Математичне моделювання та диференціальні рівняння

1. Поняття математичного моделювання

Поняття математичного моделювання трактується різними авторами по своєму. Ми будемо його пов'язувати з нашою спеціалізацією - прикладна математика. Під математичним моделюванням ми будемо розуміти метод дослідження процесів або явищ шляхом побудови їхніх математичних моделей і дослідження цих процесів. В основу методу покладемо адекватність між змінними складеного рівняння і досліджуваного процесу. Зрозуміло, що на практиці ці процеси не будуть абсолютно ідентичні. Але можна удосконалювати математичну модель, яка більш точно буде описувати цей процес. Треба пам'ятати, що в останньому випадку, як правило, математичні рівняння ускладнюються. А це означає, що їх моделювання на ЕОМ потребує більше часу, або ж більше не визначаючих обчислювальних комплексів.

Схема таких досліджень починається з постановки задачі і закінчується проведенням ефективного обчислювального експерименту. Її умови можна записати в такій формі:

а) постановка задачі;

б) побудова математичної моделі;

в) перевірка її адекватності;

г) узагальнення та теоретичне дослідження даного класу задач;

д) створення програмного забезпечення;

е) проведення обчислювального експерименту;

ж) впровадження цих результатів в виробництво.

Розглянемо питання використання диференціальних рівнянь в деяких предметних областях.

2. Диференціальні рівняння в екології

Екологія вивчає взаємо відношення людини і, взагалі, живих організмів з навколишнім середовищем. Основним об'єктом дослідження в екології являється еволюція популяцій (сукупність одного виду рослин, тварин, чи мікроорганізмів, які населяють протягом тривалого часу певну територію).

Опишемо математично процес розмноження чи вмирання популяцій.

Нехай - кількісний стан популяції в момент , - число, яке відповідає кількості народжених, - умираючих в одиницю часу. Тоді запис зміни координати задається формулою:

(1.1)

В (1.1) А і В можуть залежати від х. Наприклад:

(1.2)

де а - коефіцієнт народжуваності, b- смертності. Маємо з (1.2)

(1.3)

Розв'язок диференціального рівняння запишемо в вигляді

З розв'язку (1.4) видно, що при популяція виживаюча, а при - вмираюча.

(1.4)

Рівняння (1.3) в деяких випадках береться нелінійне

(1.5)

Це рівняння Беруллі при n=2 і його розв'язок запишеться в такому вигляді

(1.6)

З формули (1.6) видно, що при . При цьому можливі випадки

, та

Можна говорити і про більш складні рівняння, системи рівнянь.

Розглянемо більш детально двох видову модель «хижак-жертва», яка була побудована для виявлення коливань рибних уловів в Адріатичному морі.

Нехай x(t) -число великих риб-хижаків, y - число малих риб-жертв в момент часу t, тоді число риб-хижаків буде рости до тих пір, поки у них буде їжа. Якщо корму не буде вистачати, то кількість риб-хижаків буде зменшуватися і тоді, починаючи з деякого моменту, буде рости число риб-жертв. Модель має вигляд

 (1.7)

де a, b, c, d - додатні константи.

В (1.7) доданок bxy виражає залежність приросту великих риб від числа малих, ±bxy- зменшення числа малих риб від великих.

3. Закони Кеплера руху планет

Згідно закону всесвітнього тяжіння два тіла, які знаходяться на віддалі друг від друга і які мають маси і притягаються з силою

(1.8)

де - константа тяжіння.

Опишемо рух планети з масою навколо Сонця маси . Вплив других планет на них не будемо враховувати. (мал 1.1).

Сонце знаходиться в початку координат, а планета має положення в момент часу . Використавши другий закон Ньютона маємо:

 (1.9)

Позначимо , прийдемо до системи

(1.10)

Без обмеження загальності візьмемо початкові умови:

при (1.11)

Перейдемо до полярних координат:

Позначивши отримані вирази в (1.10) будемо мати

Помножимо перше рівняння на ,друге на і складемо:

(1.12)

Домножимо перше рівняння на ,друге на і складемо:

(1.13)

Перепишемо в нових змінних умови (1.11):

Рівняння (1.13) перепишемо у вигляді

(1.14)

(1.15)

Звідки маємо

(1.6)

Константа має цікаву геометричну інтерпретацію. З курсу математичного аналізу відомо, що площа сектора обчислюється за формулою

Звідки

(1.17)

,або (1.16)

Останній вираз означає секторну швидкість. З (1.16) випливає, що вона являється постійною. Це означає, що радіус-вектор “замітає” за рівні проміжки часу рівні площі.

1-ій закон Кеплера: кожна із планет рухається по плоскій кривій відносно Сонця так, що радіус-вектор, який зв'язує Сонце і кожну з планет, “замітає” рівні площі за рівні проміжки часу.

Задачу Кощі (1.12)-(1.14) можна розв'язати. Розв'язок має еліпсоїдальну форму, на основі цього робиться наступний висновок:

2-ій закон Кеплера: траєкторії планет рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце.

З аналізу траєкторій випливає таке твердження:

3-ій закон Кеплера: квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам великих осей їх орбіт.

4. Диференціальні рівняння закону пропиту і пропозиції в економічних дослідженнях

Попит і пропозиція - економічній категорії товарного виробництва. Попит - представлена на ринку потреба в товарах, пропозиція - продукт, який є на ринку чи може бути доставлений на нього.

Нехай - ціна, наприклад, на фрукти, - тенденція формування ціни. Тоді, як попит так і пропозиція будуть функціями введених величин. Як показує практика, ці функції можуть бути різними. Часто попит і пропозиція задаються лінійними залежностями.

(1.17)

Наприклад, для того, щоб попит відповідав пропозиції необхідно:

Звідки

(1.8)

Припустимо, що в момент 1кг фруктів коштував 1крб. Тоді , , отже

(1.19)

Це закон зміни цін, щоб між попитом і пропозицією була рівновага.

5 Найпростіші рівняння руху частинок в електромагнітних поясах

Швидкість зміни імпульсу частинки

дорівнює силі Лоренса, яка діє на неї

(1.20)

де - зарядове число, - заряд частинки, - вектор напруженості прискорюючого поля, - вектор магнітної індукції, - вектор швидкості частинки.

де - маса спокою, - приведена енергія частинки.

- векторний добуток двох змінних.

З (1.20) маємо:

(1.21)

Рівняння (1.21) не враховує власного поля пучка(кулонівських сил).

Систему (1.21) перепишемо в скалярній формі:

(1.22)

Визначимо

тобто

так як , то визначимо:

Тому

(1.23)

Підставляючи (1.23) в (1.22) отримаємо рівняння руху.

Але в ці складні рівняння ще входять компоненти електромагнітного поля, які визначаються рівняннями максвела:

(1.24)

Тут - електрична і магнітна сталі, - об'ємна густина заряду, - вектор густини струму, - знак транспонування.

А (1.24) - це рівняння в частинних похідних з складними граничними умовами. Задача заключається не тільки в моделюванні рівнянь руху, а й в розрахунках оптимальних систем.

6. Використання диференціальних рівнянь в біології і математичних обчисленнях

Біологія. Необхідно знайти залежність площі молодого листка, що має форму круга, від часу . Відомо, що швидкість зміни площі в момент пропорцією площі листка, довжини його ободу та косинусу кута між падаючим на листок сонячним променем і вертикаллю листка. Маємо модель:

де (1.25)

- const, , - коефіцієнт пропорційності; розв'язуючи рівняння (1.25) ми отримаємо таку залежність:

(1.26)

Математика. Обчислити невласний інтеграл

(1.27)

залежний від параметра .

Знайдемо похідну:

Отримали диференціальне рівняння

(1.28)

При цьому відомо:

(1.29)

Розв'язуючи задачу Коші (1.28),(1.29), отримаємо:

(1.30)

7. Побудова диференціальних рівнянь з заданими параметричними сімействами кривих

Припустимо, що задано однопараметричне сімейство кривих:

(1.31)

Задача полягає в тому, щоб знайти диференціальне рівняння, розв'язками якого являються криві (1.31). Вважаючи, що функція (1.31) має повну похідну за x запишемо:

(1.32)

Тоді з (1.31) та (1.32) як з системи рівнянь, вилучаємо сталу і отримаємо шукане диференціальне рівняння першого порядку.

Якщо ж задано - параметричне сімейство кривих:

(1.33)

то до (1.33) додаються дані співвідношення:

(1.34)

з(1.33) та (1.34), як з системи рівнянь, кількість яких , вилучаються сталі і отримане таким чином співвідношення між

(1.35)

і буде шуканим диференціальним рівняння -го порядку.

В (1.32) та (1.34) означають частинні похідні відповідних порядків за вказаними змінними. При цьому припускаємо, що похідні існують, тобто функції (1.32) та (1.34) являються диференційовними відповідну кількість разів.

Аналогічно поступають і при складанні систем рівнянь.

Приклад 1. Знайти диференціальне рівняння першого порядку, розв'язками якого буде однопараметричне сімейство

(1.36)

Розв'язання. Продиференціюємо за праву частину нашого співвідношення в припущенні, що .

(1.37)

Враховуючи (1.36) рівність (1.37) перепишемо таким чином:

(1.38)

З (1.38) знаходимо с

і підставивши в (1.36) отримаємо шукане диференціальне рівняння

 (1.39)

Приклад 2. Знайти диференціальне рівняння другого порядку, розв'язками якого буде двопараметричне сімейство

(1.40)

Розв'язання. Згідно описаного вище складаємо систему рівнянь:

(1.41)

З якої вилучивши і знаходимо шукане диференціальне рівняння:

(1.42)