулі математичного очікування числа заявок під обслуговуванням, що приймає значення 0 (якщо канал вільний) або 1 (якщо канал зайнятий):
тобто середнє число заявок під обслуговуванням рівне вірогідності того, що канал зайнятий:
(36)
По формулі (30)
(37)
Тоді отримаємо:
(38)
Доведено, що при будь-якому характері потоку заявок, при будь-якому розподілі часу обслуговування, при будь-якій дисципліні обслуговування середній час перебування заявки в системі (черги) рівна середньому числу заявок в системі (у черзі), що ділиться на інтенсивність потоку заявок, тобто
(39)
(40)
Формули (39) і (40) називаються формулами Літтла. Вони витікають з того, що в граничному, стаціонарному режимі середнє число заявок, що прибувають в систему, рівно середньому числу заявок, що покидають її: обидва потоки заявок мають одну і ту ж інтенсивність.
На підставі формул (39) і (40) з обліком (34) і (38) середній час перебування заявки в системі визначиться по формулі:
(41)
а середній час перебування заявки в черзі
(42)
5.2 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
Розглянемо завдання. Є n-канальна СМО з необмеженою чергою. Потік заявок, що поступають в СМО, має інтенсивність , а потік обслуговуванні інтенсивність . Необхідно знайти граничну вірогідність станів СМО і показники її ефективності.
Система може знаходитися в одному із станів So S1, S2, ..., Sk ..., Sn нумерованих по числу заявок, що знаходяться в СМО: So -- в системі немає заявок (всі канали вільні); S1-- зайнятий один канал, інші вільні; S2 -- зайняті два канали, інші вільні; Sk -- зайнято каналів, інші вільні; Sn -- зайняті всі n каналів (черги немає); Sn+1 -- зайняті всі n каналів, в черзі одна заявка; Sn+r -- зайняті всі n каналів, r заявок стоїть в черзі.
Звернемо увагу на те, що на відміну від попередньої СМО, інтенсивність потоку обслуговуванні (що переводить систему з одного стану в інший справа наліво) не залишається постійною, а у міру збільшення числа заявок в СМО від 0 до n збільшується від величини до n, оскільки відповідно збільшується число каналів обслуговування. При числі заявок в СМО більшому, ніж n, інтенсивність потоку обслуговуванні зберігається рівною n.
Можна показати, що при р/n < 1 гранична вірогідність існує. Якщо р/n 1, черга росте до безкінечності. Використовуючи формули для процесу загибелі і розмноження, можна одержати наступні формули для граничної вірогідності станів n-канальної СМО з необмеженою чергою
(43)
(44)
(45)
Ймовірність того, що заявка буде в очереді,
(46)
Для n-канальної СМО з необмеженою чергою, використовуючи колишні прийоми, можна знайти: середнє число зайнятих каналів
(47)
середнє число заявок в черзі
(48)
середнє число заявок в системі
(49)
Середній час перебування заявки в черги і середній час перебування заявки в системі, як і раніше, знаходяться по формулах Літтла.
5.3 СМО з обмеженою чергою
СМО з обмеженою чергою відрізняються від розглянутих вище завдань лише тим, що число заявок в черзі обмежене (не може перевершувати деякого заданого т). Якщо нова заявка поступає в мить, коли всі місця в черзі зайняті, вона покидає СМО не обслуженої, тобто дістає відмову.
Очевидно: для обчислення граничної вірогідності станів і показників ефективності таких СМО може бути використаний той же підхід, що і вище, з тією різницею, що підсумовувати треба не нескінченну професію (як, наприклад, ми робили при виведенні формули (30)), а кінцеву.
Середній час перебування заявки в черзі і в системі, як і раніше, визначаємо по формулах Літтла.
6. Практична частина
6.1 Одноканальна система з відмовами
Відомо, що заявки на телефонні переговори в телевізійному ательє поступають з інтенсивністю , рівної 90 заявок в годину, а середня тривалість розмови по телефону мин. Визначити показники ефективності роботи СМО (телефонного зв'язку) за наявності одного телефонного номера.
Рішення.
Маємо =90 (1/год), мин. Інтенсивність потоку обслуговуванні =1/.=1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч).
По (17) відносна пропускна спроможність СМО Q=30/(90+30)=0,25, тобто в середньому тільки 25% заявок, що поступають, здійснять переговори по телефону. Відповідно вірогідність відмови в обслуговуванні складе Ротк=0,75 (див. (18)). Абсолютна пропускна спроможність СМО по (25) А=90*0,25=22,5, тобто в середньому в годину будуть обслужені 22,5 заявки на переговори. Очевидно, що за наявності тільки одного телефонного номера СМО буде погано справлятися з потоком заявок.
6.2 Багатоканальна система з відмовами
Відомо, що заявки на телефонні переговори в телевізійному ательє поступають з інтенсивністю , рівної 90 заявок в годину, а середня тривалість розмови по телефону мин.
Визначити оптимальне число телефонних номерів в телевізійному ательє, якщо умовою оптимальності вважати задоволення в середньому з кожних 100 заявок не менше 90 заявок на переговори.
Інтенсивність навантаження каналу по формулі (22) =90/30=3, тобто за час середньої (за тривалістю) телефонної розмови мин. поступає в середньому 3 заявки на переговори.
Поступово збільшуватимемо число каналів (телефонних номерів) n=2, 3, 4 ... і визначимо по формулах (22), (24), (25) для одержуваної n-канальной СМО характеристики обслуговування.
Наприклад, при n = 2 ро = (l + 3 + 32/2!) = 0,118 0,12;
Q = 1- (32/2!)*0,118=0.47 0,47;
A=900*0.471=42,4 і т.д.
Значення характеристик СМО
Характеристика обслуговування |
Число каналів (телефонних номерів) |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
Відносна пропу-ськная здатність р0 |
0,25 |
0,47 |
0,65 |
0,79 |
0,9 |
|
|
Абсолютна пропускна спроможність А |
22,5 |
42,4 |
58,8 |
71,5 |
80,1 |
По умові оптимальності Q 0,9, отже, в телевізійному ательє необхідно встановити 5 телефонних номерів (в цьому випадку Q = 0,90 - див. табл. 1). При цьому в годину обслуговуватимуться в середньому 80 заявок (А = 80,1), а середнє число зайнятих телефонних номерів (каналів) по формулі (27) =80,1/30 = 2,67
6.3 Одноканальна система з необмеженою чергою
У порту є один причал для розвантаження судів. Інтенсивність потоку судів рівна 0,4 (судів в добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженої довжини. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також вірогідність того, що чекають розвантаження не більше ніж 2 судна.
Рішення.
Маємо . Оскільки, то черга на розвантаження не може нескінченно зростати і гранична вірогідність існує. Знайдемо їх.
Вірогідність того, що причал вільний, по (30) р0 = 1-0,8 = 0,2, а вірогідність того, що він зайнятий, Рзан= 1-0,2 = 0,8. По формулі (31) вірогідності того, що біля причалу знаходяться 1, 2, 3 судна (тобто чекають розвантаження 0, 1, 2 судна), рівні р1= 0,8(1-0,8)= 0,16; р2 = 0,82(1-0,8)= 0,128; р3 = 0,83(1-0,8) = 0,1024.
Вірогідність того, що чекають розвантаження не більше ніж 2 судна рівна
Р = р1+р2+р3= 0,16+0,128+0,1024 = 0,3904.
По формулі (35) середнє число судів, чекаючих розвантаження
Lоч= 0,82/(1-0,8)= 3,2
а середній час очікування розвантаження по формулі (37)
Точ = 3,2/0,8 = 4 (доби).
По формулі (33) середнє число судів, що знаходяться біля причалу,
Lсист =0,8/(1-0,8)= 4 (доба) (або простіше по (34) Lсист = 3,2+0,8 = 4 (доба), а середній час перебування судна біля причалу по формулі (39)
Тсист = 4/0,8 = 5 (діб).
Очевидно, що ефективність розвантаження судів невисока. Для її підвищення необхідне зменшення середнього часу розвантаження судна , або збільшення числа причалів n.
6.4 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою
У універсамі до вузла розрахунку поступає потік покупців з інтенсивністю = 81 чол. у час. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного покупця мин. Визначити:
a. Мінімальну кількість контролерів-касирів nmin, при якій черга не ростиме до безкінечності, і відповідні характеристики обслуговування при n = nmin.
b. Оптимальна кількість nопт контролерів-касирів, при якій відносна величина витрат Сотн, пов'язана з витратами на зміст каналів обслуговування і з перебуванням в черзі покупців, що задається, наприклад, як , буде мінімальна, і порівняти характеристики n = nmin, n = nопт.
Рішення:
а. По умові = 81(1/ч)= 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формулі (21) . Черга не зростатиме до безкінечності за умови
р/п < 1, тобто при п> р = 2,7. Таким чином, мінімальна кількість контролерів-касирів nmin = 3.
Знайдемо характеристики обслуговування СМО при п= 3.
Вірогідність того, що у вузлі розрахунку відсутні покупці, по формулі (43) р0 = (1+2,7+2,72/2!+2,73/3!+2,74/3!(3-2,7))-1 = 0,025, тобто в середньому 2,5% часу контролери-касири простоюватимуть.
Вірогідність того, що у вузлі розрахунку буде черга, по (46)
Роч. = (2,74/3!(3-2,7))0,025 = 0,735.
Середнє число покупців, що знаходяться в черзі, по (48)
Lоч = (2,74/3*3!(1-2,7/3)2)0,025 = 7,35.
Середній час очікування в черзі по (40)
Точ = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Середнє число покупців у вузлі розрахунку по (49)
Lсист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Середній час знаходження покупців у вузлі розрахунку по (39)
Тсист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Середнє число контролерів-касирів, зайнятих обслуговуванням покупців, по (47)
Коефіцієнт (частка) зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів
Абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А = 1,35 (1/мин), або 81 (1/год), тобто 81 покупця в годину.
Аналіз характеристик обслуговування свідчить про значне перевантаження вузла розрахунку за наявності трьох контролерів-касирів.
b. Відносна величина витрат при п = 3
Розрахуємо відносну величину витрат при інших значеннях п (табл. 2).
|
Характеристика обслуговування |
Число каналів (телефонних номерів) |
|||||
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
||
Відносна пропу-ськная здатність р0 |
0,025 |
0,057 |
0,065 |
0,067 |
0,067 |
|
|
Абсолютна пропускна спроможність А |
5,44 |
0,6 |
0,15 |
0,03 |
0,01 |
|
|
Відносна величина затрат Сотн |
18,54 |
4,77 |
4,14 |
4,53 |
5,22 |
Як видно з табл. 2, мінімальні витрати одержані при п = попт = 5 контролерах-касирах. Визначимо характеристики обслуговування вузла розрахунку при п = попт = 5. Одержимо Роч = 0,091; Lоч, = 0,198; Точ_ = 0,146 (мин); Lсист = 2,90; Тсист= 2,15 (мин); = 2,7; = 0,54.
Як бачимо, при п = 5 в порівнянні з п = 3 істотно зменшилися вірогідність виникнення черги Роч, довжина черги Lоч і середній час перебування в черзі Точ і відповідно середнє число покупців Lсист і середній час знаходження у вузлі розрахунку Тсист, а також частка зайнятих обслуговуванням контролерів . Але середнє число зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів і абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А природно не змінилися.
Висновки
У системах масового обслуговування (СМО) розглядаються черги і вирішуються питання по обслуговуванню ряду (потоку) вимог від людей, приладів, подій.
Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (число каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок і т.п.) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.
Приклади СМО: черга у магазині (касир розглядається як прилад, що обслуговує чергу); телефонна станція (розглядається як прилад, що обслуговує потік замовлень на телефонні розмови); оператори ЕОМ (вони розглядаються сумісно з ЕОМ як прилад, що обслуговує потік інформації від приладів, підприємств та інших операторів).
Вимоги на виконання робіт поступають у випадкові моменти часу, обслуговуючі пристрої задовольняють вимоги (обробляють їх) за випадковий термін. Кількість вимог є статистично оціненою величиною.
Таким чином, СМО має дві головні ознаки: обслуговуючий пристрій і чергу.
Процес роботи СМО є випадковим процесом.
Математичний аналіз роботи СМО істотно спрощується, якщо процес цієї роботи - марківський. Випадковий процес називається марківським або випадковим процесом без наслідку, якщо для будь-якого моменту часу t0 імовірнісні характеристики процесу в майбутньому залежать тільки від його стану в даний момент t0 і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан.
СМО розрізняються:
1. За конструкцією обслуговуючого пристрою: одноканальна, багатоканальна.
2. За дисципліною черги. Найбільше розповсюджено правило: перший прийшов - перший обслуговуєшся. Але у СМО розглядаються й інші варіанти обслуговування, наприклад:
- вимоги за пріоритетом;
- відсутність черги (якщо для обслуговування черги немає вільного каналу або якщо СМО зайнята, то вимога не задовольняється і зникає).
При аналізі СМО намагаються одержати такі характеристики:
- середню довжину черги;
- середній термін обслуговування;
- середній час, за який обслуговуючий пристрій не працює.
При дослідженні СМО звичайно вважають, що вхідний потік вимог підпорядковується закону Пуассона, за яким розглядають відносно рідкі події. За законом Пуассона ймовірність появи точно К подій із n за проміжок часу t.
Подобные документы
Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова: дискретні і безперервні ланцюги та теореми. Рішення матричного рівняння, рівняння Чепмена-Колмогорова. Класифікація систем масового обслуговування, формула Літтла, коефіцієнт використовування системи.
реферат [146,4 K], добавлен 26.04.2009Аналітичні методи дослідження операцій. Сутність аналогових, математичних (аналітичних) та зображувальних моделей. Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова (Markov’schain). Дискретні ланцюги. Теорія масового обслуговування, вивчення її предмету.
курсовая работа [374,4 K], добавлен 23.08.2014Елементи теорії статистичних рішень. Критерії вибору рішення в умовах невизначеності. Класифікація систем масового обслуговування. Основні характеристики та розрахунок їх параметрів. Елементи задачі гри з природою. Особливості критерій Гурвіца та Вальда.
курсовая работа [94,6 K], добавлен 08.09.2012Вибір і обґрунтування управлінських рішень щодо покращення використання робочої сили в умовах невизначеності, розрахунок параметрів вибраних варіантів згідно з положеннями теорії масового обслуговування; реалізація рішення методом сітьового планування.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 17.01.2012Особливості застосування теорії масового обслуговування в економічному аналізі. Система спеціальних знань, пов'язана з дослідженням існуючих економічних процесів і господарських комплексів. Методи математичного моделювання в аналітичному дослідженні.
контрольная работа [54,0 K], добавлен 07.02.2011Дослідження послідовності (серії) n випробувань. Особливості застосування формули Бернуллі. Знаходження ймовірності того, що при n випробуваннях подія А з'явиться m разів і не з'явиться n-m разів. Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
контрольная работа [70,1 K], добавлен 02.02.2010Питання та основні напрямки дослідження при управлінні витратами на сучасному підприємстві. Вивчення основ створення комплексної інформаційної системи управління витратами та побудова моделі управління витратами на прикладі ВАТ "Запоріжтрансформатор".
дипломная работа [220,7 K], добавлен 03.11.2009Основні методи рішення систем нелінійних та трансцендентних рівнянь. Приклади рішення системи рівнянь методом ітерацій та Ньютона–Канторовича. Написання програми для методу Ньютона-Канторовича. Метод найшвидшого спуску. Межі можливої погрішності.
курсовая работа [170,0 K], добавлен 29.04.2010Оптимальне з витрати палива керування лінійними об’єктами. Основні способи синтезу квазіоптимальних систем керування. Математична модель динамічної системи у просторі станів та у вигляді передаточної функції. Знаходження оптимального закону керування.
контрольная работа [1,9 M], добавлен 24.06.2015Методика визначення динаміки різних об’єктів різними лінійними кінцево-різницевими рівняннями. Характеристичний стан об'єкта у будь-який момент часу зі станами в попередні моменти часу. Порядок вирахування стаціонарної, аналіз стійкості рівноважної ціни.
курсовая работа [93,5 K], добавлен 16.07.2010
