Экономико-математическое моделирование

2

Вариант 16.

Задача 1.

В базе данных магазина, торгующего подержанными автомобилями, содержится информация об их потребительских свойствах и ценах.

Для анализа зависимости цены автомобиля Y от его возраста X1 и мощности двигателя X2 из базы данных выбраны сведения о 16 автомобилях. Эти сведения приведены в таблице 1.

Таблица 1

2. Множественная зависимость

2.1. С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9.

2.2. Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов множественной линейной регрессионной модели

.

2.3. Проверить статистическую значимость параметров и уравнения множественной регрессии с надежностью 0,9.

2.4. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей возраста 3 года и мощностью двигателя 165 л. с. с доверительной вероятностью 0,95.

1.3. Коэффициенты парной корреляции:

= = - 0,943

= = 0,865

Проверка значимости:

(по таблице).

= 10,597 > 1,761

= 6,441 > 1,761

Коэффициенты корреляции существенно отличаются от 0.

2.1. Найдем матрицы:

=

=

Найдем матрицу , обратную к матрице . Определитель

|XTX| = 16 * 390 * 135680 + 74 * 5942 * 1398 + 1398 * 74 * 5942 - 1398 * 390 * 1398 - 74 * 74 * 135680 - 16 * 5942 * 5942 = 5947704

Алгебраические дополнения:

D11 = (-1) 1 + 1 = 390 * 135680 - 59422 = 17607836 и т.д.

Матрица алгебраических дополнений

=

Присоединенная матрица

(XTX) * = DT = = D

(матрица D симметрична).

(XTX) -1 = (XTX) * / |XTX| = =

Вектор оценок коэффициентов модели:

A = (XTX) - 1 (XTY) = =

Y = 9,724 - 1,554x1 + 0,061x2

2.3. Расчетная таблица:

Продолжение расчетной таблицы 2.3.

Остаточная дисперсия

S2 = ? (yi - i) 2 / (n - m - 1) = 0,536 / (16 - 2 - 1) = 0,041

Ковариационная матрица:

S2 (XTX) - 1 = 0,076 * =

Стандартные ошибки коэффициентов равны квадратным корням из диагональных элементов ковариационной матрицы:

S0 = v0,122 = 0,349

S1 = v0,00150 = 0,039

S2 = v0,00000530 = 0,002

Проверим значимость параметров регрессии.

Табличное значение

t1 - б/2,n - 3 = 1,77

t0 = |a0| / S0 = 9,724 / 0,349 = 27,8 > 1,77

t1 = |a1| / S1 = 1,554 / 0,039 = 40,1 > 1,77

t2 = |a2| / S2 = 0,061 / 0,002 = 26,4 > 1,77

Все параметры значимы.

Коэффициент детерминации

= 1 - 0,536 / 265,0 = 0,998

Табличное значение критерия Фишера

Fт = 5,0

Расчетное значение

Fф = = = 3205,8 > 5,0

Уравнение значимо.

2.4. Точечный прогноз:

(xp) = Y = 9,724 - 1,554 * 3 + 0,061 * 165 = 15,11 тыс. у.е.

Интервальный прогноз

Квантиль распределения Стьюдента (по таблице)

= t0,95; 13 = 2,16

где S = = v0,041 = 0,203

xp (XTX) - 1(xp) T = =

(-0,841 -0,050 0,008) = 0,577

= 0,203 * v0,577 = 0,154

В,Н = 15,11 ± 2,16 * 0,154 = 15,11 ± 0,33

Н = 14,77

В = 15,44

3. Экономическая интерпретация. Между возрастом автомобиля и его ценой существует тесная отрицательная связь (коэффициент корреляции -0,943): при увеличении возраста на 1 год цена падает в среднем на 2,22 тыс. у. е.

Цена нового автомобиля 18,1 тыс. у.е. Между мощностью двигателя и ценой автомобиля существует менее тесная положительная связь (коэффициент корреляции 0,865): при увеличении мощности на 1 л. с. цена увеличивается в среднем на 0,121 тыс. усл. ед.

При увеличении возраста на 1 год (при фиксированной мощности двигателя) цена падает в среднем на 1,554 тыс. у.е., а при увеличении мощности двигателя на 1 л. с. (при фиксированном возрасте автомобиля) цена увеличивается в среднем на 0,061 тыс. у.е.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что цена автомобиля при возрасте 3 года и при мощности двигателя 165 л. с. будет находиться в пределах от 14,77 до 15,44 тыс. усл. ед.

Задача 3. Проверка моделей на автокорреляцию и мультиколлинеарность

1. Для регрессионной модели

и

с помощью критерия Дарбина-Уотсона проверить наличие или отсутствие автокорреляции на уровне значимости 0,05.

2. Для регрессионной модели

проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности, используя:

а) парный коэффициент корреляции;

б) критерий "хи-квадрат" ч2 на уровне значимости 0,05.

3.1. Расчетная таблица для модели :

Статистика Дарбина-Уотсона

= 0,540 / 0,536 = 1,01

Табличные значения при n = 16,m = 2

dl = 0,98; du = 1,54

Так как dl < d < du, вопрос о наличии автокорреляции остается открытым (область неопределенности).

3.2. Найдем коэффициент парной корреляции между объясняющими переменными.

r12 = = - 0,652

Проверим значимость коэффициента корреляции.

Табличное значение

t1 - б/2,n - 2 = 2,145

= = 3,214 > 2,145

Коэффициент значим, т. е. мультиколлинеарность имеет место.

Определитель матрицы коэффициентов парной корреляции:

Det (r) = = 1 - 0,6522 = 0,575

Табличное значение статистики для df = 1 и б = 0,05 равно

ч21; 0,05 = 3,84.

Фактическое значение статистики

= - (16 - 1 - (2 * 2 + 5) / 6) ln 0,575 = 7,46 > 3,84

Мультиколлинеарность имеет место, т. е. существует линейная зависимость между объясняющими переменными (возрастом автомобиля и мощностью двигателя). Это свидетельствует о ненадежности оценок параметров модели.